constantes elásticas en cristales física de la materia i (curso 2004) ricardo marotti
Post on 23-Jan-2016
220 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Constantes Elásticas en Cristales
Física de la Materia I (Curso 2004)
Ricardo Marotti
Constantes Elásticas
• Objetivo: Permiten el estudio de deformación y propagación de ondas elásticas (sonido en sólidos).
• Describen: – Naturaleza de Fuerzas de unión en sólidos (enlaces). – Propiedades Térmicas.
• Ejemplos: – Monocristales: Anisotrópico Tensor. – Policristales: Propiedades elásticas isotrópicas
menos constantes.
Regímenes Vibracionales
• Macroscópico (material homogéneo) >> a
: longitud de onda.
a: constante de red. • Nanométrico: ~ a
Relación de dispersión (“Fonones”): (k)
: Frecuencia onda elástica
K=2/: Vector de onda.
Tensión • “Strain” Tensión Deformación.
(l/l, , e, u)• “Stress” Tensión Fuerza.
(F, f, , X, Y, Z)• Ejemplo: Ley de Hooke:
F: Fuerza. K: Constante. l/l:
Deformación.
lll
llk
0
0 uF
Plástico~
Elástico
l
l
Régimen 1
Régimen 1
Strain – 1
a
b
c
Δc,Δb,Δa
Δ,Δ,αΔ :Strain
cba c,b,a
Strain – 2
h
f
g
h
f
g
hgfh
hgfg
hgff
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
1
1
1
DeformaciónBase Ortonormal
Componentes de Strain – 1
hgfh
hgfg
hgff
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
1
1
1
hhhhh
ggggg
fffff
1
1
1
zzzz
yyyy
xxxx
e
e
e
hf
hg
gf
xzzxzx
yzzyyz
xyyxxy
e
e
e
Componentes de Strain – 2
a~e
e
xx
xxxx
fff
fffff 1
~~e
~e
xy
xyyxxy
sen2cos2
cosgf
a
b
c
0:Ortonormal Base
gfgf ,
Ejemplo: Rotación Pura
xzzxzyyzxyyx
zxyzxyyxxy
;;
ee;e
00
0NDEFORMACIÓhay No
gf
gf
Caso general: sólido que rota (rígidamente) y se deforma: e Solo describen Deformaciones. Describen Deformaciones Y Rotaciones.
e son 6 (seis) componentes son 9 (nueve) componentes
Deformación + Rotación
imsyx
imsyx
asyx
asyxsim
yxas
yxyx
0
0
0
aszy
saxz
aszy
asyx
aszx
asyx
imszz
imszy
imsxz
imszy
imsyy
imsyx
imszx
imsyx
imsxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
e e’0
Componentes de Strain – 3
hgfh
hgfg
hgff
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
1
1
1
hgfhhh
hgfggg
hgffff
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
eee
eee
eee
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
Deformación – 1 hgfrhgfr zyxzyx
hgfρ
hhggffρ
rrrρ
wvu
zyx
Deformación – 2
hgfhhggffρ wvuzyx
hgfhhh
hgfggg
hgffff
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
eee
eee
eee
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
zeyexew
zeyexev
zeyexeu
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
Deformación – 3
uniformen deformació
siLINEALFORMA
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
ctes.e
zeyexew
zeyexev
zeyexeu
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
x
w
z
ue,
z
v
y
we,
y
u
x
ve
z
we,
y
ve,
x
ue
zxyzxy
zzyyxx
uniforme) (NO general Caso
Ejemplo: Dilatación
• Dilatación: Incremento fraccional del volumen.
zzyyxx
zzyyxx
eeeV
VV
V
V
eeeV
V
1
1
hgf
hgf
Ejemplo: Deslizamientos
• Deslizamientos = “Shearing Strain”.
y
u
x
vexy
y
x
x
v
y
x
y
u
Componentes de Stress
• Stress: Fuerza por Unidad de Área.
Xx, Xy, Xz, Yx, Yy, Yz, Zx, Zy, Zz.
Notación Ab: A: Dirección de la Fuerza. b: Normal al plano sobre el que actúa.
Xy
x
y
Xy
Yy
Yy
Xx
Yx
Yx
Xx
Condición de simetría dinámica (Equilibrio y No-equilibrio):
yzxzxy ZYZXYX ;;
Ley de Hooke – 1
y66x65z64z63y62x61
y56x55z54z53y52x51
y46x45z44z43y42x41
y36x35z34z33y32x31
y26x25z24z23y22x21
y16x15z14z13y12x11
XZYZYX
XZYZYX
XZYZYX
XZYZYX
XZYZYX
XZYZYX
sssssse
sssssse
sssssse
sssssse
sssssse
sssssse
xy
zx
yz
zz
yy
xx
Ley de Hooke – 2
xyzxyzzzyyxx
xyzxyzzzyyxx
xyzxyzzzyyxx
xyzxyzzzyyxx
xyzxyzzzyyxx
xyzxyzzzyyxx
ecececececec
ecececececec
ecececececec
ecececececec
ecececececec
ecececececec
666564636261y
565554535251x
464544434241z
363534333231z
262524232221y
161514131211x
X
Z
Y
Z
Y
X
Constantes Elásticas
• (e) = {s}(F) Constantes Elásticas(“Elastic Compliance Constants”)
• (F) = {c}(e) Módulos de Elasticidad(“Elastic Stiffness Constants”)
Tensorial
Notación
6
5
4
3
2
1
xy
zx
yz
zz
yy
xx
Densidad de Energía – 1
• Trabajo hecho sobre un cubo de lado L:
22 ZYXZYX LwvuW
wvu
L
W
hgf
hgfF
F
Densidad de Energía – 2
2ZYX LwvuW
Yy x
y
z
Yx
Yz
A
B
C
yzyyxy ezeyexv 2
1
2
1
2YY
2Y
Y
zyxyz
yyxy e
ee
L
v
Densidad de Energía – 3
2ZYX LwvuW
zzyzzx
yzyy
xy
zxxyxx
eee
Lw
ee
eLv
eeeLu
zyx
zyx
zyx
Z2
Z2
ZZ
2YY
2YY
2X
2XXX
yzxzxy ZYZXYX ;;
Densidad de Energía – 4
zxyzxyzzyyxx eeeeeeL
LwvuW
xzyzyx3
2
ZYXZYX
ZYX
Energía Elástica por Unidad de Volumen:
zxyzxyzzyyxx eeeeeeL
WU
xzyzyx
3
ZYXZYX
Densidad de Energía – 5
zxyzxyzzyyxx eeeeeeL
WU
xzyzyx
3
ZYXZYX
zxyzxy
zzyyxx
e
U;
e
U;
e
U
;e
U;
e
U;
e
U
xzy
zyx
ZYX
ZYX
jiijxxyy
ccccee
2112yx
YX
Simetría Constantes Elásticas
• cij: 6x6=36 elementos:
6 diagonales.
30/2 = 15 no diagonales.
• 6+15= 21 constantes. Triclínico 21
Monoclínico 13
Ortorrómbico 9 Hexagonal 5
Cúbico 3
Cristales Cúbicos – 1• “Four-fold” axis:
• Plano de Simetría perpendicular a dichos ejes
Tensorial
Notación
6
5
4
3
2
1
xy
zx
yz
zz
yy
xx
132321
665544
332211
ccc
ccc
ccc
xz
zy
yx
0
0
0
0
564645
363534
262524
165141
ccc
ccc
ccc
ccc
zz,yy,xx
zz,yy,x
zz,yy,xx
Cristales Cúbicos – 2
44
44
44
111212
121112
121211
00000
00000
00000
000
000
000
c
c
c
ccc
ccc
ccc
cij
Energía en Cristales Cúbicos
eCe
δeCF
Fδe
2
1U
U
zxzxyzyzxyxy
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
eceeceece
ececece
ececece
ecececeU
444444
111212
121112
1212112
1
22244
12
22211
2
1
2
1
zxyzxy
zzyyzzxxyyxx
zzyyxx
eeec
eeeeeec
eeecU
Ondas Elásticas en Cristales
x
y z
Xx(x+dx) Xx(x)
Xy(y+dy)
Xy(y)
Xz(z+dz)
Xz(z)
x+dx
z+dz
y+dy
Ecuaciones de Onda
zx
w
yx
vCC
z
u
y
uC
x
uC
t
u 22
44122
2
2
2
442
2
112
2
0
zy
w
yx
uCC
z
v
x
vC
y
vC
t
v 22
44122
2
2
2
442
2
112
2
0
zy
v
zx
uCC
y
w
x
wC
z
wC
t
w 22
44122
2
2
2
442
2
112
2
0
Velocidad de Propagación
top related