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0.0.1 Teorema de Cayley-Hamilton
Recordemos primero que para cualquier matriz cuadrada n�n tal como, A tieneun conjunto de eigenvalores los cuales pueden ser encontrados del determinantesecular
jA� �Ij = 0 (1)
Para encontrar los eigenvalores, uno expande el determinante, obteniendoun polinomio para �, que puede ser escrito como
nXk=0
Ck�k = 0 (2)
Las diferentes raíces � de este polinomio son los eigenvalores de la matriz.Ahora hay un teorema muy conocido del algebra lineal, llamado Teorema deCayley-Hamilton, que establece que dada una matriz cuadrada A con eigenval-ores dados por la ecuación 2 , la siguiente ecuación se satisface
nXk=0
CkAk = 0 (3)
donde los Ck de las ecuaciones 2 y 3 son idénticos.Este teorema puede ser usado para truncar la expansión de series de poten-
cias de la matriz exponencial eAt =1Xk=0
Aktk
k! .
Veamos ahora como funciona todo esto para el problema del oscilador ar-mónico. Recordemos que su matriz de estado es
A =
�0 1�!2n �2z!n
�planteamos la ecuación de eigenvalores jA� �Ij = 0����� 0 1�!2n �2z!n
�� �
�1 00 1
����� = 0llevando a cabo el determinante llegamos a la ecuación de eigenvalores sigu-
iente
�2 + 2z!n�+ !2n = 0 (4)
Aplicamos el teorema de Cayley Hamilton
A2 + 2z!nA+ !2n = 0 (5)
veri�quemos el teorema de Cayley-Hamilton�0 1�!2n �2z!n
�2+ 2z!n
�0 1�!2n �2z!n
�+ !2n =
�0 00 0
�funciona!! y entonces usemos el teorema para cortar la serie in�nita de la
matriz exponencial
1
eAt = 1+At+ 12!A
2t2 + 13!A
3t3 + 14!A
4t4:::de la ecuación 5 despejamos la matriz de mayor potencia, para este caso
A2 = �2z!nA� !2n1 (6)
la ecuación 6 nos permite expresar la matriz A elevada a cuarquier potenciamayor a dos como una combinación lineal de A y la matriz identidad 1, comoa continuacion mostraremos para la matriz A3.A3 = AA2
usando la ecuación 6 en la ecuación anteriorA3 = A
��2z!nA� !2n1
�= �2zA2!n �A!2n
A3 = �2z��2z!nA� !2n1
�!n �A!2n
�nalmente obtenemos la matriz A3 como una combinación lineal de A y lamatriz identidad 1
A3 =�4z2!2n � 1
�A+ 2!nz1
sustituyendo los resultados deA2, A3, A4, A5,... como combinaciones linealesdeA y la matriz identidad 1, la matriz exponencial la podemos �nalmente ponercomo una combinación lineal de A y la matriz identidad 1eAt = 1+At+ 1
2!
��2z!nA� !2n1
�t2+ 1
3!
��4z2!2n � 1
�A+ 2!nz1
�t3+ :::
agrupando términos podemos expresar la matriz exponencial como
eAt = �0(t)1+ �1(t)A (7)
donde�0(t) = 1� 1
2!!2nt2 + 1
3!2!nzt3 + :::
�1(t) = 1� 12!2z!nt
2 + 13!
�4z2!2n � 1
�t3 + :::
para evaluar los coe�cientes �0(t) y �1(t) usaremos la siguiente propiedadde la matriz exponencial
d
dteAt = AeAt (8)
sustituyendo la ecuación 7 en la ecuación 8ddt (�0(t)1+ �1(t)A) = A (�0(t)1+ �1(t)A)ddt�0(t)1+
ddt�1(t)A = �0(t)A+ �1(t)A
2
utilizamos la ecuación 6 en la ecuación anteriorddt�0(t)1+
ddt�1(t)A = �0(t)A+ �1(t)
��2z!nA� !2n1
�ddt�0(t)1+
ddt�1(t)A = ��1 (t)!2n1+ (�0(t)� 2z!n�1(t))A
igualando coe�cientes en ambos lados de la ecuación llegamos al siguientepar de ecuaciones diferenciales acopladas de coe�cientes constantes
ddt�0(t) = ��1 (t)!
2n
ddt�1(t) = �0(t)� 2z!n�1(t)Tarea resolver este par de ecuaciones diferenciales acopladasTambién vimos que la matriz exponencial para sistemas lineales e invariantes
en el tiempo igual a
eAt = L�1h(s1�A)�1
i2
sustituyendo el valor de matriz A
(s1�A)�1 =�s
�1 00 1
���
0 1�!2n �2z!n
���1(s1�A)�1 =
s+2z!n
s2+2zs!n+!2n
1s2+2zs!n+!2n
� !2ns2+2zs!n+!2n
ss2+2zs!n+!2n
!La transformada inversa de Laplace es para z � 1
eAt =
0@ e�z!nt�cosh!n
pz2 � 1t+ z sinh!n
pz2�1tp
z2�1
�e�z!nt
sinhpz2!2n�!2nt
!npz2�1
�!2ne�z!nt sinh!npz2�1t
!npz2�1 L�1
�s
!2n+s2+2sz!n
�1A(9)
si z < 1 podemos usar el hecho de que cosh ix = cosx y sinh ix = i sinx opodemos hacer lo siguiente
(s1�A)�1 =
s+2z!ns2+2z!ns+!2n
1s2+2z!ns+!2n
� !2ns2+2z!ns+!2n
ss2+2z!ns+!2n
!(10)
identi�camos cada uno de los términos en la tablas de transformadas deLaplace y resulta ser que sólo encontramos el resultado siguiente
!2ns2 + 2z!ns+ !2n
! !np1� z2
e�z!nt sin!np1� z2t (11)
sin embargo con este resultado es su�ciente, reescribamos los otros términos,de�nimos la frecuencia natural amortiguada como
!d = !np1� z2 (12)
la ecuación 10 queda entonces como0@ 1!2ns
!2ns2+2zs!n+!2n
+ 2z!n
!2ns2+2zs!n+!2n
1!2n
!2ns2+2zs!n+!2n
�!2n
!de�z!nt sin!dt s 1
!2n
!2ns2+2zs!n+!2n
1A (13)
donde hemos usado 11 y 12. Usando el hecho de que Lhdfdt
i ! sF (s) y de
nuevo el resultado 11 la transformada inversa de los elementos que nos faltande la matriz 13 quedan como0@ 1
!2n
ddt
�!2n!de�z!nt sin!dt
�+ 2z
!n
�!2n!de�z!nt sin!dt
�1!2n
!2n!de�z!nt sin!dt
�!2n
!de�z!nt sin!dt
ddt
1!2n
!2n!de�z!nt sin!dt
1Allevemos a cabo las derivadas temporales (cambie d
dt por@@t para que el
programa no se confunda y haga bien la operacion derivada)1!d
@@t (e
�z!nt sin!dt)+2z!n
!2n!de�z!nt sin!dt =
1!de�z!nt (!d cos!dt+ z!n sin!dt)
llegamos �nalmente a la expresión de la matriz exponencial para el casoz < 1
3
eAt =
1!de�z!nt (!d cos!dt+ z!n sin!dt)
1!de�z!nt sin!dt
�!2n
!de�z!nt sin!dt
1!de�z!nt (!d cos!dt� z!n sin!dt)
!(14)
y por lo tanto la solución del sistema para t > 0 es
X(t) = eAtX0�x1(t)x2(t)
�=
1!de�z!nt (!d cos!dt+ z!n sin!dt)
1!de�z!nt sin!dt
�!2n
!de�z!nt sin!dt
1!de�z!nt (!d cos!dt� z!n sin!dt)
!�x1(0)x2(0)
�para z < 1 para z > 1 usamos el resultado 9.
4
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