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Paolo Lino
Controllo dei Robot
Controllo dei Robot 1
Table of contents
Introduction
Paolo LinoDipartimento di Ing. Elettrica e dellβInformazione (DEI)
Politecnico di Bari
e-mail: paolo.lino [at] poliba.it
Cinematica β Parte 1
Paolo Lino
La cinematica si occupa dello studio analitico della geometria
del movimento del braccio rispetto ad un sistema di riferimento
in funzione del tempo, prescindendo dalle forze e dai momenti
che provocano il moto
CINEMATICADIRETTA
CINEMATICAINVERSA
Variabili di giuntoPosizione e orientamento (posa)
end-effector
Cinematica del braccio di un robot
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Posizione ed orientamento di un corpo rigido
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
πβ² = ππ₯β² π + ππ¦
β² π + ππ§β²π πβ² =
ππ₯β²
ππ¦β²
ππ§β²
πβ² = π₯π₯β² π + π₯π¦
β² π + π₯π§β²π
πβ² = π¦π₯β²π + π¦π¦
β² π + π¦π§β²π
πβ² = π§π₯β² π + π§π¦
β² π + π§π§β²π
πβ² =
π₯π₯β²
π₯π¦β²
π₯π§β²
πβ² =
π¦π₯β²
π¦π¦β²
π¦π§β²
πβ² =
π§π₯β²
π§π¦β²
π§π§β²
x
z
yiAO
Oβ
'
xO
'
yO
'
zO
jk
i' j'
k'
x
z
yi
'
xz
'
yz
'
zz
jk k'
Paolo Lino
Matrice di rotazione
ORTOGONALE
det π = 1 se la terna Γ¨ levogira
det π = β1 se la terna Γ¨ destrogira.
πβ²π
πβ²π
πβ²π
πβ² πβ² πβ² =
πβ²ππβ² πβ²
ππβ² πβ²
ππβ²
πβ²ππβ² πβ²
ππβ² πβ²
ππβ²
πβ²ππβ² πβ²ππβ² πβ²ππβ²
=1 0 00 1 00 0 1
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π = πβ² πβ² πβ² =
π₯π₯β²
π₯π¦β²
π₯π§β²
π¦π₯β²
π¦π¦β²
π¦π§β²
π§π₯β²
π§π¦β²
π§π§β²
=πβ²
ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
πβ²ππ
π ππ = πΌ
det π = πβ²π πβ² β§ πβ² = πβ²π
πβ² β§ πβ² = πβ²π
πβ² β§ πβ²
Paolo Lino
Rotazioni elementari
π π βπ = π ππ π con π = π₯, π¦, π§
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
a
a
a)
a)
a)
a)
b)b
bb)
b)
b)
g
g
g)
g)
g)
g)
π π§ πΌ = πβ² πβ² πβ² =πππ πΌπ ππ πΌ
0
βπ ππ πΌπππ πΌ
0
001
a
a
a)
a)
a)
a)
b)b
bb)
b)
b)
g
g
g)
g)
g)
g)
a
a
a)
a)
a)
a)
b)b
bb)
b)
b)
g
g
g)
g)
g)
g)
π π¦ π½ = πβ² πβ² πβ² =πππ π½
0βπ ππ π½
010
π ππ π½0
πππ π½π π₯ πΎ = πβ² πβ² πβ² =
100
0πππ πΎ
π ππ πΎ
0βπ ππ πΎ
πππ πΎ
Paolo Lino
Esempio 1
a
-p'sen(a)p'cos(a)
a
p = p'cos(a) - p'sen(a)
Si considerino due terne con origine comune
ruotate tra loro di un angolo a attorno allβasse
π§. Sia, poi, π un punto del piano π₯ β π¦.
Il punto π nel sistema ruotato avrΓ coordinate
πβ² β‘ ππ₯β² , ππ¦
β² , ππ§β² .
La rappresentazione dello stesso punto π nel
sistema di riferimento sarΓ :
essendo π e πβ² i vettori rappresentativi del
punto P nei due sistemi.
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
ππ₯
ππ¦
ππ§
=πππ πΌπ ππ πΌ
0
βπ ππ πΌπππ πΌ
0
001
ππ₯β²
ππ¦β²
ππ§β²
π = π π§ πΌ πβ²
ππ₯ = ππ₯β² πππ πΌ β ππ¦
β² π ππ πΌ
ππ¦ = ππ₯β² π ππ πΌ + ππ¦
β² πππ πΌ
ππ§ = ππ§β²
Paolo Lino
Si consideri un vettore π, ottenuto ruotando un vettore
πβ² nel piano π₯ β π¦ di un angolo πΌ attorno allβasse π§ della
terna di riferimento in cui esso Γ¨ espresso.
Dette ππ₯β² , ππ¦
β² , ππ§β² le coordinate del vettore πβ², il vettore π
risultante dalla rotazione ha componenti:
Ξ±
P
Pβ
pβx
pβy
py
pxx
y
z
p
pβ
Ξ± Ξ±
P
Pβ
pβx
pβy
py
pxx
y
xβ
yβ
pβypβx
zzβ
π = π π§ πΌ πβ²
Esempio 2
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
ππ₯ = ππ₯β² πππ πΌ β ππ¦
β² π ππ πΌ
ππ¦ = ππ₯β² π ππ πΌ + ππ¦
β² πππ πΌ
ππ§ = ππ§β²
ππ₯
ππ¦
ππ§
=πππ πΌπ ππ πΌ
0
βπ ππ πΌπππ πΌ
0
001
ππ₯β²
ππ¦β²
ππ§β²
Paolo Lino
Fornisce lβorientamento di una terna di coordinate rispetto ad unβaltra. I
vettori colonna sono i coseni direttori degli assi della terna ruotata
rispetto alla terna di riferimento.
Rappresenta una trasformazione di coordinate che mette in relazione
le coordinate di un punto in due terne differenti con origine comune
π = π πβ². Inoltre in virtΓΉ della proprietΓ di ortogonalitΓ della matrice π ,
la trasformazione inversa si scrive πβ² = π ππ
La matrice di rotazione π rappresenta lβoperatore che permette di
ruotare un vettore (nella stessa terna), di un angolo prefissato, attorno
ad un generico asse di rotazione nello spazio.
Significato geometrico della matrice di rotazione
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Composizione di matrici di rotazione
Siano assegnate tre terne di coordinate π β π₯0π¦0π§0, π β π₯1π¦1π§1 e π β π₯2π¦2π§2 aventi origini
comuni π. Il vettore π rappresentativo di un generico punto nello spazio puΓ² essere
rappresentato in ciascuna delle tre terne.
Siano ππ, ππ, e ππ i vettori rappresentativi di π nei tre sistemi.
Nel seguito, lβapice di un vettore o di una matrice indica la terna in cui sono espressi i
suoi elementi
Indichiamo con π ππ
la matrice di rotazione della terna π rispetto alla terna π.
La matrice di rotazione di un sistema rispetto ad un altro puΓ² essere espressa mediante
la composizione di matrici di rotazione rappresentanti rotazioni successive dello stesso
sistema
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π0 = π 10π1
π0 = π 20π2
π1 = π 21π2
π0 = π 10π 2
1π2
π0 = π 20π2
π 20 = π 1
0π 21
Paolo Lino
Siano πβ π₯π¦π§, πβ² β π₯β²π¦β²π§β² e πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² tre terne, che per il momento supponiamo
coincidenti.
Ruotiamo contemporaneamente attorno allβasse π§ due sistemi πβ² β π₯β²π¦β²π§β² e
πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² dellβangolo πΌβ². La matrice di rotazione che esprime questa rotazione
sarΓ :
Rotazioni successive rispetto alla terna corrente
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Ruotiamo adesso attorno allβasse π§ il sistema πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² dellβangolo πΌβ²β², rispetto alla
terna corrente πβ² β π₯β²π¦β²π§β². La rotazione del sistema πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² rispetto alla terna
πβ² β π₯β²π¦β²π§β² si esprime con la relazione:
π 10 =
πππ πΌβ²
π ππ πΌβ²
0
βπ ππ πΌβ²
πππ πΌβ²
0
001
π 21 =
πππ πΌβ²β²
π ππ πΌβ²β²
0
βπ ππ πΌβ²β²
πππ πΌβ²β²
0
001
Paolo Lino
La rotazione totale della terna πβ π₯π¦π§ di un angolo πΌ attorno allβasse π§, quindi, puΓ² essere
espressa come composizione delle matrici di rotazione rappresentativa della prima
rotazione con la matrice di rotazione rappresentativa della seconda rotazione rispetto alla
terna giΓ ruotata , infatti:
Rotazioni successive rispetto alla terna corrente
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π 20 =
πππ πΌπ ππ πΌ
0
βπ ππ πΌπππ πΌ
0
001
=πππ πΌβ² + πΌβ²β²
π ππ πΌβ² + πΌβ²β²
0
βπ ππ πΌβ² + πΌβ²β²
πππ πΌβ² + πΌβ²β²
0
001
π 10π 2
1 =πππ πΌβ²
π ππ πΌβ²
0
βπ ππ πΌβ²
πππ πΌβ²
0
001
πππ πΌβ²β²
π ππ πΌβ²β²
0
βπ ππ πΌβ²β²
πππ πΌβ²β²
0
001
π 10π 2
1 =πππ πΌβ² πππ πΌβ²β² β π ππ πΌβ² π ππ πΌβ²β²
π ππ πΌβ² πππ πΌβ²β² + πππ πΌβ² π ππ πΌβ²β²
0
βπππ πΌβ² π ππ πΌβ²β² β π ππ πΌβ² πππ πΌβ²β²
βπ ππ πΌβ² π ππ πΌβ²β² + πππ πΌβ² πππ πΌβ²β²
0
001
π 10π 2
1 =πππ πΌβ² + πΌβ²β²
π ππ πΌβ² + πΌβ²β²
0
βπ ππ πΌβ² + πΌβ²β²
πππ πΌβ² + πΌβ²β²
0
001
Paolo Lino
Si noti che la rotazione complessiva Γ¨ espressa come successione
di rotazioni parziali, ciascuna delle quali Γ¨ definita rispetto alla
rotazione precedente. La terna rispetto alla quale avviene la
rotazione in atto Γ¨ definita terna corrente.
In conclusione, la composizione di rotazioni successive rispetto alla
terna corrente si ottiene per moltiplicazione da sinistra verso destra
le matrici delle singole rotazioni, nellβordine della rotazione.
Rotazioni successive rispetto alla terna corrente
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Rotazioni successive rispetto alla terna corrente
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
PoichΓ© dobbiamo fare riferimento alla terna base, supponiamo che i due sistemi
πβ² β π₯β²π¦β²π§β² e πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² abbiano subito le loro rotazioni. Seguiamo allora i seguenti
passi:
β’ Esprimiamo la rotazione della terna πβ² β π₯β²π¦β²π§β² rispetto alla terna di riferimento,
mediante la rotazione π 10.
β’ Riallineiamo la terna πβ² β π₯β²π¦β²π§β² con la terna π β π₯π¦π§ mediante la rotazione π 01
β’ Essendo, adesso, le due terne allineate, si esprime la rotazione della terna πβ² β π₯β²π¦β²π§β²
per sovrapporla alla terna πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² mediante la matrice π 21
β’ Infine si compensa la rotazione effettuata per il riallineamento con la rotazione inversa
π 10
Matrice che caratterizza la terna πβ²β² β π₯β²β²π¦β²β²π§β²β² rispetto alla terna
πβ π₯π¦π§, ottenuta da rotazioni successive riferite alla terna fissa
Rotazioni successive rispetto alla terna corrente
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π 20
Paolo Lino
In conclusione, la composizione di rotazioni successive
rispetto ad una terna fissa si ottiene moltiplicando da destra
verso sinistra le singole matrici di rotazione nellβordine delle
rotazioni.
Rotazioni successive rispetto alla terna corrente
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π 20 = π 1
0π 01 π 2
1π 10 = πΌ π 2
1π 10 = π 2
1π 10
Paolo Lino
Importanza dellβordine delle rotazioni
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Rotazioni rispetto ad una terna fissa
Paolo Lino
Importanza dellβordine delle rotazioni
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Rotazioni rispetto alla terna corrente
Paolo Lino
Rotazione intorno ad un asse arbitrario
Sovrapposizione di π su π§, che si ottiene come successione di rotazioni di βπΌintorno a π§ e di una rotazione di βπ½ intorno a π¦
Rotazione di π intorno a π§
Ripristino dellβorientamento iniziale di π, che si ottiene come successione di una
rotazione di π½ attorno allβasse π¦ e di una rotazione πΌ attorno allβasse π§.
)()()()()()( abba zyzyzr RRRRRR
x
z
y
r
-r
ry
rx
rz
Ξ±
Ξ²
ΞΈ
-ΞΈ A
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Rotazione intorno ad un asse arbitrario
) )
)
)
)
)
)
)22
22
22
22 cos
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
yx
x
yx
y
z
yx
yx
x
y
z
rr
r
rr
r
r
rr
rrA
Ar
Ar
r
A
a
a
b
b
a
a
b
b
)
) ) )
) ) ) ) ) )
ccrsrcrrsrcrr
srcrrccrsrcrr
srcrrsrcrrccr
R
zxzyyzx
xzyyzyx
yzxzyxx
r
111
111
111
2
2
2
Osserviamo che vale la relazione: π βπ βπ = π π π
Questo dimostra che la rappresentazione non Γ¨ univoca, poichΓ© una rotazione
di βπ intorno a βπ provoca gli stessi effetti della rotazione di π attorno ad π.
x
z
y
r
-r
ry
rx
rz
Ξ±
Ξ²
ΞΈ
-ΞΈ A
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Rotazione intorno ad un asse arbitrario: Problema inverso
β’ Per π ππ π β 0 le due espressioni caratterizzano la rotazione in termini di
quattro parametri: lβangolo e le tre componenti del vettore π. Tuttavia si puΓ²
osservare che le tre componenti del vettore non sono linearmente
indipendenti, poichΓ© ππ₯2 + ππ¦
2 + ππ§2 = 1.
β’ Se π ππ π = 0 le relazioni trovate perdono di significato. Per il problema
inverso occorre fare riferimento alla particolare matrice di rotazione ed
individuare le formule risolutive nei due casi π = 0 e π = π. Si noti che per
π = 0 (rotazione nulla) il versore π Γ¨ arbitrario.
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π =
π11π21π31
π12π22π32
π13π23π33
Problema inverso
π = πΆππβ1π11 + π22 + π33 β 1
2
π =1
2π ππ π
π32 β π23π13 β π31π21 β π12
Paolo Lino
Quaternione unitario
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Gli inconvenienti della descrizione asse e angolo possono essere superati
ricorrendo ad una rappresentazione a quattro parametri: il quaternione
unitario
π = π, π
π = πππ π
2
π =
ππ₯
ππ¦
ππ§
= π πππ
2π
parte scalare
parte vettoriale
π2 + ππ₯2 + ππ¦
2 + ππ§2 = 1 vincolo
π π, π =
2 π2 + ππ₯2 β 1 2 ππ₯ππ¦ β πππ§ 2 ππ₯ππ§ + πππ¦
2 ππ₯ππ¦ + πππ§ 2 π2 + ππ¦2 β 1 2 ππ¦ππ§ β πππ§
2 ππ₯ππ§ β πππ¦ 2 ππ¦ππ§ + πππ§ 2 π2 + ππ§2 β 1
Paolo Lino
Quaternione unitario: Problema inverso
β’ Si Γ¨ implicitamente assunto π β₯ 0, ovvero π β βπ, π , il che consente di
descrivere qualsiasi rotazione
β’ A differenza della soluzione inversa del problema asse e angolo, le formule
non presentano singolaritΓ
β’ Il quaternione estratto da π β1 = π π, indicato con π βπ, puΓ² essere calcolato
come π βπ = π,βπ
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π =
π11π21π31
π12π22π32
π13π23π33
Problema inverso
π =1
2π11 + π22 + π33 + 1
π =1
2
π ππ π32 β π23 π11 β π22 β π33 + 1
π ππ π13 β π31 π22 β π33 β π11 + 1
π ππ π21 β π12 π33 β π11 β π22 + 1
Paolo Lino
Le matrici di rotazione forniscono una descrizione ridondante
dellβorientamento di una terna: 9 elementi legati tra loro da 6 vincoli di
ortogonalitΓ .
Rappresentazioni minime dellβorientamento
000
111
ikkjji
kkjjii
TTT
TTT
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
I parametri effettivi per la descrizione di un orientamento sono 3. Una
descrizione in termini di 3 parametri indipendenti costituisce una
rappresentazione minima (e.g. 3 angoli).
Una generica matrice di rotazione puΓ² essere ricavata per composizione di
tre rotazioni elementari secondo opportune sequenze, in modo da garantire
che due rotazioni successive non avvengano intorno ad assi paralleli (12
possibili combinazioni). Ciascun insieme di tre angoli rappresenta una
terna di angoli di Eulero
Paolo Lino
Angoli di Eulero
Rappresentazioni minime dellβorientamento
Rappresentazione di angoli di Eulero ZYZ
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Si ruota la terna originale dellβangolo
π attorno allβasse π§
Angoli di Eulero ZYZ
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Si ruota la terna, ruotata, dellβangolo
attorno allβasse corrente π¦β²
Si ruota ancora la terna, ruotata,
dellβangolo π attorno allβasse
corrente π§β²β²
π π§ π =πππ π
π ππ π0
βπ ππ π
πππ π0
001
π π¦β² π =πππ π
0βπ ππ π
010
π ππ π0
πππ π
π π§β²β² π =πππ π
π ππ π0
βπ ππ π
πππ π0
001
Paolo Lino
Lβorientamento finale della terna, che si ottiene con la composizione di
rotazioni definite rispetto alla terna corrente Γ¨:
Angoli di Eulero ZYZ
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π πΈππΏ = π π§ π π π¦β² π π π§β²β² π =
ππππππ β π ππ π βπππππ π β π πππ πππ ππ πππππ + πππ π βπ ππππ π + ππππ π ππ π
βπ πππ π πππ ππ
Paolo Lino
Angoli di Eulero ZYZ: Problema inverso
π = ππ‘ππ2 π23, π13
π = ππ‘ππ2 π132 + π23
2 , π33
π = ππ‘ππ2 π32, βπ31
π = ππ‘ππ2 βπ23, βπ13
π = ππ‘ππ2 β π132 + π23
2 , π33
π = ππ‘ππ2 βπ32, π31
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π =
π11π21π31
π12π22π32
π13π23π33
Si possono ricavare due soluzioni in
funzione del valore di π:
π β 0, π π β βπ, 0
Le due soluzioni ricavate degenerano
quando π ππ π = 0 ; in questo caso Γ¨
possibile determinare soltanto la somma o la
differenza di π e π. Infatti, se π = 0, π , le
rotazioni successive di π e π sono effettuate
intorno ad assi di terna corrente paralleli fra
di loro, fornendo così effetti di rotazione
equivalenti.
π β 0, π
π β βπ, 0
Problema inverso
π πΈππΏ =
ππππππ β π ππ π βπππππ π β π πππ πππ ππ πππππ + πππ π βπ ππππ π + ππππ π ππ π
βπ πππ π πππ ππ
Paolo Lino
Tale rappresentazione trae origine da una descrizione delle rotazioni usate
frequentemente in nautica ed aeronautica.
Lβacronimo RPY indica, rispettivamente, il rollio (Roll), il beccheggio (Pitch),
e lβimbardata (Yaw).
In questo caso, la terna di parametri rappresenta rotazioni definite rispetto ad
una terna fissa solidale al baricentro.
Angoli RPY
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Paolo Lino
Si ruota la terna origine dellβangolo πintorno allβasse π₯ (imbardata)
Angoli RPY
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Si ruota la terna originale dellβangolo πintorno allβasse π§ (rollio)
Si ruota la terna originale dellβangolo πintorno allβasse π¦ (beccheggio)
π π§ π =πππ π
π ππ π0
βπ ππ π
πππ π0
001
π π¦ π =πππ π
0βπ ππ π
010
π ππ π0
πππ π
π π₯ π =100
0πππ π
π ππ π
0βπ ππ π
πππ π
Paolo Lino
Angoli RPY
La rotazione globale della terna, essendo ottenuta per composizione rispetto
ad una terna fissa, Γ¨:
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π π ππ = π π§ π π π¦ π π π₯ π =
ππππ πππ ππ π β π πππ πππ πππ + π ππ ππ πππ βπ ππ ππ π + ππππ π ππ πππ β πππ πβπ π πππ π ππππ
Paolo Lino
Angoli RPY: Problema inverso
π = ππ‘ππ2 π21, π11
π = ππ‘ππ2 βπ31, π322 + π33
2
π = ππ‘ππ2 π32, π33
π = ππ‘ππ2 βπ21, βπ11
π = ππ‘ππ2 βπ31, β π322 + π33
2
π = ππ‘ππ2 βπ32, βπ33
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π βπ
2,3
2π
π β βπ
2,π
2
π =
π11π21π31
π12π22π32
π13π23π33
Si possono ricavare due soluzioni in
funzione del valore di π:
π β βπ
2,π
2π β
π
2,3
2π
Le due soluzioni ricavate degenerano
quando πππ π = 0 ; in questo caso Γ¨
possibile determinare soltanto la somma o
la differenza di π e π.
Problema inverso
π π ππ =
ππππ πππ ππ π β π πππ πππ πππ + π ππ ππ πππ βπ ππ ππ π + ππππ π ππ πππ β πππ πβπ π πππ π ππππ
Paolo Lino
Trasformazioni omogenee
Trasformazione di coordinate
Trasformazione inversa
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
π0 = π10 + π 1
0π1
π1 = βπ 01π1
0 + π 01π0
π1 = β π 10 ππ1
0 + π 10 ππ0
Paolo Lino
Coordinate omogenee
matrice di trasformazione omogenea
1010
0
1
1
0
1
00
1
0
1
0
11
0 TT
TToRRoRR
Atrasformazione inversa
Si osserva che in generale Γ¨ π΄β1 β π΄π. Inoltre, se le terne hanno la stessa
origine, essendo π10 = 0 0 0 π, essa si riduce alla semplice matrice di rotazione.
π΄10 =
π 10 π1
0
0π 1
π0 = π10 + π 1
0π1 π0 = π΄10 π1
π =π1
=
ππ₯
ππ¦
ππ§
1
π0 = π΄10π΄2
1 β―π΄ππβ1 ππ
Controllo dei Robot
Corso di Controllo dei Robot
Successione di trasformazioni consecutive di coordinate
Paolo Lino
Esempio
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