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Grandezze scalariSono grandezze caratterizzate soltanto da un numero.Esempi:Massa numero costante che non cambiaTemperatura numero variabile
Grandezze vettorialiSono caratterizzate da:- modulo- direzione- versoEsempi:Vettore spostamento, velocita', accelerazioneVettore forzaQueste grandezze possono essere costanti o variabili
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Esempio di grandezza vettoriale: spostamento rettilineo
La frase “spostamento di 1 metro a partire dal punto O” non e'univoca: il punto di arrivo puo' essere un qualsiasi punto dellacirconferenza di centro O e raggio un metro.
1m1m
1m
Ci sono infinite soluzioni
Se oltre al modulo “1 m” si precisa la direzione si hanno due soluzioni:
O
O
Se si precisa anche il verso si ha una sola soluzione: O
Solo cosi' e' chiaro da dove si parte e dove si arriva
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Rappresentazione di un vettore
Un vettore e' rappresentato da un segmento orientatoe/o da una lettera con una freccia sopra e/o una lettera in grassetto v
v
Vettore unitario: versore
Il vettore di modulo unitario o individua una direzione orientata, cioe' una direzione e un verso e il modulo di , indicato come o , e' uguale a 1 ( =1 )
u
v
uu ∣u∣ ∣u∣
u
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Rappresentazione Cartesiana di un vettore
ux
u y
vv y
v x
θ
v=v x+ v y=v x ux+v y u y
sono i vettori componenti v x v y
v x v ye sono le componenti cartesiane del vettore
v
Dal grafico si ricava:
v x=v cosθ v y=v sinθv=√v x2+v y2
tan (θ)=v yv x
Esempio: se e forma un angolo con asse x: v=3 u θ=60o
v x=3cos(60)=1.5 v y=3sin(60)=2.6v=3v=v x+ v y=v x ux+v y u y=1.5 u x+2.6 u y
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Operazioni con i vettori
Somma e differenza di vettori
Dati due vettori e si definisce somma dei due vettori la diagonale del parallelogramma formato dai vettori e
Dati due vettori qualsiasi
Si riportano alla stessa origine
Si costruisce il parallelogramma
ba aba b
ab
ab
a
bab
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-
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Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
ha la stessa direzione di , verso uguale o opposto ad a seconda del segno di m, ha modulo uguale al prodotto delmodulo di per il modulo di m. Se m=-1 si ritrova il vettore opposto.Questo implica che si puo' sempre scrivere:
b=ma
b=±bu
b a a
a
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Prodotto scalare
Dati due vettori e si definisce prodotto scalare a b
)a
bθ
a⋅b=abcos(θ)=acos(θ)b=b⋅a
Questo puo' anche essere visto come modulo del primo vettore perla componente scalare del secondo lungo la direzione del primo
)a
bθ
bcos(θ)
Se θ=0 a⋅b=ab Se θ=90o => due vettori sono ortogonali a⋅b=0
a⋅b
In rappresentazione cartesiana: a=ax u x , a y u y b=(bx ux , b y u y)
a⋅b=a xbxa yb y Il prodotto scalare e' la somma dei prodotti delle componenti
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Prodotto vettorialeDati due vettori e si definisce prodotto vettoriale tra e il vettore ortogonale sia ad che a tale che dove θ (θ<π) e' l'angolo tra e mentre e' il versore che determina la direzione del prodotto vettoriale che e' ortogonale sia ad che a . Il verso del vettore e' tale che e
a b
c=a×b=u ab sin (θ)ac
a b
a b u
a b
a
b
c
)
a
bθ
c
c
b
a b c
formano una terna levogira, cioe' rispetto ad un osservatore disposto secondo il vettore si sovrappone a ruotando in senso antiorario di un angolo θ<π
c a b
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Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane
Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli e' nullo in particolare
c=∣u x u y uza xa y azb xb y bz
∣=ux (a yb z−az b y)−u y (ax bz−az bx)+u z(ax b y−a y bx)In coordinate cartesiane si ottiene come determinante della matrice:
Proprieta' algebrichea×b=−b×ak a×b=k a×b=a×k b
ac ×b=a×bc×b
a×a=0
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Dato il vettore quale e' la sua componente lungo P=2 u x ,1 u yQ=1 ux ,3 u y
Esercizi:
Si determini m in modo tale che il vettore siaperpendicolare al vettore
A=m u x ,2 u yB=8 u x ,12 u y
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