vettori in matematica grandezze fisiche...differenza di vettori •!È l’operazione inversa della...

Vettori

Progetto CO-META Ravenna, ITIS Nullo Baldini, 16 febbraio 2011

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

Vettori

•! Un vettore è una entità matematica astratta: –! Utilizzata per rappresentare entità fisiche concettualmente

molto diverse tra loro, quali: •! Spostamento rettilineo di un punto; •! Velocità; •! Accelerazione; •! Quantità di moto; •! Momento della quantità di moto; •! Forza; •! Momento di una forza; •! Campo elettrico; •! Campo magnetico; •! Momento di dipolo elettrico; •! Momento di dipolo magnetico; •! Densità di corrente.

2!DOMENICO GALLI - Vettori!

Vettori in Matematica

•! In matematica un vettore è un elemento di una particolare struttura algebrica, denominata Spazio Vettoriale.

•! Struttura algebrica: insieme S (chiamato insieme sostegno) munito di una o più leggi di composizione (operazioni), le quali: –! Possono essere, unarie, binarie, ecc. –! Sono caratterizzate dall'avere proprietà quali commutatività e

associatività, ecc. •! Le entità matematiche sono spesso astrazioni di entità

concrete utilizzate nelle scienze sperimentali (fisica, biologia, economia, ecc.): –! I vettori sono astrazioni di entità concrete utilizzate

soprattutto nella fisica (spostamento rettilineo di un punto, forza, ecc.).


Grandezze Fisiche

•! Grandezze scalari: completamente specificate assegnando un valore numerico e una unità di misura. –! Esempi: lunghezza, tempo, superficie, volume, massa, densità,

temperatura, carica elettrica, densità di carica, potenziale, lavoro, energia, flusso, intensità di corrente, resistenza, resistività, capacità, induttanza, impedenza, ecc.

•! Grandezze vettoriali: completamente specificate assegnando un valore numerico (detto norma o modulo), una direzione, un verso e una unità di misura. –! Esempi: spostamento rettilineo di un punto, velocità, accelerazione,

quantità di moto, momento della quantità di moto, forza, momento di una forza, campo elettrico, campo magnetico momento di dipolo elettrico, momento di dipolo magnetico, densità di corrente, ecc.

•! Grandezze tensoriali: la loro specificazione è ancora più complicata –! Esempi: rotazione, tensore di inerzia, tensore degli sforzi, tensore

energia-impulso del campo elettromagnetico, tensore di curvatura, ecc.


Vettori in Fisica

•! In fisica si distinguono 2 diversi tipi di vettore: –! Vettori ordinari:

•! Non è definito un particolare punto si applicazione. •! Esempio: spostamento rettilineo di un punto.

–! Vettori applicati: •! Insieme di un vettore ordinario e di un punto di applicazione. •! Esempio: forza.

DOMENICO GALLI - Vettori! 5!

Vettori in Fisica (II)

•! In fisica si classificano i vettori in 2 categorie a seconda del loro comportamento per riflessione speculare: –! Vettori polari:

•! Cambiano verso i vettori perpendicolari allo specchio. •! Esempio: spostamento rettilineo di un punto, forza, campo elettrico.

–! Vettori assiali (o pseudo-vettori): •! Cambiano verso i vettori paralleli allo specchio. •! Esempio: campo magnetico, momento di una forza, momento della

quantità di moto.


Vettori polari Vettori assiali

Definizione di Vettore (I)

•! Prototipo: spostamento rettilineo di un punto. –! Spostamento di un punto da A a B

segmento orientato che congiunge A con B. –! Esistono infiniti segmenti orientati che

rappresentano spostamenti rettilinei di egual lunghezza, paralleli ed equiversi. •! Chiamiamo vettore il “quid” comune a tali

segmenti orientati (Vailati-Enriquez). •! Oppure, definiti equipollenti due segmenti

orientati di egual lunghezza, paralleli ed equiversi, definiamo vettore la classe di equivalenza dei segmenti orientati rispetto alla relazione di equipollenza (Frege-Russel).

!v

!v

A

B

C

D

E

F

!v = v = v = vNotazioni equivalenti:

1!1su" #$$


!v = B ! A" !""""

= D !C" !"""""

= F ! E" !"""""

possono essere utilizzate nei testi scritti a mano

Definizione di Vettore (II)

•! Norma (o modulo): distanza tra origine A e vertice B. Si indica con .

•! Direzione: orientamento nello spazio della retta su cui giace il segmento orientato AB.

•! Verso: senso di percorrenza.

Medesima direzione, medesimo verso, norme diverse.

Medesima norma direzione diversa.

Medesima norma, medesima direzione, verso opposto.

!v = !v = v


Uguaglianza di Vettori

•! Due vettori si dicono uguali se, e soltanto se, hanno: –! la medesima norma, –! la medesima direzione, –! il medesimo verso.

•! Se due vettori non sono uguali si dicono disuguali, ma non è possibile definire una relazione d’ordine in quanto non si può trovare un criterio per affermare che un vettore è maggiore o minore di un altro.


Vettore Opposto e Vettore Nullo

•! Dato un vettore , si definisce vettore opposto un vettore avente stessa direzione, stessa norma ma verso opposto.

•! Si chiama vettore nullo un vettore che ha norma nulla (in questo caso direzione e verso sono indeterminati).

!v !

!v

!v

!!v

!0


Versori

•! Si chiamano versori i vettori di norma unitaria. •! Per ogni vettore non nullo esiste un versore che ha

la stessa direzione orientata.

!v


v

!vv

v

1

!a !b

!ca b c

v = vers !v

Componente di un Vettore Rispetto a una Direzione (I)

•! Dato un vettore e una qualsiasi direzione orientata u, si definisce la componente di su u e si indica con il prodotto della norma di per il coseno dell’angolo ! che il vettore forma con la direzione orientata u.

!v

v!

uvv!

! u

!v

vu > 0

!

u

!v

vu < 0


vu =

!v cos!

Componente di un Vettore Rispetto a una Direzione (II)

•! Dato un vettore e una qualsiasi direzione orientata u, si definisce il componente di su u e si indica con il vettore che ha per norma il valore assoluto della corrispondente componente e per verso: lo stesso verso di u se ; il verso contrario se .

!v

!v

!vu

vu

vu > 0 vu < 0

! u

v!

uv!

!

u

v!

uv!


!vu = vu = !v cos!

Componente di un Vettore Rispetto a un Altro Vettore o a un Versore

•! Si definisce il componente o la componente di un vettore su un altro vettore (o su un versore ) come il componente o la componente di rispetto alla direzione orientata di o .

!u

!v u

!"

v!

!vu

u!


!u

!v u

Somma di Vettori

•! Prototipo: spostamento rettilineo di un punto. •! Se considero due spostamenti successivi dello stesso

punto: prima da A a B, poi da B a C. •! Il risultato (somma dei due vettori) è lo spostamento

da A a C (regola del triangolo):

A

B

C

a!

b!

a b+!!


Ovvero, indicando:

Sarà:

!a = B ! A" !""""

,!b = C ! B" !""""

!a +!b = C ! A" !""""

C ! A! "!!!!

= C ! B! "!!!!

+ B ! A! "!!!!

Regola del Parallelogrammo

•! La somma è la diagonale del parallelogrammo ABCD, avente per lati i segmenti orientati e .

a!

b!

b!

!a +!b

A

C B

D


!a +!b = C ! A" !""""

B ! A! "!!!!

D ! A! "!!!!!

Proprietà Commutativa della Somma di Vettori

!a

!b

!a +!b

!a +!b =!b + !a

!a

!b

!b + !a


Proprietà Associativa della Somma di Vettori


!a +!b( ) + !c = D ! A

" !"""""

!a +!b + !c( ) = D ! A

" !""""""#$

%$& !a +

!b( ) + !c = !a + !b + !c( )b!

c!!b + !ca! !a +

!b

!a +!b + !cA

B C

D

Rotazioni (I)

•! Una traslazione è rappresentata da un vettore. •! Una rotazione è essa pure rappresentata da un vettore?

(vedremo che la risposta è NO). •! Tuttavia, a prima vista potremmo pensare di

rappresentare una rotazione mediante: –! Una direzione (asse di rotazione); –! Un numero (angolo di rotazione); –! Un verso (a seconda che la rotazione avvenga in senso orario o

antiorario).


Rotazioni (II)

•! Verifichiamo se le rotazioni godono della proprietà commutativa:

x y

z 90º asse z

90º asse x

90º asse z

90º asse x

•! Il risultato è diverso se si scambia l’ordine delle rotazioni.

•! Non vale la proprietà commutativa

•! Le rotazioni non sono rappresentate da vettori (sono rappresentate da tensori).


Differenza di vettori

•! È l’operazione inversa della somma. •! Dati due vettori e si chiama differenza fra e

e si indica con quel vettore che sommato a dà come risultato .

!a

!b

!a !!b

O

A

B

!a

!b

!a !!b


!a

!b

!b

!a

!a = A!O" !""""

!b = B !O" !""""

!a !!b = A! B" !""""

Disuguaglianza Triangolare

•! La norma della somma (o della differenza) di due vettori è in generale diverso dalla somma (o dalla differenza) delle norme.

•! Per la disuguaglianza triangolare si ha:

O

A

B

a!

b!

a b!!!

A

B

C

a!

b!

a b+!!

a > b + c( )

b c

a < b ! c( ) b c


!a !!b " !a +

!b " !a +

!b

!a !!b " !a !

!b " !a +

!b

Prodotti tra Vettori e Scalari

•! Prodotto di un vettore per uno scalare:

•! Prodotto scalare tra due vettori:

•! Prodotto vettoriale tra due vettori:


! "!"a "V

#$%

"c = ! "a "V

! = insieme dei numeri realiV = spazio vettoriale!"#$

!a !V!b !V

"#$c = !a i

!b !"

!a !V!b !V

"#$

!c = !a %!b !V

Prodotto di un Vettore per uno Scalare

•! Si può definire il prodotto di un numero naturale n per un vettore come una somma ripetuta

•! Generalizzando, si definisce prodotto di un numero reale ! e un vettore e si indica con il simbolo il vettore che ha per norma il prodotto , per direzione la stessa direzione di , e, per verso, lo stesso verso di se ! > 0, il verso contrario se ! < 0.

!a + !a + !a + ...+ !an volte

" #$$ %$$ = n!a

!a !

!a

! !a

!a

!a

!a

2!a 3

!a

! "!"a "V

#$%! "a "V

!a


! = insieme dei numeri realiV = spazio vettoriale!"#$

Prodotto di un Vettore per uno Scalare (II)

•! Il prodotto di un vettore per uno scalare è commutativo, associativo, distributivo, sia rispetto alla somma di scalari, sia rispetto alla somma di vettori.

! !a = !a!! " !a( ) = !"( ) !a! + "( ) !a = ! !a + " !a

! !a +!b( ) = ! !a +!

!b

#1( ) !a = # !a

!a 1!a

= a = vers !a

! ," #!"a,"b #V

$%&


Prodotto Scalare fra Due Vettori

•! Associa a due vettori uno scalare (p. es., associa a forza e spostamento il lavoro).

•! Si definisce prodotto scalare di due vettori e , e si indica col simbolo il prodotto della norma di uno dei due vettori per la componente dell’altro nella sua direzione.

!a !V!b !V

"#$

!a i!b !"

a b!!

a b!!i

ab = acos!ba = bcos!

"#$

%$&

ab b = acos!( )baba = a bcos!( )

"#$

%$a!

b!

ba

!"

a!

b!

ab

!"

!a i!b = 0 !

!a = 0 oppure!b = 0 oppure!a "!b

#

$%

&%


!a i!b = ab b = aba

!a i!b = !a

!b cos! = abcos!

Prodotto Scalare fra due Vettori (II)

•! Il prodotto scalare gode delle proprietà commutativa e distributiva rispetto alla somma di vettori.

!a i!b =!b i!a

!a +!b( )i !c = !a i

!c +!b i!c

m!a( )i !b = !a i m!b( ) = m !a i

!b( )

!a,!b, !c !V

m !""#$


Componente di un Vettore nella Direzione di un Versore o di un Altro Vettore

•! La componente e il componente di un vettore nella direzione del versore si possono scrivere:

•! La componente e il componente di un vettore nella direzione del vettore generico si possono scrivere:

v!

!v

u

!u

!v

vu > 0 u!

!v

!vu

! u


vu =

!v i u !

vu =!v i u( )u

vu =!v i!u!u

!vu =

!v i!u!u

!u!u

=!v i!u( ) !u!u

2

Quadrato e Norma di un Vettore

•! Si chiama quadrato di un vettore il prodotto scalare di un vettore per se stesso:

•! La norma (o modulo) di un vettore si può perciò scrivere:

!a2 = !a i

!a = !a !a cos0 = !a2


!a = !a2 = !a i

!a

v = vers !v =1!v

scalare"!v

vettore"

Versori

•! Il versore associato al vettore si può scrivere: !v


Prodotto di un vettore per uno scalare

!vv

v

1

v

Inverso dello scalare !v

Norma della Somma e della Differenza

!a

!b

!a +!b

!"

!a

!b

!a !!b

!"

!a +!b = !a +

!b( )2 = !a +

!b( )i !a + !b( ) =

= !a i !a + !a i!b +!b i !a +

!b i!b

!a !!b = !a !

!b( )2

= !a !!b( )i !a !

!b( ) =

= !a i!a ! !a i

!b !!b i!a +!b i!b


!a !!b = a2 + b2 ! 2abcos"

!a +!b = a2 + b2 + 2abcos!

Prodotto Vettoriale fra due Vettori

•! Si definisce prodotto vettoriale tra due vettori e , e si indica , il vettore che ha per norma l’area del parallelogrammo formato dai vettori e , di direzione perpendicolare a entrambi i vettori e verso determinato dalla “regola della mano destra” (pollice: primo vettore; indice: secondo vettore; medio: prodotto vettoriale).

!a

!b

!a !!b

!a !b

!a !!b

!a !b

b!

!"a!

!a sin!

!a !V!b !V

"#$

!a %!b !V

!a !!b =!0 "

!a = 0 oppure!b = 0 oppure!a "!b

#

$%

&%

!a !!b =

!b !a sin"( )


!a !!b = !a

!b sin"

Prodotto Vettoriale fra due Vettori (II)

DOMENICO GALLI - Vettori!

•! Il prodotto vettoriale gode delle proprietà anticommutativa e distributiva rispetto alla somma e alla differenza di vettori.

!a,!b, !c !V

m !""#$

m!a( )! !b = !a ! m!b( ) = m !a !

!b( )

!a ±!b( )! !c = !a ! !c ±

!b ! !c

33!

!a !!b = "

!b ! !a

Doppio Prodotto Misto

•! È dato da: •! È uguale, a meno del segno, al volume del

parallelepipedo avente per lati •! Tale parallelepipedo ha per base e altezza:

!a

!b

!c

!a !!b

!c ivers !a !

!b( )

!a,!b e !c.

B = !a !!b

h = !c ivers !a !!b( )"#$

%$&V = !a !

!b vers !a !

!b( )

!a!!b

" #$$$ %$$$i!c


!a !!b i!c

V = !a !

!b i!c

Doppio Prodotto Misto (II)

•! Il doppio prodotto misto ha le seguenti proprietà:


•! La prima segue dal fatto che nei 3 casi il volume è il medesimo.

•! La seconda si ottiene utilizzando la prima e la proprietà commutativa del prodotto scalare:

!a !!b( )i !c =

!b ! !c( )i !a = !a i

!b ! !c( )

!a !!b i!c =!b ! !c i

!a = !c ! !a i!b

!a !!b i!c = !a i

!b ! !c

Dal Calcolo Vettoriale ai Teoremi sui Triangoli

•! Teorema di Carnot o dei coseni:

•! Teorema dei seni:

•! Teorema delle proiezioni:


a! b!

c!#"

$"%"

!b = !c ! !a "

!b 2 = !c ! !a( )2 = !c ! !a( )i !c ! !a( ) = !c 2 + !a2 ! 2 !a i !c

b2 = c2 + a2 ! 2accos#

!a +!b = !c ! !a +

!b( )" !b = !c " !b ! !a "

!b +!b "!b

=0" = !c "

!b

!a "!b = !c "

!b ! absin# = cbsin$ ! a

sin$= csin#

!a +!b = !c ! !a +

!b( ) i !c = !c i !c ! !a i !c +

!b i !c = !c i !c

accos" + bccos# = c2 ! acos" + bcos# = c

Rappresentazione Cartesiana di Vettori

•! Terna cartesiana ortogonale: 3 rette orientate (o assi) x, y e z, a due a due perpendicolari, aventi un punto in comune O detto origine.

•! Versori cartesiani: versori corrispondenti agli assi x, y e z, indicati con

•! (Le) componenti cartesiane e (i) componenti cartesiani: le componenti e i componenti di un vettore sugli assi cartesiani.

ı , ! e k.

z

x

y

ı !k

terna destrorsa (preferita)

ı ! ! = ky

z

x

k ı !

terna sinistrorsa (sconsigliata)

ı ! ! = " k


Rappresentazione Cartesiana di Vettori (II)

•! Una volta scelta (ad arbitrio) una terna cartesiana ortogonale, qualunque vettore si può scrivere come la somma dei suoi 3 componenti cartesiani:

!v

!vx = vx ı!v y = v y !!v z = v z k

!

"#

$#


!v = !vx +

!v y +!v z = vxı + v y ! + v z k

A B

C

O

!vx

!v y

!v z

!v

x

y

z

Rappresentazione Cartesiana di Vettori (III)

•! Dato un vettore ben definito, esso ha una differente espressione cartesiana per ogni differente terna cartesiana che si considera.

•! Nell’esempio in figura consideriamo la forza peso di un oggetto di peso pari a 2 Newton.

•! Usando la terna cartesiana ortogonale , con i primi due assi sul piano orizzontale e il terzo asse verticale, si ha:

•! Usando invece la terna cartesiana , con i primi due assi sul piano perpendicolare all’asse terrestre e il terzo asse lungo l’asse terrestre, si ha:


!p

O! = 45°

N

S

ı

k

!ı

ˆ!k

p = 2Nı , !, k

!p = !2N k

!ı , ˆ!! , ˆ!k

!p = ! 2 N "ı ! 2 N ˆ"k

Rappresentazione Cartesiana di Vettori (IV)

•! Tuttavia, fissata una terna cartesiana ortogonale, vi è una corrispondenza biunivoca tra vettori e terne ordinate di numeri reali (le componenti cartesiane):

•! Nell’esempio in figura, fissata la terna cartesiana ortogonale , si ha:

•! Fissata invece la terna cartesiana , si ha:


!p ! "# 0,0,$2N( )

!p ! "# $ 2 N,0,$ 2 N( )

ı , !, k

!ı , ˆ!! , ˆ!k

!p

O! = 45°

N

S

ı

k

!ı

ˆ!k

p = 2N!v !V"# $%

1&1su' () vx ,v y ,v z( ) !"3"# $%

Rappresentazione Cartesiana di Vettori (V)

•! Fissata una terna cartesiana ortogonale: –! Due vettori sono uguali se e soltanto se sono uguali le 3

corrispondenti componenti cartesiane. –! Un vettore è nullo se e soltanto se sono nulle tutte e 3 le

componenti cartesiane. •! Le operazioni tra vettori possono essere eseguite, oltre

che nella forma intrinseca che abbiamo visto finora, anche nella forma cartesiana, utilizzando cioè le espressioni cartesiane dei vettori.


Relazioni tra i versori ortogonali

•! Prodotti scalari:

•! Prodotti vettoriali:

z

x

y ı !

k

ı ! ! = k


ı i ı = 1, ! i ! = 1, k i k = 1ı i ! = 0, ! i k = 0, k i ı = 0

ı ! ı =!0, ! ! ! =

!0, k ! k =

!0

ı ! ! = k, ! ! k = ı , k ! ı = !

Operazioni tra Vettori in Forma Cartesiana


!a +!b = axı + ay ! + azk( ) + bxı + by ! + bzk( ) = ax + bx( ) ı + ay + by( ) ! + az + bz( ) k

!a !!b = axı + ay ! + azk( )! bxı + by ! + bzk( ) = ax ! bx( ) ı + ay ! by( ) ! + az ! bz( ) k

" !a =" axı + ay ! + azk( ) = "ax( ) ı + "ay( ) ! + "az( ) k!a i!b = axı + ay ! + azk( )i bxı + by ! + bzk( ) == axbx ı i ı

1" + axby ı i!

0" + axbz ı i k

0" + aybx ! i ı

0" + ayby ! i!

1" + aybz ! i k

0" +

+ azbx k i ı0" + azby k i!

0" + azbz k i k

1" =

= axbx + ayby + azbz

a = !a = !a i!a = ax

2 + ay2 + az

2

Operazioni tra Vettori in Forma Cartesiana (II)


!a !!b = axı + ay ! + azk( )! bxı + by ! + bzk( ) == axbx ı ! ı

0" + axby ı ! !

k" + axbz ı ! k

" !" + aybx ! ! ı

" k" + ayby ! ! !

0" + aybz ! ! k

ı" +

+ azbx k ! ı!" + azby k ! !

" ı" + azbz k ! k

0" =

= aybz " azby( ) ı + azbx " axbz( ) ! + axby " aybx( ) k = detı ! kax ay azbx by bz

!a !!b i !c = aybz " azby( ) ı + azbx " axbz( ) ! + axby " aybx( ) k#

$%& i cxı + cy ! + cz k( ) =

= aybz " azby( )cx + azbx " axbz( )cy + axby " aybx( )cz == aybzcx " azbycx + azbxcy " axbzcy + axbycz " aybxcz = det

ax ay azbx by bzcx cy cz

Operazioni tra Vettori in Forma Cartesiana (III)


•! Nella rappresentazione cartesiana si possono anche facilmente dimostrare le identità vettoriali:

•! Infatti, prendendo, per esempio, la componente x della prima identità, si ha:

!a !!b( )! !c = !a i !c( ) !b " !b i !c( ) !a #!a,

!b, !c $V

!a !!b ! !c( ) = !a i !c( ) !b " !a i !b( ) !c #!a,

!b, !c $V

%&'

('

!a !!b( )! !c"# $%x =

!a !!b( )

ycz &

!a !!b( )

zcy =

= azbx & axbz'()

*+, cz & axby & aybx( )cy

!a i !c( ) !b & !b i !c( ) !a"# $%x = axcx + aycy + azcz'(

*+ bx & bxcx + bycy + bzcz

'()

*+, ax

-

.

///

0

///

1 !a !!b( )! !c"# $%x =

!a i !c( ) !b & !b i !c( ) !a"# $%x

Vettori Variabili con il Tempo

•! Uno scalare fisico (p. es. la temperatura) può variare nel tempo. In tal caso la variazione è descritta da una funzione scalare del tempo:

•! Analogamente un vettore fisico (p. es. la velocità) può variare nel tempo. In questo caso la variazione è descritta da una funzione vettoriale del tempo:


f : t !!"# $%&'& f t( )!!

!v : t !""# $%&'& !

v t( )!V

Vettori Variabili con la Posizione e Campi Vettoriali

•! Uno scalare fisico (p. es. la temperatura) può variare con la posizione nello spazio. In tal caso la variazione è descritta da un Campo Scalare (ovvero da una funzione scalare delle 3 coordinate spaziali):

•! Analogamente un vettore fisico (p. es. la velocità) può variare con la posizione nello spazio. In questo caso la variazione è descritta da un Campo Vettoriale (ovvero da una funzione vettoriale delle 3 coordinate spaziali):


f : P x, y, z( ) !!3"# $%&'& f P( ) = f x, y, z( )!!

!v : P x, y, z( ) !"3"# $%&'& !

v P( ) = !v x, y, z( )!VCampo vettoriale della velocità del vento

Derivata di un Punto

•! Dato un punto mobile P = P(t), dove t è un parametro variabile (p. es. il tempo) si definisce derivata del punto P rispetto alla variabile t il limite, se esiste:

•! è un vettore, per cui anche è un vettore.

•! La derivata di un punto è un vettore.

dP! "!

dt= lim

!t"0

1!t

P t + !t( )# P t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!$%

&'

()*

+,-

P t( )

P t + !t( )

P t + !t( )" P t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

dP! "!dt


P t + !t( )" P t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

dP! "!dt

Derivata di un Vettore

•! Dato un vettore , dove t è un parametro variabile (p. es. il tempo) si definisce derivata del vettore rispetto alla variabile t il limite, se esiste:

•! Poiché è ancora un vettore, è pure un vettore.

•! La derivata di un vettore è un vettore.

d !vdt

= lim!t"0

1!t!v t + !t( )# !v t( )$% &'

()*

+,-

!v = !v t( )

!v

!v t + !t( ) " !v t( )

d!v dt


!v t( ) !v t + !t( )

!v t + !t( )" !v t( )

Derivata di un Segmento Orientato

•! La derivata di un segmento orientato è uguale alla differenza delle derivate dei suoi punti estremi:

ddtB ! A! "!!!!( ) = lim

"t#0

1"t

B t + "t( )! A t + "t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

segmento orientatoal tempo t+"t# $%%% &%%%

! B t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!

segmento orientatoal tempo t# $% &%

$

%

&&&&

'

(

))))

=

= lim"t#0

1"t

B t + "t( )! B t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

! A t + "t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

$%

'( =

= lim"t#0

1"t

B t + "t( )! B t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!$%

'( ! lim

"t#0

1"t

A t + "t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!$%

'( =

= dB! "!

dt! dA! "!

dt


B ! A! "!!!!

= B t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!

ddtB ! A! "!!!!( ) = dB

! "!

dt! dA! "!

dt

B t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!

B t( )

A t( )

B t + !t( )

A t + !t( )B t + !t( )" A t + !t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

A t + !t( )" A t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

B t + !t( )" B t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

B t + !t( )" A t + !t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

" B t( )" A t( )! "!!!!!!!!!!

Vettore Posizionale

•! Un caso interessante si ha quando si considera un segmento orientato con un estremo fisso O (detto vettore posizionale o raggio vettore):

•! La derivata di un punto è uguale alla derivata del suo vettore posizionale.

!r t( ) = P t( )!O" !"""""""

d!rdt

= ddtP t( )!O" !""""""""#

$% =dP" !"

dt

P t( )

O

!r t( )


P t( )!O! "!!!!!!!

Regole di Derivazione dei Vettori


ddt!a ±!b( ) = d!a

dt± d!b

dtddt

! !a( ) = d!dt!a +! d!a

dtddt!a i!b( ) = d!a

dti!b + !a i

d!b

dtddt!a "!b( ) = d!a

dt"!b + !a " d

!b

dt

! "!"a,"b "V

#$%

•! Le derivate dei vettori possono essere effettuate mediante le espressioni cartesiane: d !vdt

=dvxdtı +dv ydt! +dv zdtk

Funzione Primitiva o Integrale Indefinito

•! Data una funzione scalare:

si definisce integrale indefinito o (meglio) funzione primitiva della funzione f la funzione F tale che f sia la derivata di F:

•! Analogamente, data una funzione vettoriale:

si definisce integrale indefinito o (meglio) funzione primitiva della funzione la funzione tale che sia la derivata di :


t !!"# $%"v&'& "v t( )!V

t !!"# $%f& '& f t( )!!

F = f t( )dt! " f = dFdt

!w = !

v t( )dt! " !v =

d !wdt

!w

!v

!v

!w

Funzione Primitiva o Integrale Indefinito (II)

•! La funzione primitiva (o integrale indefinito) si può calcolare mediante le espressioni cartesiane:


!v t( ) = vx t( ) ı + v y t( ) ! + v z t( ) k!v t( ) dt! = ı vx t( ) dt! + ! v y t( ) dt! + k v z t( ) dt!

Esercizio 1

•! Due vettori, di norma, rispettivamente e , posti con l’origine coincidente, formano tra loro un angolo di rad.

•! Trovare la norma del vettore: . •! Trovare inoltre l’angolo " compreso tra i vettori e (espresso

in radianti).

! = 610"

!c = !a !

!b

!a !c


Esercizio 1 (II)

•! Abbiamo, innanzitutto:

•! Per quanto riguarda la norma, si ha:


c = !c = !a !!b = !a !

!b( )2 = !a !

!b( )i !a ! !b( ) =

= !a i !a ! !a i!b !!b i !a +

!b i!b = !a

2+!b2! 2 !a

!b cos" =

= 4 + 9 !12cos1.88495 = 13!12 !0.309012( ) = 13+ 3.70814 =

= 4.08756

! = 6103.14159 = 1.88495 rad

!c

!c

Esercizio 1 (III)

•! Per quanto riguarda l’angolo !, per la definizione di prodotto scalare, si ha:

per cui:


cos! =!a " !c!a !c

=!a " !a #

!b( )

!a !c=!a2# !a "!b

!a !c=!a2# !a

!b cos$

!a !c=

=!a #

!b cos$!c

=2 # 3 #0.309012( )

4.08756= 0.7161

! = arccos 0.7161( ) = 0.773 rad

!a ! !c = !a !c cos"

!c

!c

Esercizio 2

•! Due vettori, di norma, rispettivamente e , posti con l’origine coincidente, formano tra loro un angolo di rad.

•! Trovare la norma del vettore: . •! Trovare inoltre l’angolo " compreso tra i vettori e (espresso

in radianti).

! = 610"

!c = !a +!b

!a !c


Esercizio 2 (II)

•! Abbiamo, innanzitutto:

•! Per quanto riguarda la norma, si ha:


c = !c = !a +!b = !a +

!b( )2 = !a +

!b( )i !a + !b( ) =

= !a i !a + !a i!b +!b i !a +

!b i!b = !a

2+!b2+ 2 !a

!b cos! =

= 4 + 9 +12cos1.88495 = 13+12 "0.309012( ) = 13" 3.70814 =

= 3.04825

! = 6103.14159 = 1.88495 rad

!c

!

Esercizio 2 (III)

•! Per quanto riguarda l’angolo !, per la definizione di prodotto scalare, si ha:

per cui:


cos! =!a " !c!a !c

=!a " !a +

!b( )

!a !c=!a2+ !a "!b

!a !c=!a2+ !a

!b cos#

!a !c=

=!a +

!b cos#!c

=2 + 3 $0.309012( )

3.04825= 0.35199

! = arccos 0.35199( ) = 1.21 rad

!a ! !c = !a !c cos"

!c

!

Esercizio 3

•! In un piano sono fissati due assi cartesiani ortogonali x e y ( di versori rispettivamente e ).

•! Dati i due vettori:

•! Determinare la norma e l’angolo formato con il versore della somma e della differenza dei due vettori e .


ı !

!a = !2ı + !!b = 5ı ! 7!

"#$

ı

Esercizio 3 (II)

•! Possiamo innanzitutto calcolare la somma e la differenza vettoriale nella rappresentazione cartesiana:

•! Possiamo quindi calcolare le norme:

•! Per quanto riguarda gli angoli, abbiamo:


!a = !2ı + !!b = 5ı ! 7!

"#$

%!a +!b = 3ı ! 6!

!a !!b = !7ı + 8!

"#$

!a +!b = 32 + 62 = 45 = 6.71

!a !!b = 72 + 82 = 113 = 10.63

"#$

%$

tan! =

!a +!b( )

y!a +!b( )

x

= "63

= "2

tan# =

!a "!b( )

y!a "!b( )

x

= 8"7

= " 87

$

%

&&&

'

&&&

ı

!

!a !!b

!a +!b

Esercizio 3 (III)

•! Da cui:

•! Occorre a questo punto precauzione nello scegliere, tra le due soluzioni, quella corretta (ci sono 2 angoli, nel primo giro, con la stessa tangente, vedi figura).

•! Nel caso della somma, la componente x è positiva mentre la componente y è negativa (vedi figura). Avremo perciò:

•! Nel caso della differenza, la componente x è negativa mentre la componente y è positiva. Avremo perciò:


tan! = "2

tan# = " 87

$%&

'&(

! =arctan("2) = "1.11rad) + arctan("2) = 2.03rad$%'

# =arctan "8 7( ) = "0.85rad

) + arctan "8 7( ) = 2.29rad

$%&

'&

$

%

&&

'

&&

! = "1.11rad

! = 2.29rad

ı

!

!a !!b

!a +!b

Esercizio 4

•! Fissata una terna cartesiana ortogonale xyz e dati i due vettori:

determinare, nella rappresentazione cartesiana, i vettori:

•! Determinare inoltre, per tali vettori, la norma e i 3 angoli formati con gli assi cartesiani.


!a = 11ı ! 7! + 9k!b = 14ı + 5! ! k

!a +!b

!a !!b

Esercizio 4 (II)

•! I vettori somma e differenza, nella rappresentazione cartesiana, si trovano semplicemente sommando e sottraendo le componenti:

•! Le norme si calcolano direttamente dalle componenti:


!a = 11ı ! 7! + 9k!b = 14ı + 5! ! k

"#$

%$&!a +!b = 25ı ! 2! + 8k

!a !!b = !3ı !12! +10k

'($

)$

!a +!b = !a +

!b( )

x

2+ !a +

!b( )

y

2+ !a +

!b( )

z

2= 625+ 4 + 64 = 693 = 26.3

!a !!b = !a !

!b( )

x

2+ !a !

!b( )

y

2+ !a !

!b( )

z

2= 9 +144 +100 = 253 = 15.9

Esercizio 4 (III)

•! Per quanto riguarda i 3 angoli osserviamo che per un vettore generico (vedi figura) si ha:

•! Questi 3 coseni prendono il nome di coseni direttori. Essi non sono tra loro indipendenti in quanto sono legati dalla relazione:


!v

vx =!v i ı = !v cos!

v y =!v i ! = !v cos"

v z =!v i k = !v cos#

$

%&&

'&&

cos! =vx!v

cos" =v y!v

cos# =v z!v

$

%

&&&&

'

&&&&

cos2! + cos2 " + cos2 # =vx

2

!v

2+

v y2

!v

2+

v z2

!v

2=

vx2 + v y

2 + v z2

!v

2= 1

!

!!v

cos2! + cos2 " + cos2 # = 1

Esercizio 4 (IV)

•! Nei nostri due casi le uguaglianze:

si scrivono:


cos!+ =!a +!b( )

x!a +!b

, cos"+ =

!a +!b( )

y!a +!b

, cos# + =!a +!b( )

z!a +!b

cos!" =!a "!b( )

x!a "!b

, cos#" =

!a "!b( )

y!a "!b

, cos$ " =!a "!b( )

z!a "!b

cos! =

vx!v

, cos" =v y!v

, cos# =v z!v

Esercizio 4 (V)

•! Poiché:

•! Si ha:


!+ = arccos25

26.3= 0.32rad

"+ = arccos#2

26.3= 1.65rad

$ + = arccos8

26.3= 1.26rad

%

&

'''

(

'''

!# = arccos#3

15.9= 1.76rad

"# = arccos#1215.9

= 2.43rad

$ # = arccos10

15.9= 0.89rad

%

&

'''

(

'''

!a +!b = 25ı ! 2! + 8k

!a !!b = !3ı !12! +10k

"#$

%$,!a +!b = 26.3

!a !!b = 15.9

"#$

%$

Esercizio 5

•! Sia fissata una terna cartesiana ortogonale xyz e siano dati i due vettori:

•! Determinare il prodotto scalare . •! Determinare, la norma e gli angoli formati con gli assi cartesiani del

prodotto vettoriale: .


!a = 11ı ! 7! + 9k!b = 14ı + 5! ! k

!a !!b

!a i!b

Esercizio 5 (II)

•! Per quanto riguarda il prodotto scalare:

•! Per quanto riguarda il prodotto vettoriale:

•! La sua norma è:

70!

!a = 11ı ! 7! + 9k!b = 14ı + 5! ! k

"#$

%$& !a i

!b = 11'14 ! 7 ' 5+ 9 ' !1( ) = 110

!a !!b = 382 +1372 +1532 = 208.9

DOMENICO GALLI - Vettori!

!a !!b = det

ı ! k11 "7 914 5 "1

=

= ı det "7 95 "1

" !det 11 914 "1

+ k det 11 "714 5

=

= 7 " 45( ) ı " "11"126( ) ! + 55+ 98( ) k = "38ı +137! +153k

Esercizio 5 (III)

•! Calcoliamo gli angoli utilizzando i coseni direttori:


cos! =!a "!b( )

x!a "!b

, cos# =

!a "!b( )

y!a "!b

, cos$ =!a "!b( )

z!a "!b

! = arccos"38

208.9= 1.75rad

# = arccos137

208.9= 0.856rad

$ = arccos153

208.9= 0.749rad

%

&

'''

(

'''

!a !!b = "38ı +137! +153k

!a !!b = 208.9

#$%

&%

Esercizio 6

•! Calcolare il volume del parallelepipedo che ha per spigoli i 3 segmenti AB, AC e AD, dove le coordinate dei punti A, B, C e D, rispetto a una terna ortogonale prefissata sono (in centimetri):


A 28,35,!16( ), B 43,62,!24( ), C !13,47,18( ), D 30,26,!22( )

Esercizio 6 (II)

•! Abbiamo:


A 28,35,!16( ), B 43,62,!24( ), C !13,47,18( ), D 30,26,!22( )B ! A! "!!!!

= 15 ı + 27! ! 8 k

C ! A! "!!!!

= !41 ı +12! + 34 k

D ! A! "!!!!!

= 2 ı ! 9! ! 6 k

"

#$$

%$$

B ! A! "!!!!( )" C ! A

! "!!!!( )i D ! A! "!!!!!( ) = det

15 27 !8!41 12 342 !9 !6

=

= 15det 12 34!9 !6

! 27det !41 342 !6

! 8det !41 122 !9

=

= 15 !72 + 306( )! 27 246 ! 68( )! 8 369 ! 24( ) == 15# 234 ! 27 #178! 8# 345 = !4056

V = B ! A! "!!!!( )" C ! A

! "!!!!( )i D ! A! "!!!!!( ) = 4056 cm3

Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

vettori in matematica grandezze fisiche...differenza di vettori •!È l’operazione inversa della...

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