cours de résistance
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Projet de RDM S3/S6M ENIb
Erwan Contal Version du 13/1/2020
1
Livre 3
Chapitre VI : comportement élastique linéaire
Relations contraintes déformations
Le champ de contraintes et le champ des déformations sont liés. Recherchons ce lien.
I : loi de Hooke
Soit une éprouvette homogène et isotrope.
Dimensions initiales : L0, a0, b0
On lui applique un effort F
suivant X
. Les dimensions finales sont L, a, b
Dans la partie centrale de l’éprouvette (loin des points d’application des forces)
s’établit un champ uniaxial de contraintes.
S
FM
Z
Y
X
CCC
X
X
M
ZMYMXM
;)(;
000
000
00
)(
),(),(),(
On mesure les dilatations linéaires :
nulssontleset
E
ESE
F
a
aa
ESE
F
L
LL
ij
XZ
XY
XX
;
.
.
.
.
.
0
0
0
0
Les directions principales des contraintes correspondent aux directions
principales des déformations.
b0
a0
L0 X
Y
Z
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Cas général :
Les trois contraintes principales sont non nulles.
Taux de déformation
Dû à X
Dû à Y
Dû à Z
X
E
X
E
Y .
E
Z .
Y
E
X .
E
Y
E
Z .
Z
E
X .
E
Y .
E
Z
La linéarité des relations permet de superposer les trois états d’équilibre.
zyxZYXMtrs )(
),,,(
100
010
001
...11
..11
..11
..11
zyxMquelconquerepèreundansmêmede
Idavec
IdsE
sEEE
sEEE
sEEE
IJIJIJ
ZXYZ
Z
YZXY
Y
XZYX
X
ijijij IdsE
...11
zyxZYXM
zyzy
xzxz
xyxy
zz
yy
xx
treélongationnsdéformatiodesmatriceladeTrace
E
E
E
sE
sE
sE
relationslesoùd
)(:)(
1
1
1
..11
..11
..11
6'
sE
e
.21
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3
Coefficients de Lamé :
ijijijijijij Ids
EIds
E.
11...1
1
ijijij IdeEE
.211
.
1
.2
5.0
0
:
2
.2.3
;
211
.
)(mod2.1
G
remarques
E
etEcommematériauxleentcaractérisilsLamédetscoefficienlessontet
E
ntcisaillemedeoucoulombdeuleGE
Exemple I : une pièce (1) en alliage d’aluminium 7075 est placée entre deux supports
indéformables, reliés entre eux par quatre boulons identiques en acier (diamètre D, longueur
travaillant h, pas de la vis p). Le montage est supposé parfaitement symétrique.
Au contact, on serre les quatre écrous de 0.05 tour.
On donne : Eacier = 2.10^5 MPa, acier = 0.3, Ealu = 7,2.10^4 MPa, alu = 0.3
Pièce 1 : section carrée de côté a, hauteur h.
AN : h = 1 cm, a = 1 cm, D = 8 mm, p = 1.25 mm.
1 : déterminer les dimensions finales de la pièce (1). Application numérique. Donner la
matrice des contraintes et des déformations au sein de la pièce (1).
2 : on effectue la même expérience mais en empêchant toute déformation de (1) suivant la
direction x
. Déterminer la relation entre la pression de contact p sur les surfaces supérieure et
inférieure et la pression de contact latérale q. Calculer p et q.
3 : on effectue la même expérience mais en empêchant toute déformation de (1) suivant les
directions x
et z
. Déterminer la relation entre la pression de contact p sur les surfaces
supérieure et inférieure et la pression de contact latérale q. Calculer p et q.
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Solution I :
1 : le problème est hyperstatique (CF solution exemple boulon-entretoise déjà traité)
On trouve
La pièce travaille en traction donc :
[ ] [
],
[ ] [
],
,
2 : on bloque la déformation suivant , donc et une contrainte suivant apparait.
[ ] [
],
(1) x
y
z
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[ ] [
],
donc
,
, F=P
Hooke :
Géométrie :
D’où p=414 MPa, q=124 MPa, F=41363 N,
,
3 : on bloque la déformation suivant et , donc et une contrainte suivant et
apparaissent.
[ ] [
],
[ ] [
],
donc
(
), F=P
Hooke :
Géométrie :
D’où p=489 MPa, q=209 MPa, F=48871 N,
Exemple II : On comprime du caoutchouc dans un récipient cylindrique d’axe de révolution
, par l’intermédiaire d’un piston sur lequel on applique un effort F. Soit q la pression sur
les parois latérales du cylindre et p celle sur le piston et le fond. Un talcage du cylindre de
caoutchouc permet de négliger les frottements caoutchouc-cylindre.
1 : Ecrire la matrice des contraintes au sein du caoutchouc.
En déduire la matrice des déformations du caoutchouc
2 : Donner la relation entre p et q si la déformation du cylindre en acier est nulle. Calculer la
variation de volume du caoutchouc. Faire l’application numérique. Conclure.
3 : Donner la relation entre p et q si le cylindre en acier est une enveloppe mince déformable
(on négligera la déformation du fond)
A.N :
MPaEMPaE caoutchoucacieraciercaoutchouc
33 10.1.0,10.210,3.0,5.0
rayon intérieur du cylindre = 8 cm, épaisseur = 2mm.
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Solution II :
1 :
[ ] [
]
,
[ ] [
],
2 :
donc
; AN : q=p, le caoutchouc se comporte comme un fluide : la pression est la
même en tout point.
Variation relative de volume :
[ ]
AN :
, le caoutchouc est incompressible
3 : ça se complique ! Voici l’idée :
On a vu que la paroi travaille en traction : le périmètre va donc augmenter et l’épaisseur va
diminuer (Poisson). On égalise ensuite le déplacement radial de la paroi avec celui du
caoutchouc, et on obtient une relation entre p et q…
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Chapitre VII : dimensionnement d’un arbre
I : énergie potentielle élastique
C’est l’énergie emmagasinée lors de la déformation.
On isole un pavé élémentaire dX, dY , dZ.
Problème : évaluer le travail des efforts extérieurs
zyzyxzxzxyxyzzyyxx
MM
ZZYYXX
ZZ
YY
XXXX
dV
dW
principalnonrepèreundans
trdV
dW
dVdWtotaltravail
dVdWz
dVdWy
dVdXdZdYdWx
dXdX
XXeélémentairtdéplacemen
dSS
FdFeélémentaireffort
XdFdWdéfinitionpar
22
1
:
2
1
2
1:
2
12
12
1
2
1
2
1:
)()(
X
Y
Z
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II : contraintes admissibles – contraintes équivalentes
Les contraintes et les déformations doivent être acceptables pour le matériau (inférieures à un seuil).
II 1 : contraintes admissibles : a .(critère élastique) ou Rp (critère à la rupture)
Exemple : barre travaillant en traction simple. Pour un matériau, on définit tractione et pR
Essai de traction du matériau
Le coefficient de sécurité est là pour tenir compte de facteurs divers :
La non homogénéité du matériau (petits défauts moléculaires), les différences statistiques sur
les caractéristiques du matériau, ses altérations, les phénomènes de fatigue (le fil de fer que
l’on plie plusieurs fois et qui finit par casser !)
Un autre coefficient entre en jeu : le coefficient de concentration de contraintes kc :
Un arbre usiné (rainure de clavette, rainure de circlips, augmentation de diamètre…) sera
moins résistant qu’un arbre de diamètre inférieur non usiné (à matériau identique).
Les deux coefficients (sécurité et de concentration de contrainte) se multiplient et divisent la
contrainte limite (élastique ou de rupture).
contrainte de
limite contrainte
ionconcentrattcoefficientractionenélastiquesécuritétcoefficien
tractionenélastique
kk cet
tractione
a
Ou
contrainte de
limite contrainte
ionconcentrattcoefficientractionenrupturesécuritétcoefficien
tractionenrupture
kkR
cRt
Rt
p
Abaques des coefficients de contraintes dans un arbre : retrouvez les sur « Meca Tools »
σ
ε
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II 2 : contraintes équivalentes eq
On connaît grâce aux essais mécaniques la résistance élastique et à la rupture d’un matériau
soumis à une sollicitation simple.
Exemple : pour un acier ordinaire, la limite élastique en traction est de tractione =340 MPa, et
de 250 MPa en cisaillement. Si cette dernière n’est pas connue, elle est alors minorée en
divisant par 2 tractione , (170 MPa ici).
Mais quelle contrainte équivalente prendre en cas de sollicitations composées ?
Il faudra alors comparer cette contrainte équivalente eq à tractione (pour un acier ordinaire,
340/ke/kc).
eq peut être définie selon plusieurs critères :
A : pour les matériaux fragiles (fontes)
a : critère de Rankine (contrainte principale maximale)
ZYXeq ,,sup
b : critère de Saint Venant (déformation principale maximale)
ZYXeq E ,,.sup
B : pour les matériaux ductils ou malléables (aciers usuels, alliages d’aluminium)
c : critère de Tresca (contrainte tangentielle maximale) (utilisation plus large que Von Mises)
2sup.2 JI
eq
, ce qui correspond au diamètre du plus grand des trois cercles de Mohr.
d : critère de Beltrami ou Von Mises (énergie de déformation maximale) (plus précis
que Tresca pour la torsion pure et le cisaillement pur)
2/1..2²²² YZZXYXZYXeq
Démarche de dimensionnement
On commence par déterminer les efforts inconnus (transmis par les liaisons
généralement) PFS sur l’ensemble du système.
On détermine ensuite le torseur de cohésion en P, un point courant de la ligne
moyenne. Souvent on distingue plusieurs cas.
On trace les diagrammes des sollicitations simples pour déterminer la section la plus
sollicitée.
On détermine la matrice des contraintes relative à chaque sollicitation simple dans la
section la plus sollicitée. On calcule le coefficient de concentration de contraintes, si
nécessaire.
On détermine les contraintes principales en diagonalisant la matrice des contraintes.
On en déduit la contrainte équivalente avec un critère adapté.
On calcule les dimensions de la pièce en fonction du matériau, ou on choisit le
matériau en fonction des dimensions pour que la contrainte soit inférieure à la
contrainte maximale admissible.
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Voici une vidéo vous expliquant la démarche de dimensionnement d’un arbre par le
critère de Tresca : Vidéo Tresca
Exercice 1 : dimensionnement d’arbres (flexion + torsion)
Une poutre circulaire en acier de rayon R, de longueur L = 0,4 m est encastrée au point O.
Elle est soumise aux actions suivantes :
action modélisée par le glisseur: 01 yFA1G
action modélisée par le glisseur: 02 xFA
2G
action modélisée par le couple: xCA 0C
Données :
Eacier = 200000 MPa, Re = 500 MPa, coefficient de sécurité s = 2.
F1 = 5000 N ; F2 = 40000 N et C = 250 N.m .
1.1. Déterminer le torseur transmis par la liaison encastrement au point O.
1.2. Déterminer les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion
au point P d’abscisse x, centre de la surface de coupure S.
1.3. Tracer les diagrammes des états de sollicitation.
1.4. Ecrire les matrices des contraintes pour chacune des sollicitations simples prises
séparément.
En déduire le point M le plus sollicité de la section la plus sollicitée.
Ecrire la matrice des contraintes en M.
Déterminer les contraintes principales en M.
Dimensionner l’arbre (R) à la torsion idéale.
2F
S x
P O
y
x
1F
CA
L
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Solution I :
1.1. Déterminons le torseur transmis par la liaison encastrement au point O.
On isole la poutre
Bilan des actions extérieures
- action de pesanteur : négligée / aux autres
- action de l’encastrement au point O:
- actions au point A :
La poutre est en équilibre par rapport au repère galiléen ),,,( zyxORg , on peut donc appliquer le PFS
En projetant dans la base ),,( zyx
1.2. Déterminons les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de
cohésion au point P d’abscisse x, centre de la surface de coupure S.
On isole le morceau de gauche (G)
par déf.: )G/D(coh TT
),,,(),,,( zyxPttnPR zy
repère local associé à la surface de coupure S
Bilan des actions extérieures
- action du morceau de droite D :
- action de pesanteur : négligée / aux autres
- action de l’encastrement au point O:
Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen Rg, on peut donc appliquer le PFS
),,(
,)/(
zy ttnP
cohP
MfzTz
MfyTy
MtN
cohPMRGD
cohTT
même point P
OGG O TTT coh)/( 0)/( Ocoh RRGGR
0,,)/,( OPMPMGGPM TT coh
D/G
BO
O
A
S
P Encastrement O
x
P
P (G)
ty
n
),,(
,
zyxOO
OO
OO
O
OOOO
NZ
MY
LX
OMR
TT
même point O
Opp A TTT O)/(0)/( AO RRppR
0,,)/,( AOMOMppOM TT O
0)/( 2 FXxppR O
0)/,( CLxppOM O
1
1
2
0
0
LFN
M
CL
Z
FY
FX
O
O
O
O
O
O
zFLxCyFxFxLxCROAAMOM AAA 112 )()((,, TT
),,(
1
2
21
00
0000,
zyxA
AAAAAAA F
CF
xCxFyFAMR
TCGGT 21
0)/( 1 FYyppR O
00)/( OZyppR
00)/,( OMyppOM
0)/,( 1 LFNzppOM O
),,(1
1
2
0
0,
zyxO
OOOO
LF
F
CF
OMR
TT
zFxLxCzFxzFLxCyFxFxxzFLxCRPOOMPM OOO 111121 )()()()(,, TT
),,(1
1
2
0
0,
zyxO
OOOO
LF
F
CF
OMR
TT
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En projetant dans la base locale ),,(),,( zyxttn zy
A.N.:
0)/( 2 FNxGGR
0)/( 1 FTyyGGR
0)/,( CMtxGGPM
1
1
2
)(
0
0
FxLMfz
Mfy
CMt
Tz
FTy
FN
00)/( TzzGGR
00)/,( MfyyGGPM
0)()/,( 1 FxLMfzzGGPM 20005000
0
250
0
5000
40000
xMfz
Mfy
Mt
Tz
Ty
Nen N
en N.m
TyFdx
dMfz 1Tz
dx
dMfy 0On vérifie que
S x
P O
y
x
1F
CA
L
2F
x
Mfy
(N.m)
x
Mt
(N.m)
(N.m)
Mfz
x
N
(N)
x
Tz
(N)
x
x
Ty
(N(N)
40000
-5000
250
-2000
),,(
20000
05000
25040000
,
zyxO
cohO
MfzTz
MfyTy
MtN
cohOMR
cohTLa section de centre O est la plus sollicitée
(valeurs exprimées en N pour les résultantes
et en N m pour les moments)
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Donnons au point M le plus sollicité de la section de centre O.
La matrice des contraintes de traction.
En tout point M de la section de centre O et dans une base ,,x
La matrice des contraintes de flexion.
O
x
O
x
O
O
x
Q
D
x
O
,,000
000
00
)(
x
t
t M
2
4
D
N
S
Nt
NN 400000
y
z
yy
z
Mf =Mfz z
Mf =Mfz z
M
Nous choisissons le point M parmi les deux points les plus sollicités de la section de
centre O, en effet au point M nous avons :
- Contrainte normale de flexion :
- Contrainte normale de traction:
DM M
zyx
Mf
f M
,,000
000
00
)(
64),(
2
),(4
33
DzOI
Dy
avecyzOI
Mf M
MMf
3
32
D
MfMf
C (M, x)=Mf x
C (M, x)=t x
N = N x
N = N x
mNMfzMf .2000
Mf =Mfz z
D
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La matrice des contraintes de cisaillement.
En tout point M de la section de centre O et dans une base zyx ,,
La matrice des contraintes de torsion.
La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre O.
O
x
O
x
O
y
z
y
y
z
yTTaOn
Mt x
Mt = Mt x
M M M
zyxMto
Mto
to M
,,00
000
00
)(
32
24
DI
Dr
avecrI
Mt
O
M
M
O
Mto
3
16
D
MtMto
C (M, x)=ci y
O
x
O
x
O
D
2
4
D
T
S
Tci
33 ,,000
00
00
)(
zyx
ci
ci
ci M
T = T y
T = T y
T = T y
mNMt .250
Mt = Mt x
Dy
z
yy
z
)()()()()( MMMMM tofcit
En utilisant le PRINCIPE DE SUPERPOSITION on a :
zyxMto
Mto
zyx
Mf
zyx
ci
ci
x
t
M
,,,,,,,,00
000
00
000
000
00
000
00
00
000
000
00
)(
C (M, x)=Mto z3
NTyT 5000
zyxxz
xy
xzxyx
zyxMto
ci
MtociMft
M
,,,,00
00
00
00)(
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Diagonalisation de la matrice
Dimensionnons l’arbre à la torsion idéale.
Mit : moment idéal de torsion selon le critère de Tresca : 22MtMfM it
)(M
0)(0
0
0][)(det 3
xy
xyx
xz
xy
xz
xz
xy
xzxyx
IM
0)()()(][)(det 3 xyxyxxzxzIM
0222 xxyxz
0222 xyxzx
2
4
2
4
0
222
2
222
2
1
xyxzxx
Z
xyxzxx
X
Y
eeg
eg
pgidéaletorsion RRavecs
RRerésistancdeCondition
2
1
32
24
DI
Dr
avecrI
M
O
M
P
itidéaletorsion
3
16
D
Mitidéaletorsion
s
R
s
RR
D
M eeg
pgit
idéaletorsion2
163
332
DR
Ms
e
it
3
3
1
3232
e
it
e
it
R
Ms
R
MsD
mmRsoitmDNA 7,210434,0:..
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Exercice 2: détermination du coefficient de sécurité (critère de Tresca – critère de Von Mises)
Une poutre circulaire en acier de rayon R = 21,7 mm, de longueur L = 0,4 m est
encastrée au point O.
Elle est soumise aux actions suivantes :
action modélisée par le glisseur: 01 yFA1G
action modélisée par le glisseur: 02 xFA
2G
action modélisée par le couple: xCA
0C
Données :
Eacier = 200000 MPa, Re = 500 MPa.
F1 = 5000 N ; F2 = 40000 N et C = 250 N.m .
En reprenant les résultats de l’exercice 1, déterminer le coefficient de sécurité de
l’arbre s par application du critère de Tresca puis du critère de Von Mises. Conlure.
O A x
y
1F
2F
C
S x
L
P
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19
Reprenons les résultats de l’exercice 1
La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre O.
Contrainte équivalente selon le critère de Tresca
Contrainte équivalente selon le critère de Von Mises
MPaD
Mt
MPaD
T
MPaD
Mf
MPaD
N
avecM
Mto
ci
Mf
t
zyxxz
xy
xzxyx
zyxMto
ci
MtociMft
58,1516
38,34
21,24932
04,274
00
00
00
00)(
3
2
3
2
,,,,
MPa
MPa
xyxzxx
Z
xyxzxx
X
Y
92,02
4
17,2772
4
0
222
2
222
2
1
MPaZXJIeq 09,278)sup(
s
RRerésistancdeCondition e
peeq 8,1eq
eRssécuritédetCoefficien
MPaXZZYYXeq 63,2772
1 222
s
RRerésistancdeCondition e
peeq 8,1eq
eRssécuritédetCoefficien
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20
Exercice 3 :
Une poutre circulaire en acier est encastrée u point O. Elle est constituée de deux
parties, l'une de diamètre D1 = 60 mm et de longueur L1 = 0,1 m, l'autre de diamètre D2 = 40
mm et de longueur L2 = 0,3 m avec un rayon de raccordement r = 2 mm.
Elle est soumise aux actions suivantes :
action modélisée par le glisseur: 01 yFA1G
action modélisée par le glisseur: 02 xFA
2G
action modélisée par le couple: xCA
0C
Données :
Eacier = 200000 MPa, Re = 500 MPa.
F1 = 5000 N ; F2 = 40000 N et C = 250 N m .
3.1. Déterminer le torseur des efforts de cohésion.
3.2. Déterminer la section la plus sollicitée.
3.3. Déterminer le coefficient de sécurité s appliqué à cette pièce (critère de Tresca).
O A x
y
1F
2F
C
L1 L2
B
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21
Déterminons le torseur des efforts de cohésion.
Reprenons les résultats de l’exercice 1 avec :
La section la plus sollicitée est la section de centre B
En effet elle présente une variation brusque de section (épaulement). Il nous faut donc
tenir compte du phénomène de concentration des contraintes.
1211
1
2
)()(
0
0
FxLLFxLMfz
Mfy
CMt
Tz
FTy
FN
21 LLL
),,(
,)/(
zy ttnP
cohP
MfzTz
MfyTy
MtN
cohPMRGD
cohTT
),,(
15000
05000
25040000
,
zyxB
cohB
MfzTz
MfyTy
MtN
cohBMR
cohT
(valeurs exprimées en N pour les résultantes
et en N m pour les moments)
)( 1LxB
05,040
2
5,140
60
2
2
1
D
r
d
r
D
D
d
D
05,040
2
5,140
60
2
2
1
D
r
d
r
D
D
d
D
05,040
2
5,140
60
2
2
1
D
r
d
r
D
D
d
D
35,2ttK
8,1ttoK
85,1tfK
Ktt = 2,35
0,05
0,05
0,05
Ktto = 1,8
Ktf = 1,85
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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22
La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre B.
Déterminons le coefficient de sécurité s appliqué à cette pièce (critère de Tresca).
Contrainte équivalente selon le critère de Tresca
MPaD
Mt
MPaD
T
MPaD
Mf
MPaD
N
avec
K
KKK
M
Mto
ci
Mf
t
zyxxz
xy
xzxyx
zyxMtoto
ci
MtotociMftfttt
89,1916
98,34
73,23832
83,314
00
00
00
00)(
3
2
2
2
3
2
2
2
,,,,
MPa
MPadonneationdiagonalisla
xyxzxx
Z
xyxzxx
X
Y
5,22
4
95,5182
4
0
222
2
222
2
1
MPaZXJIeq 45,521)sup(
s
RRerésistancdeCondition e
peeq 96,0eq
eRssécuritédetCoefficien
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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23
Problème de synthèse : Le mécanisme de la page suivante représente un réducteur à axes perpendiculaires.
Objectif : vérifier le dimensionnement de l’arbre 3 par le critère de Tresca.
Données : Contraintes maximales admissibles pour l’acier XC38 utilisé pour l’arbre (3) :
MPaR;MPaR egee 250500
Coefficient de sécurité : s = 2.
Efforts transmis :
- L'action du palier E modélisée par le glisseur:
- L'action du palier F modélisée par le glisseur:
- L'action du pignon modélisée en H par le glisseur:
- L’action du couple en G :
1. Déterminer les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de
cohésion au point P d’abscisse x dans le repère )z,y,x,F( , centre de la surface de
coupure S. On a xxFP .
2. Tracer les diagrammes des états de sollicitation.
En déduire la section la plus sollicitée.
3. Les outils utilisés pour l’usinage de l’axe 3 ont un rayon de 3 mm en tournage et 1,6 mm
en fraisage. Rainure de clavette : h = 3mm.
En tenant compte des concentrations de contraintes, calculer dans la section la plus
sollicitée:
La matrice des contraintes de traction.
La matrice des contraintes de cisaillement.
La matrice des contraintes de torsion.
La matrice des contraintes de flexion.
4. Vérifier si l’axe 3 est bien dimensionné suivant le critère de Tresca.
0eEE FG
0fFF FG
0hHH FG
mNCavecxCC .138 CGG 0C
NZ
NY
NX
aveczZyYxXF
e
e
e
eeee
2165
1920
2350
NZ
NY
NX
aveczZyYxXF
h
h
h
hhhh
4070
1710
2350
NZ
NYaveczZyYF
f
f
fff
1905
210
mmgetmmcmmbmma 4034;42;79
xgEGetycQHxbFQxcFE ;;
Projet de RDM S3/S6M ENIb
Erwan Contal Version du 13/1/2020
24
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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25
Problème de synthèse : correction 1. Déterminer les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de
cohésion au point P d’abscisse x dans le repère )z,y,x,F( , centre de la surface de
coupure S. On a xxFP . ON DISTIGUE 3 CAS
1er
cas P situé entre F et Q ( bx 0 )
On isole le morceau de gauche (G)
par déf.: )G/D(coh TT
),,,(),,,( zyxPttnPR zy
repère local associé à la surface de coupure S
Bilan des actions extérieures
- action du morceau de droite D :
- action de pesanteur : négligée / aux autres
- action du palier F: Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen R, on peut donc appliquer le PFS
En projetant dans la base locale ),,(),,( zyxttn zy
),,(
,)/(
zy ttnP
cohP
MfzTz
MfyTy
MtN
cohPMRGD
cohTT
A.N.:
même point P
OGG F GTT coh)/( 0)/( fcoh FRGGR
0,,)/,( FPMPMGGPM GT coh
00)/( NxGGR
0)/( fYTyyGGR
00)/,( MtxGGPM
f
f
f
f
YxMfz
ZxMfy
Mt
ZTz
YTy
N
0
0
TyYdx
dMfzf
0)/( fZTzzGGR
0)/,( fZxMfyyGGPM
0)/,( fYxMfzzGGPM
xMfz
xMfy
Mt
Tz
Ty
N
210
1905
0
1905
210
0
TzZdx
dMfyf On vérifie que
en N
en N.m
x
F
A
S
P
ty
n
D/G
BO
P
P
(G)
Palier F
zYxyZxzZyYxxFPFFMPM fffffFF )()()()((0),(),( GG
0fFF FG
NZ
NYaveczZyYF
f
f
fff
1905
210
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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26
2
ème cas P situé entre Q et E ( axb )
On isole le morceau de gauche (G)
par déf.: )G/D(coh TT
),,,(),,,( zyxPttnPR zy
repère local associé à la surface de coupure S
Bilan des actions extérieures
- action du morceau de droite D :
- action de pesanteur : négligée / aux autres
- action du palier F:
- action du pignon :
Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen R, on peut donc appliquer le PFS
En projetant dans la base locale ),,(),,( zyxttn zy
),,(
,)/(
zy ttnP
cohP
MfzTz
MfyTy
MtN
cohPMRGD
cohTT
A.N.:
00)/( hXNxGGR
0)/( hf YYTyyGGR
00)/,( hZcMtxGGPM
hhf
hf
h
hf
hf
h
XcYxbYxMfz
ZxbZxMfy
ZcMt
ZZTz
YYTy
XN
)(
)(
TyYYdx
dMfzhf
0)/( hf ZZTzzGGR
0)()/,( hf ZxbZxMfyyGGPM
0)()/,( hhf XcYxbYxMfzzGGPM
72,1511920
1712165
138
2165
1920
2350
xMfz
xMfy
Mt
Tz
Ty
N
TzZZdx
dMfyhf On vérifie que
en N
en N.m
x
F
E
ty
n
D/G
BO
P
P (G)
Palier F
zXcYxbyZxbxZczZyYxXycxxbFPHHMPM hhhhhhhhHH )()()()(])[(0),(),( GG
Q
E
Pignon
H
Eb
zYxyZxzZyYxxFPFFMPM fffffFF )()()()((0),(),( GG
0fFF FG
NZ
NYaveczZyYF
f
f
fff
1905
210Bilan
du
1er cas
0hHH FG
NZ
NY
NX
aveczZyYxXF
h
h
h
hhhh
4070
1710
2350
OGG HF GGTT coh)/(
0)/( hfcoh FFRGGR
0,,,)/,( HF PMPMPMGGPM GGT coh
même point P
S
P
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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27
3ème
cas P situé entre E et G ( gaxa )
On isole le morceau de gauche (G)
par déf.: )G/D(coh TT
),,,(),,,( zyxPttnPR zy
repère local associé à la surface de coupure S
Bilan des actions extérieures
- action du morceau de droite D :
- action de pesanteur : négligée / aux autres
- action du palier F:
- action du pignon :
- action du palier E :
Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen R, on peut donc appliquer le PFS
En projetant dans la base locale ),,(),,( zyxttn zy
),,(
,)/(
zy ttnP
cohP
MfzTz
MfyTy
MtN
cohPMRGD
cohTT
A.N.:
00)/( eh XXNxGGR
0)/( ehf YYYTyyGGR
00)/,( hZcMtxGGPM
ehhf
ehf
h
ehf
ehf
eh
YxaXcYxbYxMfz
ZxaZxbZxMfy
ZcMt
ZZZTz
YYYTy
XXN
)()(
)()(
TyYYYdx
dMfzehf
0)/( ehf ZZZTzzGGR
0)()()/,( ehf ZxaZxbZxMfyyGGPM
0)()()/,( ehhf YxaXcYxbYxMfzzGGPM
0
0
.138
0
0
0
Mfz
Mfy
mNMt
Tz
Ty
N
TzZZZdx
dMfyehf On vérifie que
x
F
E
ty
n
D/G
BO
P
P
(G)
Palier F
zXcYxbyZxbxZczZyYxXycxxbFPHHMPM hhhhhhhhHH )()()()(])[(0),(),( GG
Q
E
Pignon
H
Eb
zYxyZxzZyYxxFPFFMPM fffffFF )()()()((0),(),( GG
0fFF FG
NZ
NYaveczZyYF
f
f
fff
1905
210Bilan
du
2ème
cas
0hHH FG
NZ
NY
NX
aveczZyYxXF
h
h
h
hhhh
4070
1710
2350
OGG EHF GGGTT coh)/(
0)/( ehfcoh FFFRGGR
0,,,,)/,( EHF PMPMPMPMGGPM GGGT coh
même point P
E
E
Palier E S
P a
0eEE FG
NZ
NY
NX
aveczZyYxXF
e
e
e
eeee
2165
1920
2350
zYxayZxazZyYxXxxaFPEEMPM eeeeeeEE )()()()(0),(),( GG
Au point G on vérifie que mNCavecxCC .138 CGG 0CT coh
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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28
),,(712165
801920
1382350
,
zyxQ
cohQ
MfzTz
MfyTy
MtN
cohQMR
cohT
La section de centre Q est la plus sollicitée
(valeurs exprimées en N pour les résultantes et en N m pour les moments)
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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29
3. Calculer le coefficient de concentration de contrainte à la torsion en ce point. (rainure de clavette : h = 3 mm et rf = 1,6 mm)
Donner au point M le plus sollicité de la section de centre Q (point M à préciser).
La matrice des contraintes de compression.
En tout point M de la section de centre Q et dans une base ,,x
253,03
6,1 ttok
h
r
Q
D
x
Q
D
x
Q
,,000
000
00
)(
x
c
c M
2
4
D
N
S
Nc
MPammD
NNNA c 7,11
16
2350:..
NN 2350
C (M, x)=c x
0,53
Ktto = 2
N = N x N = N x
D
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30
La matrice des contraintes de flexion. (effectuer éventuellement un changement de base)
Q
x
Q
x
Q
Q
D
mNMfzMfyMfmNMfz
mNMfy.96,106
.71
.8022
y
z
3y
3z
3y3y
3z
3y
3z
33 zMfMfquetelzchoisitOn
Mfy y
Mfz z
6,4180
71tan
Mfy
Mfz
Mf z3
Mf z3
Mf =Mfz z3
Mf =Mfz z3
M
Nous choisissons le point M parmi les deux points les plus sollicités de la section de
centre Q, en effet au point M nous avons :
- Contrainte normale de flexion :
- Contrainte normale de compression :
DM
M
33 ,,000
000
00
)(
zyx
Mf
f M
64),(
2
),(4
33
DzQI
Dy
avecyzQI
Mf M
MMf
MPammD
mNMfNA Mf 266
16
.96,106:..
3
32
D
MfMf
C (M, x)=Mf x
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31
La matrice des contraintes de cisaillement.
En tout point M de la section de centre Q et dans une base 33 ,, zyx
Q
D
NTzTyTNTz
NTy72,2893
2165
192022
y
z
3y
3z
3y3y
3z
3y3z
3yTTaOn
Ty
y
Tz
z
6,412165
1920tan
Tz
TyComme
C (M, x)=ci y3
T = T y3
Q
x
Q
x
Q
D
2
4
D
T
S
Tci
MPammD
NTNA ci 4,14
16
72,2893:..
33 ,,000
00
00
)(
zyx
ci
ci
f M
T = T y3 T = T y3 T = T y3
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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32
La matrice des contraintes de torsion.
La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre Q.
Q
x
Q
x
Q
Mt x
Mt = Mt x
M M M
33 ,,00
000
00
)(
zyxMto
Mto
to M
32
24
DI
Dr
avecrI
MtK
Q
M
M
Q
ttoMto
MPa
mmD
mNMt
K
NA Mto
tto
2,343
16
.138
2
:..
3
16
D
MtKttoMto
mNMt .138
Mt = Mt x
D3y
3z
3y 3y
3z
En effet, il faut tenir compte du phénomène de concentration de contrainte induit par
la rainure pour la clavette.
)()()()()( MMMMM tofcic
En utilisant le PRINCIPE DE SUPERPOSITION on a :
333333 ,,,,,,,,00
000
00
000
000
00
000
00
00
000
000
00
)(
zyxMto
Mto
zyx
Mf
zyx
ci
ci
x
c
M
MPa
MPa
MPa
avecM
xz
xy
x
zyxxz
xy
xzxyx
zyxMto
ci
MtociMfc
2,343
4,14
7,277
00
00
00
00)(
3333 ,,,,
C (M, x)=Mto z3
Projet de RDM S3/S6M ENIb
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33
4. Vérifions si l’axe 3 est bien dimensionné suivant le critère de Tresca.
Diagonalisation de la matrice
Contrainte équivalente selon le critère de Tresca
MPa
MPa
MPa
avecM
xz
xy
x
zyxxz
xy
xzxyx
2,343
4,14
7,277
00
00)(
33 ,,
0)(0
0
0][)(det 3
xy
xyx
xz
xy
xz
xz
xy
xzxyx
IM
0)()()(][)(det 3 xyxyxxzxzIM
0222 xxyxz
0222 xyxzx
MPa
MPa
xyxzxx
Z
xyxzxx
X
Y
7,2312
4
4,5092
4
0
222
2
222
2
1
MPaZXJIeq 1,7417,2314,509)sup(
MPas
RR e
pe 2502
500
TrescadecritèreleselonensionnédimbienpasestnarbrelRComme peeq ''
ZYXZ
Y
X
M
,,00
00
00
)(
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34
Formulaire RDM
Loi de Hooke : L
L
S
FE
;;
Loi de Poisson :
a
a
Torseur de cohésion
) t, t, n (K,22
112/1
21
MfT
MfT
MtN
TKcohésion
N effort normal ; T = ²² 21 TT : effort tangentiel
Mt moment de torsion ; Mf = ²² 21 MfMf : moment
de flexion
Formule de Bresse : EI
Mfz(x)''
GZ y ;
M
dSy 2
GZI ; moment quadratique de la section par rapport à GZ
Contraintes
La matrice des contraintes est symétrique z
y
x
CCC
zyzxz
yzyxy
xzxyx
M
zMyMxM
)(
),(),(),(
Vecteur contrainte nC MnM )(),(
Il existe un repère ZYXMR
,,,' tel que Z
Y
X
CCC
Z
Y
X
M
ZMYMXM
00
00
00
)(
),(),(),(
ZYX ,, sont les contraintes principales (valeurs propres)
ZYX
,, sont les directions principales (vecteurs propres)
Tout vecteur contrainte en M suivant une des directions principales est porté par cette
direction principale : la contrainte est purement normale : XC XXM
),(
locauxrepèresZtnMetZtnMprincipalrepèreZYXMglobalrepèreZyxM
,,,,,,,,,,,,,, 2211
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35
Contraintes liées aux sollicitations simples :
Contrainte de traction : ncompressioFtractionFS
F0,0;
Contrainte de cisaillement : repèreduchoixdudépendsigneleS
F,
Contrainte de flexion : oz
flI
yMfz. Contrainte de torsion
o
torsionI
rMt.
Déformations
Matrice des déformations
angulaireiationdemixsuivantlinéïquedilatation xyx
zzyxz
zyyxy
xzxyx
M var;;)(
Les de la matrice des déformations sont les demi variations angulaires des angles du repère.
Lois de comportements
zyxZYXM
ijijij
zyxZYXM
tre
IdsE
trs
)(
)(
...11
ijijij IdeEE
.211
.
1
.2
Critères de dimensionnement
Critère de Tresca (utilisation plus large que Von Mises) :
2sup.2 JI
eq
à
comparer à tractione (limite élastique du matériau à la traction)
Critère de Von Mises (plus précis que Tresca pour la torsion pure et le cisaillement pur)
2/1..2²²² YZZXYXZYXeq à comparer à tractione (limite
élastique du matériau à la traction)
Contrainte de torsion idéale : ²²;.
MtMfMtI
rMti
o
i
idéaletorsion (flexion et torsion
uniquement)
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