despacho optimo
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ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
DEDICATORIA
Dedicado para mis padres y familiares que confían en mi formación profesional
y así contribuir al desarrollo del país.
Y al Ing. Holger Meza, por su continuo apoyo y motivación en nuestra
formación como Ingenieros
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INTRODUCCION
La generación de energía eléctrica en el país depende principalmente de los
combustibles fósiles, los cuales constituyen una fuente no renovable de
energía. Al iniciarse la Revolución Energética comienza a desarrollarse la
Generación Distribuida como parte esencial de la misma. Fueron instaladas
una serie de baterías de grupos electrógenos utilizando fuel oil y diesel como
combustibles principalmente; estos grupos han brindado un significativo aporte
al Sistema Eletroenergético Nacional (SEN), constituyendo en estos momentos
más del 40 por ciento de la capacidad generadora instalada. Debido a esto se
hace necesaria la implementación de métodos que permitan optimizar la
operación de estos grupos; entre estos métodos se encuentran los del reparto
de carga entre las máquinas, de manera tal que el costo de combustible total
sea mínimo.
El empleo de técnicas basadas en métodos de optimización no formales, que
simplifican el modelo matemático en pos de minimizar el esfuerzo
computacional y agilizar la obtención de resultados con el fin de lograr un uso
racional del combustible en las plantas, ha sido una de las direcciones en las
que se ha trabajado en años recientes [1-4].
Entre los métodos de optimización no formales, uno de los que ha gozado de
una amplia aceptación, dada la facilidad de su programación y formulación del
algoritmo ha sido el de los algoritmos genéticos (AG), por lo que el objetivo del
presente trabajo es exponer un método para lograr la distribución óptima de la
carga entre agregados de una batería de motogeneradores utilizando esta
técnica y el criterio de los costos incrementales del combustible.
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DESPACHO ÓPTIMO
Estudio de Flujo de potencia óptimo.
Uno de los aspectos más importantes de la optimización en sistemas de
potencia está relacionado con la determinación del despacho óptimo de
potencia reactiva de acuerdo a un objeto definido. Cuando se le agrega al
mismo problema la configuración de la red, y las restricciones operacionales de
las plantas y líneas de transmisión de la misma red, se está en presencia de un
problema de flujo óptimo (OPF, Optimal Power Flow). En rigor, un OPF es un
espacho óptimo más la operación eléctrica restringida.
Las ventajas de utilizar OPF son:
· Incorporar restricciones reales de la operación eléctrica.
· Realizar un estudio exacto de las pérdidas.
· Incorporar criterios de seguridad.
· Incorporar otras variables de control (voltaje en barras generadoras, taps de
transformadores, etc.).
Considerando estas características, los problemas de OPF son problemas de
optimización no lineales de gran envergadura.
Pueden ser definidos en tres partes principales: Función objetivo, variables de
control y restricciones.
La formulación matemática general es la siguiente:
Min f(u,x)
g(u,x) = 0
h(u,x) = 0
Donde u es el set de variables de control y x es el set de variables
dependientes.
Típicamente, la función objetivo es la función de costos de generación de
potencia activa, en nuestro caso la función objetivo será la función de pérdidas
de potencia en la red dado que el despacho de potencia activa es un dato ya
conocido. Las variables de control más comunes son la potencia reactiva
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generada, el voltaje de generación, la razón de transformación de los taps y la
fase de los ángulos.
Las restricciones de igualdad más importantes son las ecuaciones de flujo de
potencia para el balance de consumo y de generación. Estas definen el mismo
sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver en un problema de
flujo de potencia convencional. El gran número de ecuaciones, es un rango de
dos a miles, y las correspondientes variables dependientes contribuyen a la
dificultad de encontrar la solución.
Formulación del problema del flujo óptimo.
El OPF es un problema de optimización no lineal, cuya función objetivo en este
caso será la sumatoria de pérdidas de potencia activa de un sistema de
transmisión.
minimizar: Z = f(x)
Sujeto a h(x) = 0
g(x) = 0
El conjunto de restricciones de igualdad, de la ecuación anterior está
compuesta por las ecuaciones de balance de potencia en las barras, por su
parte el conjunto de restricciones de desigualdad, representa las restricciones
del vector de variables de control y de estado x, tales como cotas y límites de
operación.
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Parámetros, variables de control y de estado.
Las variables de control y de estado a considerar se resumen en la figura
21. Se considera la simbología estándar utilizada en la literatura relacionada.
Figura 21. Representación de un nodo de un sistema eléctrico.
Donde Pg, Qg, son variables de control, corresponden a las potencias activas y
reactivas inyectadas por el generador, por su parte ¦ V¦ y T, son variables de
estado, corresponden al módulo de la tensión y ángulo respectivamente. Qs, es
una variable de control, corresponde a la potencia reactiva inyectada por
compensadores de reactiva, como lo son capacitares y reactores. Finalmente
PL y QL, son parámetros que representan la potencia activa y reactiva de la
carga o consumo.
Otro parámetro a considerar es la matriz compleja de admitancia nodal
(Y), representada por sus elementos ij ij ij Y = Y Ð? , que define la relación
entre corrientes y tensiones nodales del sistema.
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Si en el arco (ij) existe un transformador, entones los parámetros de la matriz
de admitancia nodal consideran implícitamente el efecto del tap.
En que los parámetros ij Y e ii Y corresponden a los elementos de la matriz de
admitancia nodal al no existir el efecto del tap (razón de transformación igual a
uno).
Despacho Óptimo de la Generación
Flujo de Carga: Estimamos valores razonables de Pgen de las barras PV
Adicionalmente Pgen de la barra Slack es calculada por:
Pslack=∑j=1
n
|V i||V j||Y ij|cos(θij−δ i+δ j)
Despacho Optimo: Pgen de las barras PV e incluso de la slack se calculan
tal que el costo total de la generación sea mínimo.
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Optimización de una función sujeta a restricciones de igualdad
El problema es minimizar la función costo:
f ( x1 , x2 , .. . , xn )
Sujeta a restricciones de igualdad
gi( x1 , x2 , .. . , xn )=0 i=1,2 , .. .. , k
Tales problemas pueden resolverse por el método de los multiplicadores
de Lagrange. Se crea una función aumentada introduciendo un vector de
k elementos :
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L= f +∑i=1
k
λ ig i
Los valores de x1 , x2 ,. .. , xn que minimizan f sujeto a la igualdad g son los
que resuelven las siguientes ecuaciones:
∂L∂ x i
=∂ f∂ x i
+∑i=1
k
λi∂ g i
∂ xi=0
∂L∂ λi
=gi=0
Optimización de una función sujeta a restricciones de igualdad y
restricciones de desigualdad
El problema es ahora minimizar la función costo:
f ( x1 , x2 , .. . , xn )
Sujeta a restricciones de igualdad
gi( x1 , x2 , .. . , xn )=0 i=1,2 , .. .. , k
Y a restricciones de desigualdad
u j( x1 , x2 ,. . . , xn)≤0 j=1,2, . .. . , m
Se trata de formular una extensión de los multiplicadores de Langrange a
los efectos de incluir las restricciones, este método generalizado se le
conoce como condiciones necesarias de optimalidad de
Kuhn-Tucker. En la expresión abajo se incluye entonces un vector j de m
elementos indeterminados a los efectos de considerar las m restricciones
de desigualdad:
L=f +∑i=1
k
λ ig i+∑j=1
m
μ ju j
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Siendo las condiciones necesarias las siguientes:
∂L∂ x i
=0 para i=1, . .. . , n
∂L∂ λi
=gi=0 para i=1, .. .. , k
∂L∂ μ i
=u j≤0 para j=1, .. .. , m
μiu j=0 & μi≥0 para j=1, .. .. , m
Si el problema no está planteado de la misma forma los signos de los
multiplicadores podrías ser diferentes.
COSTO OPERATIVO DE LAS CENTRALES TERMICAS
En todos los casos prácticos el costo del generador i puede ser
representado como:
C i=αi+β i Pi+γ Pi2
Una característica importante es la derivada del costo respecto a la
potencia activa, lo que se conoce como costo incremental:
∂C i
∂Pi
=2 γi Pi+ βi
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Despacho óptimo de las unidades de generación sin considerar pérdidas
ni límites de generación.
Nuestra función objetivo es entonces:
C t=C1+C1+ .. ..+Cng =∑i=1
ng
C i=∑i=1
ng
αi+β i Pi+γi Pi2
Sujeta a la restricción:
PD=∑i=1
ng
Pi
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange:
L=C t+λ(PD−∑i=1
ng
P i)
Y planteando las respectivas ecuaciones:
∂L∂P i
=0
∂L∂ λ
=0
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La primera condición resulta en :
∂C t
∂P i
+λ (0−1 )=0
La segunda condición:
PD=∑i=1
ng
Pi
Método analítico de resolución:
Por un lado tenemos
Pi=λ−β i
2 γ i
Para cada generador (i=1,...,ng) se las conoce como ecuaciones de
coordinación.
Tenemos que determinar el valor de , de la segunda condición:
PD=∑i=1
ng λ−β i
2 γ i
De donde:
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λ=PD+∑
i=1
ng β i
2 γ i
∑i=1
ng 1i
2 γi
Despacho Económico Optimo Incluyendo Restricciones en la Generación
y Pérdidas
Una práctica común para incluir el efecto de las pérdidas de la
transmisión es expresar las pérdidas totales de la transmisión como una
función cuadrática de las potencias de las unidades generadoras, cuya
forma más general es:
PL=∑i=1
ng
∑j=1
ng
P iBij P j+∑i=1
ng
B0i Pi+B00
Se la conoce como la fórmula de Kron, y los coeficientes B son llamados
coeficientes de pérdidas o coeficientes-B, más adelante se presenta la
obtención de los mismos.
Como ya hemos visto, en todoos los casos prácticos el costo del
generador i puede ser representado como:
C i=αi+β i Pi+γ Pi2
Por lo tanto, la función aminimizar(función objetivo) es:
C t=∑i=1
ng
C i=∑i=1
ng
(α i+β iPi+γ Pi2 )
Sujeta a la restricción de igualdad:
∑i=1
ng
Pi=PD+PL
Y a las desigualdades:
Pi(min )≤Pi≤Pi(max ) i=1 , .. .. , ng
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Usando los multiplicadores de Lagrange y los terminos adicionales para
incluir las desigualdades:
L=C t+λ(PD+PL−∑i=1
ng
P i)+∑i=1
ng
μ i(max ) (P i−Pi(max ))+∑i=1
ng
μ i(min ) (P i−Pi(min ))
Queda entendido que:
μi(min )=0 cuando Pi>Pi(min ) y
μi(max )=0 cuando Pi<Pi(max )
O sea, si las restricciones de desigualdad no son violadas los
correspondientes términos no existen.
Los valores de Pi i=1, .. .. . ,ng que minimizan L son los que anulan las
derivadas parciales:
∂L∂P i
=0
∂L∂ λ
=0
∂L∂ μ i(max )
=Pi−P i(max )=0
∂L∂ μ i(min )
=Pi−Pi(min )=0
“Se activan” cuando alguna o algunas restricciones son violadas en uno
o varios generadores:
La primera condición, y resolviendo el problema sin considerar en
primera instancia las restricciones de desigualdad resulta en:
∂C t
∂P i
+λ (0+∂PL
∂Pi
−1)=0
como:
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Reordenando los términos de la siguiente forma:
¿ j≠i ¿¿ ¿ngP j=
12 (1−B0 i−
β i
λ )¿Extendiendo la ecuación arriba a todas las plantas resulta en el siguiente
sistema linear de ecuaciones representado en su forma matricial:
[γ1
λ+B11 B12 . . B1 ng
B21
γ 2
λ+B22 B2 ng
. . .
. . .
Bng1 Bng2 . .γngλ
+Bngng
][ P1
P1
.
.Png
]=12 [ 1−B01−
β1
λ
1−B02−β2
λ..
1−B0 ng−βng
λ
]O en su forma abreviada:
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E .P=D
En la práctica se resuelve: P=E \ D
De la segunda condición:
∑i=1
ng
Pi=PD+PL
Siendo:
Pi=λ (1−B0 i)−βi−2 λ∑
j≠i
BijP j
2(γ i+λ .B ii)
Sustituyendo, nos queda:
∑i=1
ng λ (1−B0i )−β i−2 λ∑j≠i
B ijP j
2(γ i+λ .Bii )=PD+PL
o:
f ( λ )=PD+PL
La resolvemos por Newton-Raphson, siendo entonces (0) la estimación
inicial y (0) la pequeña desviación de la solución correcta tenemos:
f ( λ(0)+Δλ(0))=PD+PL
Expandiendo en series de Taylor hasta el término de primer orden:
f ( λ(0))+( df ( λ )dλ )(0)
Δλ(0 )=PD+PL(0)
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Conclusiones
El despacho de potencia reactiva se obtiene a través de la solución del
problema de flujo óptimo de potencia, para lo cual se emplean técnicas de
programación no lineal
El modelo de despacho óptimo de potencia reactiva respeta toda y cada una de
las restricciones funcionales que se le ingresan, no importando si son lineales o
no lineales, garantizando siempre la minimización de las pérdidas de potencia
activa en las líneas de transmisión.
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