dİk ÜÇgende metrİk baĞintilar
Post on 03-Jan-2016
77 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
www.muratguner.net
MURAT GÜNERASIM ÜLKER LİSESİ - 2004
a2 = b2 + c2Pisagor Bağıntısı
hh2 2 = p . k
cc2 2 = p . a
bb2 2 = k . a
222 c
1
b
1
h
1
Öklid Bağıntısı
p
k
c
b
2
2
B H Cpp kk
A
hhbbcc
aa
1.1. Pisagor ve öklid bağıntıları
www.muratguner.net
2.2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir.
3k
4k
5k
5k
12k
13k
8k
15k
17k
7k
24k
25k
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
9
12
x = ?5
12
y = ?16
30
z = ?
3.3
4.3
x = 5.3 = 15 5
12
y = 138.2
15.2
z = 17.2 = 34
ÇÖZÜM
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A
B C
x
3x – 3
13 x = ?
( 3x – 3 )( 3x – 3 )22 + x + x2 2 = = 131322
9x2 – 18x + 9 + x2 = 169
10x2 – 18x + 9 = 169
10x2 – 18x – 160 = 0
xx = 5 = 5
5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu
yapma!
www.muratguner.net
ÇÖZÜMÇÖZÜM
ÖRNEK ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde
ha + hb + hc = ?
B H C
86
A
l BC l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni)
A ( ABC ) = = 24 2
8 . 6
A ( ABC ) = = 24 2
.10h a ha . 10 = 48 ha = 4,8
hhbb = 6 = 6hhc c = 8= 8
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Şekilde ABC dik üçgenindea2 + b2 + c2 = 128 ise
a kaç birimdir ?
B C
bc
A
a
a2 = b2 + c2 a2 + b2 + c2 = 128
a2 + a2 = 128
2 a2 = 128
a2 = 64 a = 8
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
.
x
11
20
x = ?
A B C
D
13
yy
l AB l = yy olsun.
132 = x2 + y2
202 = x2 + ( y +11 )2
400 = x2 + y2 + 22y +121
400 = 169 + 22y +121
400 – 290 = 22y
110 = 22y 5 = y
x = 12x = 12 ( 5 -12 -13 )( 5 -12 -13 )
www.muratguner.net
5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu
yapma!
-
ÇÖZÜM
yy = 9 ( 3k – 4k – 5k )( 3k – 4k – 5k )
l AC l2 = 122 + 162
ÖRNEK
l AC l = ?7
12B C
A
15
E
yy
l AC l2 = 144 + 256 l AC l2 = 400 l AC l = 20l AC l = 20
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
.
A
CB
K3
5
x
34
Şekilde ABC üçgeninde x = ?
l BK l = 4l BK l = 4 x2 = 42 + ( 4 )2
xx22 = 16 +
x2 = 64 xx = 8
( 3 – 4 – 5 üçgeni ) ( 3 – 4 – 5 üçgeni )
Birinci üçgende
İkinci üçgende
3
48
4
www.muratguner.net
ÇÖZÜMÇÖZÜM
ÖRNEK ÖRNEK
Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ?l AH l = ?
B H C3 6
A
l AH l = hl AH l = h olsun
hh
hh2 2 = l BH l . l HC l
hh2 2 = 3. 6
hh2 2 = 18 hh = 23
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B H C
Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ?
4 9
x
A
xx2 2 = l BH l . l BC l
xx2 2 = 4. 13
xx2 2 = 52
(Öklid Bağıntısı )(Öklid Bağıntısı )
132xx =
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Şekilde verilenlere göre
B H Cx 4x
c
A
?x
c
cc2 2 = l BH l . l BC l
cc2 2 = x. 5x.
cc2 2 = 5x2
cc =
x c
5. x
5x
(Öklid Bağıntısı )(Öklid Bağıntısı )
5 x
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
42 = y . ( 6 + y )
l AD l = l AD l = yy olsun
.
.
4x
6
x = ?
A
B C
Dyy
16 = 6y + y2
0 = y2 + 6y – 16 y = 2
x2 = y . 6
x2 = 2 . 6
x2 = 12
xx = 32
( Öklid )
( Öklid )
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B H C
4
x
41
Al AK l = 4 . l BK l ise x = ?
K
l AK l = 4 . l BK l ise l BK l = a , l AK l = 4a
a
4a
4422 = l BK l . l KA l
1616 = a.( 4a )
aa22 = 4
aa = 2
l AH ll AH l22 = 82 + 42l BK l = a , l AK l = 4a
l AH ll AH l22 = 64 + 16
l AH ll AH l22 = 80
xx22 = lAHl2 + lHCl2
xx22 = 80 +
xx22 = 121
2) 41 (
xx22 = 80 + 41
xx = 11
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B C
bc
A
H
?c
b ise
2
1
HC
BH
l BH l
l HC l
c
b
l
2 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B C
bc
A
H
? AH
ise
0 2 BC ve 3
4
c
b
3
4
c
b
3k
4k
c
b
5k BC ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )
5k BC = 20 k = 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1999199919991999
B Hx
A
K20
16
Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ?
l KH l = h = 12 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )
12122 2 = l BK l . 16
l BK l = 9
( 3k – 4k – 5k Üçgeni )
l BH l = x = 15 B Hx
A
K20
16
99 1212
( Öklid Bağıntısı )
www.muratguner.net
A
B H C
l AH l = l BH l = l HC iseise
3.3. MUHTEŞEM ÜÇLÜ
l AH l = l BH l = l HC ll AH l = l BH l = l HC l
A
B H C
m ( A ) = 90m ( A ) = 90°°
m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
ÇÖZÜMÇÖZÜMB H C
Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise
l AC l = ?10
A
13
1313 1313
10
B H C
A
13l AC l = 24
( 5k–12k–13k Üçgeni ( 5k–12k–13k Üçgeni ))
l BH l = l HC l ise muhteşem üçlümuhteşem üçlü gereği
l BH l = l HC l = l AH l = 13
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B H C
Şekilde ABC dik üçgeninde lABl = ?
7
A
10
7
7
!?!? l AB l2 + 102 = 142
l AB l2 + 100 = 196
l AB l2 = 196 – 100
l AB l2 = 96
l AB l = 4 6B H C7
A
10
7
7
Muhteşem üçlüüçlügereği 90gereği 90°° olmalı olmalı
www.muratguner.net
ÖRNEK
6
8x
A
B H D C
l BD l = l DC l ise x = ?
ÇÖZÜM
6
8x
A
B H D C
l BD l = l DC l ise [ AD ] kenarortaydır[ AD ] kenarortaydır..
l AD l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )
1010 l BD l = l DC l = l AD l ( Muhteşem … )
44 1010
l BH l = 10 – 6 = 4
5 4x2 = 82 + 42
x2 = 80
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
B H C
A
5 12
ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
l BF l = l FA l = l FH l = 5 ; ; muhteşem… muhteşem…
l AK l = l KC l = l KH l = 12 ; ; muhteşem… muhteşem…
l BC l = 26 ; 5k – 12k – 13k Üçgeni; 5k – 12k – 13k Üçgeni
B
A
H C
5 12
FK
5
512
12
Ç (ABC ) = 10 + 24 +26
= 60
www.muratguner.net
Dik üçgende 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.
60°
30°
60° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının katına eşittir.
3
2a2aaa
60°
30°
2a
3a
4. 4. ÖZEL DİK ÜÇGENLER
www.muratguner.net
İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarlardan birinin katına eşittir. 2
45°
45°
a
a
2a
www.muratguner.net
l BC l = 2 h l BC l = 2 h dır. 2
A
67,5° 22,5°
B C
h
H
l BC l = 4h l BC l = 4h dır.
A
75° 15°
B C
h
H
m ( B ) = 75m ( B ) = 75°°
m ( B ) = 67,5m ( B ) = 67,5°°
67,5° – 22 ,5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?
B C20
x
A
60°
3.2
20x 310
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?
.
4
x
30°
2
x4 x = 8
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?
.
3
x
45°
x =
.
3
45°
4545°°
3
2 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜMA B
H
C
5
13
12
x
x = ?
l HB l = l HB l = 12 ( 5 – 12 – 13 Üçgeni )
l AB l = x = 12 l AB l = x = 12 2 ( 45° – 45° - 90° üçgeni )
1212
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜMC
A
67,5°
B
22,5°
l AB l = 2 cm ise A( ABC ) = ?
C
A
67,5°
B
22,5°22,5°45°
45°2D
2
22 22
2
2 . ) 2 2 2 ( ) ABCA(
2 2 2 ) ABCA(
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
y
l AB l = yy olsun.
52 = x2 + y2
x x.
B D C
Al BD l = l DC l , l AD l = 5 cm
132l ACl
İse l AB l kaç cm’ dir?
5
132
222 ) 132 ()2x (y
y2 + 4x2 = 52
x = 3
y = 4y = 4
y2 + x2 + 3x2 = 52
25 + 3x2 = 52
3x2 = 52 – 25
3x2 = 27
x2 = 9 ; 3 – 4 – 5 üçgeni; 3 – 4 – 5 üçgeni
33
www.muratguner.net
ÖRNEK ÖRNEK
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?
B H C6
x
A
60°
3030°°6060°°
B H C6
x
A
60°3030°°
2
x
2 2
x 6
x
2
x62x 6
2
x2x
62
3x 123x
4x
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜMA BD
C
45°30°
? DC
CA
A BD
C
45°30°aa
aa aa 22
2a2a
DC
CA 2a
2
22
2
2
2
2a
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
30°
A
B C
x
45°
60°45°
H
6
l AH l = 3 ; 30° nin karşısındaki...
33l BH l = 3 ; İkizkenar dik
üçgen
1996-ll1996-ll1996-ll1996-ll
30°
A
B C
x
l AB l = ?
45°
6
33
; İkizkenar dik üçgen
x =
www.muratguner.net
www.muratguner.net
1. İkizkenar üçgende [ BC ] tabanına ait yükseklik ,açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır.
l AH l = Vl AH l = Vaa = n = naa =h =haa
2. İkizkenarlara ait yükseklikler birbirine ,açıortaylar birbirine ve kenarortaylar birbirine eşittir.
hb hc
A
B C
A
B C
nb nc
A
B C
Vb Vc
hhbb = h = hcc nnbb = n = ncc VVbb = V = Vcc
B
A
CH
www.muratguner.net
3.3. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı ikizkenarlardan birine ait olan yüksekliğe eşittir.
D [ BC ] , l AB l = l AC l ise
l DE l + l DF l = hb = hc
F
E
B C
A
D
Yani ;Yani ;
www.muratguner.net
4.4. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı ikizkenarlardan birinin uzunluğuna eşittir.
D [ BC ] , l AB l = l AC l , DF // AC , DE // AB ise
l DE l + l DF l = l AB l = l AC l = b
Yani ;Yani ;
B
FE
A
D C
www.muratguner.net
55 İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları farkı ikizkenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.
D BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE AC , DF AB
isel l DF l – l DE l l = hb = hc
Yani ;Yani ;
A
B C D
F
E
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
15 15
144
x
x = ?
15 15
144
x
A B
C l AD l = l DB l ; ; İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır.
M
l MD l = 9 – 4 = 5
x = 13x = 13 ; 5 – 12 – 13 üçgeni
144D
9955
12 l CD l = 12l CD l = 12 ; 5 – 12 – 13 üçgeni
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
FE
BC
A
D
Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ?
53
30°
FE
BC
A
D
53
30°
hc= 8
hc =
l AB l = l AC l = 16
3 + 5 = 8
İkizkenarlara çıkılan İkizkenarlara çıkılan dikmelerin toplamı dikmelerin toplamı ikizkenarlardan birinin ikizkenarlardan birinin yüksekliğine eşittir.yüksekliğine eşittir.
;;
3030°° nin karşısındaki kenar… nin karşısındaki kenar…;;
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
120°
30°
A
B C
4
l BC l = ?
120°
30°
A
B C
4
30°
60°60°
H
44
l AH l = 2 ; 30° nin karşısındaki …..
22l HC l = ; 60° nin
karşısındaki …
l BC l =
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
l AB l = 2 ise l BC l = ? 105°
60°
A
B C
60° 30°
15°
15°
105°
2
44
22 33
22 33
A
B D C
2l BD l2 l BD l = 4
32 24
l AD l = 3 =
l BC l = 34 + 2
www.muratguner.net
1999199919991999ÖRNEK
ÇÖZÜM
30°
30°
x
M
L
6
2
B
D
A
AL // MB , l AD l = 6 cm l BD l = 2 olduğuna göre l ML l = x kaç cm dir?
30°
30°
x
M
L
6
2
B
D
A
22
30°
K
; ( İçters açı ); ( İçters açı )M( AKB ) = 30°
xx2
8x x = 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
x
x + 7
7
A
DB C
E 24
l DC l = 7br , l AD l = 24br , l AE l = l EB l ise l BD l =?
İkizkenar üçgende yükseklik İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır.tabanı iki eşit parçaya ayırır.l AC l = l BC l
7
A
DB C
E24
;
x + 7 = 25 7 – 24 – 25 Üçgeni7 – 24 – 25 Üçgeni;
x = 18
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?
10
10
B
A C
D
12
x
12
10
10
B
A C
D
x
66
66E
102 = 6.( 12 + x )
100 = 72 + 6x
100 – 72 = 6x
28 = 6x
14 / 3 = x 14 / 3 = x
www.muratguner.net
www.muratguner.net
VVaa = n = naa =h =ha a = = xxVVbb = n = nbb =h =hb b = = xxVVcc= n= ncc =h =hc c = = xx
23a
x
A
B C
60° 60°
60°
aa aa
aa
ha
na
Va
H
2.2. Bütün yükseklik , açıortay ve kenarortay eşittir.
1.1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar.
www.muratguner.net
3. 3. Eşkenar üçgende üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı , bir yüksekliğe eşittir.
[ MD ] [ AB ] , [ DK ] [ AC ] , [DN ] [ BC ] ise
l DK l + l DM l + l DN l = h =
Yani ;Yani ;
D
A
B C
K
N
Mh
www.muratguner.net
4. 4. Eşkenar üçgende , üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklar toplamı, üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
[ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise
l DK l + l MD l + l DN l = a a
D
A
B C
K
N
M
a
Yani ;Yani ;
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM l BC l = 2.l CD l = 2 l CD l = 1 , l BC l = 2
ABC eşkenar üçgen ,
l BC l = 2.l CD l = 2 cm ise x = ?
B C D
A
xx
B C D
A
60° 60°
60°
11
22
1111 H
223
222 ) 3 (2x
34x2 7x
l BH l = l HC l = 1 ; ; Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır.
l AH l = 3 ; 60; 60°° nin nin karşısındaki….karşısındaki….
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen
l AE l = 2.l EF l ve l FC l = 10 ise
A
B C
E
F
l BF l = ?l BF l = ?
l AE l = 2.l EF lA
B C
E
F60° 60°
60°
10
l EF l = l EF l = x x , l AE l = , l AE l = 2x2x
x
x
x
2x
6x = x + 10
30°
2x + 10
3x
5x = 10
x = 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
6060°°6060°°
A
D C
B
l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm
m( ADC ) = m ( BCD ) = 60°
ise l DC l = x kaç cm ’ dir?
A
B
CD
6060°°6060°°
5
7
E 6060°° 3030°°
6060°°
6060°°5
4
5
5
2
4
l DC l = x = 4 + 5 = 9
www.muratguner.net
ÖRNEK 1997-l1997-l1997-l1997-l
ÇÖZÜMA
D
B CE
3
2
lDA l
l DC l l DC l = 2k ,l DA l = 3k
k
4k
l EC l
l EB l 4
l EC l
l EB l
A
D
B C
Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler ,
E
?l EC l
l EB l ise
3
2
lDA l
l DC l
2k
3k
6060°°
3030°°
k4k
www.muratguner.net
ÖRNEK 1996-l1996-l1996-l1996-lC
D
OA B
EL
xx
Yandaki şekilde ABC ve DOC eşkenar üçgenler , l CL l = l LB l l AO l = l OB l , [ DE ] // [ AB ] ve l DE l = 8 cm olduğuna göre l OL l = x kaç cm dir?
ÇÖZÜM
3.2
h8 3.3
16h
2
3)2x (3.
3
16
3
16x
D
OA B
C
EL88
6060°°6060°°
3030°°
3030°° xxxx
xx
l OC l = h olsun
Eşkenar Eşkenar üçgende üçgende yükseklik yükseklik tanımıtanımı
;
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir.[ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ][DF ] // [ AB ] ve l ABl = 6 br ise l DF l + l GD l + l DE l = ?
D
A
B C
E
F
G
l DF l + l GD l + l DE l = l AB l = 6
www.muratguner.net
top related