diskrete strukturen · 2010. 6. 8. · diskrete strukturen 30/328 >induktive beweise aussagen...

Post on 30-Mar-2021

5 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

Diskrete Strukturen

Dietmar Lammers Vorlesung SoSe 2010wissen lebenWWU Münster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 15/328

> Logik

Die Nacht war kalt und sternenklar,Da trieb im Meer bei NorderneyEin Suahelischnurrbarthaar.Die nächste Schiffsuhr wies auf drei.Mir scheint da mancherlei nicht klar,Man fragt doch, wenn man Logik hat,Was sucht ein SuahelihaarDenn nachts um drei am Kattegatt?

(J. Ringelnatz)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 16/328

> Was ist Logik?

I Formale Logik ist die Sprache der Mathematik undInformatik

I Eindeutige Sprache eindeutige und nachvollziehbareSchlüsse

I Formale Sprache formale (maschinelle) Beweise.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 17/328

> Zweiwertige Prädikatenlogik

I Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium nondatur

I Aussagen setzen sich aus Teilaussagen zusammen.I Ein (n-stelliges) Prädikat ist eine Aussage mit n

Leerstellen:_1 ist-mächtiger-als _2 [ P(x , y) ]

I Quantoren binden Freistellen:∀x : P(x) bzw. ∃x : P(x)

I Junktoren verknüpfen Aussagen:x ∧ P(y)→ Q(y)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 18/328

> Wichtige Junktoren

I A ∧ B - A und B müssen geltenI A ∨ B - A oder B muss geltenI A→ B - Wenn A gilt,gilt auch BI A↔ B - A gilt genau dann, wenn auch B gilt

Man kann die Werte der Relationen über Wahrheitstafelngenau festlegen.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 19/328

> Syntax und Semantik

I Sprache hat Syntax und SemantikI Syntax ist die Theorie, Sematik das Modell. Die

Bedeutungsfunktion liefert erst den Zusammenhang.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 20/328

> Theorien

Drei wichtge Begriffe für Theorien:I Korrektheit (soundness): Ein System ist korrekt genau

dann, wenn keine formale Ableitung in der Theorie zueinem Widerspruch im Modell führt.

I Widerspruchsfreiheit oder Konsistenz (consistency ) istgegeben, wenn es keine Formel A gibt, für die sichsowohl A als auch ¬A ableiten lässt.

I Vollständigkeit (completeness) ist gegeben, wenn sichjede im Modell wahre Aussage auch formal herleitenlässt.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 21/328

> Definitionen

DefinitionEine Definition ist ein Vereinbarung über eine abkürzendeSchreibweise für eine Reihe von Eigenschaften. Ein Begriffist wohldefiniert, wenn das definierte Objekt existiert, und dieDefinition widerspruchsfrei ist.Wichtig ist auch die Überprüfbarkeit, d.h. das man beweisenkann, das ein Objekt tatsächlich diese Definition erfüllt, odereben nicht.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 22/328

> Induktive Definitionen

Interessant sind induktive Definitionen: Man gibt einzelne(initiale) Elemente an, und Konstruktionsregeln, wie man ausdiesen zu neuen Elementen kommt. Oft kommt dann nocheine Eindeutigkeitsregel dazu, z.B. "kleinste Menge mitdieser Eigenschaft", etc.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 23/328

> BSP Induktive Definition - Binärbaum

DefinitionEin Binärbaum über einer Menge M ist ein Ausdruck B, derfolgende Bedingungen erfüllt:

1. Für alle Elemente m aus M ist m ein Binärbaum.2. Wenn a und b Binärbäume sind, so ist auch (a.b) ein

Binärbaum.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 24/328

> BSP Ind. Def. N - nach Peano

DefinitionDie Menge der natürlichen Zahlen - N

1. 0 ∈ N2. ∀n ∈ N existiert genau ein Nachfolger n

′ ∈ N.3. ¬(∃n ∈ N : 0 = n

′)

4. ∀n ∈ N : (n = m′ ∧ n = k

′)→ m = k

5. Von allen Mengen X, welche die Zahl 0 und mit jedernatürlichen Zahl n auch deren Nachfolger enthalten, istN die kleinste.

(Quelle: wikipedia, 3/2009)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 25/328

> Was ist ein Satz / Theorem?

Wichtigere Erkenntnisse, die nicht unmittelbar klar sind,formuliert man in Sätzen bzw. Theoremen. Der Aufbau istdabei i.A. so, das aus Voraussetzungen (die ggf. auchimplizit sein können) auf Folgerungen daraus geschlossenwerden:A→ B bzw.A↔ B verkürzt für (A→ B) ∧ (B → A)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 26/328

> Was ist ein Beweis?

I Streng: Eine formale Herleitung einer Aussage aus denAxiomen in einem formalen System

I Mindestens: Eine semiformale Herleitung einerFolgerung aus (allen) Voraussetzungen, bei denen dieEinzelschritte gut nachvollziehbar sind und ggf. auchvollständig im formalen System formuliert werdenkönnten.

I Nicht: Eine schwammig begründeteMeinungsäusserung oder ein Votum.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 27/328

> Beweistechniken (1)

Sei der Satz A→ B zu beweisen. Das kann man aufmehrere Arten machen.

direkt: Man nimmt an, das A gilt, und leitet daraus mitgültigen (formalen) Schritten B ab.

indirekt: Man nimmt an,das B nicht gilt, und folgertdaraus, das dann auch A nicht gilt.

durch Widerspruch: Man nimmt an, das gilt A ∧ ¬B, undleitet daraus eine Widerspruch zu einer gültigenAussage ab.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 28/328

> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (1)

TheoremEs gibt keine bijektive Abbildung zwischen einer Menge Mund ihrer Potenzmenge 2M .

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 29/328

> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (2)

Beweis.Angenommen f : M− > 2M wäre so eine BijektiveAbbildung, und sei C := {y ∈ M|y /∈ f (y)} Es ist sicherC ∈ 2M . Dann hat C unter f ein Urbild x := f−1(C) in M. xkann nun entweder in C liegen. oder nicht. Wir können alsozwei Fälle annehmen:

1. Wenn x ∈ C, dann ist x /∈ f (x) = C - Widerspruch!2. Ist anderernfalls x /∈ C, dann ist x ∈ f (x) = C -

Widerspruch!

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 30/328

> Induktive BeweiseAussagen über induktiv definierte Strukturen kann man oftam besten auch induktiv beweisen. Der Beweis vonEigenschaften aller Elemente der Struktur geht dannfolgendermassen:

1. Ich weise die Eigenschaft für die kleine Menge derbenannten (initialen) Elemente nach - derInduktionsanfang (IA)

2. Ich weise für alle Konstruktionsregeln nach, das dieEigenschaft für das konstruierte Element gilt, wenn siebereits für die zur Konstruktion verwendeten Elementegalt. - der Induktionsschritt (IS)

Da alle Elemente so erzeugt werden, ist damit dieEigenschaft für alle Elemente der Struktur bewiesen.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 31/328

> Beispiel: Induktionsbeweis (1)

Theorem (Fundamentalsatz der Artithmetik)

Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich

(bisaufdieReihenfolge)eindeutig

als Produkt von Primzahlen darstellen.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 32/328

> Beispiel: Induktionsbeweis (2)

Beweis.IA: Für n = 2 ist die Behauptung offenbar richtig.IS: Sei die Aussage nun für alle Zahlen, die kleiner als nsind, korrekt. Für n haben wir zwei Möglichkeiten:

1. n ist eine Primzahl. Dann stimmt die Behauptung.2. n = mk für zwei Zahlen m und k , die kleiner als n sind.

Dann gilt die Induktionvoraussetzung für m und k , esgibt also Primzahlen pi mit m = pe1

1 pe22 ...p

ell und

k = qf11 qf2

2 ...qeoo , und damit eine Darstellung

n = pe11 pe2

2 ...pell qf1

1 qf22 ...q

eoo

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 33/328

> Mengenalgebra

1) A = A Law of double complement2) A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B DeMorgan’s laws3) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A Commutative laws4) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Associative laws

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Distributive laws

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 34/328

> Mengenalgebra

6) A ∪ A = A, A ∩ A = A Idempotent laws7) A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A Identity laws8) A ∪ A = U , A ∩ A = ∅ Inverse laws9) A ∪ U = U , A ∩ ∅ = ∅ Domination laws

10) A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A Absorption laws

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 35/328

> Logik-Algebra

Man findet die gleiche Gesetze in der formalen Logik, wennman

1. ∩ durch ∧,2. ∪ durch ∨,3. durch ¬,4. ∅ durch f und5. das Universum U durch w ersetzt:

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 36/328

> Logik-Algebra

1) ¬¬a = a Law of double complement2) ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b, ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b DeMorgan’s laws3) a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a Commutative laws4) a ∨ (b ∨ C) = (a ∨ b) ∨ C associative laws

a ∧ (b ∧ C) = (a ∧ b) ∧ C5) a ∨ (b ∧ C) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ C) Distributive laws

a ∧ (b ∨ C) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ C)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 37/328

> Logik-Algebra

6) a ∨ a = a, a ∧ a = a Idempotent laws7) a ∨ f = a, a ∧ w = a Identity laws8) a ∨ ¬a = w , a ∧ ¬a = f Inverse laws9) a ∨ w = w , a ∧ f = f Domination laws

10) a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a absorption laws

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 38/328

> Logik/Mengen-Algebra - Beweise

(Einfache) Logische Aussagen kann man mit Wahrheitstafelnverifizieren, die alle möglichen Wertkombinationen erfassen.Genauso kann man die Aussagen über Mengen verifizieren,indem man den Wert der Zugehörigkeitsfunktion χMbetrachtet.

DefinitionFür jede Menge M sei die Zugehörigkeitsfunktion χMdefiniert durch

χM(x) :=

{1 falls x ∈ M0 falls x /∈ M

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 39/328

> Anwendung der Algebra

Man kann mit den oben gelistetetn Regeln vieleZusammenhänge einfach direkt beweisen, etwa

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 40/328

> Anwendung der Algebra

TheoremFür zwei Mengen A und B gilt

A− B = A ∪ B

Beweis.A− B = A ∩ B = A ∪ B = A ∪ B

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 41/328

> Relationen

DefinitionSeien A und B, und für n ∈ N seien A1,A2, ...An Mengen

1. Eine Teilmenge R ⊆ A× B heißt (binäre) Relation von Aund B. Für zwei Elemente a ∈ A, b ∈ B schreibt manstatt (a,b) ∈ R meist kurz: aRbIst A = B, spricht man auch von einer Relation auf A.

2. Eine Teilmenge R ⊆ A1 × A2 × ...An heißt (n-Stellige)Relation über A1, ...,An.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 42/328

> Relationen - Beispiele

Für geordnete Zahlenmengen sind =, <, ≤, ... beliebteBeispiele von Relationen - so geläufig, das man sie meistgar nicht als Teilmengen sieht:3 < 4 wird meist nicht interpretiert als (3,4) ∈<,<⊆ (N× N)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 43/328

> Relationen - Beispiele

Für Wörter über einem Alphabet kann man z.B. die nützlicheRelation “ist Anfangswort von” definieren.Verwandschaftsbeziehungen bei Menschen sind Relationen- “ist Tante von”, “ist Elternteil von”, “ist Kind von”, ...

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 44/328

> Relationen - Beispiele

Relationale Datenbanken bestehen im wesentlichen ausmehrstelligen Relationen, die den Zusammenhang derDaten herstellen. Sie sind in Tabellen geordnet, diewesentlichen Operationen sind:

project: Wähle Teilspalten einer Tabelleselect: Wähle aus einer Tabelle die Einträge, die angegebenen

Bedingungen genügen, undjoin: verknüpft Werte anhand von korrespondierenden

Werten

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 45/328

> Relationen - Darstellung

Binäre Relationen auf kleinen Mengen kann auch als Matrixdarstellen:R ⊂ {o0, ...,om} × {p0, ...,pn}

R ∼= (rij)i=0,...,m j=0,...,n mit rij =

{1 falls (oi ,pj) ∈ R0 sonst

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 46/328

> Eigenschaften von Relationen (1)

Definition (transitv, reflexiv, symmetrisch, ...)

Eine Relation R über M ×M heißt genau dann1. symmetrisch, wenn ∀a,b : aRb → bRa2. antisymmetrisch, wenn ∀a,b : (aRb ∧ bRa)→ a = b3. transitiv, wenn ∀a,b, c : (aRb ∧ bRc)→ aRc4. reflexiv, wenn ∀a ∈ M : aRa

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 47/328

> Eigenschaften von Relationen (2)

Definition (transitv, reflexiv, symmetrisch, ...)

Eine Relation R über M ×M heißt genau dann1. Aequivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und

symmetrisch ist.2. partielle Ordnung oder Halbordnung, wenn sie reflexiv,

transitiv und antisymmetrisch

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 48/328

> Hasse-Diagramme

Bei einer Halbordnung R spricht man bei aRb auch von a alsVorgänger von b, gibt es kein Zwischenelement z mit aRzund zRb auch von a als direktem Vorgänger von b.Halbordnungen kann man so in Hasse-Diagrammenaufzeichnen. Knoten sind dabei die Elemente der Menge,ein direkter Vorgänger wird unter seinen Nachfolgergeschrieben, und beide mit einer Kante verbunden.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 49/328

> Aequivalenzklassen

DefinitionFür eine Aequivalenzrelation A auf einer Menge M heisst fürjedes x ∈ M die Menge definiert durchEquiv(x ,A) := {y ∈ M|(x , y) ∈ A} die Aequivalenzklassevon x (bzg. A).

Für jede Aequivalenzrelation bilden die (diskunkten)Aequivalenzklassen eine Partition der Ausgangsmenge, d.h.die Vereinigung aller Aequivalenzklassen einerAequivalenzrelation ergibt die Gesamtmenge:

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 50/328

> Aequivalenzklassen

TheoremAequivalenzklassen sind gleich oder haben einen leerenSchnitt

Beweis.Sei X := Equiv(x ,A) und Y := Equiv(y ,A) Wenn X ∩ Y =ist der Satz erfüllt.Es gebe also nun ein w ∈ X ∩ Y , und sei z ∈ X beliebig,Dann gilt xAz → zAx ∧ xAw → zAw , weiter yAw → wAy ,zusammen zAy , also z ∈ Y und damit X ⊂ Y .Analog folgert man Y ⊂ X , zusammen X = Y .

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 51/328

> BSP Aequivalenzklassen

DefinitionSei für Z die Relation =5 definiert durch

a =5 b ↔ ∃k ∈ Z : b = k ∗ 5 + a

Beispiel

Es gilt Z = Equiv(0,=5) ∪ Equiv(1,=5) ∪ ... ∪ Equiv(4,=5)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 52/328

> Ref.-Trans. Hülle

DefinitionSei R ⊂ M ×M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexiveHülle R∗ von R definiert als die kleinste Menge mit folgendenEigenschaften:

1. ∀a ∈ M : (a,a) ∈ R∗

2. R ⊂ R∗

3. ∀a,b, c : ((a,b) ∈ R∗ ∧ (b, c) ∈ R∗)→ (a, c) ∈ R∗

Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch vontransitiv-reflexiver Fortsetzung.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 53/328

> Ref.-Trans. Hülle

I Für a,b ∈ R∗ gilt dann entweder a = b, oder∃n,a1, ...,an : a = a1,a1Ra2,a2Ra3, ...,an−1Ran = b

I Das kann man auch “mechanisch” interpretieren, z.B.bei der Interpretation von Programmen.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 54/328

> Abbildende Relationen

DefinitionEine Relation R über A× B heißt

I linkstotal, wenn gilt: ∀a ∈ A∃b ∈ B : aRbI rechtsstotal, wenn gilt: ∀b ∈ B∃a ∈ A : aRbI linkseindeutig, wenn gilt: ∀a,b, c : (aRb ∧ cRb)→ a = cI rechtseindeutig, wenn gilt:∀a,b, c : (aRb ∧ aRc)→ b = c

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 55/328

> Funktionen

Definition

1. Eine rechtseindeutige Relation f ⊂ A× B heißt partielleFunktion oder Abbildung von A nach B.

2. Eine linkstotale partielle Funktion (also rechtseindeutigeRelation) f ⊂ A×B heißt (totale) Funktion von A nach B.

3. Statt (a,b) ∈ f ⊂ M × N schreibt man bei Funktionenüblicherweise f : M → N,b = f (a) oder a 7→ f (a) bzw.a 7→ b

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Diskrete Strukturen 56/328

> Funktionen

Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutigeRelationen.

Definition

1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oderSurjektion

2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktionoder Injektion

3. Eine surjektive und injektive Funktion heißt bijektiveFunktion oder auch Bijektion.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 57/328

> Funktionen

Definition

1. Zu f : N → M istf (N) := {m ∈ M|∃n ∈ N : m = f (n)} das Bild von Nunter f , undf−1(M) := {n ∈ N|f (n) ∈ M} das Urbild von M bzgl. f .

2. Zu f : N → M ist für alle m ∈ Mf−1(m) := {n ∈ N|f (n) = m} das Urbild von m unter f .

3. Bei injektiven Funktionen ist das Urbild eindeutig, manidentifiziert das eine Element dann mit der Menge undspricht bei f−1 von Umkehrfunktion.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 58/328

> Bijektive Funktionen

1. Mengen M,N mit einer bijektiven Abbildung f : M → Nsind in gewisser Weise gleich.

2. DefinitionZwei Mengen M,N sind gleich mächtig (haben gleicheKardinalität), in Zeichen |M| = |N|, wenn es eine Bijektionzwischen ihnen gibt.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 59/328

> Unendliche Mengen

I |N| =∞I |Q| =∞I |R| =∞I |Z| =∞ ...I Aber: |R| = |N| ?

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 60/328

> Unendliche Mengen

Es gibt offenbar unterschiedliche Unendlichkeiten.Das folgt auch schon aus dem Satz, das es keine Bijektionzwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge gibt.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 61/328

> Unendliche Mengen

Tatsächlich gilt:I |N| = |Z| = |{n2|n ∈ N}| = ... = ℵ0

- die abzählbar unendlichen Mengen. (Beweisen!)I Auch: |N| = |Q|

(Beweis: Cantos 1. Diagonalargument)I Aber |N| 6= |R| = ℵ

- die überabzählbar unendlichen Mengen(Beweis: Cantors 2. Diagonalargument)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 62/328

> Cantors Kontinuumshypothese

TheoremEs gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen derMächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit derreellen Zahlen liegt.

Diese These ist das 1. Problem auf David Hilberts Liste der23 wichtigsten ungelösten Probleme.Inzwischen ist klar, das sie unter ZFC nicht beweisbar ist,d.h. sowohl die Annahme der Kontinuumshypothese wieauch deren Verneinung führen im üblichen Axiomensystemder Mathematik nicht zu Widersprüchen.

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 63/328

> Unendliche Mengen

Wie real ist das Unendliche? (SdW 3/2009)

,,

wis

sen

lebe

nW

WU

Mün

ster

WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER

Diskrete Strukturen 64/328

> Berechenbarkeit - Das Wortproblem

I Welche Probleme können überhaupt gelöst werden?I Modellierbar: Probleme sind (universelle) Maschinen,

Lösungen sind Eingaben dazu. Man redet dann stattvon korrekten Lösungen auch von (Wörtern der)Sprache, die die Maschinen akzeptieren.

I Lösungen L := {l |l löst das Problem P}.I Wenn man eine effiziente Maschine angeben kann, die

entscheiden kann, ob eine Lösung zu L gehört, ist dasProblem entscheidbar.

,,

top related