download gratis bøger på ventus.dk / bookboon -...
Post on 07-Feb-2018
247 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
Formelsamling til matematik
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
Formelsamling til matematik
© 2005 Ventus Publishing ApS
ISBN 87-7681-001-1
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
4
Formelsamling til matematik Indholdsfortegnelse
1. Brøkregning2. Procentregning2.1 Gennemsnitlig procent2.2 Ligevejet gennemsnit2.3 Vejet gennemsnit2.4 Indekstal3. Rentesregning3.1 Fremskrivning3.2 Tilbageskrivning3.3 Effektiv rente4. Annuitetsregning4.1 Fremtidsværdien af en annuitet4.2 Nutidsværdien af en annuitet4.3 Annuitetsydelse5. Potensregneregler6. Linier6.1 Ligninger for linier7. Parabeler8. Trekanter8.1 Retvinklede trekanter8.2 Vilkårlige trekanter9. Funktioner9.1 Funktionsbegrebet9.2 Sammensat funktion9.3 Omvendt funktion
10. Polynomier10.1 Lineær funktion10.2 Andengradspolynomium10.3 Faktorisering af parabel10.4 Polynomium af grad n11. Asymptote for polynomiumsbrøker 11.1 Vandret asymptote11.2 Skrå asymptote11.3 Lodret asymptote12. Logaritmefunktioner12.1 Logaritmefunktion med grundtal 1012.2 Regneregler12.3 Den naturlige logaritmefunktion12.4 Regneregler12.5 Sammenhæng mellem log og ln13. Ekspotentielle funktioner13.1 Eksponentialfunktion med begyndelsesværdi ≠ 113.2 Fordoblingskonstant T213.3 Halveringskonstant T½13.4 Den omvendte funktion for en eksponentialfunktion
81010101011121213131414
14
151618192123232426262727
Indholdsfortegnelse, niveau B292929303133
3334343535
3536
3637
3838
404141
NNE Pharmaplan er en af verdens førende rådgivende ingeniørvirksomheder med speciale i konsulent- og ingeniørydelser til den farmaceutiske og bioteknologiske industri. NNE Pharmaplan er et datterselskab til Novo Nordisk. Vi har mere end 1500 ansatte fordelt på 22 kontorer rundt om i verden.
Udfordringer...Bliv elev i NNE Pharmaplan. Du kan blive uddannet som kontorassistent, økonomiassistent og teknisk designer.
www.nnepharmaplan.com
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
5
Indholdsfortegnelse, niveau B14. Potensfunktioner14.1 Eksponent a14.2 Bestemmelse af b14.3 Den omvendte funktion af en potensfunktion15. Proportionalitet16. Trigonometriske funktioner16.1 Radianer 16.2 Cosinus , sinus og tangens 16.3 Regneregler16.4 Specielle funktionsværdier16.5 Trigonometriske grundligninger 16.6 Harmonisk svingning17. Lineære funktioner i to variable18. Differentialregning18.1 Differentiation af specielle funktioner18.2 Regneregler for differentiation
42424444
4546464646484950525354
55
19. Deskriptiv statistik19.1 Diskrete observationer19.2 Pindediagram19.3 Summerede frekvenser19.4 Trappediagram19.5 Grupperede observationer19.6 Søjlediagram (histogram)19.7 Summerede frekvenser19.8 Sumkurve20. Sandsynlighedsregning20.1 Regneregler for sandsynligheder21. Stokastisk variable21.1 Middelværdi μ21.2 Varians σ2
21.3 Standardafvigelse22. Binomialfordeling22.1 Fakultet22.2 Binomialkoeffi cient K(n, r)22.3 Binomialfordelt stokastisk variabel X22.4 Sandsynlighedsfunktion22.5 Middelværdi22.6 Varians σ2
22.7 Standardafvigelse σ23. Normalfordeling23.1 Normalfordelt stokastisk variabel X Stikordsregister for niveau B
57575859606163636466666869696970707070
717172727373
131
Formelsamling til matematik Indholdsfortegnelse
KOM TIL U-DAYS D. 4., 5. OG 6. MARTS 2010 OG LÆR MERE OM VORES UDDANNELSER
Internationale universitetsuddannelser
med rod i virkeligheden
Praktik
Studiejobs
ASB Alumni
Summer University
Corporate partners
ASB Karrierecenter
Studiemiljø i særklasse
Job- og CompanyDating
Danske og internationale forskere
Læs mere på www.asb.dk
U-DAYS
VIL DU SIKRE DIN FREMTID MED EN MÅLRETTET UNIVERSITETSUDDANNELSE INDEN FOR BUSINESS? LÆS MERE OM VORES UDDANNELSER PÅ WWW.ASB.DK
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
6
1. Vektorer i planen1.1 Regning med vektorer1.2 Vektor bestemt ved to punkter i planen1.3 Arealet af en trekant2. Linie i planen2.1 Ligning for linie2.2 Retningsvektor for linie3. Afstand i planen3.1 Afstand mellem to punkter3.2 Afstand fra punkt til linie4. Parabel5. Cirkel6. Ellipse7. Hyperbel8. Kvadratisk funktion i to variable9. Integralregning9.1 Stamfunktion9.2 Ubestemt integral9.3 Stamfunktion til specielle funktioner9.4 Regneregler for ubestemt integral9.5 Bestemt integral9.6 Regneregler for bestemt integral9.7 Arealberegning
Formelsamling til matematik Indholdsfortegnelse
77788486878788898990919395969899999999
100102102104
Indholdsfortegnelse, niveau A
10. Numerisk integration11. Differentialligninger12. Sandsynlighedsregning12.1 Regneregler for sandsynligheder13. Stokastisk variable13.1 Diskret stokastisk variabel13.2 Kontinuert stokastisk variabel13.3 Lineær transformation af stokastisk variabel X14. Binomialfordeling14.1 Binomialfordelt stokastisk variabel X14.2 Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling15. Normalfordeling15.1 Normalfordelt stokatisk variabel X15.2 Standardnormalfordelt stokastisk variabel U15.3 Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel X _15.4 Gennemsnit x af n uafhængige, identisk normalfordelte stokastiske variable16. Konfi densinterval16.1 Konfidensinterval for middelværdien μ i en normalfordeling med kendt varians σ216.2 Konfidensinterval for sandsynlighedspara- meteren p i en binomialfordeling Stikordsregister for niveau A
106109110111115115117118
120120122
124124124
125
127
128128
129
133
www.dfds.com/elever
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
7
NIVEAU B
Formelsamling til matematik Niveau B
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
8
Formelsamling til matematik Brøkregning
1. Brøkregning
To brøker ganges ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.
(1)
To brøker lægges sammen ved først at fi nde en fællesnævner. Derefter sættes de på fælles brøkstreg, og tællerne lægges sammen.
(2)
To brøker trækkes fra hinanden ved først at fi nde en fællesnævner. Derefter sættes de på fælles brøkstreg, og tællerne trækkes fra hinanden.
(3)
Et heltal divideres med en brøk ved at gange heltallet med den omvendte brøk.
(4)
a c a cb d b d
⋅⋅ =
⋅
a c a d c b a d c bb d b d d b b d
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ = + =
⋅ ⋅ ⋅
a c a d c b a d c bb d b d d b b d
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅− = − =
⋅ ⋅ ⋅
bc
a c a cab b
⋅= ⋅ =
Eksempel:
2 4 2 4 83 7 3 7 21
⋅⋅ = =
⋅Figur 1
Eksempel:
Figur 2
1 1 1 4 1 3 4 3 4 3 73 4 3 4 3 4 12 12 12 12
⋅ ⋅ ++ = + = + = =
⋅ ⋅
Eksempel:
Figur 3
1 1 1 4 1 3 4 3 4 3 13 4 3 4 3 4 12 12 12 12
⋅ ⋅ −− = − = − = =
⋅ ⋅
Eksempel:
Figur 4
4 2 4 24 81 1 12
⋅= ⋅ = =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
9
Formelsamling til matematik Brøkregning
1ab
c cd d
a a d a db b c b c
⋅= ⋅ = ⋅ =
⋅
1ab a a
c b c b c= ⋅ =
⋅
Eksempel:
Figur 5
16 1 1 1
3 6 3 18= ⋅ =
Eksempel:
Figur 6
14
1 18 8
1 1 1 8 1 8 8 24 4 1 4 1 4
⋅= ⋅ = ⋅ = = =
⋅
En brøk divideres med et heltal ved at gange heltallet med brøkkens nævner.
(5)
En brøk divideres med en brøk ved at gange brøkken i tælleren med det omvendte af brøkken i nævneren.
(6)
Har du gjort dig tanker om fremtiden ? Vi har !B l i v h a n d e l s e l e v h o s B D / i n f o : w w w . b d . d k / e l e v
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
10
Formelsamling til matematik Procentregning
2. Procentregning
2.1 Gennemsnitlig procent
Over en periode med n terminer, hvor hver termin har en forskellig rentefod r1,r2,…, rn, fi ndes den gennemsnitlige rentefod ved hjælp af denne ligning:
(7) UVM nr. (1)
2.2 Ligevejet gennemsnit
Et ligevejet gennemsnit x af tallene x1, x2, ..., xn fi ndes ved at tage summen af alle tallene, der er ganget med vægten .
(8)
2.3 Vejet gennemsnit
Et vejet gennemsnit af tallene x1, x2, ..., xn fi ndes på samme måde som et ligevejet gennemsnit, men i et vejet gennemsnit er vægtene ikke lig hinanden. Hvis vægtene noteres med r1, r2, ..., rn, fi ndes det vægtede gennemsnit ud fra formlen:
(9) UVM nr. (2)
Summen af alle vægtene skal være lig 1.
1 2r (1 ) (1 ) ... (1 ) 1nnr r r= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −
1n
1 21 2
...1 1 1... nn
x x xx x x xn n n n
+ + += ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
1 1 2 2 ... n nx x r x r x r= ⋅ + ⋅ + + ⋅
Eksempel:
( ) ( ) ( )3 1 0,04 1 0,07 1 0,01 1 1,04 1 0,04 4%r = + ⋅ + ⋅ + − = − = =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1,04 1,07 1,01 1,12
1 1,04 1,04 1,04 1,12
⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ =
Det betyder, at et indskud på 1 kr. på ovenstående konto, eller på en konto med en årlig rente på 4%, giver:
En bankopsparing forrentes i år 1 med 4% p.a., i år 2 med 7% p.a., og i år 3 med 1% p.a.. Den gennemsnitlige forrentning vil da være:
Figur 7
Eksempel:
Et avisbud er 3 timer om at gå sin rute. På den første time omdeler han 100 aviser, på anden time omdeler han 90 aviser, og på den sidste time omdeler han 65 aviser. I gennemsnit omdeler han x aviser i timen.
1 1 1100 90 65 853 3 3
x = ⋅ + ⋅ + ⋅ =Figur 8
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
11
Formelsamling til matematik Procentregning
2.4 Indekstal
Til beskrivelse af prisudvikling bruger man indekstallet (I). Til et givet basisår sætter man prisen (b) på en vare til 100. Efter et antal år har man så prisen (t). Indekstallet kan da bestemmes ud fra formlen:
(10) UVM nr. (3)
100tIb⋅
=
Eksempel:
Figur 9
Et avisbud er to timer om at gå sin rute. Hun starter kl. 11.45, og på det første kvarter omdeler hun 30 aviser, fra kl. 12 til 13 omdeler hun 95 aviser, og på de sidste 45 minutter omdeler hun 60 aviser.Det gennemsnitlige antal omdelte aviser pr. time kan findes som et vægtet gennemsnit:
1 1
2 2
3 3
15 minutter 11202 timer 8
60 minutter 1952 timer 2
45 minutter 3802 timer 8
1 1 3120 95 80 92,58 2 8
avisertime
avisertime
avisertime
aviser aviser aviser avisertime time time time
x r
x r
x r
x
= = =
= = =
= = =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Eksempel:
År 2000 2005 2010
Pris 45 50 43
Indeks 10050 100
111,1145
I⋅
= =43 100
95, 5645
I⋅
= =
Tabellen viser prisen for en vare og prisindekset i 3 forskellige år, med år 2000 som basisår. Figur 10
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
12
Formelsamling til matematik Rentesregning
3. Rentesregning
0 1 ... n antal terminer K0 K1 ... Kn kapitalværdier
Startkapital K0 Rentefod r pr. termin Antal terminer n Kapital Kn efter n terminer
3.1 Fremskrivning
En startkapital, der forrentes med r% pr. termin, vil efter n terminer være vokset til:
(11) UVM nr. (4)
0 (1 )nnK K r= ⋅ +
Eksempel:
Figur 11
500 kr., der forrentes med 5% p.a., er efter 10 år vokset til:
( )
0
1010
5000,05 5%10
500 1 0,05 814,45 kr.
Krn
K
== ==
= ⋅ + =
Gå efter det bedste tilbud !
Er du på jagt efter en uddannelse, hvor mulighederne for at gøre karriere er rigtig gode? Har du gå-på-mod og evner til at gennemføre et seriøst uddannelsesfor-løb med fokus på kundeserivce, salg og samarbejde?
Så skulle du overveje en uddannelse som salgsassi-stent eller trainee i Dansk Supermarked. Vi søger lige nu elever til føtex, Bilka og Netto over hele landet.
Når Dansk Supermarked søger elever, er det for at uddanne dygtige medarbejdere og ledere til fremti-den. Vores succes afhænger af dig. Derfor gør vi rig-tig meget ud af, at du udnytter dine evner optimalt, har det godt, trives med dine opgaver og udvikler dig personligt.
Du kan læse meget mere om vores uddannel-ser og karrieremuligheder på vores hjemmeside elev.dsg.dk, hvor du også kan se og søge ledige elev-stillinger. Du er også velkommen til at gå ned i dit lokale varehus for at høre mere om dine muligheder.
elev.dsg.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
13
3.2 Tilbageskrivning
Ved at rykke rundt på fremskrivningsformlen kan man fi nde den startkapital, der er nødvendig for at have en indestående kapital på Kn efter n terminer med en forrentning pr. termin på r%.
(12) UVM nr. (5)
3.3 Effektiv rente
Forrentes et indestående med en fast rente r% pr. termin i n terminer, er den effektive rente i den samlede procentvise rentetilskrivning over de n terminer:
(13) UVM nr. (6)
0 (1 ) nnK K r −= ⋅ +
(1 ) 1ni r= + −
Formelsamling til matematik Rentesregning
Eksempel:
Figur 12
Det beløb, der forrentes med 10% p.a., og som efter 7 år er vokset til 17.000 kr., er:
( ) 70
170000,10 10%7
17000 1 0,10 8723,69 kr.
nKrn
K −
== ==
= ⋅ + =
Eksempel:
Figur 13
Hvis renten er 3% pr. måned, er den effektive rentefod p.a.:
Den effektive rente er altså 42,58% p.a..
( )12
0,03 3%12
1 0,03 1 0,4258
rn
i
= ==
= + − =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
14
4. Annuitetsregning
Det initiale beløb, der lånes, kaldes for hovedstol, og noteres som A0 Den til hver termin tilskrevne rente i procent kaldes for rentefod og noteres som r Antal annuitetsydelser noteres som n I en annuitet er alle betalinger lige store, og annuitetsydelsen noteres derfor som y Den opsparede kapital efter n annuitetsydelser noteres som An
4.1 Fremtidsværdien af en annuitet
Ved en annuitetsopsparing med n indbetalinger af y vil der, når den sidste ydelse er indbetalt, være opsparet An. Den første ydelse skal forrentes med r i n-1 terminer, den anden ydelse skal forrentes med r i n-2, osv., til den sidste ydelse, der ikke skal forrentes. Dette giver opsparingsformlen, der har formen:
(14) UVM nr. (7)
4.2 Nutidsværdien af en annuitet
Nutidsværdien af n ydelser, der alle er lig y og alle forrentes med r, fi ndes ved at tage summen af nutidsværdien af samtlige ydelser. Dette giver gældsformlen, der har formen:
Formelsamling til matematik Annuitetsregning
( ) ( ) ( )1 2 1 (1 ) 11 1 ... 1n
n nn
rA y r y r y r y yr
− − + −= ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + = ⋅
Eksempel:
Figur 15
Der indbetales 1.000 kr. hvert år i i alt 6 år. Ydelserne forrentes med 4% p.a. Værdien af opsparingen efter sidste indbetaling er:
6
6
1000 kr.4% 0,046
(1 0,04) 11000 6632,98 kr.0,04
yrn
A
== ==
+ −= ⋅ =
Figur 14
Annuitetsopsparing
y y
1 2
y
n
An Indestående
indbetalinger
antal
annuitetsydelser
Annuitetslån
y y
1 2
y
n
ydelser
antal
annuitetsydelser
A0Hovedstol
0
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
15
(15) UVM nr. (8)
4.3 Annuitetsydelse
Ud fra gældsformlen udledes amortisationsformlen. Formlen giver den gældende terminsydelse på et annuitetslån med en hovedstol på A0, som betales tilbage over n terminer med en rente på r, som:
(16) UVM nr. (9)
Formelsamling til matematik Annuitetsregning
0 1 (1 ) n
ry Ar −= ⋅
− +
Eksempel:
Figur 17
Den månedlige ydelse på et sædvanligt annuitetslån på 1.200 kr., der forrentes med 3% pr. måned, og har en løbetid på 12 måneder, er:
0
12
1200 kr.3% 0,0312
0,031200 120,55 kr.1 (1 0,03)
Arn
y −
=
= ==
= ⋅ =− +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 10
1 (1 )1 1 ... 1 1n
n n rA y r y r y r y r yr
−− − − − − − +
= ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + = ⋅
Eksempel:
Figur 16
Et lån tilbagebetales med 10 på hinanden følgende månedlige ydelser på 75 kr. Renten er 1% pr. måned. Gældsformlen giver da:
10
0
75 kr.1% 0,0110
1 (1 0,01)75 710,35 kr.0,01
yrn
A−
== ==
− += ⋅ =
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
16
5. Potensregneregler
Et tal x, der opløftes i en potens s, ganges med sig selv s gange:
(17)
Opløftes et tal x i en negativ potens -s, giver det 1 divideret med x opløftet i den positive potens +s.
(18) UVM nr. (16)
Opløftes et tal i 0, giver det pr. defi nition 1.
(19) UVM nr. (15)
For et tal x opløftet i s, der ganges med x opløftet i t, gælder:
(20) UVM nr. (10)
For et tal x opløftet i s, der divideres med x opløftet i t, gælder:
(21) UVM nr. (11)
Opløftes x i s, og derefter i t, skal x sammenlagt opløftes i produktet af s og t.
(22) UVM nr. (12)
Formelsamling til matematik Potensregneregler
...1 2 1
sx x x x xs s
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
1ssx
x− =
0 1x =
... ...1 1
s t s tx x x x x x xs s s t
+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =+ +
( )1ss ts s t s t
t t
x x x x x xx x
+ −− −= ⋅ = ⋅ = =
1 2
1 1 1 ( ) ... ... ... ...s t s t
t
s s sx x x x x x x x ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =123 123 123
Eksempel:
Figur 18
Når 6 opløftes i 3., giver det
36 6 6 6 216= ⋅ ⋅ =
Eksempel:
Figur 19
Når 4 opløftes i -2., giver det:2
2
1 1 144 4 4 16
− = = =⋅
Eksempel:
Figur 20
13 7 13 7 20x x x x+⋅ = =
Eksempel:
Figur 21
2020 12 8
12
22 5 3
5 3
1
x x xxx x xx x
−
− −
= =
= = =
Eksempel:
Figur 22
( )34 4 3 12x x x⋅= =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
17
Opløftes et produkt af to tal x og y i en potens s, gælder:
(23) UVM nr. (13)
Opløftes en brøk i en potens, gælder:
(24) UVM nr. (14)
Rod s af et tal x er defi neret som det tal, der ganget med sig selv s gange, giver netop x. Det betyder, at rod s af x kan udtrykkes med denne formel:
(25) UVM nr. (17)
Ud fra gældende regneregler kan det vises, at der for rod t af x opløftet i s gælder:
(26) UVM nr. (18)
Formelsamling til matematik Potensregneregler
( ) ... ... ...1 2 1 1
s s sx y x y x y x y x x y y x ys s s
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
...
1 2 1
s s
s
x x x x x xy y y y y y
s s
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠−
1s sx x=
( )1 1 st t tst s sx x x x⋅= = =
Eksempel:
Figur 23
3 3 3( )x y x y⋅ = ⋅
Eksempel:
Figur 24
4 4
4
x xy y⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
Eksempel:
Figur 25( ) ( )1 1
12 2
1s sss ss
x x
x x x x x⋅
=
= = = =
Eksempel:
Figur 26
53 5 3x x=
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
18
6. Linier
Hældningskoeffi cienter for linier
For en given linie, der går gennem punkterne A(x1,y1) og B(x2,y2), kan hældningskoeffi cienten (stigningstallet) a fi ndes ud fra:
(27) UVM nr. (19)
Formelsamling til matematik Linier
2 1
2 1
y yax x−
=−
Eksempel:
Figur 28
En linie, der går gennem punkterne A(-3,-2) og B(9,4), har hældningskoefficienten:
( )( )
4 2 6 19 3 12 2
a− −
= = =− −
Figur 27
a
(1)
(2)
1
B(x2 , y2)
A(x1 , y1)
l
v
Deltag i Børsens Gazellespil 2010 - og vind flotte pengepræmier
Gazellespillet er et spændende og innovativt virksomhedsspil, hvor du kommer til at prøve kræfter som iværksætter.
Spillet udfordrer i 2010 elever og lærere på at tage beslutnin-ger i et marked præget af økonomisk og finansiel krise.
Som leder af en fiktiv virksomhed skal du og dit hold hver uge træffe vigtige beslutninger om produktudvikling, marketing, investeringer m.v.
Spillet starter den 18. januar 2010 og der vil være flotte pengepræmier til de skarpeste beslutningstagere.
Læs alt om spillet og tilmeld jer på gazellespil.borsen.dk KLIK HER
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
19
Kendes en linies vinkel på 1. aksen, kan hældningskoeffi cienten også fi ndes ud fra formlen:
(28) UVM nr. (20)
6.1 Ligninger for linier
Ligningen for en given linie l kan opskrives på to forskellige måder. Den første angiver en direkte sammenhæng mellem x-værdien og den tilhørende y-værdi. Skal et punkt ligge på linien l, skal der til en hver x-værdi være en y-værdi, hvilket er givet ved:
(29) UVM nr. (21)
For en linie med en given hældningskoeffi cient, der går gennem punkt A(x0,y0), kan liniens ligning skrives som:
(30) UVM nr. (22)
( )tana v=
y a x b= ⋅ +
0 0( )y y a x x− = ⋅ −
Eksempel:
Figur 29
En linie, der danner en vinkel på 30° med 1. aksen, har hældningskoefficienten:
o 3tan 303
a = =
Eksempel:
Figur 31
En linie, der skærrer 2. aksen i 4 og har en hældningskoefficient på 0,8, har ligningen:
o 3tan 303
a = =
Figur 32
En linie, der går gennem A(3,-7) med hældningskoefficienten –3, har ligningen:
( ) ( )
0
0
33
77 3 3
7 3 93 2
axyy xy xy x
= −== −
− − = − ⋅ − ⇔
+ = − ⋅ + ⇔= − ⋅ +
Eksempel:
Formelsamling til matematik Linier
Figur 30
a
(1)
(2)
A(x0 , y0) l
1b
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
20
For en linie med en given hældningskoeffi cient, der går gennem punkt A(x0,y0), kan liniens skærring med 2. aksen b fi ndes som:
(31)
Formelsamling til matematik Linier
0 0b y a x= − ⋅
Figur 33
En linie, der går gennem A(2,0) med hældningskoefficienten 5, har en skærring på 2. aksen på:
Eksempel:
0
0
520
0 5 2 10
axyb
==
=
= − ⋅ = −
FÅ HELE VERDEN SOM DIN ARBEJDSPLADS!
Vil du være blandt verdens førende shippingfolk? Det Blå Danmark, eller det danske mari-time erhverv, kan tilbyde dig en shippinguddannelse af høj international standard. Danske rederier og shippingvirksomheder er førende inden for de mest avanacerede segmenter af den globale søfart og flytter dagligt 10 procent af al verdens handel til søs. Hvis du har mod på en international karriere, så gå ind på www.worldcareers.dk og find ud af, hvordan DU kan få hele verden som din arbejdsplads.
Få verden som arbejdsplads: www.worldcareers.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
21
Formelsamling til matematik Parabler
7. Parabler
Sammenhængen mellem x-værdier og y-værdier i en parabel er givet ud fra ligningen:
(32) UVM nr. (23)
For at lette udregningen af parablens toppunkt og dens skærring(er) med 1. aksen defi neres diskriminanten d som:
(33) UVM nr. (24)
Toppunktet T i en parabel er der, hvor hældningen er 0, og koordinaterne til T er givet ved:
(34) UVM nr. (25)
2y ax bx c= + +
Figur 35
Eksempel:
2
23
12 3 1
abcy x x
== −=
= ⋅ − ⋅ +
2 4d b ac= −
Figur 36
Eksempel:
( )23 4 2 1 9 8 1d = − − ⋅ ⋅ = − =
,2 4
b dTa a− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Figur 37
Eksempel:
( )3 1 3 1, ,2 2 4 2 4 8
T− −⎛ ⎞− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Figur 34
(1)
(2)
S1
S0
S2
T
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
22
Parablens skæringspunkter med 1. aksen S1 og S2 vil have koordinaterne:
(35) UVM nr. (26)
Hvis d > 0, vil der være to skærringer med 1. aksen, som er givet ved S1 og S2. Hvis d = 0, vil der kun være en skærring med 1. aksen, og det vil være, hvor toppunktet tangerer 1. aksen. Hvis d < 0, kan kvadratroden af diskriminanten ikke fi ndes, og parablen vil ikke have nogle skærringer med 1. aksen.
Parablens skæringspunkt med 2. aksen S0 er givet ud fra parablens ligning, hvor x = 0:
(36) UVM nr. (27)
Formelsamling til matematik Parabler
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
02
02
2
1
,a
dbS
,a
dbS
Figur 38
Eksempel:
( )
( ) ( )
1
2
3 1 3 1 1,0 ,0 ,02 2 4 2
3 1 3 1,0 ,0 1,02 2 4
S
S
⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞− − + +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )20 0, 0 0 0,S a b c c= ⋅ + ⋅ + =
Figur 39
Eksempel:
( )0
23
10,1
abcS
== −=
=
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
23
Formelsamling til matematik Trekanter
8. Trekanter
8.1 Retvinklede trekanter
I en given trekant kan alle sidelængder og vinkler fi ndes, hvis blot tre størrelser kendes. I en retvinklet trekant er , og haves længden på to af siderne, kan længden på den sidste side fi ndes ud fra pythagoras sætning:
(37) a2 + b2 = c2 UVM nr. (28)
Derudover kan man, hvis blot man kender sidelængderne, fi nde de to spidse vinkler A og B. For at bestemme disse fi ndes følgende forhold mellem sidelængderne:
(38) Sinus til en vinkel: UVM nr. (29)
(39) Cosinus til en vinkel: UVM nr. (30)
(40) Tangens til en vinkel: UVM nr. (31)
Figur 41
I en retvinklet trekant ABC med vinkel C = 90°, sidelængde a = 4 og sidelængde b = 3, er c bestemt ved:
Eksempel:
2 2 2
2 2
4 3
4 3 16 9 25 5
c
c
+ = ⇔
= + = + = =
1
1
sin
sin
sin
sin
aAc
aAc
bBc
bBc
−
−
=
⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1
cos
cos
cos
cos
bAc
bAc
aBc
aBc
−
−
=
⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1
tan
tan
tan
tan
aAb
aAb
bBa
bBa
−
−
=
⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
90C∠ = o
Figur 40
B
bC
c
A
a
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
24
Formelsamling til matematik Trekanter
8.2 Vilkårlige trekanter
Figur 42
I en trekant gives sidelængderne som a = 4, b = 3 og c = 5. Vinklerne i trekanten er da bestemt som:
Eksempel:
1
1
1
4sin54sin 53,1354cos54cos 36,875
3tan43tan 36,874
aAc
A
aBc
B
bBa
B
−
−
−
= =
⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
o
o
o
Figur 43
a
B
A Cb
c
Hvad enten du drømmer om at starte virksomhed eller allerede er godt i gang, giver vi dig power til at maksimere dit potentiale. I uge 47 er der springboards, workshops, foredrag og konkret rådgivning til alle – fra iværksætterspirer i grundskolen til direktører med vækstambitioner.
Bag initiativet står Økonomi- og Erhvervsministeriet i samarbejde med en lang række private og offentlige organisationer. Initiativet er en del af "Global Entrepreneurship Week", hvor mere end 100 lande sætter fokus på iværksætteri og vækst.
Global Entrepreneurship Week | Økonomi- og Erhvervsministeriet | Væksthusene | Young Enterprise Danmark | DI – Organisation for erhvervslivet | Kauffmann | Make Your Mark
| Dansk Iværksætter Forening | Undervisningsministeriet | DEF | DJØF | Foreningen af Registrerede Revisorer | Øresund Entrepreneurship Academy | Danske Advokater |
Foreningen af Statsautoriserede Revisorer | IDA | DANA | IDEA | Vækstfonden | Women in Business | Connect Denmark | Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling | FUHU
| Ernst & Young | Dansk Erhverv | Venture Cup | Kulturministeriet | Early Warning | Danmarks Eksportråd
Læs mere på www.uge47.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
25
En given trekant vil altid kunne deles op i to retvinklede trekanter. Ud fra regnereglerne for retvinklede trekanter kan følgende relationer fi ndes:
8.2.1 Cosinusrelationerne:
(41) UVM nr. (32)
8.2.2 Sinusrelationerne:
(42) UVM nr. (33)
Arealet af en trekant fi ndes ved at gange grundlinie med højden. Ved at benytte sinus-regneregler for en retvinklet trekant kan højden i en given trekant fi ndes. Derfor kan arealet af en trekant T fi ndes som:
(43) UVM nr. (34)
Formelsamling til matematik Trekanter
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
c a b a b C
b a c a c B
a b c b c A
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
Figur 44
I en trekant ABC med a = 9, b = 12 og c = 4, er vinkel C bestemt ved:
Eksempel:
2 2 2
2 2 2
1
4 9 12 2 9 12 cos9 12 4 209cos 0,97
2 9 12 216209cos 14,63216
C
C
C −
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔
+ −= = = ⇔
⋅ ⋅⎛ ⎞∠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
o
sin sin sina b c
A B C= =
Figur 45
I en trekant ABC med vinkel A = 30°, vinkel B = 70° og b = 4, er a bestemt ved:
Eksempel:
4sin 30 sin 70
4 sin 30 2,13sin 70
o o
o
o
a
a
= ⇔
⋅= =
12
121212
sinsinsin
T a b CT b c AT c a B
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
Figur 46
Arealet af en trekant ABC med vinkel B = 50°, a = 2 og c = 12, er:
Eksempel:
12 12 2 sin 50 9,19oT = ⋅ ⋅ ⋅ =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
26
Formelsamling til matematik Funktioner
9. Funktioner
9.1 Funktionsbegrebet
Figuren viser grafen for en funktion f(x), der, til enhver x-værdi inden for defi nitionsmængden, giver en tilhørende y-værdi (funktionsværdien).
(44) Defi nitionsmængden for f er defi neret som mængden af x-værdier, for UVM nr. (35) hvilke der fi ndes en tilhørende funktionsværdi.
Afhængigt af om funktionens endepunkter er åbne eller lukkede, kan funktionens defi nitionsmængde skrives som:
Dm(f) = ]a; b] – Intervallets begyndelsespunkt er ikke en gyldig x-værdi (som på fi guren) Dm(f) = [a; b[ – Intervallets endepunkt er ikke en gyldig x-værdi Dm(f) = ]a; b[ – Hverken intervallets begyndelsespunkt eller endepunkt er gyldige x-værdier Dm(f) = [a; b] – Både intervallets begyndelsespunkt og endepunkt er gyldige x-værdier
(45) Værdimængden for f er den mængde, der fremkommer ved at fi nde UVM nr. (36) funktionsværdien for alle x-værdier i defi nitionsmængden.
Vm(f) = [e; g] (som på fi guren)
Hvis værdimængden er givet ved et åbent interval, betyder det, at defi nitionsmængden er givet ved et åbent interval, og at de(n) åbne grænseværdi(er) i værdimængden er funktionsværdien til de(n) åbne grænseværdi(er) i defi nitionsmængden.
(46) Funktionsværdien y = f(x) UVM nr. (37)f(x) er andenkoordinaten til det punkt på grafen, som har førstekoordinaten x.
(47) Monotoniintervallerne for f fortæller om hældningen af funktionen i disse intervaller. UVM nr. (38)f er aftagende i ]a; c] (som på fi guren) f er voksende i ]c; d] (som på fi guren) f er aftagende i ]d; b] (som på fi guren)
Figur 47
(1)
(2)
b
g
f
x
c
a d
e
y = f(x)
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
27
9.2 Sammensat funktion
Den sammensatte funktion er givet ved f(x), hvor x er erstattet med g(x):
(48) UVM nr. (39)
9.3 Omvendt funktion
Til en given funktion f kan den omvendte funktion (den inverse funktion) f -1 fi ndes ved hjælp af denne formel:
(49) UVM nr. (40)
Formelsamling til matematik Funktioner
( )f g xo
( ) ( )( )f g x f g x=o
Figur 48
Eksempel:
( )( )( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2
3 8
3 4
3 3 4 8 3 9 12 8 3 9 20
f x x
g x x x
f g x f g x x x x x x x
= ⋅ +
= − ⋅ +
= = ⋅ − ⋅ + + = ⋅ − ⋅ + + = ⋅ − ⋅ +o
1( ) ( )y f x x f y−= ⇔ =
KarriereplatformenShippingbranchen er en unik mulighed for dig, hvis du sigter mod en fremtid, hvor ikke to dage er ens. Ønsker du samtidig en intensiv uddannelse, der kombinerer praktik og teori på højt plan, vil du få et godt fundament for din fremtidige karriere i international shipping.
Fra vort hovedkontor i København får du hele verden som arbejdsplads. Du kommer hurtigt til at indgå i et team med dygtige og engagerede kolleger i et inspirerende arbejdsmiljø.
Vi kan tilbyde vore kommende trainees forskellige udgangs-punkter for en fremtidig karriere.
Tre spændende uddannelsesprogrammerRederiet søger shipping trainees, en trainee til rederiets bunkers-afdeling samt trainees til økonomiafdelingerne.
Læs mere om alle tre uddannelser og adgangskrav under career opportunities på www.j-lauritzen.com.
Hvorfor vælge J. Lauritzen?Vi arbejder med udgangspunkt i en ambitiøs vision om kontinu-erligt at levere ”world-class” til vore kunder og samarbejdspart-nere, og visionen understøttes af et stærkt værdigrundlag. J. Lauritzen er et af de ældste rederier i Danmark, som har stærk fokus på udvikling og drives efter moderne forretningsprincipper.
Tillid og respekt er i højsædetUd over et intensivt uddannelsesforløb tilbyder vi gode ansæt-telsesvilkår, sundhedsforsikring, god frokostordning samt mange sociale aktiviteter efter arbejdstid. Vi kan eventuelt også hjælpe med en studielejlighed.
Dit udgangspunktDu har som minimum en HHX eller HH-fagpakken efter din STX - med et tilfredsstillende eksamensresultat. International handel og økonomi har din store interesse, og du har disse fag samt matematik på min. B-niveau samt engelsk på A-niveau. Herud-over har du måske nogen erhvervserfaring eller har opholdt dig i udlandet i en periode. Som person er du ambitiøs, udadvendt og ivrig efter at tilegne dig ny viden.
AnsøgningSend din motiverede ansøgning senest den 15. februar 2009 mærket ”Trainee” og bilagt relevante eksamenspapirer til trainees@j-l.com. Husk at anføre, om du ønsker at blive ship-ping-, økonomi- eller bunkers-trainee. Har du spørgsmål, er du velkommen til at kontakte HR-konsulent Dorthe Olsen på 3396 8426 eller underdirektør Tove E. Nielsen på 3396 8422 eller send en mail til trainees@j-l.com.
Lad drømmen blive til virkelighed...Trainees til international shipping
Danske rederier transporterer mere end 10% af verdenshand-len, og J. Lauritzen A/S er blandt de førende med globale aktivite-ter inden for søtransport af tørlast (Lauritzen Bulkers), fl ydende petrokemisk gas (Lauritzen Kosan) samt raffi nerede olieprodukter og kemikalier (Lauritzen Tankers). JL er endvidere beskæftiget inden for offshore-industrien med specialskibe. JL beskæftiger ca. 650 personer og ejer og opererer en samlet fl åde på omkring 240 skibe, inkl. nybyg-ninger, omfattende tørlastskibe, gas- og produkttankskibe samt specialskibe. For yderligere information om JL, se www.j-lauritzen.com
OCEANS OF KNOW-HOW
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
28
Formelsamling til matematik Funktioner
Ovenstående afbildning af f og f -1 fås ved at spejle f(x) i x = y.
Figur 50
For funktion f(x) findes den omvendte funktion:
Eksempel:
Erstattes y med x, så x er den uafhængige variabel, og y den afhængige, er den omvendte funktion givet ved:
( ) 6 56 5
5 1 56 6 6
f x xy x
yx y
= ⋅ − ⇔
= ⋅ − ⇔+
= = ⋅ +
1 1 5( )6 6
f x x− = +
Figur 49
(1)
(2)y = x
f-1
f
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
29
10. Polynomier
10.1 Lineær funktion
En liniær funktion, eller et førstegradspolynomium, er givet ved formlen:
(50) f(x) = ax + b UVM nr. (41)
Grafen for f er en ret linie i et sædvanligt koordinatsystem.
10.2 Andengradspolynomium
En parabel, eller et andengradspolynomium, er givet ved formlen:
(51) UVM nr. (42)
Grafen for f er en parabel.
Formelsamling til matematik Polynomier
( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +
Figur 53
Eksempel:
( ) 2
333
3 3 3
abcf x x x
== −= −
= ⋅ − ⋅ −
Figur 51
a
(1)
(2)
f
1b
Figur 52
(1)
(2)
x1
f
x2
c
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
30
Diskriminant d
(52) UVM nr. (43)
Nulpunkterne (rødderne) x1 og x2 til parablen er givet ved:
(53) UVM nr. (44)
10.3 Faktorisering af parabel
En parabel kan, når rødderne x1 og x2 kendes, faktoriseres på følgende måde:
(54) UVM nr. (45)
Formelsamling til matematik Polynomier
2 4d b ac= −
Figur 54
Eksempel:
( ) ( )23 4 3 3 9 36 45d = − − ⋅ ⋅ − = + =
1 2,2 2
b d b dx xa a
− − − += =
Figur 55
Eksempel:
1
2
3 45 3 6,71 0,622 3 6
3 45 3 6,71 1,622 3 6
x
x
− −= = = −
⋅+ +
= = =⋅
( ) ( ) ( )21 2f x a x b x c a x x x x= ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
31
10.4 Polynomium af grad n
Et polynomium af grad n har funktionsforskriften:
(55) UVM nr. (46)
For et givet polynomium med heltalskoeffi cienter vil alle rationale nulpunkter kunne skrives som:
(56) , hvor p går op i a0, og q går op i an. UVM nr. (47)
Et polynomium vil dog også kunne have irrationale nulpunkter, som ikke kan fi ndes ud fra denne formel.
Formelsamling til matematik Polynomier
Figur 56
En parabel med nulpunkterne -0,62 og 1,62 og a = 3 giver faktoriseringen:
Eksempel:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
2
2 2
2
2
30,62
1,62
3 0,62 1,62 3 1,62 0,62 1 3 3 3
0,62 3 0,62 3 0,62 3 1,14 1,86 3 0
1,62 3 1,62 3 1,62 3 7,86 4,86 3 0
axx
f x x x x x x x x
f
f
== −=
= ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
− = ⋅ − − ⋅ − − = + − =
= ⋅ − ⋅ − = − − =
( ) 11 1 0...n n
n nf x a x a x a x a−−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
Figur 57
Eksempel:
( )
3
2
1
03 2
32
75
6
2 7 5 6
naaaaf x x x x
==
= −== −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ −
Et tredjegradspolynomium er givet ved:
pq
Figur 58
Eksempel:
Findes funktionsværdierne for disse nulpunkts-kandidater, fås:
{ }
{ }
0
3
61, 2,3, 1, 2, 321, 2, 1, 2
1 3 1 3,1, , 2,3, , 1, , 2, 32 2 2 2
apaq
pq
= −
= − − −
=
= − −
⎧ ⎫= − − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭
Det ses, at dette tredjegradspolynomium har et rationalt nulpunkt i x = 3.
{ }1 12 25, 6, 7 , 8,0, 10 , 20, 36, 60, 138pf
q⎛ ⎞
= − − − − − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
32
Kendes nulpunkterne t1, t2,..., tn til et polynomium af grad n, kan funktionen divideres med (x-t1), (x-t2), ...og (x-tn). Det betyder, at funktionen kan faktoriseres som:
(57) UVM nr. (48)
Formelsamling til matematik Polynomier
( ) ( ) ( ) ( )11 1 0 1 1... ...n n
n n n n nf x a x a x a x a a x t x t x t−− −= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
Figur 59
Eksempel:
Da 3 er et nulpunkt i f, går (x-3) op i f(x):
( )
( ) ( ) ( )
3 22
2
2 7 5 6 2 23 3
2 2 3
f x x x x x xx xf x x x x
⋅ − ⋅ + ⋅ −= = ⋅ − + ⇔
− −= ⋅ − + ⋅ −
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
33
11. Asymptote for polynomiumsbrøker
Hvis g(x) og h(x) er to polynomier af henholdsvis grad n og m, siges f(x) at være en polynomiumsbrøk med tællergrad = n og nævnergrad = m, hvis:
(58) UVM nr. (49)
11.1 Vandret asymptote
(59) Hvis n < m, vil f(x) have en vandret asymptote i y = 0. UVM nr. (50)
Formelsamling til matematik Asymptote for polynomiumsbrøker
)x(h)x(g)x(f =
Figur 60
Eksempel:
Da n < m, er y = 0: en vandret asymptote.
( )
( ) 3
3
71
2 123
7( )2 12
g x xnh x xm
xf xx
= +
=
= ⋅ −
=+
=⋅ −
Få en super god elevuddannelse i Danmarks største detailhan-delsvirksomhed. Du får ansvar, gode kolleger og løn ind på kontoen hver måned. Hør nærmere i butikken eller besøg:
coop.dk/elev
kan du styre vognen?
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
34
(60) Hvis n = m, vil f(x) have en vandret asymptote i UVM nr. (51)
11.2 Skrå asymptote
Hvis n = m + 1, og kan f(x) omskrives til , hvor graden af r(x) er mindre end graden af
h(x) (m), vil f(x) have en skrå asymptote givet ved:
(61) UVM nr. (52)
11.3 Lodret asymptote
(62) Hvis k er nulpunkt i nævner men ikke i tæller, så er x = k en lodret asymptote. UVM nr. (53)
n
n
ayb
=
Formelsamling til matematik Asymptote for polynomiumsbrøker
Figur 61
Eksempel:
Da n = m, er : en vandret asymptote.
( )
( )
4 2
4 3
4 2
4 3
5 3 3 14
3 2 7 94
5 3 3 1( )3 2 7 9
g x x x xnh x x x xm
x x xf xx x x
= ⋅ − ⋅ + ⋅ +
=
= ⋅ + ⋅ − ⋅ −
=
⋅ − ⋅ + ⋅ +=⋅ + ⋅ − ⋅ −
53y =
( ) ( )( )
r xf x a x b
h x= ⋅ + +
( ) ( )( )
g x r xy a x b
h x−
= ⋅ + =
Figur 62
Eksempel:
22 4( )8 8x xf x
x⋅ + −
=⋅ +
Denne funktion kan omformes til:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 14 8 4 88 8 3 8 8 3 1 1 3( )
8 8 8 8 8 8 4 8 8 8x x x x
f x xx x x x
⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − − −= = + = ⋅ − +
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
Funktionen f(x) vil derfor have en skrå asymptote, givet ved:
1 14 8
y x= ⋅ −
Figur 63
Eksempel:
Da -1 er nulpunkt i g(x) men ikke i h(x), gælder der at x = -1: en lodret asymptote for f(x).
( )( )
3
3
3 7
4 4
3 7( )4 4
h x x
g x x
xf xx
= ⋅ −
= ⋅ +
⋅ −=
⋅ +
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
35
12. Logaritmefunktioner
12.1 Logaritmefunktion med grundtal 10
En logaritmefunktion med grundtal 10 kaldes log(x), og er den omvendte funktion af eksponentialfunktionen.
12.2 Regneregler
(63) UVM nr. (62)
(64) UVM nr. (64)
(65)
(66) UVM nr. (65)
(67) UVM nr. (66)
(68) UVM nr. (67)
(69) UVM nr. (63)
(70)
Formelsamling til matematik Logaritmefunktioner
( ) 10xf x =
( )log 10 1=
( )log 1 0=
( ) ( ) ( )log log logx y x y⋅ = +
( ) ( )log log logx x yy⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )log logxa x a= ⋅
( ) ( )log 10 log 10 1x x x x= ⋅ = ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )log log10 log log 10x xy y x y x x= ⇔ = ⇒ = ⇔ =
Figur 65
Eksempel:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
210 10 100
log log 100 2
log log 2 100 log 200 2,30
log log log 2 log 100 0,30 2 2,30
2log log 1,70100
log log log 2 log 100 0,30 2 1,7020
log log 20 log 400 2,60
log 2 log 20 2
x
x
xy
y x
x y
x y
xyx y
a
a
x a
=
= = =
= = =
⋅ = ⋅ = =
+ = + = + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
− = − = − = −
=
= = =
⋅ = ⋅ = 1,30 2,60⋅ =
Figur 64
(1)
(2)
y = x
y = 10x
y = log x1
1
( )10 log= ⇔ =xy x y
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
36
12.3 Den naturlige logaritmefunktion
En logaritmefunktion med grundtal e kaldes den naturlige logaritmefunktion ln(x) og er den omvendte funktion af eksponentialfunktionen .
12.4 Regneregler
(71)
(72) UVM nr. (68)
(73) UVM nr. (70)
(74)
(75) UVM nr. (71)
(76) UVM nr. (72)
(77) UVM nr. (73)
(78) UVM nr. (69)
(79)
( ) xf x e=
2,7182818285e =
( )lnxy e x y= ⇔ =
( )ln 1e =
( )ln 1 0=
( ) ( ) ( )ln ln lnx y x y⋅ = +
( ) ( ) ( ) ( )ln lnln lnx xy e y x y x e x= ⇔ = ⇒ = ⇔ =
( ) ( )ln ln 1xe x e x x= ⋅ = ⋅ =
( )ln( ) lnxa x a= ⋅
( ) ( )ln ln lnx x yy⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Figur 67
Eksempel:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
3
3
320,09
ln ln 20,09 3
ln ln 3 20,09 ln 60,27 4,10
ln ln ln 3 ln 20,09 1,10 3,00 4,10
3ln ln 1,9020,09
ln ln ln 3 ln 20,09 1,10 3,00 1,9010
ln ln 10 ln 1000 6,90
ln 3 ln 10 3
x
x
xy e e
y x
x y
x y
xyx y
a
a
x a
=
= = =
= = =
⋅ = ⋅ = =
+ = + = + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
− = − = − = −
=
= = =
⋅ = ⋅ = ⋅2,30 6,90=
Formelsamling til matematik Logaritmefunktioner
Figur 66
(1)
(2)
y = x
y = ex
y = ln x
1
1
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
37
Formelsamling til matematik Logaritmefunktioner
12.5 Sammenhæng mellem log og ln
Logaritmefunktionen log(x) og logaritmefunktionen ln(x) er begge omvendte funktioner til eksponentialfunktioner med henholdsvis 10 og e som grundtal. Det er derfor muligt at fi nde følgende sammenhænge mellem de to funktioner:
(80) UVM nr. (74)
(81) UVM nr. (75)
( ) ( )( )
lnlog
ln 10x
x =
( ) ( )( )
logln
logx
xe
=
Figur 68
Eksempel:
( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
5log 5 0,70
ln 5 1,61
ln 5 1,61 0,70 log 5ln 10 2,30
log 5 0,70 1,61 ln 5log 0, 43
x
e
=
=
=
= = =
= = =
Hvad er det fede ved at læsepå RUC?
studieguide.ruc.dk
Dit s
tudie
vil b
live
præge
t af b
asiss
tudie
r,
grup
pearbe
jde og
tværfa
gligh
ed.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
38
13. Eksponentielle funktioner
Eksponentialfunktion med grundtal a (med begyndelsesværdi = 1 )
(82) f(x) = ax UVM nr. (54)
Den naturlige eksponentialfunktion (med begyndelsesværdi = 1)
(83) f(x) = ex UVM nr. (55)
13.1 Eksponentialfunktion med begyndelsesværdi ≠ 1
En eksponentialfunktion med begyndelsesværdi b ≠ 1, fremskrivningsfaktor a, og en relativ tilvækst r, er givet ved:
(84) f(x) = b·ax = b·(1+r)x UVM nr. (56)
Eksponentialfunktioner i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem giver en ret linie.
Figur 69
y = b · ax
Log. skala
b · a
b
1
10(1)
(2)
Formelsamling til matematik Ekspotentielle funktioner
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
39
Kendes to punkter (x1, y1) og (x2, y2) i en eksponentialfunktion, kan fremskrivningsfaktoren fi ndes ved:
(85) UVM nr. (57)
Kendes begyndelsesværdien b og et punkt (x1, y1) i eksponentialfunktionen, kan fremskrivningsfaktoren fi ndes ved:
(86) 11
1
1 1x
x y yab b
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Figur 70
Eksempel:For en eksponentiel funktion f(x) = b · ax kendes funktionsværdierne for x1 = 3 og x2 = 8. Fremskrivningsfaktoren findes da som:
( )( )
1
2
15
8 3
3 243
8 1024
1024 1024 4243 243 3
f y
f y
a −
= =
= =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 1
2 1
1
2 2
1 1
x xx x
y yay y
−−
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Figur 70
y = b · axLog. skala
x2
1
x10(1)
(2)
Fremskrivningsfaktor a
y2
y1
Formelsamling til matematik Ekspotentielle funktioner
Figur 71
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
40
Kendes fremskrivningsfaktoren samt et punkt (x0, y0) i eksponentialfunktionen, kan begyndelsespunktet fi ndes ved:
(87) UVM nr. (58)
13.2 Fordoblingskonstant T2
For en given eksponentialfunktion kan den tilvækst i x, der giver en fordobling af f(x), fi ndes som fordoblingskonstanten T2:
(88) UVM nr. (59)2ln 2ln
Ta
=
Figur 73
Eksempel:Fordoblingskonstanten for er f(x) = 50 · 1,15x er
( )( ) ( )
2
2
2 4,96
ln 2 4,96ln(1,15)
2 50 1,15 66,125
2 4,96 50 1,15 132,25
T
f
f +
= =
= ⋅ =
+ = ⋅ =
0
0
00
xx
yb y aa
−= = ⋅
Figur 72
Eksempel:For en eksponentiel funktion f(x) = b · ax med fremskrivningsfaktoren givet og funktionsværdien for x0 = 8 er begyndelsesværdien:
( ) 0
8
43
8 1024
41024 102,523
a
f y
b−
=
= =
⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Figur 73
Formelsamling til matematik Ekspotentielle funktioner
y = b · ax
Log. skala
x0
1
0(1)
(2)
Begyndelsesværdi b
y0
b
Figur 72
Figur 74
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
41
13.3 Halveringskonstant T½
For en given eksponentialfunktion kan det aftag i x, der giver en halvering af f(x), fi ndes som halverings-konstanten T½:
(89) UVM nr. (60)
13.4 Den omvendte funktion for en eksponentialfunktion
For at fi nde den omvendte funktion af en eksponentialfunktion opstilles eksponentielligningen :
(90) UVM nr. (61)
Figur 74
Eksempel:Halveringskonstanten for er f(x) = 50 · 1,15x er
( )
( )( ) ( )
12
12
2
2 4,96
ln4,96
ln(1,15)2 50 1,15 66,125
2 4,96 50 1,15 33,0625
T
f
f −
= = −
= ⋅ =
− = ⋅ =
( )
lnln ln
ln ln
xf x y b a
yy bbx
a a
= = ⋅ ⇔
⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= =
Figur 75
Eksempel:
( )
( ) ( )( )
5 7 2
5ln ln 5 ln 77 0, 49ln 2 ln 2
xf x
x
= = ⋅ ⇔
⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = = −
aT
ln)ln(2
1
21=
Formelsamling til matematik Ekspotentielle funktioner
Figur 75
Figur 76
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
42
14. Potensfunktioner
En potensfunktion med eksponent a har formen:
(91) f(x) = xa UVM nr. (76)
En funktion, der er proportional med potensfunktionen, siges at have proportinalitetsfaktor b og har formen:
(92) f(x) = b·xa UVM nr. (77)
For en potensfunktion gælder der, at den kan afbildes som en ret linie i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.
14.1 Eksponent a
Formelsamling til matematik Potensfunktioner
Figur 77
y = b · xalog. skala
x0
1
1 (1)
(2)
b
log. skala
Figur 78
y = b · xalog. skala
x2
1
1 (1)
(2)
log. skala
x1
y2
y1
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
43
Går en potensfunktion f(x) = b·xa gennem to punkter (x1, y1) og (x2, y2), kan eksponenten fi ndes ved:
(93) UVM nr. (78)
Kendes b og et punkt (x1, y1) i en potensfunktion f(x) = b·xa, kan eksponentet fi ndes ved:
(94)
Figur 78
Eksempel:For en potensfunktion f(x) = b·xa kendes funktionsværdien for x = 1 og x = 4. Eksponenten er:
( )( )( ) ( )( ) ( )
1 4
4 64
ln 64 ln 42
ln 4 ln 1
f
f
a
=
=
−= =
−
( ) ( )( )
1
1
ln lnlny b
ax−
=
Figur 79
Eksempel:For en potensfunktion f(x) = b·xa kendes b samt funktionsværdien for x = 4. Eksponenten er:
( )( ) ( )( )
44 64
ln 64 ln 42
ln 4
bf
a
=
=
−= =
Figur 79
Figur 80
Formelsamling til matematik Potensfunktioner
2 1
2 1
ln lnln ln
y yax x−
=−
Hanken School of Economics is one of the oldest business schools in the Nordic countries. Today Hanken is a leading internationally accredited business school with campuses in Helsinki and in Vaasa, Finland. Hanken alumni work in more than 40 countries world-wide.
MASTER’S DEGREE PROGRAMMESGet the keys to an international career. Hanken offers eight Master’s degree programmes instructed in English. These include programmes specialized in areas such as International Management or Intellectual Property Law.
HANKEN MBAThe Hanken MBA is an accredited, two-year part-time programme with flexible structure. The areas of speciali-sation are: service and relationship marketing, finance, and international management.
DOCTORAL STUDIESDoctoral studies at Hanken offer research-based educa-tion of internationally high standard, preparing you for a career in academia, the corporate world or the public sector.
VISIT OUR WEBPAGEHANKEN.FI
INVEST IN YOUR FUTURE
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
44
14.2 Bestemmelse af b
Kendes eksponenten samt et givet punkt (x0, y0) for en potensfunktion, kan proportinalitetsfaktor b fi ndes ved:
(95) UVM nr. (79)
14.3 Den omvendte funktion af en potensfunktion
For at fi nde den omvendte funktion af en potensfunktion opstilles potensligningen :
(96) UVM nr. (80)
00 0
0
aa
yb y xx
−= = ⋅
Figur 81
Eksempel:For en potensfunktion f(x) = b·xa kendes eksponenten a samt funktionsværdien for x = 7. b findes da som:
( )3
37 49
149 77
af
b −
=
=
= ⋅ =
( )1aa a
y yf x y b x xb b
⎛ ⎞= = ⋅ ⇔ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Figur 82
Eksempel:
4 42433 243 33
x x⋅ = ⇔ = =
Formelsamling til matematik Potensfunktioner
Figur 81
y = b · ax
log. skala
x0
1
1(1)
(2)
y0
b
log. skala
Figur 82
Figur 83
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
45
15. Proportionalitet
x og y siges at være ligefrem proportionale , hvis:
(97) UVM nr. (81)
x og y siges at være omvendt proportionale , hvis:
(98) UVM nr. (82)
yy k x kx
= ⋅ ⇔ =
1y c x y cx
= ⋅ ⇔ ⋅ =
Formelsamling til matematik Proportionalitet
Figur 84
y = k · x
1
1(1)
(2)
1x
y = k ·
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
46
16. Trigonometriske funktioner
16.1 Radianer
Til brug i trigonometriske funktioner benyttes radiantallet for en given vinkel i stedet for vinklen i grader:
16.2 Cosinus , sinus og tangens
Ovenstående fi gur viser defi nitionerne på cosinus, sinus og tangens.
16.3 Regneregler
(99) UVM nr. (83)
Da 2·π svarer til en fuld omdrejning i cirklen, gælder der at:
(100) UVM nr. (84)
Fra ovenstående fi gur ses det, at der gælder følgende regneregler:
(101) UVM nr. (85)
( )( ) ( )( )2 2cos sin 1x x+ =
( ) ( )( ) ( )
cos cos
sin sin
x x
x x
− =
− = −
( ) ( )( ) ( )
cos x 2 cos x
sin x 2 sin x
+ ⋅π =
+ ⋅π =
Grader -180° -135° -90° -45° 0° 45° 90° 135° 180°
Radiantal 0−π − π3
4− π
1
2− π
1
4π
1
4π
2
4π
3
4π
Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner
Figur 85
(2)
tan(x)
sin(x)
x
cos(x) 1
X= X= /1
π1
4
π π
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
47
(102) UVM nr. (86)
(103)
Da tangens kan betragtes som hældningen til linien fra (0, 0) til (cos(x), sin(x)), gælder:
(104) UVM nr. (87)
(105)
(106) UVM nr. (88)
(107) UVM nr. (89)
Graf for cos
cos( x) cos xsin( x) sin x
π+ = −π+ = −
( ) ( )( )
sintan
cosx
xx
=
( ) ( )( )
( )( ) ( )sin x sin x
tan x tan xcos x cos x
π−π− = = = −
π− −
( ) ( )( )
( )( ) ( )sin x sin x
tan x tan xcos x cos x
π+ −π+ = = =
π+ −
( ) ( )( )
( )( ) ( )sin x sin x
tan x tan xcos x cos x
− −− = = = −
−
X 0 2 2 2
cos x 1 0 -1 0 1
π π π3 π
Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner
(2)
1
(1)π π2
Figur 86
cos( x) cos xsin( x) sin x
π− = −π− =
Få mere ud af dit talent
Læs mere på tdc.dk/job
Giv os dit engagement.Så giver vi dig mulighed for udvikling.
Klar til at kickstarte din karriere? Og lære alt, hvad der er at vide om sms’er, bredbånd og mobiler? Så har du nu chancen. Som elev i TDC får du frihed til at udfolde dine evner og gøre dine karrieredrømme til virkelighed. Du kan kravle op ad karrierestigen og blive leder, specialisere dig inden for et særligt fagområde eller vælge en helt tredje vej. Det er helt op til dig. Klik ind på tdc.dk/job, og læs om dine muligheder. Og sørg for at bookmarke siden. For vi opdaterer den hele tiden med ny info og nye uddannelser.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
48
Graf for sin
Graf for tan
16.4 Specielle funktionsværdier UVM nr. (90)
X 0 2 2 2
sin x 0 1 0 -1 0
π π π3π
X 4 0 4
tan x -1 0 1
−π π
Grader 0° 30° 45° 60° 90°
Radiantal 0 6 4 3 2
Sin 0 12 2 2 1
Cos 1 2 212 0
Tan 0 3 1 -
π π π π
2 3
3 2
33
Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner
(2)
1
(1)π π2
Figur 87
(2)
(1)−π π
1
π2
π−
2
Figur 88
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
49
16.5 Trigonometriske grundligninger
Da cosinus, sinus og tangens er periodiske, vil der til en given cosinus-, sinus- eller tangensværdi være fl ere vinkler.
(109) UVM nr. (91)
(110) UVM nr. (92)
(111) UVM nr. (93)
( )( )1
cos x a
x cos a p 2 , p Z−
=
= ± + ⋅ ⋅π ∈
Figur 89
Eksempel:
( )( )
( ) ( )( ) ( )
1
cos x 0,5
cos 0,5 1,05x 1,05 2 Z
4cos 1,05 4 2 cos 26,18 0,5
cos 1,05 4 2 cos 24,08 0,5
p , pFor p gælder:
−
=
=
= ± + ⋅ ⋅π ∈=
+ ⋅ ⋅π = =
− + ⋅ ⋅π = =
Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner
( )( )( )
1
1
sin x a
sin a p 2x , p Z
sin a p 2
−
−
=
⎧ + ⋅ ⋅π⎪= ∈⎨π− + ⋅ ⋅π⎪⎩
Figur 90
Eksempel:
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
1
1
sin x 0,3
sin 0,3 p 2x p Z
sin 0,3 p 2
0,30 p 2x p Z
2,84 p 2p 4
sin 0,30 4 2 sin 25,44 0,3
sin 2,84 4 2 sin 27,97 0,3
,
,
For gælder:
−
−
=
⎧ + ⋅ ⋅π⎪= ∈ ⇔⎨π− + ⋅ ⋅π⎪⎩+ ⋅ ⋅π⎧
= ∈⎨ + ⋅ ⋅π⎩=
+ ⋅ ⋅π = =
+ ⋅ ⋅π = =
( )( )1
tan x a
x tan a p p Z , −
=
= + ⋅π ∈
Figur 91
Eksempel:
( )( )
( ) ( )
1
tan x 0,8
x tan 0,8 p 0,67 p p Zp 40,67 4 tan 25,81 0,8
, For gælder:tan
−
=
= + ⋅π = + ⋅π ∈
=
+ ⋅π = =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
50
16.6 Harmonisk svingning
Da både cosinus og sinus er periodiske og symmetriske i deres svingninger, kan funktioner, der svinger harmonisk, formes:
(112) UVM nr. (94)
(113) UVM nr. (95)
hvor a er svingningernes størelse, og d er værdien for svingningsaksen.
Da cosinus og sinus er periodiske med en periode på , må ovenstående funktioner have en periode p, for hvilken der gælder:
(114) UVM nr. (96)
Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner
( ) ( )cosf x a b x c d= ⋅ ⋅ + +
( ) ( )sinf x a b x c d= ⋅ ⋅ + +
Figur 92
Eksempel:
( ) ( )( ) ( )
2 cos 3 2 7
4 sin 1 8
f x x
f x x
= ⋅ ⋅ − +
= ⋅ + −
2 ⋅ π
2pb⋅ π
=
Figur 93
Eksempel:
Perioden for er( ) ( )2 cos 3 2 7f x x= ⋅ ⋅ − +2 2p
3 3⋅ π
= = ⋅π
Hvad er det fede ved at læsepå RUC?
studieguide.ruc.dk
Dit s
tudie
vil b
live
præge
t af b
asiss
tudie
r,
grup
pearbe
jde og
tværfa
gligh
ed.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
51
Graf for harmonisk svingning
(115) p = x2 – x1 UVM nr. (97)
(116) UVM nr. (98)
(117) UVM nr. (99)
Formelsamling til matematik Trigonometriske funktioner
Figur 94
(1)
(2)
a
x1 x2
ymin
ymax
d
max min
2y ya −
=
maxd y a= −
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
52
17. Lineære funktioner i to variable
Er værdien af en given funktion liniært afhængig af to variable i stedet for kun én, vil funktionsforskriften have formen:
(118) UVM nr. (100)
Betragtes forskellige funktionsværdier t af en liniær funktion i to variable af formen ,vil der være en liniær sammenhæng mellem x og y. Denne sammenhæng er beskrevet i niveaulinien N(t) :
(119) UVM nr. (101)
Formelsamling til matematik Lineære funktioner i to variable
( ),f x y a x b y c= ⋅ + ⋅ +
Figur 95
Eksempel:
( )( )
, 3 2 5
2,7 3 2 2 7 5 6 14 5 15
f x y x y
f
= ⋅ + ⋅ −
= ⋅ + ⋅ − = + − =
( ),f x y a x b y c= ⋅ + ⋅ +
( ): N t a x b y c t⋅ + ⋅ + =
Figur 96
Eksempel:
( )
( )
:3 2 5
3 5 3 52 2 2
3 :3 2 5 3
3 5 3 3 5 3 3 42 2 2 2
N tx y t
x t ty x
Nx y
xy x x
⋅ + ⋅ − = ⇔− ⋅ + + +
= = − ⋅ +
⋅ + ⋅ − = ⇔− ⋅ + + +
= = − ⋅ + = − ⋅ +
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
53
18. Differentialregning
For en given funktion er hældningsskoeffi cienten i punktet (x0 , f(x0)) givet ved differentialkvotient f’(x0), der kan defi nineres som:
(120) UVM nr. (102)
Kendes et punkt A(x0 , f(x0)) på grafen samt hældningen (differentialkvotienten) f’(x0), kan ligningen for tangenten t fi ndes ved:
(121) UVM nr. (103)
Formelsamling til matematik Differentialregning
Figur 97
(1)
(2)
x0 x
f(x)
f(x0)
f
t
A
( ) ( ) ( )0
00
0
' limx x
f x f xf x
x x→
−=
−
( ) ( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= ⋅ − +
På Aarhus Universitet, Handels- og IngeniørHøjskolen findes der et helt unikt studiemiljø, du med garanti ikke finder andre steder. Her har du nærhed til...
FOKUS PÅ STUDIEMILJØETFOKUS PÅ STUDIEMILJØET
... dine medstuderende... erhvervslivet
... dine undervisere
Læs mere på hih.au.dk
HANDELS- OG INGENIØRHØJSKOLENDET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTETAARHUS UNIVERSITET
Birk Centerpark 15 7400 Herning info@hih.au.dkhih.au.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
54
Formelsamling til matematik Differentialregning
Til en given funktion kan man approksimere et førstegradspolynomium til punktet x0 ud fra formlen:
(122) UVM nr. (104)
18.1 Differentiation af specielle funktioner
(123) UVM nr. (105)
Figur 98
Eksempel:
For en funktion ønskes ligningen for tangent i x = 2.( ) 22 8f x x x= ⋅ − +
( )( )( )
( )
22 2 2 2 8 14
' 4 1
' 2 4 2 1 7
7 2 14 7 14 14 7
f
f x x
f
y x x x
= ⋅ − + =
= ⋅ −
= ⋅ − =
= ⋅ − + = ⋅ − + = ⋅Ligningen for tangenten t
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0'p x f x x x f x= ⋅ − +
Figur 99
Eksempel:
Til funktionen f(x) = x3 + 5 vil det approksimerede førstegradspolynomium i punktet x = 2 have formlen:
( )( )( )( )( ) ( )
3
2
3
2
5
' 3
2 2 5 8 5 13
' 2 3 2 3 4 12
12 2 13 12 24 13 12 11
f x x
f x x
f
f
p x x x x
= +
= ⋅
= + = + =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ − + = ⋅ − + = ⋅ −
Funktion f(x) Afledet funktion f’(x)
k (konstant) 0
ax ln(a)·ax
ex ex
ek·x k·ekx
ln(x)
cos(x) -sin(x)
sin(x) cos(x)
tan(x)
-11=x
x2
2-1
= xx− −
12- x =x
121 1
22x
x−
=
1x
( )( )( )( )22
1=1+ tan x
cos x
xa a·xa-1
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
55
18.2 Regneregler for differentiation
En funktion h(x), der kan fragmenteres på en af følgende måder, kan diffentieres ud fra følgende:
(124) UVM nr. (106)
(125) UVM nr. (107)
(126) UVM nr. (108)
(127) UVM nr. (109)
(128) UVM nr. (110)
Funktion f(x) Afledet funktion f’(x)
4 0
x7 7·x6
6x ex
e2x 2·e2x
Eksempel:
Formelsamling til matematik Differentialregning
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '
h x f x g x f g x
h x f g x f x g x
= ± = ± ⇒
= ± = ±
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '
h x f x g x f g x
h x f g x f x g x f x g x
= ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )' ' '
h x k f x k f x
h x k f x k f x
= ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ = ⋅
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2
' '' '
f x fh x xg x g
f x g x f x g xfh x xg g x
⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠⋅ − ⋅⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' '
h x f g x f g x
h x f g x f g x g x
= = ⇒
= = ⋅
o
o
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
56
Figur 100
Eksempel:
( ) ( ) ( )
( ) ( )3 2
1ln '
' 3
f x x f xx
g x x g x x
= ⇒ =
= ⇒ = ⋅
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
ln1' 3
h x x x f x g x
h x xx
= − = − ⇒
= − ⋅
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
3
3 2 2
ln1' ln 3 1 3 ln
h x x x f g x
h x x x x x xx
= ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )( )
( )
4 ln1' 4
h x x k f x
h xx
= ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )( ) ( )
3
3 2 2
2 6 43
ln
1 ln 3 1 3 ln 1 3 ln'
x fh x xx g
x x x x x xxh xx xx
⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅= = =
( ) ( ) ( )( )
( )
3
23
ln
1 3' 3
h x x f g x
h x xx x
= = ⇒
= ⋅ ⋅ =
o
Formelsamling til matematik Differentialregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
57
19. Deskriptiv statistik
For antal n observationer (x1, x2,…,xn) fi ndes middeltallet (gennemsnittet) ved:
(129) UVM nr. (111)
19.1 Diskrete observationer
I et sæt observationer kan observationerne antage k forskellige værdier (x1, x2,…,xk). Hyppighederne h1, h2,…,hk angiver, hvor mange gange den givne observation forekommer i sættet.
Antal observationer n:
(130) UVM nr. (112)
Frekvenserne f1, f2,…, fk angiver, hvor hyppig en given observationsværdi er i forhold til det samlede antal observationer:
(131) , i = 1,2,…,k UVM nr. (113)
Middeltallet (gennemsnittet) for hele sættet fi ndes ved:
(132) UVM nr. (114)
(133) UVM nr. (115)
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
x
Figur 101
Eksempel:
Karaktergennemsnittet for en elev, der i 9 fag har opnået karaktererne 11, 8, 7, 9, 03, 10, 8, 8, 8, er:
11 8 7 9 03 10 8 8 8 89
x + + + + + + + += =
n
ii 1
xx
n==∑
k
ii 1
n h=
= ∑
ii
hfn
=
x
k
i ii 1
x hx
n=
⋅=∑
k
i ii 1
x x f=
= ⋅∑
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
58
19.2 Pindediagram
Højden af pindene svarer til frekvensen/hyppigheden for den givne observationsværdi.
Figur 102
Eksempel:
I en forretning har man i 80 på hinanden følgende dage registreret antal kunder i den første åbningstime. Dette gav følgende resultat:
Antal kunder i første time xi
Hyppighedhi
Frekvensfi
1 12 0,15
2 28 0,35
3 28 0,43
4 6 0,07
i alt 80 1,00
Det gennemsnitlige antal kunder i løbet af den første åbningstime var:
1 12 2 28 3 34 4 6 2, 480
x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =
1 0,15 2 0,35 3 0, 43 4 0,07 2, 4x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
Figur 103
(2) frekvens/hyppighed
x1 x2 xi xk (1)
. . . . . .
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
59
19.3 Summerede frekvenser
For at fi nde ud af hvor stor en del af observationerne Fi , der er mindre eller lig en given værdi xi , skal de summerede frekvenser F1, F2,…, Fk benyttes:
(134) , i = 1,2,…,k UVM nr. (116)
Figur 104
antalkunder
(1)
0,43
(2) frekvens
0,35
0,15
0,07
1 2 3 4
Eksempel:
Pindediagram for fordelingen af antal kunder.
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
i
i ij 1
F f=
= ∑
Danmarks største kundekontaktcenter søger flere dygtige medarbejdere tilat hjælpe os i at yde optimalt salg over telefonen.
Vi er 450 medarbejdere placeret centralt på Frederiksberg, tæt på S-tog og Metro.
RING NU!Linda: 8816 6725 - Bettina: 8816 6736eller send din ansøgning til job@aditro.com
Aditro Customer Services Denmark A/S • Nimbusparken 24, 3 sal • 2000 Frederiksberg • www.aditro.com
LAD DINE DRØMME GÅ I OPFYLDELSE…Vi har dit nye fritidsjob indenfor salg & kommunikationDu er:
Stærk kommunikator på danskMotiveret af konkurrenceEn engageret kollegaEn ildsjæl med godt humør
Vi tilbyder:2-5 vagter om ugen á 5 timer i tidsrummet man-tor 16-21, lør. 12-17God fast timeløn + bonusGrundig uddannelse + coaching
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
60
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
19.4 Trappediagram
Afbildes de summerede frekvenser, fås et trappediagram:
(135) a - fraktil = xi UVM nr. (117)
(136) 1. kvartil = 0,25 fraktil UVM nr. (118)
(137) 2. kvartil = median = 0,5 – fraktil UVM nr. (119)
(138) 3. kvartil = 0,75 – fraktil UVM nr. (120)
Figur 105
Eksempel:
Det ses, at der 0,93 = 93% af dagene kommer 3 eller færre kunder i løbet af den første time.
Antal kunder i xi
FrekvensFi
Summeret frekvensFi
1 0,15 0,15
2 0,35 0,50
3 0,43 0,93
4 0,07 1,00
Figur 106
x1 x2xi xk
(2)Summeretfrekvens
1,0
a
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
61
19.5 Grupperede observationer
Et sæt observationer opdeles i k intervaller ]x0;x1], ]x1;x2],…, ]xk-1;xk]. Antallet af observationer i hvert interval betegnes med hyppighederne h1, h2,…, hk.
Intervalmidtpunkterne m1, m2,…, mk fi ndes ved:
(139) , i = 1,2,…,k UVM nr. (121)
Det samlede antal observationer n fi ndes ved:
(140) UVM nr. (122)
Intervalfrekvenserne f1, f2,…, fk fi ndes ved:
(141) , i = 1,2,…,k UVM nr. (123)
Figur 107
1,0
0,75
0,25
0,10
1 2 3 4
0,15
0,5
0,93
(2)Summeretfrekvens
Eksempel:
0,10 - fraktil = 11. kvartil = 22. kvartil = median = 23. kvartil = 3
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
h1 h2 . . . hk hyppigheder
x0 x1 x2 . . . xk intervaller
i 1 ii
x xm2− +=
k
ii 1
n h=
= ∑
ii
hfn
=
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
62
Det gennemsnitlige intervalmidtpunkt fi ndes ved :
(142) UVM nr. (124)
(143) UVM nr. (125)
(Dette gennemsnit er dog ikke det samme som gennemsnittet af alle observationer, da man ikke ved, hvordan de enkelte observationer er fordelt i de enkelte intervaller.)
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
x
n
hmx
k
iii∑
=
⋅= 1
∑=
⋅=k
iii fmx
1
Figur 108
Eksempel:
På en skole har man for 60 elever registreret antal timer, som eleven var om at lave en afleveringsopgave i matematik. Denne undersøgelse gav følgende resultat:
Antal timer grupperet i intervaller ]xi-1;xi]
Interval-midtpunktmi
Antal eleverhi
Interval-frekvensfi
]0;1] 0,5 4 0,07
]1;2] 1,5 24 0,40
]2;3] 2,5 27 0,45
]3;4] 3,5 5 0,08
i alt n=60 1,0
0,5 4 1,5 24 2,5 27 3,5 5 2,160
x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =
0,5 0,07 1,5 0, 40 2,5 0, 45 3,5 0,08 2,1x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Det gennemsnitlige intervalmidtpunkt er:
Hvad er det fede ved at læsepå RUC?
studieguide.ruc.dk
Dit s
tudie
vil b
live
præge
t af b
asiss
tudie
r,
grup
pearbe
jde og
tværfa
gligh
ed.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
63
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
19.6 Søjlediagram (histogram)
Ønskes grupperede observationer afbildet, skal søjlediagrammet benyttes.
19.7 Summerede frekvenser
For at fi nde ud af hvor stor en del af observationerne Fi , der er mindre eller lig en given værdi xi , skal de summerede frekvenser F1, F2,…, Fk benyttes:
(144) , i = 1,2,…,k UVM nr. (126)
Figur 109
x0 x1 x2 xk
. . .
Figur 110
antaltimer(1)
0,080,07
1 2 3 4
0,450,40
(2)Intervalfrekvens
Eksempel:
Søjlediagram for fordelingen af antal timer.
i
i ij 1
F f=
= ∑
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
64
19.8 Sumkurve
Afbildes de summerede frekvenser, fås sumkurven, hvorpå den andel af observationerne, der er mindre en given værdi, kan afl æses.
(145) a - fraktil = xa UVM nr. (127)
(146) 1. kvartil = 0,25 fraktil UVM nr. (128)
(147) 2. kvartil = median = 0,5 – fraktil UVM nr. (129)
(148) 3. kvartil = 0,75 – fraktil UVM nr. (130)
Figur 111
Eksempel:
Antal timer grupperet i intervaller ]xi-1;xi]
Interval-frekvensfi
Summeret frekvensFi
]0;1] 0,07 0,07
]1;2] 0,40 0,47
]2;3] 0,45 0,92
]3;4] 0,08 1,00
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
Figur 112
x1 x2 xa xk
(2)Summeret frekvens
(1)
1
a
x0
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
65
Formelsamling til matematik Deskriptiv statistik
Figur 113
antaltimer(1)
0,100,07
1 2 3 4
(2)Summeret frekvens
0,25
0,500,47
0,75
1,00
0,92
Eksempel:
0,10 - fraktil = 0,931. kvartil = 1,452. kvartil = median = 2,073. kvartil = 2,62
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
66
20. Sandsynlighedsregning
Betragtes antal n udfald (u1, u2,…, un), vil de udgøre udfaldsrummet U.
(149) UVM nr. (131)
En sandsynlighedsfunktion P(ui) angiver sandsynligheden for, at udfald ui forekommer. For denne funktion gælder der, at:
(150) UVM nr. (132)
Betragtes en hændelse A (en mængde af udfald), gælder:
(151) P(A) er lig summen af sandsynlighederne af alle udfald i A. UVM nr. (133)
20.1 Regneregler for sandsynligheder
Udfaldsrum U Hændelse A Komplementærhændelse
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsberegning
{ }1 2 nU u , u ,..., u=
( )
( )1
0 1 , 1, 2,...,
1
i
n
ii
P u i n
P u=
≤ ≤ =
=∑
Figur 114
Eksempel:
U 1 2 3 4
P(u) 0,3 0,3 0,3 0,1
Et stokastisk eksperiment er beskrevet ved:
Figur 115
Eksempel:
{ }( ) ( ) ( )
2,3
2 3 0,3 0,3 0,6
A
P A P P
=
= + = + =
A
Figur 116
U
s A A
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
67
For sandsynligheden for, at et givet udfald er i U, vides:
(152) P(U) = 1 UVM nr. (134)
Sandsynligheden for et tomt udfald er givet ved:
(153) P(Ø) = 0 UVM nr. (135)
For sandsynligheden for en given hændelse kan den komplementære sandsynlighed (sandsynligheden for at det modsatte udfald indtræffer) fi ndes ved:
(154) UVM nr. (136)
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsberegning
( ) 1 ( )P A P A= −
Eksempel:
Det vides, at hændelsen A har sandsynligheden P(A) = 0,2. Sandsynligheden for den komplementære hændelse vil derfor være:
( ) 1 0, 2 0,8P A = − =Figur 117
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
68
21. Stokastisk variabel
Diskret stokastisk variabel X
En diskret stokastisk variabel X kan antage n forskellige værdier angivet ved x1,x2,… xn.
Sandsynlighedsfunktionen f(x) angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel X antager netop værdien x.
(155) UVM nr. (138)
For en diskret stokastisk variabel gives fordelingsfunktionen F(x) ved:
(156) UVM nr. (137)
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
xi x1 . . . x2 xk værdier for X
( ) ( ) , 1, 2,...,i if x P X x i n= = =
Figur 118
Eksempel:
Sandsynlighederne for en stokastisk variabel X er givet ved:
X 3 4 5
P(X=x) 0,30 0,45 0,25
( ) ( ) ( )1
, 1, 2,...,i
i i jj
F x P X x f x i n=
= ≤ = =∑
Figur 119
Eksempel:
Fordelingsfunktionen for en stokastisk variabel X er givet ved:
X 3 4 5
F(x) 0,30 0,75 1,00
På Aarhus Universitet, Handels- og IngeniørHøjskolen findes der et helt unikt studiemiljø, du med garanti ikke finder andre steder. Her har du nærhed til...
FOKUS PÅ STUDIEMILJØETFOKUS PÅ STUDIEMILJØET
... dine medstuderende... erhvervslivet
... dine undervisere
Læs mere på hih.au.dk
HANDELS- OG INGENIØRHØJSKOLENDET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTETAARHUS UNIVERSITET
Birk Centerpark 15 7400 Herning info@hih.au.dkhih.au.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
69
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
21.1 Middelværdi μ
For en stokastisk variabel X kan det gennemsnitlige udfald (middelværdien) fi ndes ved:
(157) UVM nr. (140)
21.2 Varians σ2
Variansen af en stokastisk variabel angiver, hvor meget udfaldene varierer omkring middelværdien:
(158) UVM nr. (141)
(159) UVM nr. (142)
21.3 Standardafvigelse
Standardafvigelsen for en stokastisk variabel er kvadratroden af variansen.
(160) UVM nr. (143)
( ) ( )n
i ii 1
E X x P X x=
μ = = ⋅ =∑
( ) ( ) ( )n
22i i
i 1Var X x P X x
=
σ = = −μ ⋅ =∑
( ) ( ) ( )( )22 2Var X E X E Xσ = = −
Figur 121
Eksempel:
Variansen af X findes ved:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3,95 0,30 4 3,95 0, 45 5 3,95 0, 25 0,55Var X = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =
( ) 2 2 2 23 0,30 4 0, 45 5 0, 25 3,95 0,55Var X = ⋅ + ⋅ + ⋅ − =
Figur 120
Eksempel:
Middelværdien af X er:
( )E X 3 0,30 4 0,45 5 0, 25 3,95μ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( )2X X Var Xσ = σ = σ =
Figur 122
Eksempel:
Standardafvigelsen af X er:
( )X 0,55 0,74σ = =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
70
22. Binomialfordeling
22.1 Fakultet
Med n fakultet n! menes:
(161) UVM nr. (144)
(162) 0!= 1 UVM nr. (145)
22.2 Binomialkoeffi cient K(n, r)
Haves en mængde på n, kan man udvælge r af dem på K(n,r) forskellige måder:
(163) UVM nr. (146)
22.3 Binomialfordelt stokastisk variabel X
En stokastisk variabel, der er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, er angivet ved:
(164) UVM nr. (147)
Formelsamling til matematik Binominalfordeling
Figur 123
Eksempel:
6! 1 2 3 4 5 6 720= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Figur 124
Eksempel:
Haves fire lamper, kan man tænde to af dem på følgende måde:
Kombination Lampe 1 Lampe 2 Lampe 3 Lampe 4
1 Tændt Tændt Slukket Slukket
2 Tændt Slukket Tændt Slukket
3 Tændt Slukket Slukket Tændt
4 Slukket Tændt Tændt Slukket
5 Slukket Tændt Slukket Tændt
6 Slukket Slukket Tændt Tændt
( )4 4! 1 2 3 4 244, 2 62 2!(4 2)! 1 2 1 2 4
K ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =⎜ ⎟ − ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
! 1 2 ...n n= ⋅ ⋅ ⋅
!( , )!( )!
n nK n rr r n r⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
( ),X b n p
Figur 125
Eksempel:Lad X betegne antal defekte enheder i en stikprøve på 100, som stammer fra en produktion, hvoraf 8% af enhederne er defekte.X vil da være givet ved:
( )100;0,08X b
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
71
22.4 Sandsynlighedsfunktion
For en stokastisk variabel X, der er binomialfordelt med (n,p), kan sandsynligheden for, at den antager én speciel værdi r, fi ndes ved:
(165) UVM nr. (148)
22.5 Middelværdi
Det forventede udfald for en stokastisk binomial variabel kaldes middelværdien og er givet ved:
(166) UVM nr. (149)
Formelsamling til matematik Binominalfordeling
( ) ( ) ( ), 1 n rrP X r K n r p p −= = ⋅ ⋅ −
Figur 126
Eksempel:
Sandsynligheden for, at stikprøven indeholder 3 defekte, er:
( ) ( ) ( )100 323 100,2 0,08 1 0,08 0,025P X K −= = ⋅ ⋅ − =
( )E X n p= ⋅
Figur 127
Eksempel:
Det forventede antal defekte i stikprøven er:
( ) 100 0,08 8E X = ⋅ =
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
72
Formelsamling til matematik Binominalfordeling
22.6 Varians σ2
Variansen af en stokastisk binomial variabel er givet ved:
(167) UVM nr. (150)
22.7 Standardafvigelse σ
Standardafvigelsen af en stokastisk binomial variabel er givet ved:
(168) UVM nr. (151)
( ) ( )1Var X n p p= ⋅ ⋅ −
( ) ( )X n p 1 pσ = ⋅ ⋅ −
Figur 129
Eksempel:
Standardafvigelsen af antal defekte er:
( ) ( )X 100 0,08 1 0,08 7,36 2,71σ = ⋅ ⋅ − = =
Figur 128
Eksempel:
Variansen af antal defekte er:
( ) 2Var X 100 0,08 (1 0,08) 7,36= σ = ⋅ ⋅ − =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
73
23. Normalfordeling
23.1 Normalfordelt stokastisk variabel X
En stokastisk variabel, der er normalfordelt med middelværdi μ og standardafvigelse σ, er angivet ved:
(169) X ~ N(μ , σ) UVM nr. (152)
Grafen for fordelingsfunktionen F er en ret linie på normalfordelingspapir.
Formelsamling til matematik Normalfordeling
Figur 130
μ - s μ μ + s
0,159
0,50
0,841
(2)
(1)
Eksempel:
Lad X betegne det antal km, en bestemt bilmodel kører på 1 liter benzin. Det antages, at:
( )18,3X N
F
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
74
Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en værdi under eller lig a, er givet ved:
(170) UVM nr. (153)
Formelsamling til matematik Normalfordeling
( ) ( )P X a F a≤ =
Figur 131
0,0
15 18 21
0,20
0,50
0,90
(2)
(1)
Eksempel:
Grafen for fordelingsfunktionen F på normalfordelingspapir går gennem punkterne(18 - 3 ; 0,159) = (15 ; 0,159), (18; 0,5) og (18 + 3; 0,841) = (21; 0,841)
NNE Pharmaplan er en af verdens førende rådgivende ingeniørvirksomheder med speciale i konsulent- og ingeniørydelser til den farmaceutiske og bioteknologiske industri. NNE Pharmaplan er et datterselskab til Novo Nordisk. Vi har mere end 1500 ansatte fordelt på 22 kontorer rundt om i verden.
Udfordringer...Bliv elev i NNE Pharmaplan. Du kan blive uddannet som kontorassistent, økonomiassistent og teknisk designer.
www.nnepharmaplan.com
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
75
Figur 132
Eksempel:Sandsynligheden for, at en bil af denne model kører højst 12 km på 1 liter benzin, er:
( ) ( )12 12 0,02 2%P X F≤ = = =
Formelsamling til matematik Normalfordeling
Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en værdi over eller lig a, er givet ved:
(171) UVM nr. (154)
Sandsynligheden for, at en normalfordelt stokastisk variabel antager en værdi i intervallet [a;b], er givet ved:
(172) UVM nr. (155)
( ) ( )1P X a F a≥ = −
Figur 133
Eksempel:
Sandsynligheden for, at den kører mindst 12 km på 1 liter benzin, er:
( ) ( )12 1 12 1 0,02 0,98 98%P X F≥ = − = − = =
( ) ( ) ( ) , P a X b F b F a a b≤ ≤ = − <
Figur 134
Eksempel:Og sandsynligheden for, at den kører mellem 12 - 20 km på 1 liter benzin, er:
( ) ( ) ( )12 20 20 12 0,75 0,02 0,73P X F F≤ ≤ = − = − =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
76
NIVEAU A
Formelsamling til matematik Niveau A
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
77
1. Vektorer i planen
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
Figur 135
0a1 (y)
a2
a
a
a
a
a
KOM TIL U-DAYS D. 4., 5. OG 6. MARTS 2010 OG LÆR MERE OM VORES UDDANNELSER
Internationale universitetsuddannelser
med rod i virkeligheden
Praktik
Studiejobs
ASB Alumni
Summer University
Corporate partners
ASB Karrierecenter
Studiemiljø i særklasse
Job- og CompanyDating
Danske og internationale forskere
Læs mere på www.asb.dk
U-DAYS
VIL DU SIKRE DIN FREMTID MED EN MÅLRETTET UNIVERSITETSUDDANNELSE INDEN FOR BUSINESS? LÆS MERE OM VORES UDDANNELSER PÅ WWW.ASB.DK
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
78
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
En vektor angiver både en talværdi og en retning. Grafi sk afbildes en vektor med en pil, der illustrerer vektorens retning. Pilens længde angiver vektorens talværdi. Vektorer er karakteriseret ved deres retning og længde, men ikke ved deres begyndelses- og endepunkter. Alle vektorer på illustrationen ovenfor er derfor ens og betegnes alle ved koordinaterne til endepunktet for den vektor, der har begyndelsespunkt i origo.
Vektor i planen
En vektor i planen betegnes på følgende måde:
(173) UVM nr. (156)
Længde af vektor
Længden af en vektor betegnes og er givet ved kvadratroden af summen af kvadraterne på vektorens koordinater:
(174) UVM nr. (157)
1.1 Regning med vektorer
I det følgende er og vektorer, mens t er et reelt tal.
Vektor
En konstant ganges på en vektor ved at gange konstanten på hvert koordinat i vektoren. Bemærk, at for t < 0 har og modsat retning.
1
2
aa
a⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
Figur 136
Eksempel:
Vi skal opskrive vektoren med begyndelsespunkt i origo og endepunkt i (3, 4). Der gælder altså, at a1 = 3, og a2 = 4. Således er vektoren givet ved:
ar
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
ar
2 21 2a a a= +
r
Figur 137
Eksempel:
Vi skal finde længden af vektoren . Der gælder altså, at
a1 = 3, og a2 = 4. Således er længden af vektoren givet ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
rar
2 2a 3 4 5= + =r
1
2
bb
b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r1
2
aa
a⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
t a⋅ r
art a⋅ r
Figur 138t a⋅ r
ar
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
79
(175) UVM nr. (158)
Sum
Summen af to vektorer er defi neret som den koordinatvise sum af vektorerne.
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
1
2
t at a
t a⋅⎛ ⎞
⋅ = ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
r
a b+rr
Figur 139
Eksempel:
Vi skal finde vektoren for og t = 2. Der gælder altså,
at a1 = 3, a2 = 4, og t = 2. Således er vektoren givet ved
t a⋅ r3
a4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
2 3 6t a
2 4 8⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
Figur 140
a b+rr
ar
br
www.dfds.com/elever
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
80
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
(176) UVM nr. (159)
Differens
Differensen mellem to vektorer er givet som den koordinatvise differens af vektorerne.
(177) UVM nr. (160)
Basisvektorer
Basisvektorerne i planen og er defi neret som de vektorer, der er parallelle med koordinatsystemets akser og har længde 1. Enhver vektor kan skrives som en sum af basisvektorerne.
1 1
2 2
a ba b
a b+⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠
rr
Figur 141
Eksempel:
Vi skal finde summen af vektorerne og .
Der gælder altså, at a1 = 3, a2 = 4, b1 = -2, og b2 = 2. Således er summen af vektorerne givet ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r 2b
2−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
3 ( 2) 1a b
4 2 6+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
rr
a b−rr
Figur 142
a b−rr
ar
br
Figur 143
Eksempel:
Vi skal finde differensen mellem vektorerne og .
Der gælder altså, at a1 = 3, a2 = 4, b1 = -2, og b2 = 2. Således er differensen mellem vektorerne givet ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r 2b
2−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
3 ( 2) 5a b
4 2 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
rr
1 1
2 2
a ba b
a b−⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
rr
i , jr r
ir j
r
Figur 144
1a irr
ir
jr
ar
2a jrr
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
81
(178) ,
(179)
Skalarprodukt
Produktet af to vektorer kaldes skalarproduktet og er defi neret som summen af koordinatvise produkter. Skalarproduktet af to vektorer kan også anvendes til at fi nde vinklen mellem vektorerne.
(180) UVM nr. (161)
(181) UVM nr. (162)
(182) UVM nr. (163)
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
1i
0⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r 0j
1⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
11 2
2
aa a i a j
a⎛ ⎞
= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠
r rr
Figur 145
Eksempel:
Vi skal opskrive vektoren ved hjælp af basisvektorerne og .
Der gælder altså, at a1 = 3, og a2 = 4. Således kan skrives som:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
rir
jr
ar
3a 3 i 4 j
4⎛ ⎞
= ⋅ + ⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
r rr
a b⋅rr
Figur 146ar
br
v
1 1 2 2a b a b a b⋅ = +rr
a b a b cos v⋅ = ⋅ ⋅r rr r
2a a a⋅ =r r r
Figur 147
Eksempel:
Vi skal endvidere finde vinklen mellem vektorerne. Der gælder, at , og . Således er vinklen mellem vektorerne givet ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
rVi skal finde skalarproduktet af vektorerne og .
Der gælder altså, at a1 = 3, a2 = 4, b1 = -2, og b2 = 2. Således er skalarproduktet givet ved:
2b
2−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
a b 3 ( 2) 4 2 2⋅ = ⋅ − + ⋅ =rr
a 5=r
b 8=r
2 5 8 cos v= ⋅ ⋅
v 81,87⇒= °
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
82
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
Vinkelrette vektorer og
Hvis to vektorer står vinkelret på hinanden, er skalarproduktet mellem dem nul. Tilsvarende gælder, at hvis skalarproduktet mellem to vektorer er nul, så står vektorerne vinkelret på hinanden.
(183) UVM nr. (164)
Projektionen af på
Projektionen er den vektor, der fremkommer ved at projicere vektoren vinkelret ind på vektoren . Dermed har og samme retning, men forskellige længder.
(184) UVM nr. (165)
ar br
a b a b 0⊥ ⇔ ⋅ =r rr r
bauur
ar br
bauur
ar br
br
bauur
Figur 148
ar
br
bauur
b 2a ba bb
⋅= ⋅
rruur rr
Har du gjort dig tanker om fremtiden ? Vi har !B l i v h a n d e l s e l e v h o s B D / i n f o : w w w . b d . d k / e l e v
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
83
Tværvektor
Tværvektoren fremkommer ved at rotere vektoren med 90° i positiv omløbsretning (mod uret). Således er og vinkelrette, og .
(185) UVM nr. (166)
(186)
Arealet af parallelogram A, som udspændes af og
Arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne og , er givet ved den numeriske værdi til skalarproduktet mellem tværvektoren og vektoren .
Figur 149
Eksempel:
Vi skal finde projektionen af vektoren ind på vektoren .
Der gælder, at , og . Således er projektionen givet ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
rbauur 2
b2−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
a b 2⋅ =rr b 8=
r
b2 1a b b8 4
= ⋅ = ⋅uur r r
ra
ar ar
ar ar a a 0⋅ =r r
Figur 150
ar
ar
(2)
(1)
a a 0⋅ =r r
Figur 151
Eksempel:
Vi skal finde tværvektoren af vektoren ind på vektoren. Der
gælder altså, at a1 = 3, og a2 = 4. Således er tværvektoren givet ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
rar
4a
3−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
ar br
ar br
ar br
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
2
1
aa
a−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
84
Figur 152
ar
br
(187) UVM nr. (167)
1.2 Vektor bestemt ved to punkter i planen
Koordinatsæt for
En vektor mellem to punkter i planen (A(x1, y1) og B(x2, y2)) er defi neret som den koordinatvise differens mellem endepunktets koordinater og begyndelsespunktets koordinater.
(188) UVM nr. (168)
ˆA a b= ⋅rr
Figur 153
Eksempel:
Vi skal finde arealet af parallelogram A, der udspændes af vektorerne
og . Der gælder, at og dermed er arealet givet
ved:
3a
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r 4a
3−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r2b
2−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
4 2A 14
3 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Figur 154
B(x2, y2)
A(x2, y2)
(2)
(1)
ABuuur
2 1
2 1
x xAB
y y−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
uuur
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
85
Figur 155
Eksempel:
Vi skal finde koordinatsættet for vektoren mellem punkterne A(1, 2) og B(5, 5). Der gælder altså, at x1 = 1, x2 = 5, y1 = 2, og y2 = 5. Således er koordinatsættet givet ved:
ABuuur
5 1 4AB
5 2 3−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
uuur
Længde af
Længden af en vektor mellem to punkter i planen A(x1, y1) og B(x2, y2) er givet ved kvadratroden af summen af kvadraterne på vektorens koordinater:
(189) UVM nr. (169)
ABuuur
2 22 1 2 1AB (x x ) (y y )= − + −
uuur
Figur 156
Eksempel:
Vi skal finde længden af vektoren mellem punkterne A(1, 2) og
B(5, 5). Der gælder altså, at x1 = 1, x2 = 5, y1 = 2, og y2 = 5. Således er længden af vektoren givet ved:
ABuuur
ABuuur
2 2AB (5 1) (5 2) 5= − + − =uuur
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
Gå efter det bedste tilbud !
Er du på jagt efter en uddannelse, hvor mulighederne for at gøre karriere er rigtig gode? Har du gå-på-mod og evner til at gennemføre et seriøst uddannelsesfor-løb med fokus på kundeserivce, salg og samarbejde?
Så skulle du overveje en uddannelse som salgsassi-stent eller trainee i Dansk Supermarked. Vi søger lige nu elever til føtex, Bilka og Netto over hele landet.
Når Dansk Supermarked søger elever, er det for at uddanne dygtige medarbejdere og ledere til fremti-den. Vores succes afhænger af dig. Derfor gør vi rig-tig meget ud af, at du udnytter dine evner optimalt, har det godt, trives med dine opgaver og udvikler dig personligt.
Du kan læse meget mere om vores uddannel-ser og karrieremuligheder på vores hjemmeside elev.dsg.dk, hvor du også kan se og søge ledige elev-stillinger. Du er også velkommen til at gå ned i dit lokale varehus for at høre mere om dine muligheder.
elev.dsg.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
86
1.3 Arealet af en trekant
Arealet af trekant ABC
Arealet af en trekant givet ved punkterne A, B og C er givet ved ½ gange den numeriske værdi af skalarproduktet mellem tværvektoren og vektoren .
(190) UVM nr. (170)
Figur 157
B
CA
AB∧uuur
ACuuur
Figur 158
Eksempel:Vi skal finde arealet af den trekant T, der er givet ved punkterne A(1,2),
B(5, 5) og C(7, 2). Der gælder, at og . Således er arealet givet ved:
3AB
4
∧ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
uuur 6AC
0⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
uuur
3 61 1T 18 94 02 2−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Formelsamling til matematik Vektorer i planen
1T AB AC2
∧
= ⋅ ⋅uuur uuur
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
87
2. Linie i planen
En normalvektor til en linie er en vektor nr , der står vinkelret på linien.En retningsvektor for en linie er en vektor rr , der er parallel med linien.
2.1 Ligning for linie
Ligningen for linien l gennem punktet P0(x0, y0) med normalvektor a
nb⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r er givet ved:
(191) UVM nr. (171)
Ligningen for linien l gennem punktet P0 (x0, y0) med hældningskoeffi cient α er givet ved:
(192)
0 0a(x x ) b(y y ) 0− + − =
Figur 159
P0(x0, y0)
(2)
rr
rn
(1)
l
Figur 161
Eksempel:
Vi skal finde ligningen for linien l gennem punktet P0 (3, 4) med hældningskoefficient 2. Der gælder altså, at = 2, x0 = 3, og y0 = 4. Således er ligningen for linien givet ved:
y 4 2(x 3) 2x 2= + − = −
Figur 160
Eksempel:
Vi skal finde ligningen for linien l gennem punktet P0 (3, 4) med
normalvektor . Der gælder altså, at a = -2, b = 3, x0 = 3, og y0
= 4. Således er ligningen for linien givet ved:
2n
3−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
23
2(x 3) 3(y 4) 0
y x 2
− − + − =⇔= +
Formelsamling til matematik Linie i planen
0 0y y (x x )= + α −
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
88
2.2 Retningsvektor for linie
Hældningskoeffi cienten for en linie er givet som 2. koordinaten til den retningsvektor, der har 1. koordinat 1.
En retningsvektor for linien l med ligningen y = αx + β kan dermed skrives som:
(193) UVM nr. (172)1r ⎛ ⎞= ⎜ ⎟α⎝ ⎠
r
Figur 162
Eksempel:
Vi skal finde hældningskoefficienten for en linie l med retningsvektor . . Der gælder altså, at = 4, og således er liniens
hældningskoefficient 4
1r
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
r
Formelsamling til matematik Linie i planen
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
89
3. Afstand i planen
3.1 Afstand mellem to punkter
Afstanden mellem to punkter i planen A(x1, y1) og B(x2, y2) kan bestemmes ved at konstruere en retvinklet trekant ud fra punktet C(x2, y1). Afstanden |AB| er dermed givet som kvadratroden af summen af kvadraterne på sidelængderne |AC| og |BC|.
Afstanden |AB| mellem to punkter A(x1, y1) og B(x2, y2):
(194) UVM nr. (173)
Formelsamling til matematik Afstand i planen
Figur 163
0(1)
(2)
A(x1, y1)
B(x2, y2)
C(x2, y1)
2 22 1 2 1AB (x x ) (y y )= − + −
Figur 164
Eksempel:
Vi skal finde afstanden mellem punkterne A(-1, 2) og B(3, 3). Der gælder altså, at x1 = -1, x2 = 3, y1 = 2, og y2 = 3. Således er afstanden mellem punkterne givet ved:
2 2AB (3 ( 1)) (3 2) 17= − − + − =
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
90
Figur 165
P0(x0, y0)(2)
(1)
l
3.2 Afstand fra punkt til linie
Afstand dist(P, l) fra punktet P(x0, y0) til linien l med ligningen ax + by + c = 0Afstanden fra et punkt P(x0, y0) til en linie l med ligningen ax + by + c = 0 er defi neret som længden af det liniestykke mellem punktet og linien, der står vinkelret på linien.
(195) UVM nr. (174)0 0
2 2
ax by cdist(P, l)
a b
+ +=
+
Figur 166
Eksempel:
Vi skal finde afstanden fra punktet P(1, 5) til linien l med ligningen -2x + 2y – 4 = 0. Der gælder altså, at a = -2, b = 2, c = -4, x0 = 1, og y0 = 5. Således er afstanden fra punktet til linien givet ved:
4dist(P, l) 2
8= =
Formelsamling til matematik Afstand i planen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
91
4. Parabel
Ligning for parabel med symmetriakse parallel med 2. aksen
Ligningen for en parabel med symmetriakse parallel med 2. aksen er givet ved:
(196) UVM nr. (175)
Figur 167
(2)
(1)
T
2= − + +y ax bx c
Formelsamling til matematik Parabel
Deltag i Børsens Gazellespil 2010 - og vind flotte pengepræmier
Gazellespillet er et spændende og innovativt virksomhedsspil, hvor du kommer til at prøve kræfter som iværksætter.
Spillet udfordrer i 2010 elever og lærere på at tage beslutnin-ger i et marked præget af økonomisk og finansiel krise.
Som leder af en fiktiv virksomhed skal du og dit hold hver uge træffe vigtige beslutninger om produktudvikling, marketing, investeringer m.v.
Spillet starter den 18. januar 2010 og der vil være flotte pengepræmier til de skarpeste beslutningstagere.
Læs alt om spillet og tilmeld jer på gazellespil.borsen.dk KLIK HER
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
92
Diskriminant
Diskriminanten d er en regnestørrelse, der blandt andet anvendes til at fi nde parablens toppunkt. Diskriminanten er givet ved:
(197) UVM nr. (176)
Toppunkt T
Parablens toppunkt T er givet ved:
(198) UVM nr. (177)
Figur 169
Eksempel:
Vi skal finde diskriminanten for parablen med ligningen y = 2x2 – x + 4. Der gælder altså, at a = 2, b = -1, og c = 4. Således er diskriminanten givet ved:
2( 1) 4 2 4 33d = − + ⋅ ⋅ =
Figur 168
Eksempel:
Ligningen for en parabel med koefficienter a = 2, b = -1 og c = 4 er givet ved:
212 4y x x= − −
2 4d b ac= −
,2 4
b dTa a− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Figur 170
Eksempel:
Vi skal finde toppunktet for parablen med ligningen y = 2x2 – x + 4. Der gælder, at a = 2, b = -1, og d = -33. Således er parablens toppunkt givet ved:
( 1) 33 1 33, ,2 2 4 2 4 8
T − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Formelsamling til matematik Parabel
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
93
5. Cirkel
Ligning for cirkel med centrum C(x0, y0) og radius r
En cirkel med centrum C(x0, y0) og radius r består af de punkter, der har afstand r til centrum og således opfylder følgende ligning:
(199) UVM nr. (178)
Omkreds O
Omkredsen af en cirkel med radius r er givet ved:
(200) UVM nr. (179)
Figur 171
C(x0, y0)
(2)
(1)
r
2 2 20 0( ) ( )x x y y r− + − =
Figur 172
Eksempel:
Vi skal finde ligningen for cirklen med centrum C(2, 2) og radius 4. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, og r = 4. Således er cirklens ligning givet ved:
2 2 2
2 2
( 2) ( 2) 4
4 4 8 0
x y
x x y y
− + − =⇔
− + − − =
2O r= π⋅
Figur 173
Eksempel:
Vi skal finde omkredsen af en cirkel med radius 3. Der gælder altså, at r = 3, og således er cirklens omkreds givet ved:
2 3 6O = π⋅ = π
Formelsamling til matematik Cirkel
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
94
Areal A
Arealet af en cirkel med radius r er givet ved:
(201) UVM nr. (180)2A r= π⋅
Figur 174
Eksempel:
Vi skal finde arealet af en cirkel med radius 3. Der gælder altså, at r = 3, og således er cirklens omkreds givet ved:
23 9A = π⋅ = π
Formelsamling til matematik Cirkel
FÅ HELE VERDEN SOM DIN ARBEJDSPLADS!
Vil du være blandt verdens førende shippingfolk? Det Blå Danmark, eller det danske mari-time erhverv, kan tilbyde dig en shippinguddannelse af høj international standard. Danske rederier og shippingvirksomheder er førende inden for de mest avanacerede segmenter af den globale søfart og flytter dagligt 10 procent af al verdens handel til søs. Hvis du har mod på en international karriere, så gå ind på www.worldcareers.dk og find ud af, hvordan DU kan få hele verden som din arbejdsplads.
Få verden som arbejdsplads: www.worldcareers.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
95
6. Ellipse
Ligning for ellipse med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b
En ellipse med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b består af de punkter, der opfylder følgende ligning:
(202) UVM nr. (181)
Areal A
Arealet af en ellipse med halvakser a og b er givet ved:
(203) UVM nr. (182)
Figur 175
C(x0, y0)
(2)
(1)
ab
2 20 0
2 2
( ) ( ) 1x x y ya b− −
+ =
Figur 176
Eksempel:
Vi skal finde ligningen for ellipsen med centrum C(2, 2) og halvakser a = 5 og b = 3. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, a = 5, og b = 3. Således er ellipsens ligning givet ved:
2 2
2 2
2 2
( 2) ( 2) 15 3
9 36 25 100 135 0
x y
x x y y
− −+ =
⇔
− + − + =
A ab= π⋅
Figur 177
Eksempel:
Vi skal finde arealet af en ellipse med halvakser a = 5 og b = 3. Således er ellipsens areal givet ved:
3 2 6A = π⋅ ⋅ = π
Formelsamling til matematik Ellipse
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
96
Formelsamling til matematik Hyperbel
7. Hyperbel
Ligning for hyperbel med centrum i C(x0, y0) og halvakser a og b
En hyperbel med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b består af de punkter, der opfylder følgende ligning:
(204) UVM nr. (183)
Ligning for asymptoter
En hyperbel med centrum C(x0, y0) og halvakser a og b har to asymptoter, som består af de punkter, der opfylder følgende ligninger:
(205) UVM nr. (184)
Figur 178
C
(2)
(1)
b
a
(x0,y0)
2 20 0
2 2
( ) ( ) 1x x y ya b− −
− =
Figur 179
Eksempel:
Vi skal finde ligningen for hyperblen med centrum C(2, 2) og halvakser a = 5 og b = 3. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, a = 5, og b = 3. Således er hyperblens ligning givet ved:
2 2
2 2
2 2
( 2) ( 2) 15 3
9 36 25 100 65 0
x y
x x y y
− −− =
⇔
− − + − =
0 0
0 0
( )og
( )
ba
ba
y y x x
y y x x
− = −
− = − −
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
97
Figur 180
Eksempel:
Vi skal finde ligningen for asymptoterne til hyperblen med centrum C(2, 2) og halvakser a = 5 og b = 3. Der gælder altså, at x0 = 2, y0 = 2, a = 5, og b = 3. Således er asymptoternes ligninger givet ved:
2 2 13 3 3
72 23 3 3
1 ( 2)og
1 ( 2)
y x y x
y x y x
− = − ⇔ = −
− = − − ⇔ = − −
Formelsamling til matematik Hyperbel
Hvad enten du drømmer om at starte virksomhed eller allerede er godt i gang, giver vi dig power til at maksimere dit potentiale. I uge 47 er der springboards, workshops, foredrag og konkret rådgivning til alle – fra iværksætterspirer i grundskolen til direktører med vækstambitioner.
Bag initiativet står Økonomi- og Erhvervsministeriet i samarbejde med en lang række private og offentlige organisationer. Initiativet er en del af "Global Entrepreneurship Week", hvor mere end 100 lande sætter fokus på iværksætteri og vækst.
Global Entrepreneurship Week | Økonomi- og Erhvervsministeriet | Væksthusene | Young Enterprise Danmark | DI – Organisation for erhvervslivet | Kauffmann | Make Your Mark
| Dansk Iværksætter Forening | Undervisningsministeriet | DEF | DJØF | Foreningen af Registrerede Revisorer | Øresund Entrepreneurship Academy | Danske Advokater |
Foreningen af Statsautoriserede Revisorer | IDA | DANA | IDEA | Vækstfonden | Women in Business | Connect Denmark | Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling | FUHU
| Ernst & Young | Dansk Erhverv | Venture Cup | Kulturministeriet | Early Warning | Danmarks Eksportråd
Læs mere på www.uge47.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
98
8. Kvadratisk funktion i to variable
En kvadratisk funktion i to variable er en andengradsligning, der skrives på formen:
(206) UVM nr. (185)
Niveaukurve N (t)
Niveaukurven for en kvadratisk funktion i to variable er en ligning, der skrives på formen:
(207) UVM nr. (186)
Der gælder følgende sammenhæng mellem koeffi cienterne i ligningen for den kvadratiske funktion og niveaukurvens grafi ske fremstilling:
- En cirkel for a = c
- En ellipse for a · c < 0 og a ≠ c
- En hyperbel for a · c < 0
2 2( , )f x y ax bx cy dy e= + + + +
Figur 181
Eksempel:
Ligningen for den kvadratiske funktion med koefficienterne a = 2, b = -2, c = 4, d = 8 og e = 12 er givet ved:
2 22 2 4 8 12y x x y y= − + + +
2 2( ) :N t ax bx cy dy e t+ + + + =
Figur 182
Eksempel:
Niveaukurven for den kvadratiske funktion f(x, y) = 2x2 - 2x + 4y2 + 8y + 12 er givet ved:
2 2
2 21 12 2
2 212
1 1 1 12 2 4 2
( ) : 2 2 4 8 12
( ) : 2( ) 4( 1) 7
( ) ( 1)( ) : 1( 7 ) ( 7 )
N t x x y y t
N t x y t
x yN tt t
− + + + =⇔
− + + + =
⇔
− ++ =
− −
Formelsamling til matematik Kvadratisk funktion i to variable
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
99
9. Integralregning
9.1 Stamfunktion
Stamfunktionen til en funktion f(x) betegnes F(x) og er defi neret som den funktion, hvis afl edte er f(x). Der gælder således, at:
(208) F er en stamfunktion til f UVM nr. (187)
9.2 Ubestemt integral
Stamfunktionen kaldes også det ubestemte integral. Det ubestemte integral af funktionen f(x) betegnes og defi neres som:
(209) c konstant
Processen med at fi nde et ubestemt integral kaldes integration, og konstanten c kaldes integrationskonstanten.
9.3 Stamfunktion til specielle funktioner
(210) I det følgende er integrationskonstanten udeladt. UVM nr. (188)
( ) ( )F x f x′⇔ =
,)()(∫ += cxFdxxf
Funktion f(x) Stamfunktion ( )f x dx∫k (konstant) k·x
xa 111
aa x ++
11x x−= ln x
12x x=
322
3 x
xa 1ln
xa a
ex ex
ek x 1 ekxk
ln x lnx x x⋅ −
cos x sin x
sin x cos x−
tan x
tan x
tan x
ln cos x−
21 (tan )x+
2
1(cos )x
Formelsamling til matematik Integralregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
100
9.4 Regneregler for ubestemt integral
Der gælder følgende simple regneregler for ubestemte integraler:
(211) UVM nr. (190)
Funktion f(x) Stamfunktion ( )f x dx∫4 4x
x5 616 x⋅
2x 1ln 2 2x
4e x 414 e x
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
Formelsamling til matematik Integralregning
KarriereplatformenShippingbranchen er en unik mulighed for dig, hvis du sigter mod en fremtid, hvor ikke to dage er ens. Ønsker du samtidig en intensiv uddannelse, der kombinerer praktik og teori på højt plan, vil du få et godt fundament for din fremtidige karriere i international shipping.
Fra vort hovedkontor i København får du hele verden som arbejdsplads. Du kommer hurtigt til at indgå i et team med dygtige og engagerede kolleger i et inspirerende arbejdsmiljø.
Vi kan tilbyde vore kommende trainees forskellige udgangs-punkter for en fremtidig karriere.
Tre spændende uddannelsesprogrammerRederiet søger shipping trainees, en trainee til rederiets bunkers-afdeling samt trainees til økonomiafdelingerne.
Læs mere om alle tre uddannelser og adgangskrav under career opportunities på www.j-lauritzen.com.
Hvorfor vælge J. Lauritzen?Vi arbejder med udgangspunkt i en ambitiøs vision om kontinu-erligt at levere ”world-class” til vore kunder og samarbejdspart-nere, og visionen understøttes af et stærkt værdigrundlag. J. Lauritzen er et af de ældste rederier i Danmark, som har stærk fokus på udvikling og drives efter moderne forretningsprincipper.
Tillid og respekt er i højsædetUd over et intensivt uddannelsesforløb tilbyder vi gode ansæt-telsesvilkår, sundhedsforsikring, god frokostordning samt mange sociale aktiviteter efter arbejdstid. Vi kan eventuelt også hjælpe med en studielejlighed.
Dit udgangspunktDu har som minimum en HHX eller HH-fagpakken efter din STX - med et tilfredsstillende eksamensresultat. International handel og økonomi har din store interesse, og du har disse fag samt matematik på min. B-niveau samt engelsk på A-niveau. Herud-over har du måske nogen erhvervserfaring eller har opholdt dig i udlandet i en periode. Som person er du ambitiøs, udadvendt og ivrig efter at tilegne dig ny viden.
AnsøgningSend din motiverede ansøgning senest den 15. februar 2009 mærket ”Trainee” og bilagt relevante eksamenspapirer til trainees@j-l.com. Husk at anføre, om du ønsker at blive ship-ping-, økonomi- eller bunkers-trainee. Har du spørgsmål, er du velkommen til at kontakte HR-konsulent Dorthe Olsen på 3396 8426 eller underdirektør Tove E. Nielsen på 3396 8422 eller send en mail til trainees@j-l.com.
Lad drømmen blive til virkelighed...Trainees til international shipping
Danske rederier transporterer mere end 10% af verdenshand-len, og J. Lauritzen A/S er blandt de førende med globale aktivite-ter inden for søtransport af tørlast (Lauritzen Bulkers), fl ydende petrokemisk gas (Lauritzen Kosan) samt raffi nerede olieprodukter og kemikalier (Lauritzen Tankers). JL er endvidere beskæftiget inden for offshore-industrien med specialskibe. JL beskæftiger ca. 650 personer og ejer og opererer en samlet fl åde på omkring 240 skibe, inkl. nybyg-ninger, omfattende tørlastskibe, gas- og produkttankskibe samt specialskibe. For yderligere information om JL, se www.j-lauritzen.com
OCEANS OF KNOW-HOW
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
101
(212) UVM nr. (190)
(213) UVM nr. (191)
Partiel (delvis) integration
Det ubestemte integral til produktet af to funktioner f(x) og g(x) kan bestemmes ved partiel integration og er givet ved:
(214) UVM nr. (192)
Figur 183
Eksempel:
Vi skal finde det ubestemte integral af f(x) + g(x), hvor, og . Det ubestemte integral er således givet ved:
2 21 12 2
3 2 21 1 11 26 2 2
3 211 26
(( ) ( 1)) ( ) ( 1)
( ) ( )
( )
x x x dx x x dx x dx
x x c x x c
x x x c c
+ + + = + + +
= + + + + +
= + + + +
∫ ∫ ∫
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
Figur 184
Eksempel:
Vi skal finde det ubestemte integral af f(x) – g(x), hvor , og . Det ubestemte integral er således givet ved:
= +212( )f x x x
= +( ) 1g x x
2 21 12 2
3 2 21 1 11 26 2 2
311 26
(( ) ( 1)) ( ) ( 1)
( ) ( )
( )
x x x dx x x dx x dx
x x c x x c
x x c c
+ − + = + − +
= + + − + +
= − + −
∫ ∫ ∫
( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ =∫ ∫
Figur 185
Eksempel:
Vi skal finde det ubestemte integral af , hvor k = 2, og . Det ubestemte integral er således givet ved:
⋅ ( )k f x= +21
2( )f x x x
2 2 3 21 1 1 12 2 6 2
3 213
2 ( ) 2 ( ) 2( )
2
x x dx x x dx x x c
x x c
⋅ + = + = + +
= + +∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx F x g x F x g x dx′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫
Figur 186
Eksempel:
Vi skal finde det ubestemte integral af , hvor , og . Det ubestemte integral er således givet ved:
⋅( ) ( )f x g x =( ) exf x= +( ) 2 3g x x
e (2 3) e (2 3) e 2 e (2 3) (2 e ) e (2 1)x x x x x xx dx x dx x c x c⋅ + = + − ⋅ = + − ⋅ + = + −∫ ∫
Formelsamling til matematik Integralregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
102
Integration ved substitution
Det ubestemte integral af en funktion, der kan skrives på formen , kan bestemmes ved substitution og er givet ved:
(215) UVM nr. (193)
9.5 Bestemt integral
Det bestemte integral fra a til b af funktionen f(x) betegnes og defi neres som:
(216) UVM nr. (194)
Tallene a og b kaldes henholdsvis den nedre og øvre integrationsgrænse. Bemærk, at det ubestemte integral angiver en talværdi, mens det ubestemte integral angiver en funktion.
9.6 Regneregler for bestemt integral
Der gælder følgende simple regneregler for bestemte integraler:
(217) UVM nr. (195)
(218) UVM nr. (196)
( ( )) ( )f g x g x′⋅
( ( )) ( ) ( ) , hvor ( )f g x g x dx f t dt t g x′⋅ = =∫ ∫
Figur 187
Eksempel:
Vi skal finde det ubestemte integral af udtrykket . Det ubestemte integral er således givet ved:
+⋅ 2 32 e x
2 3
2 3
2 e e
e e , hvor 2 3
x t
t x
dx dt
c c t x
+
+
⋅ =
= + = + = +∫ ∫
( )b
af x dx∫
( ) [ ( )] ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a= = −∫
( ) ( ) ( )b c b
a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Figur 188
Eksempel:
Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 via c = 2 af . Det bestemte integral er således givet ved:= +21
2( )f x x x3 2 32 2 2 3 2 2 3 2 31 1 1 1 1 1 1
0 22 2 2 6 2 6 20 0 21 13 3
( ) ( ) [ ] [ ]
3 (9 3 ) 9
x xdx x x dx x x dx x x x x+ = + + + = + + +
= + − =∫ ∫ ∫
( ( ) ( )) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
Figur 189
Eksempel:
Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af f(x) + g(x), hvor og g(x) = x + 1. Det bestemte integral er således givet ved:
= +212( )f x x x
3 3 32 2 3 2 3 2 31 1 1 1 10 02 2 6 2 20 0 0
1 12 2
(( ) ( 1)) ( ) ( 1) [ ] [ ]
9 7 16
x x x dx x x dx x dx x x x x+ + + = + + + = + + +
= + =∫ ∫ ∫
Formelsamling til matematik Integralregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
103
(219) UVM nr. (196)
(220) UVM nr. (197)
Partiel (delvis) integration
Det bestemte integral til produktet af to funktioner f(x) og g(x) kan bestemmes ved partiel integration og er givet ved:
(221) UVM nr. (198)
Figur 190
Eksempel:
Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af f(x) - g(x), hvor og g(x) = x + 1. Det bestemte integral er således givet ved:
= +212( )f x x x
3 3 32 2 3 2 3 2 31 1 1 1 10 02 2 6 2 20 0 0
1 12 2
(( ) ( 1)) ( ) ( 1) [ ] [ ]
9 7 1
x x x dx x x dx x dx x x x x+ − + = + − + = + − +
= − =∫ ∫ ∫
( ) ( )b b
a ak f x dx k f x dx⋅ =∫ ∫
Figur 191
Eksempel:
Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af k · f(x), hvor k = 2 og . Det bestemte integral er således givet ved:= +21
2( )f x x x
3 32 2 3 2 31 1 1 102 2 6 20 0
2 ( ) 2 ( ) 2 [ ] 2 9 18x x dx x x dx x x⋅ + = + = ⋅ + = ⋅ =∫ ∫
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )b bb
aa af x g x dx F x g x F x g x dx′⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫
Formelsamling til matematik Integralregning
( ( ) ( )) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
104
Integration ved substitution
Det bestemte integral af en funktion, der kan skrives på formen , kan bestemmes ved substitution og er givet ved:
(222) UVM nr. (199)
Bemærk, at integrationsgrænserne skal ændres, når man fi nder et bestemt integral ved substitution.
9.7 Arealberegning
Areal A af skraveret område
Værdien af det bestemte integral fra a til b af funktionen f(x) kan tolkes som arealet af det område, der ligger under grafen for f og afgrænses af 1. aksen samt de lodrette linier gennem x = a og x = b.
(223) UVM nr. (200)
Figur 192
Eksempel:
Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af f(x) · g(x), hvor f(x) = ex og g(x) = 2x + 3. Det bestemte integral er således givet ved:
3 33 3 30 0 00 0
3 3 3
e (2 3) [e (2 3)] 2 e [e (2 3)] 2 [e ]
(9e 3) (2e 2) 7e 1
x x x x xx dx x dx x+ = + − ⋅ = + − ⋅
= − − − = −
∫ ∫
( ( )) ( )f g x g x′⋅
( )
( )( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ( )), hvor ( )
b g b
a g af g x g x dx f t dt
F g b F g a t g x
′⋅ =
= − =
∫ ∫
Figur 193
Eksempel:
Vi skal finde det bestemte integral fra a = 0 til b = 3 af udtrykket 2·e2x+3. Det bestemte integral er således givet ved:
3 92 3 9 9 330 3
2 e e [e ] e e , hvor 2 3x t tdx dt t x+⋅ = = = − = +∫ ∫
Figur 194
f
(2)
(1)ba
( ) , ( ) 0 og [ ; ]b
aA f x dx f x x a b= ≥ ∈∫
Formelsamling til matematik Integralregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
105
Areal A af skraveret område
Arealet af området mellem graferne for funktionerne f(x) og g(x) på intervallet [a; b] er givet ved:
(224) UVM nr. (201)
Figur 195
Eksempel:
Vi skal finde arealet af det område, der ligger under grafen for funktionen på intervallet [-3; 1]. Der gælder altså, at a = -3, og b = 1. Således er arealet givet ved:
1 2 3 2 11 1 133 3 33
( 2 4) [ 4 ] 5 ( 12) 17A x x dx x x x −−= + + = + + = − − =∫
( ( ) ( )) , hvor ( ) ( ) og [ ; ]b
aA f x g x dx f x g x x a b= − ≥ ∈∫
Figur 196
Eksempel:
Vi skal finde arealet af det område, der ligger mellem graferne for funktionerne og på intervallet [-3; 1]. Der gælder altså, at a = -3, og b = 1. Således er arealet givet ved:
1 1 12 2 2 2
3 3 33 2 1 3 2 11 1 1
3 33 3 3
(( 2 4) (3 8 4)) ( 2 4) (3 8 4)
[ 4 ] [ 4 4 ] (5 ( 12)) (1 21) 37
A x x x x dx x x dx x x dx
x x x x x x− − −
− −
= + + − + − = + + − + −
= + + − + − = − − − − =
∫ ∫ ∫
Formelsamling til matematik Integralregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
106
10. Numerisk integration
Arealet af området under grafen for en funktion f(x) på intervallet [a; b] kan også bestemmes numerisk. Ved at inddele intervallet [a; b] i en række mindre delintervaller kan området under grafen på hvert delinterval tilnærmes med et rektangel. Summen af disse rektanglers arealer er således en tilnærmelse til selve områdets areal. Tilnærmelsen bliver god, hvis delintervallerne er meget smalle.
Figur 197
f
(2)
(1)ba x1 ,x2
. . .
Formelsamling til matematik Numerisk integration
Få en super god elevuddannelse i Danmarks største detailhan-delsvirksomhed. Du får ansvar, gode kolleger og løn ind på kontoen hver måned. Hør nærmere i butikken eller besøg:
coop.dk/elev
kan du styre vognen?
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
107
Delintervallængde
Delintervallerne har samme længde og er givet som længden af intervallet [a; b] divideret med antallet af delintervaller:
(225) UVM nr. (202)
Tilnærmelsessummer for
Arealet af hvert rektangel i området er givet som rektanglets bredde gange højde. Bredden er givet ved længden af delintervallerne, mens højden kan angives på fl ere forskellige måder.
Summen af rektanglernes arealer angiver således en tilnærmelse til selve områdets areal.
Venstresum Vn
Angives rektanglernes højde som funktionsværdien i delintervallernes venstre endepunkt, er arealet af hvert enkelt rektangel givet ved for i = 0, 1, 2,..., n - 1. Dermed kan områdets areal tilnærmes med venstresummen Vn, som er defi neret som:
(226) UVM nr. (203)
Højresum Hn
Angives rektanglernes højde som funktionsværdien i delintervallernes højre endepunkt, er arealet af hvert enkelt rektangel givet ved for for i = 0, 1, 2, 3,..., n. Dermed kan områdets areal tilnærmes med højresummen Hn, som er defi neret som:
(227) UVM nr. (204)
Trapezsum Tn
Områdets areal kan også tilnærmes med en såkaldt trapezsum. Trapezsummen Tn er defi neret som gennemsnittet af venstresummen Vn og højresummen Hn:
(228) UVM nr. (205)
1 , 1, 2, ,i ib ax x x i n
n−
−Δ = − = = K
( )b
af x dx∫
( )ix f xΔ ⋅
1 1
0 0( ) ( )
n n
n i ii i
V x f x x f x− −
= =
= Δ ⋅ = Δ∑ ∑
( )ix f xΔ ⋅
1 1( ) ( )
n n
n i ii i
H x f x x f x= =
= Δ ⋅ = Δ∑ ∑
1
01
( ) 2 ( ) ( )2 2
nn n
n i ni
V H xT f x f x f x−
=
+ Δ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Formelsamling til matematik Numerisk integration
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
108
Figur 198
Eksempel:
Vi skal finde henholdsvis venstresum, højresum og trapezsum for funktionen på intervallet [1; 4]. Intervallet inddeles i 6 lige lange delintervaller. Der gælder altså, at a = 1, b = 4, og n = 6. Således er delintervallængden givet ved:
Intervalpunkterne givet ved:
Venstresummen for områdets areal er således givet ved:
Højresummen for områdets areal er således givet ved:
Trapezsummen for områdets areal er således givet ved:
(2)
(1)41
f
12
4 16
x −Δ = =
1 1 10 1 2 3 4 5 62 2 21, 1 , 2, 2 , 3, 3 og 4.x x x x x x x= = = = = = =
1 1 1 12 2 2 212
( (1) (1 ) (2) (2 ) (3) (3 ))(2 1,75 2 2,75 4 5,75) 9,125
nV f f f f f f= + + + + +
= + + + + + =
1 1 1 12 2 2 212
( (1 ) (2) (2 ) (3) (3 ) (4))(1,75 2 2,75 4 5,75 8) 12,125
nH f f f f f f= + + + + +
= + + + + + =
9,125 12,125 10,6252nT +
= =
Formelsamling til matematik Numerisk integration
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
109
11. Differentialligninger
En differentialligning er en bestemt type ligning, hvor løsningen er en funktion, i modsætning til almindelige ligninger, hvor løsningen typisk er et tal.
Nedenfor er nogle af de mest simple differentialligninger beskrevet.
UVM nr. (206)
Ligning Løsning
( )dy h xdx= ( )y h x dx= ∫( ) ( )dy h x g y
dx= ⋅ 1
( ) ( )g y dy h x dx=∫ ∫dy kydx= ek xy c= ⋅
( )dy y b aydx= −
1 e
ba
b xyc −=+ ⋅
Ligning Løsning
3dy xdx= 3 31
4y x dx x c= = +∫3dy x y
dx= ⋅ 31
414
414
ln
exp( )
y dy x dx
y x
y x
=
⇒
=
⇔
=
∫ ∫
2dy ydx= 2e xy c= ⋅
12(2 )dy y y
dx= − 2
41 e xy
c −=+ ⋅
Figur 199
Eksempel:
Formelsamling til matematik Differentialligninger
Hvad er det fede ved at læsepå RUC?
studieguide.ruc.dk
Dit s
tudie
vil b
live
præge
t af b
asiss
tudie
r,
grup
pearbe
jde og
tværfa
gligh
ed.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
110
12. Sandsynlighedsregning
Sandsynlighedsregning er en matematisk disciplin, der anvendes til at beskrive sandsynligheden for, at en given hændelse indtræffer.
Vi forestiller os i det følgende et eksperiment, der har n mulige udfald. Disse udfald betegnes u1, u2,...,un .
Udfaldsrum U
Udfaldsrummet er en mængde, der består af alle de mulige udfald for et givent eksperiment:
(229) U = {u1, u2,...,un} UVM nr. (207)
Sandsynlighedsfunktion P
En sandsynlighedsfunktion er en funktion, der angiver sandsynligheden for, at et bestemt udfald indtræffer. Sandsynligheden for at et bestemt udfald indtræffer ligger i intervallet [0;1], og summen af alle disse sandsynligheder er 1.
(230) UVM nr. (208)
(231) UVM nr. (208)
Hændelse A
En hændelse A er defi neret som en delmængde af udfaldsrummet U.
Sandsynlighed en P(A) for en hændelse A
Sandsynligheden for at en hændelse indtræffer betegnes P(A) og er givet som summen af sandsynlighederne for, at hvert enkelt udfald i hændelsen indtræffer.
0 ( ) 1, 1, 2, ,iP u i n≤ ≤ = K
1
( ) 1n
ii
P u=
=∑
Figur 200
A
U
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
111
12.1 Regneregler for sandsynligheder
Der gælder følgende simple regneregler for sandsynligheder:
(232) P(U) = 1 UVM nr. (210)
(233) P(Ø) = 0 UVM nr. (211)
Komplementær hændelse
Den komplementære hændelse til en hændelse A betegnes . Sandsynligheden for, at den komplementære hændelse indtræffer, er givet ved:
(234) UVM nr. (212)
A
)(1)( APAP −=
Figur 201
Eksempel:
Vi betragter et eksperiment med 4 mulige udfald: u1, u2, u3 og u4. Udfaldsrummet kan således skrives som .Sandsynligheden for hvert udfald er henholdsvis 20%, 10%, 40% og 30%. Der gælder altså, at:
Vi skal nu finde sandsynligheden for, at enten udfald 3 eller 4 indtræffer. Vi definerer derfor hændelsen A som A = {3;4}. Således er sandsynligheden givet ved:
P(A) = P(3) + P(4) = 0,4 + 0,3 = 0,7
Vi skal nu finde sandsynligheden for, at den komplementære hændelse til A indtræffer. Den komplementære hændelse til A er givet som , og sandsynligheden er således givet ved:
U 1
P(u) 0,2
2 3
0,1 0,4
4
0,3
{ }1, 2A =
( ) 1 ( ) 1 0,7 0,3P A P A= − = − =
Figur 202
A
U
B
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
112
Additionsreglen
Sandsynligheden for, at enten hændelsen A eller B indtræffer, er givet ved:
(235) UVM nr. (213)
Betinget sandsynlighed
Sandsynligheden for, at hændelsen A indtræffer, givet at hændelsen B indtræffer, betegnes P(A|B) og er givet ved:
(236) UVM nr. (214)
Tilsvarende er sandsynligheden for, at hændelsen B indtræffer, givet at hændelsen A indtræffer, givet ved:
(237) UVM nr. (214)
Multiplikationsreglen
Fra regnereglerne om betinget sandsynlighed følger det umiddelbart, at følgende gælder:
(238) UVM nr. (215)
(239) UVM nr. (215)
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
( )( | )( )
P A BP A BP B∩
=
( )( | )( )
P A BP B AP A∩
=
( ) ( | ) ( )P A B P A B P B∩ = ⋅
( ) ( | ) ( )P A B P B A P A∩ = ⋅
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsregning
Hanken School of Economics is one of the oldest business schools in the Nordic countries. Today Hanken is a leading internationally accredited business school with campuses in Helsinki and in Vaasa, Finland. Hanken alumni work in more than 40 countries world-wide.
MASTER’S DEGREE PROGRAMMESGet the keys to an international career. Hanken offers eight Master’s degree programmes instructed in English. These include programmes specialized in areas such as International Management or Intellectual Property Law.
HANKEN MBAThe Hanken MBA is an accredited, two-year part-time programme with flexible structure. The areas of speciali-sation are: service and relationship marketing, finance, and international management.
DOCTORAL STUDIESDoctoral studies at Hanken offer research-based educa-tion of internationally high standard, preparing you for a career in academia, the corporate world or the public sector.
VISIT OUR WEBPAGEHANKEN.FI
INVEST IN YOUR FUTURE
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
113
A og B uafhængige hændelser
Hændelserne A og B er uafhængige, hvis der gælder, at:
(240) UVM nr. (216)
(241) UVM nr. (216)
Hvis disse regneregler kombineres med multiplikationsreglen, følger det umiddelbart, at hændelserne A og B er uafhængige, hvis der gælder, at:
(242) UVM nr. (217)
Bayes formel
Fra multiplikationsreglerne følger det umiddelbart, at følgende gælder:
(243) UVM nr. (218)
( | ) ( )P A B P A=
( | ) ( )P B A P B=
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅
( | ) ( )( | )( )
P A B P BP B AP B⋅
=
Figur 203
Eksempel:
Vi betragter to hændelser A og B, hvor der gælder at P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, og Vi skal nu finde sandsynligheden for, at enten hændelsen A eller B indtræffer. Fra additionsreglen får vi således, at:
Vi skal nu finde den betingede sandsynlighed for hændelse A givet hændelse B. Fra regnereglerne om betinget sandsynlighed får vi således, at:
Vi skal nu undersøge, om hændelserne A og B er uafhængige. Vi kan konstatere, at:
Dermed er hændelserne A og B ikke uafhængige.Vi skal nu finde den betingede sandsynlighed for hændelse B givet A. Fra Bayes Formel får vi nu således, at:
∩ =( ) 0,1P A B
( ) 0, 4 0,3 0,1 0,6P A B∪ = + − =
13
0,1( | )0,3
P A B = =
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ ≠ ⋅
13 1
40,3( | )
0, 4P B A ⋅
= =
Figur 204
A
U
. . .H1 H1 Hn
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
114
Loven om den totale sandsynlighed
Når udfaldsrummet U kan inddeles i en række hændelser (H1, H2,...,Hn), kan sandsynligheden for, at en hændelse A indtræffer, skrives på følgende måde:
(244) UVM nr. (219)
Bayes formel (alternativ version)
Når udfaldsrummet U kan inddeles i en række hændelser (H1, H2,...,Hn), kan Bayes formel alternativt skrives på følgende måde:
(245) UVM nr. (220)
1
( ) ( | ) ( )n
i ii
P A P A H P H=
= ⋅∑
( | ) ( )( | ) , 1, 2, ,
( )j j
j
P A H P HP H A j n
P A⋅
= = K
Figur 205
Eksempel:
En fabrik producerer en bestemt vare på tre maskiner: . Produktionen fordeler sig med 40% på M1, 50% på M2 og 10% på M3. Nogle af de producerede varer er defekte, men de defekte varer er ikke fordelt ligeligt på de tre maskiner. På M1 er 5% af de producerede varer defekte, på M2 er 6% af de producerede varer defekte, og på M3 er 30% af de producerede varer defekte. Mængden af defekte varer betegnes D.Der udvælges nu en tilfældig vare fra produktionen, og vi skal finde sandsynligheden for, at varen er defekt.Der gælder altså, at P(M1) = 0,4, P(M2) = 0,5, P(M3) = 0,1, P(D|M1) =0,05, P(D|M2) =0,06, og P(D|M3) =0,3. Ifølge loven om den totale sandsynlighed er sandsynligheden for, at varen er defekt, således givet ved:
Det oplyses nu, at en vare er defekt, og vi skal finde sandsynligheden for, at varen er produceret på M1. Der gælder altså, at P(D|M1) =0,05, P(M1) = 0,4, og P(D) = 0,08. Ifølge Bayes formel er sandsynligheden for, at varen er produceret på M1, således givet ved:
( ) 0,05 0,4 0,06 0,5 0,3 0,1 0,08P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
10,05 0, 4( | ) 0, 25
0,08P M D ⋅
= =
Formelsamling til matematik Sandsynlighedsregning
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
115
13. Stokastisk variabel
En stokastisk variabel er en variabel, der tilfældigt antager en værdi i et specifi ceret udfaldsrum. En stokastisk variabel kan enten være diskret eller kontinuert.
13.1 Diskret stokastisk variabel
En diskret stokastisk variabel X er en variabel, der tilfældigt antager en værdi blandt n mulige værdier i et udfaldsrum. Disse værdier betegnes x1, x2,..., xn og er sorteret efter størrelse, således at .
Sandsynlighedsfunktion f
Sandsynlighedsfunktionen f for en diskret stokastisk variabel X angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager hver af værdierne x1, x2,..., xn:
(246) UVM nr. (222)
For en konkret værdi xi kaldes f(xi) for punktsandsynlighed en i xi.
1 2 nx x x≤ ≤ ≤L
x2 . . . xi x1. . .
( ) ( )i if x P X x= =
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
116
Fordelingsfunktion F
Fordelingsfunktionen F for en diskret stokastisk variabel X angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager en værdi, der er mindre end en given værdi xi.
(247) UVM nr. (221)
Der gælder endvidere, at for i = 1, 2,..., n.
Middelværdi μ
Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X betegnes μ eller E(X) og er defi neret som:
(248) UVM nr. (224)
Varians σ2
Variansen af en diskret stokastisk variabel X betegnes σ2 eller Var(X) og er defi neret som:
(249) UVM nr. (225)
Bemærk, at variansen ikke kan være negativ.
Standardafvigelse σ
Standardafvigelsen af en diskret stokastisk variabel X betegnes σ og er defi neret som:
(250) UVM nr. (227)
Standardafvigelsen kaldes også for spredning en.
1
( ) ( ) ( ), 1, 2, ,i
i i jj
F x P X x f x i n=
= ≤ = =∑ K
1
E( ) ( )n
i ii
X x f x=
μ = = ⋅∑
2 2
1
Var( ) ( ) ( )n
i ii
X x f x=
σ = = −μ ⋅∑
( ) Var( )X Xσ = σ =
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
1)(0 ≤≤ ixF
Få mere ud af dit talent
Læs mere på tdc.dk/job
Giv os dit engagement.Så giver vi dig mulighed for udvikling.
Klar til at kickstarte din karriere? Og lære alt, hvad der er at vide om sms’er, bredbånd og mobiler? Så har du nu chancen. Som elev i TDC får du frihed til at udfolde dine evner og gøre dine karrieredrømme til virkelighed. Du kan kravle op ad karrierestigen og blive leder, specialisere dig inden for et særligt fagområde eller vælge en helt tredje vej. Det er helt op til dig. Klik ind på tdc.dk/job, og læs om dine muligheder. Og sørg for at bookmarke siden. For vi opdaterer den hele tiden med ny info og nye uddannelser.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
117
Figur 206
Eksempel:
Vi betragter en diskret stokastisk variabel X, der kan antage værdierne 2,4 og 8. Sandsynligheden for hvert udfald er henholdsvis 60%, 30% og 10%. Der gælder altså, at:
Vi skal nu finde fordelingsfunktionen F(x) for X. Der gælder, at:
Vi skal nu finde middelværdien, variansen og standardafvigelsen for X. Middelværdien E(X) er givet ved:
Variansen Var(X) af X er givet ved:
Standardafvigelsen (X) af X er givet ved:
X 2
P(X=x) 0,6
4 8
0,3 0,1
X 2
F(X) 0,6
4 8
0,9 1,0
E( ) 2 0,6 4 0,3 8 0,1 3,2X = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 2 2Var( ) (2 3, 2) 0,6 (4 3, 2) 0,3 (8 3, 2) 0,1 3,36X = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =
( ) 3,36 1,83Xσ = =
13.2 Kontinuert stokastisk variabel
En kontinuert stokastisk variabel er en variabel, der tilfældigt antager en værdi blandt alle tal i et interval eller på hele 1. aksen.
Sandsynlighedsfunktionen f for en kontinuert stokastisk variabel X kaldes også for tæthedsfunktion en. Arealet under grafen for f er 1.
Fordelingsfunktion F
Fordelingsfunktionen F for en kontinuert stokastisk variabel X angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager en værdi, der er mindre end en given værdi x.
(251) F(x) svarer til arealet under grafen for f til venstre for x. UVM nr. (228)
Figur 207
(2)
x
f
(1)
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
118
13.3 Lineær transformation af stokastisk variabel X
Dette afsnit gælder både for diskrete og kontinuerte stokastiske variable.
En lineær transformation af en stokastisk variabel X er en stokastisk variabel Y, der kan skrives på formen:
(252) Y = aX + b UVM nr. (229)
Regneregler
Der gælder følgende simple regneregler for lineære transformationer af stokastiske variable:
Middelværdien af den stokastiske variabel Y = aX + b er givet ved:
(253) UVM nr. (230)
Variansen af den stokastiske variabel Y = aX + b er givet ved:
(254) UVM nr. (231)
Standardafvigelsen af den stokastiske variabel Y = aX + b er givet ved:
(255) UVM nr. (232)
E( ) E( ) E( )Y aX b a X b= + = ⋅ +
2Var( ) Var( ) Var( )Y aX b a X= + = ⋅
( ) ( ) | | ( )Y aX b a Xσ = σ + = ⋅σ
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
Hvad er det fede ved at læsepå RUC?
studieguide.ruc.dk
Dit s
tudie
vil b
live
præge
t af b
asiss
tudie
r,
grup
pearbe
jde og
tværfa
gligh
ed.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
119
Figur 208
Eksempel:
Vi betragter en stokastisk variabel X med middelværdi 5 og varians 1. Der gælder altså, at E(X) = 5, Var(X) = 1, og (X) = 1.Ved en lineær transformation danner vi nu den stokastiske variabel Y = 2X + 8. Der gælder altså, at a = 2, og b = 8.Vi skal nu finde middelværdien, variansen og standardafvigelsen for Y.
Middelværdien E(Y) er givet ved.
Variansen Var(Y) er givet ved:
Standardafvigelsen er givet ved:
E( ) E(2 8) 2 E( ) 8 18Y X X= + = ⋅ + =
2Var( ) Var(2 8) 2 Var( ) 4Y X X= + = ⋅ =
( ) (2 8) | 2 | ( ) 2Y X Xσ = σ + = ⋅σ =
Formelsamling til matematik Stokastisk variabel
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
120
14. Binomialfordeling
n fakultet n!
Produktet af alle heltal fra 1 til n kaldes n fakultet og betegnes n! Endvidere defi neres 0! til 1:
(256) n! = 1 · 2 · ... · n UVM nr. (233)
(257) 0! = 1 UVM nr. (234)
Binomialkoeffi cient K(n, r)
Binomialkoeffi cienten angiver hvor mange forskellige delmængder med r elementer, der kan udtages af en mængde med n elementer:
(258) UVM nr. (235)
14.1 Binomialfordelt stokastisk variabel X
Binomialfordelingen er kendetegnet ved en antalsparameter n og en sandsynlighedsparameter p. En binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p er en diskret stokastisk
variabel, der tilfældigt antager en værdi fra mængden {0, 1, 2,…, n}.
Der benyttes følgende skrivemåde om en binomialfordelt stokastisk variabel:
(259) X ~ b(n, p) UVM nr. (236)
Figur 209
Eksempel:
Vi skal finde 5 fakultet. Der gælder altså, at n = 5, og dermed får vi, at:
5! 1 2 3 4 5 120= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
!( , ) , 0!( )!
n nK n r r nr r n r⎛ ⎞= = ≤ ≤⎜ ⎟ −⎝ ⎠
Figur 210
Eksempel:
I en kasse ligger der 5 kugler i forskellige farver. Der trækkes nu 3 kugler fra kassen, og vi skal undersøge, hvor mange forskellige farvekombinationer disse 3 kugler kan have.Den rækkefølge kuglerne trækkes i har ingen betydning, og derfor kan vi benytte binomialformlen til at udregne antallet af kombinationer. Der gælder altså, at n = 5, og r = 3. Således er antallet af kombinationer givet ved:
5 5! 120(5,3) 103 3!(5 3)! 6 2
K ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠
Formelsamling til matematik Binomialfordeling
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
121
Sandsynlighedsfunktion
Sandsynlighedsfunktionen for en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:
(260) UVM nr. (237)
Middelværdi
Middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:
(261) E(X) = n · p UVM nr. (238)
Varians
Variansen af en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:
(262) Var(X) = n · p · (1 - p) UVM nr. (239)
Standardafvigelse
Standardafvigelsen af en binomialfordelt stokastisk variabel X er givet ved:
(263) σ UVM nr. (240)
( ) ( , ) (1 ) , 0r n rP X r K n r p p r n−= = ⋅ ⋅ − ≤ ≤
)1()( ppnX −⋅⋅=
Formelsamling til matematik Binomialfordeling
På Aarhus Universitet, Handels- og IngeniørHøjskolen findes der et helt unikt studiemiljø, du med garanti ikke finder andre steder. Her har du nærhed til...
FOKUS PÅ STUDIEMILJØETFOKUS PÅ STUDIEMILJØET
... dine medstuderende... erhvervslivet
... dine undervisere
Læs mere på hih.au.dk
HANDELS- OG INGENIØRHØJSKOLENDET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTETAARHUS UNIVERSITET
Birk Centerpark 15 7400 Herning info@hih.au.dkhih.au.dk
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
122
14.2 Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling
En binomialfordelt stokastisk variabel X med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p kan approksimeres med en normalfordeling med middelværdi n · p og standardafvigelse .
Tilnærmelsen bliver god, når blot , og .
Tilnærmelsesvis fordeling af X
Hvis X ~ b(n, p), og der endvidere gælder, at , og , så kan fordelingen af X approksimeres med en normalfordeling givet ved:
(264) UVM nr. (241)
Figur 211
Eksempel:
En stikprøve på 50 enheder udvælges fra en produktion, hvor 14% af de producerede enheder er defekte.Vi lader nu en diskret stokastisk variabel X betegne antallet af defekte enheder i stikprøven, og vi antager endvidere, at:
Vi skal nu finde sandsynligheden for, at 5 af de udvalgte enheder er defekte.Der gælder altså, at n = 50, og p = 0,14. Sandsynligheden for, at 5 af de udvalgte enheder er defekte, er således givet ved:
Vi skal nu finde det forventede antal defekte enheder i stikprøven. Det forventede antal enheder er givet ved middelværdien til X. Der gælder således, at:
Vi skal endvidere finde variansen og standardafvigelsen af X.Variansen er givet ved:
Standardafvigelsen er givet ved:
~ (50; 0,14)X b
5 5( 5) (50,5) 0,14 (1 0,14) 0,1286P X K= = ⋅ ⋅ − =
E( ) 50 0,14 7X = ⋅ =
Var( ) 50 0,14 (1 0,14) 6,02X = ⋅ ⋅ − =
( ) 50 0,14 (1 0,14) 2, 45Xσ = ⋅ ⋅ − =
(1 )n p p⋅ ⋅ −
5n p⋅ ≥ (1 ) 5n p⋅ − ≥
5n p⋅ ≥ (1 ) 5n p⋅ − ≥
( )~ , (1 )X N n p n p p⋅ ⋅ ⋅ −
Figur 212
Eksempel:
Vi skal finde en approksimation med en normalfordeling til fordelingen af den stokastiske variabel Der gælder altså, at n = 20, og p = 0,4. Approksimationen er således givet ved:
( ) ( )~ 20 0, 4; 20 0, 4 (1 0, 4) 8; 4,8X N N⋅ ⋅ ⋅ − =
Formelsamling til matematik Binomialfordeling
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
123
Beregning af sandsynligheder ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen Φ
Ved at approksimere en binomialfordelt stokastisk variabel med en normalfordeling kan fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen anvendes til at beregne sandsynligheder i binomialfordelingen.
Der gælder således følgende regneregler:
(265) UVM nr. (242)
(266) UVM nr. (243)
(267) UVM nr. (244)
0,5( )(1 )
a n pP X an p p
⎛ ⎞+ − ⋅≤ ≈ Φ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠
Figur 213
Eksempel:
Vi skal finde en approksimation med en normalfordeling til fordelingen af den stokastiske variabel Der gælder altså, at n = 20, og p = 0,4. Approksimationen er således givet ved:
18 0,5 40 0, 4( 18) (0,8069) 0,79040 0, 4 (1 0,4)
P X⎛ ⎞+ − ⋅
≤ ≈ Φ = Φ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠
0,5( ) 1(1 )
a n pP X an p p
⎛ ⎞− − ⋅≥ ≈ −Φ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠
Figur 214
Eksempel:
Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ b(40; 0,4). Der gælder altså, at a = 18, n = 40, og p = 0,4. Således er sandsynligheden givet ved:
≥ 18X
18 0,5 40 0, 4( 18) 1 1 (0, 4841) 0,31440 0, 4 (1 0, 4)
P X⎛ ⎞− − ⋅
≥ ≈ −Φ = −Φ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠
Figur 215
Eksempel:
Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ b(40; 0,4). Der gælder altså, at a = 13, b = 18, n = 40, og p = 0,4. Således er sandsynligheden givet ved:
18 0,5 40 0,4 13 0,5 40 0, 4(13 18)40 0,4 (1 0,4) 40 0, 4 (1 0,4)
(0,8069) ( 1,1296) 0,790 0,129 0,661
P X⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ − − ⋅
≤ ≤ ≈ Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Φ −Φ − = − =
0,5 0,5( )(1 ) (1 )
b n p a n pP a X bn p p n p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ − − ⋅≤ ≤ ≈ Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Formelsamling til matematik Binomialfordeling
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
124
15. Normalfordeling
15.1 Normalfordelt stokatisk variabel X
Normalfordelingen er kendetegnet ved en middelværdi μ og en standardafvigelse σ.
En normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi μ og standardafvigelse σ er en kontinuert stokastisk variabel, der tilfældigt antager en værdi på 1. aksen.
Der benyttes følgende skrivemåde om en normalfordelt stokastisk variabel:
(268) X ~ N(μ, σ) UVM nr. (245)
15.2 Standardnormalfordelt stokastisk variabel U
En stokastisk variabel U siges at være standardnormalfordelt, hvis den er normalfordelt med middelværdi 0 og standardafvigelse 1. Således er U standardnormalfordelt, hvis der gælder, at:
(269) U ~ N(0, 1) UVM nr. (246)
Formelsamling til matematik Normalfordeling
Danmarks største kundekontaktcenter søger flere dygtige medarbejdere tilat hjælpe os i at yde optimalt salg over telefonen.
Vi er 450 medarbejdere placeret centralt på Frederiksberg, tæt på S-tog og Metro.
RING NU!Linda: 8816 6725 - Bettina: 8816 6736eller send din ansøgning til job@aditro.com
Aditro Customer Services Denmark A/S • Nimbusparken 24, 3 sal • 2000 Frederiksberg • www.aditro.com
LAD DINE DRØMME GÅ I OPFYLDELSE…Vi har dit nye fritidsjob indenfor salg & kommunikationDu er:
Stærk kommunikator på danskMotiveret af konkurrenceEn engageret kollegaEn ildsjæl med godt humør
Vi tilbyder:2-5 vagter om ugen á 5 timer i tidsrummet man-tor 16-21, lør. 12-17God fast timeløn + bonusGrundig uddannelse + coaching
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
125
Graf for fordelingsfunktion en Φ
Fordelingsfunktionen for en standardnormalfordelt stokastisk variabel X betegnes Φ(x), og den angiver sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager en værdi, der er mindre end en given værdi x.
Omvendt kan man for en given sandsynlighed a være interesseret i at fi nde den værdi ua, der opfylder, at:
(270) Φ(ua) = a UVM nr. (248)
Værdien ua kaldes for a-fraktilen for standardnormalfordelingen.
15.3 Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel X
En normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi μ og standardafvigelse σ kan skrives som en lineær transformation af en standardnormalfordelt stokastisk variabel U.
Hvis U ~ N(0,1), kan X skrives som X = σ · U + μ, og der gælder således, at X ~ N(μ, σ).
Omvendt kan U skrives som , og der gælder således, at . Denne omskrivning kaldes en standardisering.
Der gælder således, at, hvis X ~ N(μ, σ), så er:
(271) UVM nr. (249)
Figur 216
f
(2)
(1)
ua
1
0,5
a F
Figur 217
Eksempel:
I standardnormalfordelingen er 0,975-fraktilen givet ved ua = 1,96. Der gælder altså, at:
Det betyder således, at sandsynligheden for, at en standardnormalfordelt stokastisk variabel X antager en værdi, der er mindre end 1,96, er 97,5%.
(1,96) 0,975Φ =
XU −μσ= (0,1)X N−μ
σ ∼
(0,1)X N−μσ ∼
Formelsamling til matematik Normalfordeling
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
126
Beregning af intervalsandsynligheder
Ved at standardisere en normalfordelt stokastisk variabel X kan fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen anvendes til at beregne intervalsandsynligheder for X.
Der gælder således følgende regneregler:
(272) UVM nr. (250)
(273) UVM nr. (251)
(274) UVM nr. (252)
Figur 218
Eksempel:
Vi skal standardisere en stokastisk variabel . Der gælder altså, at X er normalfordelt med middelværdi = 5, og standardafvigelse = 2. Således gælder der, at:
52 (0,1)X N− ∼
( ) aP X a −μ⎛ ⎞≤ = φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠
Figur 219
Eksempel:
Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ N(5,2). Der gælder altså, at a = 6, μ = 5, og s = 2. Således er sandsynligheden givet ved:
≤ 6X
12
6 5( 6) ( ) 0,69152
P X −⎛ ⎞≤ = Φ = Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) 1 aP X a −μ⎛ ⎞≥ = −Φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠
Figur 220
Eksempel:
Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ N(5,2). Der gælder altså, at a = 6, μ = 5, og s = 2. Således er sandsynligheden givet ved:
≥ 6X
12
6 5( 6) 1 1 ( ) 0,30852
P X −⎛ ⎞≥ = −Φ = −Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) b aP a X b −μ −μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ = Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Figur 221
Eksempel:
Vi skal finde sandsynligheden for, at for X ~ N(5,2). Der gælder altså, at a = 6, μ = 5, og s = 2. Således er sandsynligheden givet ved:
≤ ≤3 6X
12
6 5 3 5(3 6) ( ) ( 1) 0,6915 0,1587 0,53282 2
P X − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ = Φ −Φ = Φ −Φ − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Formelsamling til matematik Normalfordeling
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
127
15.4 Gennemsnit af n uafhængige, identisk normalfordelte stokastiske variable
Gennemsnittet af n uafhængige og identisk normalfordelte stokastiske variable betegnes . Hvis Xi ~ N(μ, σ) for i = 1, 2,..., n, så er gennemsnittet defi neret som:
(275) UVM nr. (253)
Hvis Xi ~ N(μ, σ) for i = 1, 2,..., n, så er gennemsnittet normalfordelt med middelværdi μ og standardafvigelse .
(276) UVM nr. (254)
X
X
1
1
n
ini
X X=
= ∑
Xnσ
( ),n
X N σ∼ μ
Figur 222
Eksempel:
Vi betragter 10 uafhængige stokastiske variable X1, X2,…, X10, og det antages, at Xi ~ N(4,3) for . Der gælder altså, at μ = 4, og = 3, for alle de stokastiske variable.Vi observerer nu følgende værdier for de stokastiske variable X1, X2,…, X10 og skal på baggrund af dette finde gennemsnittet og fordelingen af gennemsnittet.
Gennemsnittet er således givet ved:
Fordelingen af gennemsnittet er givet ved:
X
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 3,17 3,67 6,04 1,96 6,82 5,20 7,50 9,86 1,91 0,33
110 (3,17 3,67 6,04 1,96 6,82 5,20 7,50 9,86 1,91 0,33) 4,65X = + + + + + + + + + =
( )310
4,X N∼
σ
Formelsamling til matematik Normalfordeling
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
128
16. Konfi densinterval
16.1 Konfi densinterval for middelværdien μ i en normalfordeling med kendt varians σ2
Vi forestiller os et eksperiment, hvor observationsværdierne antages at være normalfordelte med samme ukendte middelværdi μ og kendt varians σ2.
Vi udtager nu en stikprøve bestående af n observationsværdier x1, x2,..., xn. Gennemsnittet af observationsværdierne i stikprøven betegnes og er givet ved . Lad endvidere ua/2 og u1-a/2 betegne henholdsvis -fraktilen og -fraktilen i standardnormalfordelingen.
100 · (1 - a)% - konfi densinterval for μ
På baggrund af stikprøven ønsker vi at angive et 100 · (1 - a)% - konfi densinterval for den ukendte middelværdi μ.
Konfi densintervallet er givet ved:
(277) UVM nr. (225)
X 1
1
n
ini
x x=
= ∑ 2a
2(1 )a−
1 / 2 / 2a ax u x un n−
σ σ− ⋅ < μ < − ⋅
Formelsamling til matematik Konfi densinterval
Hvad er det fede ved at læsepå RUC?
studieguide.ruc.dk
Dit s
tudie
vil b
live
præge
t af b
asiss
tudie
r,
grup
pearbe
jde og
tværfa
gligh
ed.
Klik
på
rekl
amen
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
129
16.2 Konfi densinterval for sandsynlighedsparameteren p i en binomialfordeling
Vi forestiller os et eksperiment, hvor observationerne antages at være binomialfordelt med ukendt sandsynlighedsparameter p. Hver observation kan således antage to mulige værdier. Den ene af disse værdier betegnes som en succes, og vi interesserer os for antallet af succeser i eksperimentet.
Vi udtager nu en stikprøve bestående af n observationer, og vi betegner antallet af succeser i stikprøven ved x. Andelen af succeser i stikprøven betegnes og er defi neret som:
(278) UVM nr. (256)
Lad endvidere ua/2 og u1-a/2 betegne henholdsvis -fraktilen og -fraktilen i standardnormalfordelingen.
100 · (1 - a)% - konfi densinterval for p
På baggrund af stikprøven ønsker vi at angive et 100 · (1 - a)% - konfi densinterval for den ukendte middelværdi p. For at kunne angive et pålideligt konfi densinterval skal der gælde, at og .
Konfi densintervallet er givet ved:
(279) UVM nr. (257)
Figur 223
Eksempel:
På en årgang, der har været til matematikprøve, udvælges 10 elevers karakterer tilfældigt. De udvalgte karakterer blev 10, 9, 8, 11, 7, 10, 6, 9, 9, 8.Af erfaring ved man, at karaktererne kan antages at være normalfordelte med ukendt middelværdi og varians 2 = 2,25.Vi skal nu finde et 95% - konfidensinterval for middelværdien μ.Gennemsnittet af stikprøven er givet ved , mens standardafvigelsen er givet ved . Endvidere gælder, at 0,025-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved -1,96, mens 0,975-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved 1,96.
Konfidensintervallet er således givet ved:
= 8,7xσ = =2,25 1,5
1,5 1,58,7 1,96 8,7 1,9610 10
7,770 9,630
− ⋅ < μ < + ⋅
⇔< μ <
σ
p
ˆ xpn
=
2a
2(1 )a−
ˆ 5n p⋅ ≥ ˆ(1 ) 5n p⋅ − ≥
1 / 2 / 2ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆa ap p p pp u p p u
n n−
⋅ − ⋅ −− ⋅ < < − ⋅
Formelsamling til matematik Konfi densinterval
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
130
Figur 224
Eksempel:
Der udtages en stikprøve på 50 enheder fra en produktion. Der registreres 8 defekte enheder i stikprøven.Andelen af defekte enheder i stikprøven er således givet ved:
Det antages, at antallet af defekte enheder er binomialfordelt med ukendt sandsynlighedsparameter p.Vi skal nu finde et 95% - konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p.Der gælder, at 0,025-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved -1,96, mens 0,975-fraktilen i standardnormalfordelingen er givet ved 1,96. Vi kan endvidere konstatere, at , og . Vi er derfor i stand til at opstille en pålideligt konfidensinterval for p.
Konfidensintervallet er således givet ved:
8ˆ 0,1650
p = =
⋅ = ⋅ = ≥ˆ 50 0,16 8 5n p⋅ − = ⋅ = ≥ˆ(1 ) 50 0,84 42 5n p
0,16 (1 0,16) 0,16 (1 0,16)0,16 1,96 0,16 1,9610 10
0,067 0,387
p
p
⋅ − ⋅ −− ⋅ < < + ⋅
⇔− < <
Formelsamling til matematik Konfi densinterval
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
131
Stikordsregister for niveau B
Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau B
amortisationsformlen;14Andengradspolynomium; 28Annuitetsregning;13Annuitetsydelse;14Annuitetsydelsen;13Antal annuitetsydelser;13approksimerende førstegradspolynomium;52Arealet af en trekant;24Asymptote for polynomiumsbrøk;32basisår;10begyndelsesværdi = 1;37Begyndelsesværdi b;39Bestemmelse af b;43Binomialfordeling;69Binomialfordelt stokastisk variabel;69Binomialkoeffi cient;69brøker;7Brøkregning;7Cosinus;45Cosinus til en vinkel;22Cosinusrelationerne;24defi nitionsmængden;25Defi nitionsmængden;25Den naturlige eksponentialfunktion;37Den naturlige logaritmefunktion;35Den omvendte funktion for en eksponentialfunktion;40Deskriptiv statistik;56differentialkvotient;52Differentialregning;52Differentiation af specielle funktioner;52Diskret stokastisk variabel X;52Diskrete observationer;56Diskriminant;29diskriminanten;20Effektiv rente;12eksponent;33Eksponent a;41Eksponentialfunktion med begyndelsesværdi ≠ 1;37Eksponentialfunktion med grundtal a;37eksponentiel ligningen;40Eksponentielle funktioner;37Faktorisering af parabel;29Fakultet;69Fordoblingskonstant T2;39fraktil;58;63Frekvenserne;56Fremskrivning;11fremskrivningsfaktor a;38Fremskrivningsfaktor a;38Fremtidsværdi af en annuitet;13Funktioner;25Funktionsbegrebet;25Funktionsværdien;25fællesnævner;7førstegradspolynomium;28Gennemsnitlig procent;9
gennemsnitlige intervalmidtpunkt;61gennemsnitlige rentefod;9gennemsnittet;56Graf for cos;46Graf for harmonisk svingning;50Graf for sin;47Graf for tan;47grundtal 10;34grundtal e;34Grupperede observationer;60gældsformlen;14Halveringskonstant T½;40Harmonisk svingning;49heltalskoeffi cienter;30hovedstol;13Hyppighederne;56Hældningskoeffi cient for linie;17hændelse;65Hændelse;65Indekstal;10Intervalfrekvenserne;60Intervalmidtpunkter;60irrationale nulpunkter;30Komplementærhændelse;65kvartil;58;63ligefrem proportionale;44Ligevejet gennemsnit;9Ligning for linie;17ligningen for tangenten;52Lineær funktion;28Lineær funktion i to variable;51Linie;17liniens skærring med 2. aksen;18liniens vinkel;18Lodret asymptote;33Logaritmefunktionen med grundtal 10;34Logaritmefunktioner;34median;58;63middeltallet;56Middelværdi;70Middelværdi μ;68Monotoniintervallerne;25negativ potens;15niveaulinien;51Normalfordeling;72normalfordelingspapir;72Normalfordelt stokastisk variabel;72Nulpunkterne;29Nutidsværdi af en annuitet;13nævner;7nævnergrad;32Omvendt funktion;26omvendt proportionale;44omvendte funktion for en potensfunktion;43opsparede kapital;13opsparingsformlen;13
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
132
parabel;28Parabel;20Parablens skæringspunkt med andenaksen;21Parablens skæringspunkter med 1. aksen;15Pindediagram;57Polynomier;28Polynomium af grad n;30polynomiumsbrøk;32positive potens;15Potensfunktioner;41potensligningen;43Potensregneregler;15prisudvikling;10Procentregning;9proportinalitetsfaktor b;41proportional med potensfunktionen;41Proportionalitet;44pythagoras sætning;22Radianer;45radiantallet;45rationale nulpunkter;30Regneregler for differentiation;54Regneregler for sandsynligheder;65relativ tilvækst;37rentefod;9Rentefod;11;13Rentesregning;11rødderne;29Sammenhæng mellem log og ln;35Sammensat funktion;26sandsynlighedsfunktion;65Sandsynlighedsfunktion;70Sandsynlighedsregning;65sinus;45Sinus til en vinkel;22Sinusrelationerne;24Skrå asymptote;33Standardafvigelse;68Standardafvigelse σ;71Startkapital;11stigningstallet;17Stokastisk variabel;67Sumkurve;63Summerede frekvenser;58;63svingningernes størelse;49svingningsaksen;49Søjlediagram (histogram);62tangens;45Tangens til en vinkel;22Tilbageskrivning;12tomt udfald;66toppunkt;20Toppunktet;20Trappediagram;59Trigonometriske funktioner;45Trigonometriske grundligninger;48tæller;7tællergrad;32udfald;65Udfaldsrum;65udfaldsrummet;65Vandret asymptote;32Varians σ2;68;71
Vejet gennemsnit;9Vilkårlig trekant;24Værdimængden;25
Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau B
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
133
Stikordsregister for niveau A
Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau A
Additionsreglen; 111Afstand; 88- fra punkt til linie; 89- i planen; 88- mellem to punkter; 88Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling; 121Areal- af cirkel; 93- af det parallelogram, to vektorer udspænder; 82- af ellipse; 94- af trekant; 84Arealberegning; 23Asymptoter til hyperbel; 95Basisvektorer i planen; 79Bayes formel; 112- alternativ version; 113Beregning af sandsynligheder ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen; 112Bestemt integral- regneregler for; 101- tilnærmelsessummer for; 106Betinget sandsynlighed; 111Binomialfordeling; 119Binomialfordelt stokastisk variabel; 119Binomialkoeffi cient; 119Cirkel; 92Delintervallængde; 106Delvis integration; 100, 102Differens mellem to vektorer; 77Differentialligninger; 108Diskret stokastisk variabel; 114Diskriminant; 91Ellipse; 94Fordelingsfunktion- af standardnormalfordelt stokastisk variabel, graf for; 112- for diskret stokastisk variabel; 114- for kontinuert stokastisk variabel; 116Gennemsnit af n uafhængige identiske normalfordelte stokastiske variable; 126Hyperbel; 95- asymptoter; 95Hændelse; 109Højresum; 106Integralregning; 98Integration- delvis; 100, 102- partiel; 100, 102- ved substitution; 101, 103Intervalsandsynligheder,- beregning af; 125Konfi densinterval; 127- for middelværdien i en normalfordeling med kendt varians; 127- for sandsynlighedsparameteren i en binomialfordeling; 127Kontinuert stokastisk variabel; 116
Koordinatsæt for vektor bestemt ved to punkter i planen; 83Kvadratisk funktion i to variable; 97Ligning- for asymptoter til hyperbel; 95- for cirkel; 92- for ellipse; 94- for hyperbel; 95- for linie; 86 - for parabel; 90Lineær transformation af stokastisk variabel; 117Linie- i planen; 86- ligning for; 86- retningsvektor for; 87Loven om den totale sandsynlighed; 113Længde- af liniestykke mellem to punkter i planen; 88- af vektor; 77- af vektor bestemt ved to punkter i planen; 77Middelværdi- af diskret stokastisk variabel; 115- for binomialfordelt stokastisk variabel; 120- regneregler for; 117Multiplikationsreglen; 111n fakultet; 119Niveaukurve; 97Normalfordeling; 123Normalfordelt stokatisk variabel; 123- middelværdi af; 123- standardafvigelse af; 123- varians af; 123Normalvektor til linie; 86Numerisk integration; 105Omkreds af cirkel; 92Parabel; 90Partiel integration; 100, 102Projektion af vektor på vektor; 81Punktsandsynlighed; 114Retningsvektor for linie; 87Sandsynlighed- betinget; 111- for en hændelse; 109- for komplementær hændelse; 110- loven om den totale; 113Sandsynligheder- regneregler for; 110- ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, beregning af; 122Sandsynlighedsfunktion; 109- for binomialfordelt stokastisk variabel; 120- for diskret stokastisk variabel; 114Sandsynlighedsregning; 109Skalarprodukt; 80Spredning; 115
Download gratis bøger på ventus.dk / BookBooN.com
134
Stamfunktion; 98- til specielle funktioner; 98Standardafvigelse- af normalfordelt stokastisk variabel; 124- diskret stokastisk variabel; 115- for binomialfordelt stokastisk variabel; 120- regneregler for; 117Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel; 117Stokastisk variabel- binomialfordelt; 119- diskret; 114- kontinuert; 116- standardnormalfordelt; 123Stokastisk variable; 114Stokatisk variabel- normalfordelt; 123Sum af to vektorer; 78Tilnærmelsessummer for bestemt integral; 106Toppunkt for parabel; 91Trapezsum; 106Tværvektor; 82Tæthedsfunktion; 116Uafhængige hændelser; 112Ubestemt integral- regneregler for; 99Udfaldsrum; 109Varians- af binomialfordelt stokastisk variabel; 120- af diskret stokastisk variabel; 115- af normalfordelt stokatisk variabel; 123- regneregler for; 117Vektor bestemt ved to punkter i planen; 83Vektorer i planen; 76- areal af parallelogram udspændt af to; 82- differens mellem to; 79- regning med; 77- sum af to; 78- vinkelrette; 80Venstresum; 106Vinkelrette vektorer; 80
Formelsamling til matematik Stikordsregister for niveau A
top related