elektromanyetİk alan teorİsİ -...

ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

Hafta Konu

1 Vektör Analizi

2 Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler

3 Elektrik Yükleri ve Alanlar

4 Elektriksel Akı ve Gauss Yasası

5 Diverjansın Fiziksel Anlamı ve Uygulamaları

6 Statik Elektriksel Alanın Endüstriyel Uygulamaları

7 Elektriksel Potansiyel

8 Enerji

9 Akım ve Akım Yoğunluğu

10 İletkenler ve Sınır Şartları

11 Dielektrikler ve Sınır Şartları

12 Kapasitör ve Uygulamaları

13 Laplace ve Poisson Denklemlerinin Çözüm Tahminleri

14 Görüntü Metodu

Vektör Analizi

Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün

süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir.

Skaler ve vektörel alanlar

Vektör Analizi

Elektrik alan şiddeti (E) boş uzaydaki elektrostatik alanların açıklanabilmesi için gereken tek vektör olup birim test yüküne etkiyen elektrik kuvveti olarak tanımlanır.

Elektrik akı yoğunluğu (D) malzeme ortamında elektrik alan çalışmasında kullanışlıdır.

Manyetik akı yoğunluğu (B) boş uzayda manyeto statik (kararlı elektrik akımlarının etkisi) tartışmasında gereken tek vektördür ve belirli bir hızla hareket eden yük üzerine etkiyen manyetik kuvvet ile ilişkilidir.

Manyetik alan şiddeti (H) malzeme ortamında manyetik alan çalışmasında kullanışlıdır.

Vektörel Gösterim

Vektörel Gösterim

Vektörel gösterim

Skaler gösterimi

Vektörel çarpımın üç adet skaler eşleniğine göre vektörel eşitliği daha iyi ifade ettiği görülmektedir.

Vektörlerde Toplama Çıkarma

İki vektörün nokta (skaler) çarpımı

İki vektörün nokta (skaler) çarpımı

Nokta çarpımının bazı temel özellikleri

İki vektörün vektörel çarpımı

Sağ El Kuralı

Vektörel çarpım

Vektörel çarpım

Vektörel çarpım

Vektörel çarpım

Karma çarpım

Karma çarpım

Sorular

Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler

Koordinat Sistemleri

• Uzayda bir noktayı göstermek ve vektörleri görselleştirerek daha kolay

anlaşılmasını sağlamak için koordinat sisteminden faydalanılır. Verilen bir vektör matematiksel olarak seçilen koordinat sistemi üzerinde bileşenlerine ayrılarak ifade edilir.

• Uzayda çok sayıda dikgen (orthogonal) koordinat sistemi mevcuttur. Burada dikgen terimi koordinat sistemi içinde her bir noktanın birbirlerine dik üç yüzeyin kesişimi ile tanımlanabileceğini anlatmaktadır.

• Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için Kartezyen

(Cartesian), silindirik (cylindrical) ve küresel (spherical) koordinat sistemlerinden faydalanılır. Verilen bir vektör ifadesi için koordinat sistemleri arasında dönüşüm yapmak mümkündür.

Koordinat Sistemleri

Kartezyen Koordinat Sistemi

Koordinat eksenlerinin (çizgilerinin) DOĞRU şeklinde olduğu ortogonal (dikey) sistemlerdir.

P(x,y,z) noktasını, eksenlere düşen kenar uzunlukları belirlemektedir.

Kartezyen Koordinat Sistemi

Kartezyen Koordinat Sistemi

Silindirik Koordinat Sistemi

Silindirik Koordinat Sistemi

Silindirik Koordinat Sistemi

Küresel Koordinat Sistemi

Küre üzerindeki bir nokta bu sistemde üç tane bileşenle ifade edilir, bunlar r, θ ve ф' dir.

Koordinatların tanımlı oldukları aralıklar ve tanımları şu şekilde verilir.

r: Yarıçap P ve (0,0,0) noktası arasındaki uzaklıktır.

θ: Enlem, z-ekseni ve çap arasındaki açıdır.

ф: Boylam, x-ekseni ile çapın xy-düzlemine izdüşümü (ρ) arasındaki açıdır.

Bu sistem, dünya üzerinde

coğrafi konum belirlerken

kullanılan sistemdir. Dünya' nın

yüzeyi üzerinde her noktada

yarıçap aynı olduğundan,

sadece enlem ve boylam ile bir

yer belirlenebilir.

Küresel Koordinat Sistemi

Küresel Koordinat Sistemi

Sorular (1)

Sorular (2)

Sorular (3)

Sorular(4)

Elektrik Yükleri ve Alanlar

• Bu bölümde durgun yüklerden dolayı oluşan statik elektrik

alanları (elektrostatik) işlenecektir.

• Statik elektrik alanları === Yük zamanla sabit

• Coulomb deneyleri sonucu yüklü iki parçacık arasındaki

elektrik kuvvetinin

Yüklerin çarpımı ile doğru orantılı,

Yüklerin aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı,

Yüklerin birbirini birleştiren hat boyunca yönlenmiş ve

Aynı yükler için itici ve zıt yükler için çekici

ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ

Eğer bir yük diğerine doğru hareket ettirilirse Coulomb kanununa göre yükler tarafından etkiyen kuvvetin de ani olarak değişmesi gerekir.

Bunun tersine görecelik teorisi bir yükün hareketi hakkındaki bilginin diğer yüke ulaşması için belli bir zaman alması gerektiğini zorunlu kılmaktadır.

Bundan dolayı yükler üzerine etkiyen kuvvetlerin artışı ani olamaz böylece yük sistemleri ile ilgili enerji ve momentin geçici olarak denge dışı olacağı gösterilir.

Bu yüzden, bir yük üzerine başka bir yükün varlığında etkiyen kuvvetin bir alan olarak tanımlanması oldukça kullanışlı olmaktadır.

Cisimlerden kaçan (kaybolan) moment ve enerjinin hesaba katılması için etkileşen cisimlerin bulunduğu ortamda, alanın biçimini bozucu etki gösteren ekstra bir şeyin var olması gerekir.

ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ

Yükü çevreleyen uzayda her yerde bir elektrik alanı veya elektrik alan şiddetinin var olduğu söylenebilir.

𝑬 uzayda bir noktadaki elektrik alan şiddeti ise bu noktada q yüküne etkiyen kuvvet:

q nokta yükünden dolayı P noktasındaki elektrik alan şiddetinin ifadesi:

ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ

Elektrik alan çizgileri • Bir pozitif yükten çıkıp bir negatif yükte son bulurlar • Bir pozitif yükten ayrılan veya bir negatif yüke ulaşan alan çizgilerinin sayısı

yük miktarıyla orantılıdır. • Asla birbirlerini kesmezler

İki Levha Arasındaki Elektrik Alan Şiddeti

Elektrik Alan ile Manyetik Alan Arasındaki Farklar

• Manyetik alan hareket eden elektrik yükleri tarafından, zamanla değişen

elektrik alanlardan veya temel parçacıklar tarafından içsel olarak üretilir.

• Zamana göre değişen bir elektrik alan (mesela hareketli bir yüklü

parçacık nedeniyle) yerel manyetik alana sebep olur.

Elektrik Alan ile Manyetik Alan Arasındaki Farklar

• Manyetik alan çizgileri kapalı eğrilerdir. Bir başka deyişle manyetik alan

çizgilerinin başlangıcı ve sonu yoktur. Oysa elektriksel alan çizgileri artı

işaretli yüklerden çıkıp eksi işaretli yüklerde son bulmaktadır.

• Elektrik kuvveti, her zaman elektrik alanına paralel, buna karşın manyetik

kuvvet manyetik alana dik olarak etkir.

Örnek: 24 μC yük değerine sahip bir cisim düzgün 610 N/C elektrik alanın içerisinde havada asılı durmaktadır. Cismin kütlesini hesaplayınız.

Elektriksel Akı ve Gauss Yasası

Elektriksel Akı

• Statik Elektrik, tabiatta birbirinden farklı veya aynı, iletken veya yalıtkan

iki maddenin temas etmesi ve sonra ayrılması veya sürtünme işlemi

sonucunda, bu iki cisim arasında pozitif ve negatif elektronların serbest

bırakılması ve işaretlerinin değişmesi sonucunda oluşur. Statik yükün

voltajı çok fazla olmasına karşın, akımı çok zayıftır.

• Maddeler birbirleriyle temas halinde olduğu sürece aralarında temas yüzeyi

boyunca elektron transferi olur. İki maddenin temasının kesilmesi

durumunda aralarındaki sınır tabakası ortadan kalkar ve maddelerden

birinde negatif yük fazlalığı (negatif yüklenme) diğerinde ise elektron

azlığı (pozitif yüklenme) meydana gelir. Oluşan bu iki ayrı yük birbirlerini

çeker ve arada bulunan hava gibi yalıtkan olan bir ortam boyunca ark

(kıvılcım) yaparak boşalır ve yük farklarını dengelerler.

Elektriksel Akı

• Yük veya yükler kapalı bir hacim içerisine alındıklarında, bu

kapalı alandan dışarı veya içeri doğru elektrik alan çizgileri

düşünülebilir.

Elektriksel Akı

Alan çizgileri birbirine yakın olduğunda E büyük, uzak olduğunda küçüktür.

Alan çizgileri bir artı yükten çıkıp bir eksi yükte son bulmalıdır.

Alan çizgilerinin sayısı yük miktarıyla orantılıdır.

İki alan çizgisi birbirini kesmez.

Elektriksel Akı

Elektrik akısı, bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru

orantılıdır.

Çok küçük bir dA alanındaki elektrik akısı şu şekilde hesaplanır:

Burada E yüzeye dik olan elektrik alanıdır. Bir S yüzeyinden geçen elektrik akısı dA

alanlarının toplanmasıyla elde edilir:

Elektrik alanı vektörüyle, dA vektörü arasında skaler çarpım olduğundan manyetik

akının büyüklüğü şu şekilde yazılır:

Elektriksel Akı

Elektriksel Akı- Soru

Gauss Kanunu

Noktasal Yükte Gauss Kanunu

Küresel Yükte Elektrik Alanı

Yük Dağılımları

Noktasal, çizgisel, alana yayılan (düzlemsel), hacim içerisine yayılan yükler

Gauss Yasası Kullanılarak Hesaplanan Bazı Örneksel Elektrik Alanları

Sorular (1)

Sorular (2)

Sorular (3)

Sorular (4)

Sorular (5)

Diverjansın Fiziksel Anlamı ve Uygulamaları

Diverjans Nedir • Isındıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanının

uzaksaması pozitif olacaktır, çünkü hava genişlemektedir. Eğer hava soğuyup daralıyorsa uzaksama negatif olacaktır. Bu örnekte uzaksama yoğunluğun değişiminin ölçüsü olarak düşünülebilir.

• Vektör hesaplamada, diverjans (ıraksama, uzaksama,

uzaklaşma) bir vektör alanının kaynak ya da batma noktasından uzaktaki bir noktada genliğini ölçen işleçtir; yani bir vektör alanının uzaksaması işaretli (artı ya da eksi) bir sayıdır.

• Uzaksaması her yerde 0 olan vektör alanına selenoidal denir.

Diverjans Nedir

Soru (1)

Soru (2)

Hatırlatma

Hatırlatma

Hacmin Türevi Alan

Alanın Türevi Vektör

Vektörün Türevi Nokta

Diverjans bulurken bir vektör alanının kısmi türevini alarak vektör buluyoruz

Diverjans İşareti

Selenoidal Diverjans

Diverjans Uygulamaları-1

Diverjans Uygulamaları-2

Diverjans Uygulamaları-3

Diverjans Uygulamaları-4

6-Statik Elektriksel Alanın Endüstriyel

Uygulamaları

Yüklü Parçacığın Sapması

• Elektrostatik alanların en yaygın uygulamalarından biri elektron veya proton gibi yüklü bir parçacığın yörüngesinin kontrol edilmesi için saptırılmasıdır.

• Katot ışınlı osiloskop, mürekkepli-jet yazıcı ve hız seçici gibi aygıtlar bu prensibe dayanmaktadır.

• Yüklü parçacığın sapması bir çift paralel plaka arasındaki potansiyel fark korunarak yapılır.

• ux hızı ile x yönünde hareket eden m kütleli ve q yükü ile yüklü bir

parçacığı dikkate alalım. t=0 zamanında yüklü parçacık Vo potansiyel

farkında tutulan paralel levha çifti arasındaki bölgeye girer.

Yüklü Parçacığın Sapması

Hız=İlk hız + ivme ∙ zaman V = V0 + a ∙ t

Yüklü Parçacığın Sapması

Yüklü Parçacığın Sapması- Örnek

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

Katot ışınlı osiloskop’un temel özellikleri; tüp camdan yapılmış ve içi tamamen

boşaltılmıştır. Isıtıcı bir flaman ile ısıtıldığında katot elektron yayar. Bu

elektronlar daha sonra katota göre birkaç yüz voltluk bir potansiyelde tutulan

anoda doğru hızlandırılır. Küçük bir deliğe sahip olan anot, içinden ince bir

elektron ışınının geçmesine izin verir. Hızlanmış elektronlar bundan önceki

kısımda tartışılana benzer bir davranışla hem yatay ve hem de dikey

boyutlarda saptırılabilecekleri bir bölgeye girerler. Son olarak elektron ışını bir

cisim (fosfor) ile kaplanmış görünür ışık yayan ekranın iç yüzeyine bombardıman edilir.

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

MÜREKKEPLİ YAZICI

MÜREKKEPLİ YAZICI

MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI

MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI

MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI

MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI