elektromanyetİk dalgalar ders 2015-2016 yaz...

DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ

1

ELEKTROMANYETİK DALGALAR DERSİ2015-2016 YAZ DÖNEMİ

Yrd. Doç. Dr. Seyit Ahmet Sisseyit.sis@balikesir.edu.tr , MMF 7. kat, ODA No: 3,Dahili: 5703

DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ

2

Ders İçeriği : Vektörel işlemlerin hatırlatmasıyla başlanıp, elektrostatikve magnetostatikin temel teorem ve eşitlikerinden bahsedilecek, dahasonra dersin tamamına yakınında elektrodinamik konuları işlenecektir.Bu bağlamda işlenmesi planlanan konular: Maxwell denklemleri,düzlemsel dalgalar (plane waves), Dalgaların farklı ortamlara arasındayayılımında davranışları (örn. yansıma, kırımla ...), Işıma ve antenler(sadece temelleri verilecek, spesifik antenlere girilmeyecek)

• Vize % 40, Final % 60

Ders Kaynakları:

1) Fawwaz Ulaby,Eric Michielssen and Umberto Ravaioli “Fundamentals of AppliedElectromagnetics” 5th or 6th edition.

2) Schaum’s ‘Elektromanyetik’, 2. baskıdan çeviri3) David Cheng, “Fieild and Wave Electromagnetics” (Türkçeside mevcuttur)4) Davif J. Griffiths “Introduction to Electrodnamics”

DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ

3

1. Ders

2. Ders3. Ders4. Ders5. Ders Vektör analizi, elektrostatik temellerinin kabaca tekrarı6. Ders

7. Ders8. Ders9. Ders10. Ders

11. Ders

12. Ders13. Ders

4

VEKTÖR ANALİZİ

• Elektrik ve Manyetik alanlar vektörel büyüklüklerdir• Bu bağlamda lisans düzeyinde hâli hazırda verilmiş olan vektör

analizi üzerinden kısaca geçmenin faydası vardır

Vektörün Matematiksel İfadesi

Birim Vektör (Unit Vector)

5

VEKTÖR ANALİZİ

x,y ve z kordinatları, baz vektörü olarak isimlendirilen, birim vektörleriyle gösterilirler Ax, Ay ve Az A

vektörünün izdüşümleridir !

6

VEKTÖR ANALİZİ

VEKTÖRÜN BOYU:

BİRİM VEKTÖR: A vektörünün yönünü gösteren boyu 1 birim olan vektör:

Dolayısıyla, kartezyen kordinatlarda tanımlanan bu A vektörü kendi birim vektörüyle aşağıdaki gibi de gösterilir.

7

VEKTÖR ANALİZİ

VEKTÖR TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

8

VEKTÖR ANALİZİ

VEKTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİBASİT ÇARPMA İŞLEMİ, SKALAR ÇARPMA İŞLEMİ, VEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ

BASİT ÇARPMA İŞLEMİ

Bir vektörün bir skalarla çarpımıdır:

AkA

k pozitif ve 1 den büyükVektörün boyu k kadar artar, yönü ise k pozitif ise A yönündedir. k negatif ise – A yönündedir.

9

VEKTÖR ANALİZİ

VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİSKALAR ÇARPMA İŞLEMİ (NOKTA ÇARPIMI)

İki vektörün aynı bileşenlerinin genliklerininçarpılıp toplanmasıdır. Çarpım sonucu bir vektördeğil skalar bir büyüklüktür. Bu nedenle 2 tanevektör çarpımı olsada bu işleme skalar çarpımdenmektedir

Geometrik manada skalarçarpım: vektörlerden biriningenliği ile diğer vektörün buvektör üzerine iz düşmübüyüklüğünün çarpımıdır.

10

VEKTÖR ANALİZİ

VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİVEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ (ÇAPRAZ ÇARPIM)

DOLAYISIYLA

Yada :

NOT: Çarpımın sonucu yine bir vektördür. Bu yüzden buna vektörel çarpım denir

Geometrik manada: Çarpımın sonucu, yönüiki çarpan vektörün olduğu düzleme dikolanve genliğide, bu iki çarpan vektörünoluşturduğü paralel kenarın eşit olan birvektördür.

Sağ el kuralıyla yönü bulabiliriz!

11

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

• Elektromanyetikte fiziksel nitelikler (örn E, H) zamana ve konuma bağlı büyüklüklerdir. Değişim yönleride birim vektörler vasıtasıyla gösterilir.

• Uzayda bir konumun yerini, yada bir vektörel büyüklüğün (örn E ve H) yönünü 3 boyutlu kordinat sistemlerini kullanarak tanımlarız.

KORDİNAT SİSTEMLERİ

Ortagonal Kordinat Sistemleri Ortagonal Olmayan Kordinat Sistemleri

• Bütün kordinatlar birbirine dik• EM problemlerin çözümünde

sıklıkla kullanılır• 3 tür ortagonal kordinat sistemi

vardır: • Kartezyen kordinat sistemi• Silindirik kordinat sistemi• Küresel kordinat sistemi

• Kordinatların kimisi birbirine dik olmayabilir• Çok özel durumlarda kullanılır ve nadiren

pratik problemlerin çözümüyle ilgilidir.

12

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

KARTEZYEN KORDİNAT SİSTEMİ

Birim kordinatlar x, y ve z ile gösterilirler. diferansiyel uzunluk

diferansiyel alan

Diferansiyel hacim

13

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİSilindirk kordinatlarda bir vektör aşağıdaki gibi gösterilir:

yönlerindeki bileşenlerdir

Diferansiyel uzunluk, diferansiyel yüzey ve diferansiyel hacim:

14

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİÖRN: Aşağıdaki matematiksel ifadeyle belirlenen silindirik yüzeyin alanını bulunuz !

CEVAP:

Görüldüğü üzere bahsedilen alanı bulmak için aldığımızintegral silindirik kordinatlarda alınmıştır. Aynı alanıkartezyen kordinatlarda integralini alarak bulmak oldukçazordur ! Dolayısıyla, problemin türüne göre en uygunkordinat sisteminin seçilip işlem yapılması gerekmektedir.

15

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİÖRN: Aşağıdaki A vektörünün birim vektörünü bulunuz !

16

KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ• Herhangibir nokta R, ve değişkenleriyle gösterilir.• Birim vektörler, yada diğer bir deyişle baz vektörler ve

θ φ

Aşağıdaki kurala uyarlar:

Bir vektör aşağıdaki şekilde ifade edilir:

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

17

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ

18

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİÖRN: Yarıçapı 2 cm olan bir kürenin içindeki yük yoğunluğu dur.

Bu kürenin içerisindeki toplam yükü bulunuz.

CEVAP:

19

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ ÖZETİ

20

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

DEL OPERATÖRÜ

• Del operatörü, yada kimi yerde Nabla operatörü olarak da bilinir, bir vektörel kısmi türev operatörüdür.

• Kendisi bir vektördür• Diğer vektörel yada skalar büyüklüklere uygulanır. • Sembolü

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİNDE DEL OPERATÖRÜ AŞAĞIDAKİ GİBİDİR

Kartezyen Silindirik

Küresel

21

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

GRADYAN (GRADIENT)

• Del operatörü bir skalar büyüklüğe (fonksiyona) basit çarpım şeklinde uygulanır ve sonucu bir vektörel büyüklüktür.

Gradyan, yada DEL operatörü:

Bir T (x,y,z) skalar fonksiyonuna uygulandığında:

22

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİDİVERJANS (DIVERGENCE)

• Diverjans DEL operatörünün bir vektörle noktasal çarpımıdır. İki vektörün noktasal çarpımı skalar büuükül olduğu için, divejansın sonucu skalardır.

ROTASYON (CURL)

• Rotasyon DEL operatörüyle bir vektörün çapraz çarpımıdır. Sonuç yine vektörel bir büyüklüktür.

23

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

DEL OPERATÖRÜNÜN İŞLEMLERİ

24

ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ

VEKTÖR ANALİZİ, OPERATÖRLER VE KORDİNAT SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ BAZI ÖDEVLER

1) Yarı çapı 5 cm olan, ve z= -3 cm den z= 3 cm ye uzana silindirin alanını silindirikkordinatlarda integralini alarak bulunuz ! NOT: Silindirin hacim formülünü kullanarakyapmayınız. Silindirik kordinatlarda integrali alarak yapınız!

2) Aşağıda kartezyen, silindirik ve küresel kordinatlarda birim vektörlerin birbirleri ile çaprazçarpımları verilmektedir. Bu çarpımların doğruluğunu önceki slaytlarda gördüğümüz (slayt 10)çapraz çarpımın sonucunun yönünü sağ el kuralıyla tayin edebileceğimizi görmüştük. Aşağıdakibirim vektör çarpımlarının doğruluğunu kağıt üzerine çizerek sağ el kuralını düşünerekgözleyiniz !

kartezyen silindirik küresel

3) Aşağıdaki fonksiyonunun gradyenti, diverjansı yada rotasyonundan hangisi alınabilir.Yapılabilen işlemi yapınız !

25

ELEKTROSTATİK(ZAMANLA DEĞİŞMEYEN ELEKTRİK ALAN)

ELEKTROSTATİK

HATIRLATMA !

26

ELEKTROSTATİKCOULOMB KUVVETİ

(Newton)

• Aralarında r mesafesi olan q1 ve q2 yüklerinin birbirlerine uyguladıkları kuvvet. Gerçekmanada, yani mekaniksel olarak bu yükler birbirlerini iter yada çeker. Elektrostatikte sabityükler üzerinden hesaplamalar yapılır. Bu yüzde Elektrostatik denmektedir. Haraketliyüklerinde itme çekme kuvveti vardır. Fakat bunların incelemesi elektrostatik içerisinde değililerleyen kısımlarda elektromanyetik de açıklanacaktır.

ELEKTRİK ALAN• Bir q yükünün oluşturduğu elektrik alan (E) ise, o q yükünün 1 C luk birim yüke uyguladığı

Coulomb kuvvetidir. Yani elektrik alan dediğimiz şey Coulomb kuvvetinin özel hali gibidir.

Bir q yükünden dolayı 1 C luk bir yüke uygulana Coulomb kuvvetidir !

X 1

27

ELEKTROSTATİK

ELEKTRİK ALAN

q yükünün oluşturduğu elektrik alan vektörleri gösterilmektedir !

İKİ YÜK TEK YÜK

28

ELEKTROSTATİK

ELEKTRİK ALAN

Birden fazla yükün bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)

En genel halde:

29

ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN

Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)

• Sürekli dağılımlı en genel haldeki diferansiyelyük yoğunluğunun (dq) bir noktadaoluşturduğu diferansiyel elektrik alan (dE)

• Hacimsel yük yoğunluğu ile ilgileniyorsak:

• Verilen hacimdeki toplam yükün bahsedilennoktada oluşturduğu elektrik alan:

30

ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN

Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)

• Yüzey yada çizgisel yük yoğunluğu olan yük kaynaklarından bahsediyorsak:

Deplasman Vektörü (Displacement Vector, D)

31

ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN

Gauss Yasası Diferansiyel Formu

Gauss Yasası İntegral Formu

Kapalı bir hacimin içerisindeki toplam yük

Hacimin yüzeyi Toplam Yük= Q CYük yoğunluğu ise= ρv C/m3

(birim hacimdeki yük)

D = εE = ε0 εrEMalzemenin özelliği !

32

ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN

33

ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN

34

ELEKTROSTATİK

Gauss Yasası Diferansiyel Formu

Gauss Yasası İntegral Formu