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Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
1
Un uomo parte da una casa e cammina per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7 km a SE.
In che direzione deve muoversi, e per che distanza deve camminare per tornare alla stessa casa?
Esercizi sui vettori
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
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• Anzitutto determiniamo le coordinate dei punti raggiunti
• Abbiamo bisogno di un formalismo più completo: il formalismo vettoriale
( ) ( )( ) ( )
1
2 3
0,0 0,0 0,0 4,0
3,5 4,0 ? ?
O P
P P
≡ ≡
≡ ≡
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I vettori
• Definiamo i vettori spostamento
• Lo spostamento finale è la somma dei tre (testa coda…)
( )
(0,0 4,0)(3,5 0,0)2,7 2,7 1,9 1,92 2
=
=
= − = −
1
2
3
SS
S
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I vettori
• In totale
• Per tornare alla casa lo spostamento necessario
• Con modulo
( )( )
1 2 3
0,0 3,5 1,9 4,0 0,0 1,9
5,4 2,1
= + + =
+ + + − =
S S S S
( )5,4 2,1− = − −S
( ) ( )2 25,4 2,1 5,8S km= − + − =
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I vettori
Calcoliamo il prodotto scalare fra i vettori E quindi i loro moduli e l’angolo compreso fra di essi.
( ) ( )21 1,5 2,3 2,5 4,3= =v v
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• La definizione ci dà subito
• I moduli dei vettori si calcolano come prodotti scalari dei vettori per sé stessi
I vettori
1 2 1,5 2,5 2,3 4,3 13,6= ⋅ + ⋅ =v vg
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I vettori
• Dunque:
• Ricordiamo ora che il prodotto scalare si può anche scrivere come
• …E da questa relazione possiamo calcolarci l’angolo!
2 21 2
2 21 2
1,5 2,3 2,75
2,5 4,3 4,97
= + =
= + =
v v
v v
g
g
1 2 1 2 12cosv v θ=v vg
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I vettori
• Riprendiamo…
• Notate che i calcoli intermedi sono stati effettuati con più cifre significative, mentre il risultato è stato espresso con sole due cifre
1 212
1 2
12
14,2cos 0,9982,75 4,97
3 ,6v v
θ
θ
= = =⋅
= °
v vg1 2 1 2 12cosv v θ=v vg
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I vettori
Determinare le componenti del vettore prodotto esterno dei due vettori
Inoltre determinare il suo modulo, verificare che esso è
perpendicolare ai due vettori dati
( ) ( )1 21,5 2,3 0 4,3 2,5 0= =v v
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I vettori
• Calcoliamo le componenti del vettore con il calcolo del determinante
[ ] [ ][ ]
1 2
ˆ ˆ ˆ1,5 2,3 04,3 2,5 0
ˆ ˆ2,3 0 0 2,5 1,5 0 0 4,3ˆ 1,5 2,5 2,3 4,3
ˆ6,14
= ∧ = =
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ +
⋅ − ⋅
= −
x y zV v v
x yz
z
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I vettori
• Il suo modulo è uguale alla sua componente z (unica diversa da zero)
• Il prodotto scalare con i vettori componenti è nullo quindi il vettore è sicuramente perpendicolare ai vettori componenti
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