exercícios de exames e provas oficiais · considere a sucessão estritamente crescente de termo...
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funções exponenciais e logarítmicas
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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Seja g uma função, de domínio ,e , definida por lng x e x .
Considere a sucessão estritamente crescente de termo geral 1
1
n
nxn
Qual é o valor de lim ng x ?
(A) (B) e (C) 1 (D)
Exame 635, 2ª fase, 2014
2. Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função f, de domínio 0,10 ,
definida por 22 8
x
f x e x , e dois pontos A e B.
Sabe-se que:
o ponto A é o ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo das ordenadas;
o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa positiva;
a reta AB tem declive –2.
Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
equacionar o problema;
reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções das funções
que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificados;
indicar o valor da abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.
Exame 635, 2ª fase, 2014
3. Seja f a função, de domínio , definida por 1
3xf x e .
Considere a sucessão de números reais nx tal que 1
nxn
.
Qual é o valor de
2lim
nf x?
(A) (B) -e (C) 0 (D)
Exame 635, 1ª fase, 2014
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4. Considere a função f, de
domínio 2,e , definida
por 2lnf x x e .
Na figura abaixo, estão
representados, num referencial
o.n. xOy, parte do gráfico da
função f e o triângulo [ABC].
Sabe-se que:
o ponto A tem coordenadas
0, 2 ;
o ponto B pertence ao
gráfico da função f e tem
abcissa negativa;
o ponto C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto B;
a área do triângulo [ABC] é igual a 8.
Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta deve:
escrever uma expressão da área do triângulo [ABC] em função da abcissa do ponto B;
equacionar o problema;
reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados,
devidamente identificados;
indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.
Exame 635, 1ª fase, 2014
5. Seja a um número real positivo.
Considere o conjunto : ln 0xs x e a
.
Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S?
(A) ln 1 , lna a (B) ln 1 , lna a
(C) , ln 1 a (D) ln 1 ,a
Exame 635, Época Especial, 2013
6. Sejam a e b dois números reais tais que 1 a b e log 3a b .
Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log5 3log a b
a a b a ?
(A) 6 b (B) 8 b (C) 6b
a (D) 8b
a
Exame 635, 2ª fase, 2013
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7. Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função f, de domínio 1,2 ,
definida por 2
1 ln 13
xf x x
, o ponto A de coordenadas 2,0 e um ponto P que se
desloca ao longo do gráfico da função f.
Existe uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP] é mínima.
Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
Indicar o valor da área do triângulo [AOP] com arredondamento às centésimas.
Exame 635, 2ª fase, 2013
8. Para certos valores de a e de b 1 e 1a b , tem-se log 2a b .
Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log logb aa b ?
(A) 1
22 (B) 2 2 (C)
1
2 (D)
3
2
Teste Intermédio, 28-02-2013
9. Seja f a função, de domínio , definida por
2
3 3se 4
9
ln 3 11se 4
4
xx
xf x
xx
x
Considere, num referencial o.n. xOy, o triângulo [OPQ] tal que:
o ponto P é o ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo das ordenadas;
o ponto Q é o ponto do gráfico da função f que tem abcissa positiva e ordenada igual à
ordenada do ponto P.
Determine um valor aproximado da área do triângulo [OPQ], recorrendo à calculadora
gráfica.
Na sua resposta, deve:
reproduzir, num referencial, o gráfico da função f para 0,10x
desenhar o triângulo [OPQ]
indicar a abcissa do ponto Q arredondada às milésimas;
apresentar a área do triângulo [OPQ] arredondada às centésimas.
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três
casas decimais.
Teste Intermédio, 28-02-2013
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10. Considere que dois balões esféricos, que designamos por
balão A e por balão B, se deslocam na atmosfera, por cima
de um solo plano e horizontal.
Num determinado instante, é iniciada a contagem do
tempo. Admita que, durante o primeiro minuto
imediatamente a seguir a esse instante, as distâncias,
medidas em metros, do centro do balão A ao solo e do
centro do balão B ao solo são dadas, respetivamente, por
0,030,02 3
ta t e t
e 0,06
6 0,02 2t
b t e t
A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi
iniciada a contagem do tempo 0,60t .
Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais
cálculos numéricos.
Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,
três casas decimais.
10.1. Determine a distância entre o centro do balão A e o centro
do balão B, cinco segundos após o início da contagem do
tempo, sabendo que, nesse instante, a distância entre as
projeções ortogonais dos centros dos balões no solo era 7
metros.
Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.
10.2. Sabe-se que, alguns segundo após o início da contagem do
tempo, os centros dos dois balões estavam à mesma
distância do solo.
Determine quanto tempo decorreu entre o instante inicial e o instante em que os centros
dos dois balões estavam à mesma distância do solo.
Apresente o resultado em segundos, arredondados às unidades.
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11. Na figura ao lado, está representada, num
referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma
função f, de domínio 1,3 .
Sabe-se que:
1 4f
a reta de equação 1x é assintota do gráfico
de f
nx é uma sucessão com termos em 1,1
lim 1nx
Qual é o valor de lim nf x ?
(A) (B) 4 (C) 5 (D) 6
Exame 635, 2ª fase, 2012
12. Considere a função f, de domínio 7,0 , definida por
2ln 3
xf x e x
Sejam A e B os pontos de interseção do gráfico de f com a bissetriz dos quadrantes pares, e
seja d a distância entre os pontos A e B.
Determine d, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
Reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
Assinalar os pontos A e B;
Indicar as coordenadas dos pontos A e B com arredondamento às centésimas;
Apresentar o valor de d com arredondamento às centésimas.
Exame 635, 2ª fase, 2012
13. Considere a função f, de domínio , e a função g, de domínio 0, , definidas por
2
2
4 4x
x ef x e
e
e ln 4g x x
13.1. Mostre que ln 2 2 2 é o único zero da função f, recorrendo a métodos exclusivamente
analíticos.
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13.2. Considere, num referencial o.n. xOy, os gráficos das funções f e g e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:
O é a origem do referencial;
A e B são pontos do gráfico de f
a abcissa do ponto A é o zero da função f
o ponto B é o ponto de interseção do gráfico da função f com o gráfico da função g
Determine a área do triângulo [OAB], recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificados, incluindo o
referencial;
assinalar os pontos A e B;
indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às
centésimas;
apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.
Exame 635, 1ª fase, 2012
14. Seja a um número real maior do que 1 e seja b a
.
Qual é, arredondado às unidades, de 12 100loga a b ?
(A) 138 (B) 326 (C) 1238 (D) 3770
Teste Intermédio, 24-05-2012
15. Considere a sucessão nu , definida por 1
1
n
nun
.
Seja f uma função contínua, de domínio .
Sabe-se que lim 0nf u .
Qual das seguintes expressões pode definir a função f?
(A) 1 ln x (B) 1 ln x (C) lnx x (D) lnx x
Teste Intermédio, 13-03-2012
16. Seja f a função, de domínio , definida por 32 logf x x .
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
16.1. Determine o conjunto dos números reais para os quais se tem
34 log 8f x x
Apresente a sua resposta na forma de intervalo de números reais.
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16.2. Determine o valor de 1000 100036 4f f
Teste Intermédio, 13-03-2012
17. Um vírus atacou os frangos de um aviário.
Admita que x dias após o instante em que o vírus foi detetado, o número de frangos infetados
é dado aproximadamente por
3 0,1
2000
1 3 2x
f x
(Considere que 0x corresponde ao instante em que o vírus foi detetado).
Resolva, sem recorrer à calculador, a não ser para efetuar cálculos numéricos.
No instante em que o vírus foi detetado, já existiam frangos infetados.
Passados alguns dias, o número de frangos infetados era dez vezes maior.
Quantos dias tinham passado?
Teste Intermédio, 13-03-2012
18. Para um certo valor real de k, admita que a quantidade de combustível, em litros, existente
no depósito de uma certa máquina agrícola, t minutos após ter começado a funcionar, é dada
aproximadamente por
2
312 log 81Q t kt , com 0,20t
Considere que essa máquina agrícola funcionou durante 20 minutos e que, nesse período de
tempo, consumiu 2 litros de combustível.
Determine o valor de k recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Exame 635, Época Especial, 2011
19. Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às
zero horas do dia 1 de março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares,
a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana.
AN t é o número aproximado de nenúfares existentes no lago A, t dias após as zero horas
do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e
desenvolvem-se segundo o modelo
0,2
120
1 7A t
N te
, com 0t
BN t é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B, t dias após as zero horas
do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e
desenvolvem-se segundo o modelo
0,4
150
1 50B t
N te
, com 0t
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Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
19.1. Como foi referido, às zero horas do dia 1 de março de 2010, o lago A recebeu um certo
número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número
aumentou.
Determine de quanto foi esse aumento.
Apresente o resultado com arredondamento às unidades.
19.2. Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de março de 2010,
para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares
existentes no lago B.
Apresente o resultado com arredondamento às unidades.
Exame 635, 2ª fase, 2011
20. Considere a função f, de domínio , definida por
3se 1
1
2 lnse 1
xx
f xx
xx
Existem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas.
Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
equacionar o problema;
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
assinalar esses pontos;
indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas.
Exame 635, 1ª fase, 2011
21. Seja f a função, de domínio , definida por
sin 1
2 se 0 1
2 se 1x
xx
f x ex e
xe x x
Resolva, sem recorrer à calculadora, a equação 2
3
xf x
ex
, no intervalo 1, .
Teste Intermédio, 26-05-2011
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22. Na figura ao lado, está parte da representação gráfica
da função f, de domínio , definida por
9logf x x .
P é o ponto do gráfico de f que tem ordenada 1
2.
Qual é a abcissa do ponto P?
(A) 3
2 (B) 2 (C) 3 (D)
9
2
Teste Intermédio, 19-01-2011
23. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da
inequação
3 3log 7 6 2 logx x
Apresente a sua resposta usando a notação de intervalos de números reais.
Teste Intermédio, 19-01-2011
24. Na década de sessenta do século passado, uma doença infeciosa atacou a população de
algumas regiões do planeta.
Admita que, ao longo dessa década, e em qualquer uma das regiões afetadas, o número, em
milhares, de pessoas que estavam infetadas com a doença, t anos após o início de 1960, é
dado, aproximadamente por
3
1
kt
kt
eI t
pe
em que k e p são parâmetros reais.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos
numéricos.
24.1. Admita que, para uma certa região, 1
2k e 1p .
Determine o ano em que o número de pessoas que estavam infetadas, nessa região, atingiu
2500.
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo três
casas decimais.
24.2. Numa outra região, constatou-se que havia um milhar de pessoas que estavam infetadas no
início de 1961.
Qual é, para este caso, a relação entre k e p?
Apresente a sua resposta na forma de lnk A Bp , em que A e B são números reais.
Teste Intermédio, 19-01-2011
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25. Consider a função f, de domínio 0, , definida por
3se 0 2
1ln se 2
5
xe x
xx
f x
x x x
Determine a área do triângulo [ABC], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Sabe-se que:
A, B e C são pontos do gráfico da função f;
A e B são os pontos cujas abcissas são soluções, no intervalo 0,2 , e cuja abcissa
pertence ao intervalo 0,2 .
Na sua resposta, deve:
reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as coordenadas dos pontos A, B e C, com arredondamento às centésimas;
apresentar o resultado pedido, com arredondamento às décimas.
Exame 635, 2ª fase, 2010
26. Seja g a função, de domínio 2, , definida por ln 2g x x
Considere, num referencial o.n. xOy, um triângulo [OAB] tal que:
O é a origem do referencial;
A é um ponto de ordenada 5;
B é o ponto de interseção do gráfico da função g com o eixo das abcissas.
Qual é a área do triângulo [OAB]?
(A) 5
2 (B)
1
2 (C)
5ln 2
2 (D)
ln 2
2
Exame 635, 1ª fase, 2010
27. Na internet, no dia 14 de outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os
bilhetes de um espetáculo. O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda.
Admita que, t horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é
dado, aproximadamente, por:
3
4 48log 3 1 8log 3 1N t t t , 0,5t
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
27.1. Mostre que 416log 3 1N t t , para qualquer 0,5t .
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27.2. Determine quanto tempo foi necessário para vender 2400 bilhetes.
Apresente o resultado em horas e minutos.
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos,
use três casas decimais, apresentando os minutos arredondados às unidades.
Exame 635, 1ª fase, 2010
28. Considere a função f, de domínio , definida por 23 4
xf x x e
.
Seja g a função, de domínio \ 0 , definida por
ln 3g x x f x (ln designa logaritmo de base e)
Determine os zeros da função g, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Teste Intermédio, 19-05-2010
29. Qual é o valor de 1000
5
5log
25
?
(A) 40 (B) 500 (C) 975 (D) 998
Teste Intermédio, 15-03-2010
30. Numa certa região, uma doença está a afetar gravemente os coelhos que lá vivem. Em
consequência dessa doença, o número de coelhos existentes nessa região está a diminuir.
Admita que o número, em milhares, de coelhos que existem nessa região, t semanas após a
doença ter sido detetada, é dado aproximadamente por
0,13
3 2t
kf t
e
(k designa um número real positivo)
Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que, em cálculos intermédias,
proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.
30.1. Suponha que 10k .
Ao fim de quantos dias, a doença ter sido detetada, é que o número de coelhos existentes
na referida região é igual a 9000?
30.2. Admita que, durante a primeira semana após a deteção da doença, morreram dois mil
coelhos e não nasceu nenhum.
Determine o valor de k, arredondado às décimas.
Teste Intermédio, 15-03-2010
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31. Seja a função f, de domínio , definida por 1xf x e
.
Qual dos pontos seguintes pertence ao gráfico de f?
(ln designa o logaritmo de base e)
(A) 1,0 (B) ln 2,2e (C) ln5,6 (D) 2,e
Exame 635, 2ª fase, 2009
32. Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doença que atinge as culturas. A área afetada
pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir.
Admita que a área, em hectares, afetada pela doença, é dada, em função de t, por
2 5ln 1A t t t
sendo 0 16t t o tempo, em semanas, decorrido após ter sido detetada essa doença.
Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, o seguinte problema.
Quando a doença foi detetada, já uma parte da área de cultivo estava afetada. Passada uma
semana, a área de cultivo afetada pela doença aumentou.
De quanto foi esse aumento? Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas.
Exame 635, 2ª fase, 2009
33. Seja x um número real positivo.
Qual das expressões seguintes é igual a 4ln 2log 10
x xe ?
(ln designa logaritmo de base e; log designa logaritmo de base 10)
(A) 4 2ln logx x (B) 4 2
x x (C) 4 2x x (D)
4
2
ln
log
x
x
Exame 635, 1ª fase, 2009
34. Considere a função g, de domínio , definida por 2ln
xg x e x .
O gráfico de g contém um único ponto A com abcissa pertencente ao intervalo 0,2 e cuja
ordenada é igual ao dobro da abcissa.
Traduza esta situação por meio de uma equação.
Resolva a equação, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Indique as coordenadas do ponto A, com aproximação às décimas.
Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou os gráficos, visualizado(s) na calculadora,
devidamente identificado(s), incluindo o referencial.
Assinale o ponto A em que se baseou para dar a sua resposta.
Exame 635, 1ª fase, 2009
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35. Sejam as funções f e h, de domínios 1, e ,2 , respetivamente, definidas por
2log 1f x x e por 2log 2h x x .
Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, o conjunto solução da
condição 1f x h x .
Apresente o resultado sob a forma de intervalo real.
Exame 635, 1ª fase, 2009
36. Seja a, x e y três números reais tais que log 1 5loga ax y
Qual das expressões seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) 5x ay (B) 5x ay (C) 5x y (D) 5
x y
Teste Intermédio, 27-05-2009
37. Consider a função g, de domínio 1
,2
, definida por
2 12 ln 1 se 1
2
2 se 1
1se 1
1
x x x x
g x x
xx
x
Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o valor de x
pertencente ao intervalo 1
,12
tal que 2 4g x g .
Indique o valor pedido arredondado às décimas e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na
calculadora.
Teste Intermédio, 27-05-2009
38. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da
inequação
2 2log 1 log 13 5x x
Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais.
Teste Intermédio, 11-03-2009
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39. Quando uma substância radioativa se desintegra, a sua massa, medida em gramas, varia de
acordo com uma função do tipo
, 0bt
m t ae t
em que a variável t designa o tempo, medido em milénios, decorrido desde um certo instante
inicial. A constante real b depende da substância e a constante real a é a massa da substância
no referido instante inicial.
Resolva as alíneas sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.
39.1. O carbono-14 é uma substância radioativa utilizada na datação de fósseis em que esteja
presente.
Relativamente a um certo fóssil, sabe-se que:
a massa de carbono-14 nele presente, mil anos depois de um certo instante inicial, era
de 2,91 g
a massa de carbono-14 nele presente, dois mil anos depois do mesmo instante inicial,
era de 2,58 g
Tendo em conta estes dados, determine:
o valor da constante b para o carbono-14;
a massa de carbono-14 que existia no fóssil, no referido instante inicial.
Apresente os dois valores arredondados às centésimas.
Nota: se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casa
decimais.
39.2. O rádio-226 é outra substância radioativa.
Em relação ao rádio-226, sabe-se que 0,43b
Verifique que, quaisquer que sejam os valores de a e de t,
1,6m t
m t
é constante.
Determine o valor dessa constante, arredondando às décimas, e interprete esse valor, no
contexto da situação descrita.
Teste Intermédio, 11-03-2009
40. Sabe-se que o ponto 1,3P pertence ao gráfico da função 2 1, ax
f x a .
Qual é o valor de a?
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) –2
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41. Considere a função f, de domínio 1
,2
, definida por ln 2 1
2 1
xf x
x
, e a função
g, de domínio , definida por 2g x x , (ln designa logaritmo de base e).
Indique as soluções inteiras da inequação f x g x , recorrendo às capacidades
gráficas da sua calculadora.
Para resolver esta inequação, percorra os seguintes passos:
visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções;
reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na
calculadora;
assinale, ainda, os pontos A e B, de intersecção dos gráficos das duas funções, indicando
as suas coordenadas, com aproximação às décimas. Exame 635, 2ª fase, 2008
42. A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que,
para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de
observação, é dada pelo modelo matemático 0,0215 , 0
tM t e t
.
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use três casas decimais.
Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a massa inicial da amostra da substância
radioativa?
Apresente o resultado em horas e minutos, estes arredondados às unidades.
Exame 635, 2ª fase, 2008
43. Seja a um número real maior do que 1.
Qual dos seguintes valores é igual a
1
32loga a
?
(A) 2
3 (B)
1
3 (C)
1
3 (D)
2
3
Exame 635, 1ª fase, 2008
44. Considere, num referencial ortonormado xOy, os gráficos das funções f e g, de domínio
0,3 , definidas por ln 2f x x e 1xg x e e
(ln designa logaritmo de base e).
Determine a área de um triângulo [OAB], com aproximação às décimas, recorrendo às
capacidades gráficas da sua calculadora. Para construir o triângulo [OAB], percorra os
seguintes passos:
visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções, no domínio indicado;
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reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na
calculadora;
assinale, ainda:
o a origem O do referencial;
o o ponto A de intersecção do gráfico das duas funções, indicando as suas coordenadas,
com aproximação às décimas;
o o ponto B de intersecção do gráfico da função g com o eixo Ox.
Exame 635, 1ª fase, 2008
45. Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva.
Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado,
aproximadamente, por:
0,01
2000, 0
1 199t
N t te
Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use três casas decimais.
45.1. Determine 0N e limt
N t
.
45.2. Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 1000?
Exame 635, 1ª fase, 2008
46. Seja a um número real maior do que 1.
Indique qual das expressões seguintes é igual a log 3 2log 5a a .
(A) log 30a (B) log 40a (C) log 75a (D) log 100a
Teste Intermédio, 29-04-2008
47. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns
peixes.
Admita que, t anos depois, o número de peixes existentes no lago é dado aproximadamente
por
0,13
2000
1t
f tke
onde k designa um número real.
47.1. Determine o valor de k, supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago.
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47.2. Admita agora que 24k .
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, resolva o seguinte
problema:
Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresente o
resultado arredondado às unidades.
Nota: se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas
decimais.
Teste Intermédio, 29-04-2008
48. De um número real x sabe-se que 5log 1x .
Indique o valor de 5x .
(A) 125
(B) 15 (C) 5
(D) 5
5 1
Teste Intermédio, 17-01-2008
49. Admita que uma certa população de seres evolui de acordo com a seguinte lei: o número de
indivíduos da população, t dias após um certo instante inicial, é dado aproximadamente por
0 kt
P x ae t
em que
a é o número de indivíduos da população no instante inicial 0a
k é uma constante real
49.1. Seja r um número real positivo.
Considere que, ao fim de n dias, contados a partir do instante inicial, o número de
indivíduos da população é igual a r vezes o número de indivíduos que existiam no referido
instante inicial.
Mostre que ln r
kn
(ln designa logaritmo de base e)
49.2. Admita que, às zero horas do dia 1 do corrente mês, se iniciou, em laboratório, uma cultura
de bactérias, em pequena escala, na qual se juntaram
500 indivíduos de uma estirpe A
500 indivíduos de uma estirpe B
Nunca foram introduzidos mais indivíduos destas duas estirpes nesta cultura.
As condições da cultura são desfavoráveis para a estirpe A, mas são favoráveis para a
estirpe B. De facto,
decorrido exatamente um dia, a estirpe A estava reduzida a 250 indivíduos
decorridos exatamente seis dias, a estirpe B tinha alcançado 1000 indivíduos
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49.2.1. Quer a estirpe A, quer a estirpe B, evoluíram de acordo com a lei acima referida.
No entanto, o valor da constante k para a estirpe A é diferente do valor dessa
constante para a estirpe B.
Utilizando a igualdade da primeira alínea, verifique que:
no caso da estirpe A, o valor da constante k, com quatro casas decimais, é
0,6931Ak
no caso da estirpe B, o valor da constante k, com quatro casas decimais, é
0,1155Bk
49.2.2. Durante a primeira semana, houve um momento em que o número total de
indivíduos destas duas estirpes, existentes na cultura, atingiu o valor mínimo.
Utilizando os valores Ak e Bk referidos na alínea anterior e recorrendo às
capacidades gráficas da sua calculadora, determine o dia e a hora em que tal
aconteceu (hora arredondada às unidades).
Apresente, na sua resposta:
a expressão da função que dá o número total de indivíduos destas duas estirpes,
existentes na cultura, em função do tempo;
o gráfico dessa função, para 0,7t , no qual deve estar devidamente
assinalado o ponto necessário à resolução do problema;
a coordenada relevante desse ponto, arredondada às milésimas.
Teste Intermédio, 17-01-2008
50. Considere a função f, de domínio \ 0 , definida por 21 lnf x x .
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos:
Determine os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox.
Exame 635, 2ª fase, 2007
51. Sabendo que 1
3ln ln 0x e
(ln designa logaritmo na base e)
um valor possível para x é:
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2
Exame 635, 1ª fase, 2007
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52. Admita que a intensidade da luz solar, x metros abaixo da superfície da água, é dada, numa
certa unidade de medida, por
0bx
I x ae x
a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição.
Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b, obtemos uma função de domínio 0
.
Medições efetuadas, num certo instante e em determinado local do oceano Atlântico,
mostraram que, a 20 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua
intensidade à superfície da água.
Determine o valor de b para esse instante e local. Apresente o resultado arredondado às
centésimas.
Exame 635, 1ª fase, 2007
53. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 1x
ee
(A) , 1 (B) ,1 (C) 1, (D) 1,
Teste Intermédio, 15-03-2007
54. Seja a um número real maior do que 1.
Indique o valor de 3loga a a
(A) 5
4 (B)
4
3 (C)
5
3 (D)
3
2
Teste Intermédio, 15-03-2007
55. A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu pH, que é dado
10logpH x
onde x designa a concentração de iões 3H O
, medida em mol/dm3.
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva
as duas alíneas seguintes:
55.1. Admita que o pH do sangue arterial humano é 7,4.
Qual é a concentração (em mol/dm3) de iões 3H O
, no sangue arterial humano?
Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma 10b
a , com b inteiro e a entre
1 e 10. Apresente o valor de a arredondado às unidades.
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55.2. A concentração de iões 3H O
no café é tripla da concentração de iões 3H O
no leite.
Qual é a diferença entre o pH do leite e o pH do café? Apresente o resultado arredondado
às décimas.
Sugestão: comece por designar por l a concentração de iões 3H O
no leite e por exprimir, em
função de l, a concentração de iões 3H O
no café.
Teste Intermédio, 15-03-2007
56. Considere, num referencial o.n. xOy.
a curva C, que representa graficamente a função f, de domínio 0,1 , definida por
3x
f x e x
a reta r, de equação 5y
Recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, visualize a curva C e a reta r, na
janela 0,1 0,7 (janela em que 0,1x e 0,7y ).
Reproduza, na sua folha de teste, o referencial, a curva c e a reta r, visualizados na
calculadora.
Assinale ainda os pontos O, P e Q, em que:
O é a origem do referencial;
P é o ponto de coordenadas 0,e ;
Q é o ponto de interseção da curva C com a reta r; relativamente a este ponto, indique,
com duas casas decimais, a sua abcissa, que deve determinar com recurso à calculadora.
Desenhe o triângulo [OPQ] e determine a sua área. Apresente o resultado final arredondado
às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,
duas casa decimais.
Teste Intermédio, 15-03-2007
57. Sejam a e b dois números reais positivos.
Na figura está parte do gráfico de uma função f, de domínio ,
definida por .x
f x a b
Tal como a figura sugere, os pontos 0,2 e 1,3 pertencem ao
gráfico de f.
Quais são os valores de a e de b?
(A) 2 e 1a b (B) 2 e 3a b
(C) 3 e 2a b (D) 3 e 1a b
Exame 635, 2ª fase, 2006
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58. Sejam h a função, de domínio , definida por
ln
2
xe
h x (ln designa logaritmo de base e)
Qual das seguintes expressões pode também definir h?
(A) x (B) 2
x (C)
4
x (D)
2
x
Exame 635, 1ª fase, 2006
59. Na figura estão representados:
parte do gráfico da função f, de domínio ,
definida por xf x e
um triângulo isósceles [OPQ] PO PQ ,
em que:
o O é a origem do referencial;
o P é um ponto do gráfico de f;
o Q pertence ao eixo das abcissas.
Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não incluídos), ao longo
do gráfico de f.
O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eixo das
abcissas, de tal modo que PO permanece igual a PQ .
Seja A a função, de domínio , que faz corresponder, à abcissa x do ponto P, a área do
triângulo [OPQ].
Mostre que, para cada x
, se tem xA x xe
Exame 635, 1ª fase, 2006
60. Seja nx a sucessão de termo geral 1
1
n
nxn
Seja ny a sucessão de termo geral 1 lnn ny x (ln designa o logaritmo de base e)
Qual é o valor de lim ny ?
(A) 2 (B) 3 (C) 1 e (D) 2 e
Teste Intermédio, 17-03-2006
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61. Indique o número real que é solução da equação 2 1xe
e
.
(A) 1
2 (B)
3
2 (C)
5
2 (D)
7
2
Teste Intermédio, 17-03-2006
62. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação
3log 1 1x .
(A) 2,1 (B) 1,2 (C) , 2 (D) 2,
Teste Intermédio, 17-03-2006
63. Na figura abaixo estão representadas, em referencial o.n. xOy:
parte do gráfico da função f, de domínio , definida por xf x e
parte do gráfico da função g, de domínio , definida por lng x x (ln designa
logaritmo de base e)
O ponto A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy e o ponto B é o ponto de
interseção do gráfico de g com o eixo Ox.
Na figura está também representado um triângulo [CDE].
O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao gráfico de f e o ponto E pertence ao
gráfico de g.
Sabe-se ainda que:
a reta BD é paralela ao eixo Oy e a reta CE é paralela ao eixo Ox
AC OA
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Qual é a área do triângulo [CDE]?
(A) 1 ln 2
2
e (B)
21 ln 2
2
e
(C) 2
2
e e (D)
22
2
e e
Teste Intermédio, 17-03-2006
64. Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares,
concluiu que a quantidade de azeite Azeitona do Campo, vendida num mês por essa empresa,
depende do preço de venda ao público, de acordo com a função
14 0
xV x e x
sendo x o preço de venda ao público, em euros, de 1 litro desse azeite e V x a quantidade
vendida num mês (medida em litros).
64.1. A empresa tem um conjunto de despesas (compra ao produtor, empacotamento,
publicidade, transportes, etc.) com a compra e a venda do azeite.
Sabendo que cada litro de azeite vendido acarreta à empresa uma despesa total de 3 euros,
justifique que o lucro mensal da empresa (em euros), resultante da venda do azeite, é dado
por
143
xL x x e
64.2. Utilize a calculadora para resolver graficamente o seguinte problema:
«Entre que valores deve variar o preço de venda ao público de um litro de azeite para que
o lucro mensal seja superior a dezasseis mil e quinhentos euros? Apresente os valores em
euros, arredondados aos cêntimos (de euro).»
Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e
coordenadas relevantes de alguns pontos.
Teste Intermédio, 17-03-2006
65. Considere a função f, de domínio 0, , definida por 1 ln x
f xx
(ln designa logaritmo
de base e).
Sem recorrer à calculadora, mostre que 21ln 4
2f e
.
Teste Intermédio, 17-03-2006
Bom trabalho!!
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Principais soluções
1. (D)
2. 9,35
3. (C)
4. -6,71
5. (B)
6. (A)
7. 2,92 u.a.
8. (D)
9. 2,95
10.
10.1. 7,5 metros
10.2. 23 segundos
11. (A)
12. 9,46
13.
13.1. 13.2. 2,2
14. (B)
15. (A)
16.
16.1. 8,9
16.2. 2000
17. 40 dias
18. 0,18
19.
19.1. 29 nenúfares
19.2. 8 dias
20. 1,22;1,80 e 1,12; 1,41
21. ln 3
22. (C)
23. 0,3
24.
24.1. 1963
24.2. ln 3k p
25. 0,4
26. (A)
27.
27.1. 27.2. 2 horas e 20 minutos
28. 1
2 e
1
2
29. (D)
30.
30.1. 3 dias
30.2. 10,2
31. (B)
32. 2,47 hectares
33. (C)
34. 0,3;0,6A
35. 5
,23
36. (A)
37. 0,4
38. 1,5 9,13
39.
39.1. 0,12b
14 3,28carbonomassa g
39.2. 0,5
40. (A)
41. 0, 1 e 2
42. 34 horas e 39 minutos
43. (D)
44. 1,2
45.
45.1. 0 10N e lim 2000t
N t
45.2. 530 dias
46. (C)
47.
47.1. 19k
47.2. 16 anos
48. (C)
49.
49.1. 49.2. 49.2.1.
49.2.2. Às 5 horas do dia 3
50. ,0e e ,0e
51. (D)
52. 0,03
53. (B)
54. (B)
55.
55.1. 8 3
4 10 /mol dm
55.2. 0,5
56. 1,2
57. (A)
58. (C)
59.
60. (A)
61. (B)
62. (A)
63. (D)
64.
64.1. 64.2. Preço a variar entre 3,42€ e 4,96€
65.
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