„exkurzia” do teórie pravdepodobností (tp)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 1

„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 2

Často sa hovorí, že štatistika je “aplikovaný počet pravdepodobností”

Štatistika popisná - vyčerpávajúce skúmanie (veda o

štáte, popisná aritmetika) induktívna - výberové skúmanie (štatistické

analýzy, výberové vzorky) Most medzi oboma druhmi štatistiky tvorí teória pravdepodobnosti• tvorí teoretický základ pre posudzovanie spoľahlivosti a presnosti výberových postupov

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 3

Náhodná veličina je premenná, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov v závislosti na náhode. Náhodné veličiny budeme označovať X, a ich konkrétne hodnoty: xj, j=1,2…n

Na štatistické znaky môžme pozerať ako na náhodné veličiny……….

členenie NV:diskrétne (DNV) -nadobúdajú izolované, väčšinou

celočíselné hodnoty, napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov….

spojité (SNV) -môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty z ohraničeného, alebo neohraničeného intervalu,napr.: hmotnosť, výška človeka, chyby merania, príjem...

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 4

Výberové skúmanieKaždá skúška je výberovou analýzou. Z “debny” mozgu sú ťahané “guličky” vedomostí a nevedomostí a z nich sa usudzuje na celkový stav vedomostí v mozgu

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 5

Náhodná veličina je plne popísaná zákonom rozdelenia NV

Zákon rozdelenia NV je pravidlo, ktorékaždej hodnote náhodnej veličiny

priradí pravdepodobnosť nadobudnutia danej hodnoty (DNV),

alebo množine hodnôt z každého intervalu priradí pravdepodobnosť nadobudnutia hodnôt z intervalov (SNV)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 6

Rozlišujeme 3 zákony rozdelenia NV:

pravdepodobnostná tabuľka xj , pj=P(X= xj )len pre DNV

distribučná funkcia F(x) = P(X x ) pre DNV, SNV

funkcia hustoty f(x) len pre SNV

Poznámka: NV môžme tiež popísať pomocou číselných charakteristík. Najčastejšími sú:E(X) stredná hodnota a D(X) rozptyl

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 7

Pravdepodobnostná tabuľka- rad rozdelenia pravdepodobností - popisuje len diskrétnu náhodnú veličinu (DNV)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

pj

výnos v %

Výnos akcie

výnos akciev % (xj)

pravdepo-dobnosť ( pj)

-2 0,2

5 0,515 0,3

Spolu 1

pj = P(X=xj)… analógia relatívnych početností

pj = 1

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 8

Distribučná funkcia F(x) = P(X x)slúži k popisu diskrétnej (DNV) aj spojitej (SNV) náhodnej veličiny

• Pre DNV platí F(x) = P(X x) = pj

pre všetky xj x výnosakciev % (xj)

pravdepo-dobnosť ( pj)

F(x)

-2 0,2 F(-2)=P(X -2) = 0.2

5 0,5 F(5)=P(X 5)=0.2+0.5=0.715 0,3 F(15)=P(X 15)=1

Spolu 1 x

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 9

Spojitá náhodná veličina (SNV)

Spojitou náhodnou veličinou nazveme X, pre ktorú existuje funkcia f(x) taká, že distribučná funkcia F(x) je rovná

);(-x pre ,x

dx)x(f)x(F

Ak má distribučná funkcia F(x) pre všetky x spojitú deriváciu f(x) = F’(x) budeme veličinu Xnazývať spojitá NV a funkciu f(x) hustotapravdepodobnosti náhodnej veličiny X v bode x

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 10

funkcia hustoty

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x

F(x)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 11

distribučná funkcia

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

x

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 12

F(x) pre spojitú náhodnú veličinu

);(-x pre ,x

dx)x(f)x(F

x

Dokresli F(0),F(6)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 13

6

0

dx)x(f)0(F)6(F)6X0(P

Dokresli do grafu !

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 14

2x

1x

1221 dx)x(f)x(F)x(F)xXx(P

1)X(P)(F

0)X(P)(F

1;0)x(F

)xX(P)xX(P)x(FVlastnosti distribučnej funkcie SNV:

Pre SNV existuje “paradox nulovej

pravdepodobnosti”P(X= x) = 0

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 15

Zhrnutie o F(x)

Každá distribučná funkcia je funkciou

neklesajúcou, spojitou zľava a vyhovujúcou

podmienkam F(-) = 0 a F() = 1.

Každú funkciu,ktorá spĺňa uvedené

podmienky možno pokladať za distribučnú

funkciu

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 16

Vlastnosti funkcie hustoty f(x)

f(x) je nezáporná, t.j. f(x) 0, pretože je

deriváciou neklesajúcej funkcie

(nie je však pravdepodobnosť)

1)F( f(x)dx-

f(x)dx)xXx(P2x

1x

21

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 17

Základné modely rozdelení NV používané v Štatistike

Normálne rozdelenieŠpeciálne rozdelenia:

Studentovo rozdelenie ( t)

CHÍ- kvadrát rozdelenie ( 2 )

Fisherovo - Snedecorovo rozdelenie (F)

Zaslúžisi pozor-nosť

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 18

Normálne rozdelenie“Gaussovo - Laplaceovo”

Riadia sa ním spojité NV, ktoré vznikajú ako dôsledok pôsobenia väčšieho počtu nezávislých, resp. slebo závislých vplyvov,

možno ním aproximovať mnohé rozdelenia, aj rozdelenia DNV

príklady: úrody plodín, chyby merania,

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 19

Gaussovo Normálne rozdelenie

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 20

Quetélet meral obvod hrude 5738 škótskych

vojakov

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 21

Funkcia hustoty normálneho rozdelenia

2

2

2

)-(x -

2.

1 )(

exf

Parametre Normálneho rozdelenia: - stredná hodnota určuje polohu rozdelenia - smerodajná odchýlka, určuje variabilitu

tvaru rozdelenia

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 22

Funkcia hustoty a distribučná funkcia normálneho rozdelenia

funkcia hustoty

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distribučná funkcia

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 23

Porovnanie normálnych rozdelení

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

fun

kcia

hu

sto

ty

N(0,1)

N(0,1.5)

N(1,1)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 24

pravidlo 3 - sigma

-0.05

0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

-3 -2 -1 0 1 2 3

- ++2-2

-3 +3

68,26%

95,45%

99,73%

Zamyslite sa dôsledne čo

hovorí!!!

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 25

Normované normálne rozdelenie( štandardizované )

• X….N(µ,2) N(0,1)

Normálne rozdelenie Normované (existuje nekonečne mnoho normálne normálnych rozdelení) rozdelenie

je tabelované!

-X

U

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 26

Tabelované hodnoty F(u) a f(u) pre N(0,1)

F(- u) = 1 - F(u)f(- u) = f(u)

-u u

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 27

Využitie rozdelenia N(0,1)• Každé normálne rozdelenie vieme takto

transformovať na normované normálne rozdelenie a využívať tabuľkové hodnoty F(u) a f(u).

• Príklad: priemerný mesačný nominálny príjem občana SR predstavuje 11tis. Sk a má približne normálne rozdelenie so smerodajnou odchýlkou 6tis. Sk. Koľko percent občanov je pod hranicou priemerného príjmu 5 tis. Sk a koľko nad 17 tis.Sk? Odhadnite koľko percent občanov zarába v priemere viac ako 23tis. Sk.

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 28

CHÍ - kvadrát rozdelenie

0 20 40 60 80 100

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

2(10)

2(40)40

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 29

2 (s.v. = 12) 2 (s.v. = 40)

CHÍ - kvadrát rozdelenie

P(2 > 2 ) =

2

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 30

t(s.v.= 12) t(s.v.= 40)

Studentovo rozdelenie (t)

P(|t| > t (s.v.)) =

t(s.v.)

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 31

Fisherovo F - rozdelenie

0 1 2 3 4 5

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

F(10,10) F(40,40)

P(F > F(s.v.1;s.v.2)) =

F(s.v.1;s.v.2 )

doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 32

Koniec “exkurzie” do teórie pravdepodobnosti