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TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Laplacetransformation
Fakultat Grundlagen
Februar 2016
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Ubersicht
1 TransformationenBezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
2 Eigenschaften der LaplacetransformationElementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
3 Anwendung auf DifferenzialgleichungenLosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 2
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Philosophisches
Ein mathematischer oder physikalischer Sachverhalt lasst sichhaufig in unterschiedlichen Bezugssystemen darstellen.
Je nach Blickwinkel und Aufgabenstellung sind die verschiedenenDarstellungen von Vorteil.
Beispiel:
Licht:Wellennatur Beugung am Spalt
Korpuskelnatur Druck des Sonnenlichts
Je nach Aufgabenstellung benutzt man das Wellenmodell bzw. dasModell eines Teilchens.
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 3
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Transformationsgedanke I
Koordinationtransformation: Gleichungder Ellipse lasst sich in einem
”geschickten“
Koordinatensystem”einfacher“ darstellen.
5x21 + 5x22 + 6x1x2 − 22x1 − 26x2 + 35 = 0
Verschiebungin Nullpunkt:
x1 = y1 + 1x2 = y2 + 2
eliminiert lineare Glieder:
5y21 + 5y22 + 6y1y2 = 2
Drehung:y1 = 1√
2[z1 + z2]
y2 = 1√2
[−z1 + z2]
eliminiert Produktglied:
2z21 + 8z22 = 2 bzw.z211 +
z22( 12)
2 = 1
x1
x2
y1
y2
z1
z2
1
1
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 4
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Transformationsgedanke II
Zeitbereich:
x(t) = 1 + cos(t)− 12 sin(2t)− 1
3 cos(3t) + 14 sin(4t)
x(t) = 1 + cos(t) + 12 cos(2t + π
2 ) + 13 cos(3t + π) + 1
4 cos(4t − π2 )
tT
x(t)
x
1
1
Frequenzbereich:
Bei bekannter Schwingungs-
dauer T besitzt Amplitude
und Phase denselben Infor-
mationsgehalt wie die Zeit-
funktion x(t) !
k k
1
1
πPhaseAmplitude
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 5
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Transformation von Funktionen
Laplacetransformation
Die Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 fur t < 0 und dieFrequenzfunktion F (s) bilden ein Laplace-Transformationspaar ,wenn sie folgenden Transformationsgleichungen genugen:
F (s) = L {f (t)} =∞∫
t=0
f (t) · e−stdt; s ∈ C
f (t) = L−1 {F (s)} = 12πj
α+j∞∫s=α−j∞
F (s) · estds
Zur Beschreibung der Zusammengehorigkeit von f (t) und F (s)verwendet man das nachfolgende Korrespondenzsymbol.
f (t) d s F (s)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 6
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Definitionsbereich der Laplacetransformation
In der Definition wird stillschweigend die Existenz deruneigentlichen Integrale vorausgesetzt. Besitzt die Funktion f (t)die Eigenschaft
f (t) · eα0t → 0 fur t →∞
mit einem bestimmten reellen Parameter α0, dann existiert dasLaplace-Integral fur alle s = α + jω mit α > α0.
α∗
α∗ + j∞
α∗ − j∞
Re
Im
Zu einem Laplace-Integral gehort also stets eine Konver-
genzhalbebene Re(s) > α∗; α∗ ist das Minimum aller
Werte α0, fur die die obige Grenzbeziehung erfullt ist.
Die Konvergenzbedingung bedeutet anschaulich, dass
f (t) nicht starker anwachsen darf als eine Exponential-
funktion. Da f (t) = 0 fur t < 0 , spielt das Verhalten
des konvergenzerzwingenden Faktors e−st fur negative
Werte keine Rolle.
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 7
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Beispiel I
f (t) = eat · σ(t) , a ∈ C
t
e−0.5·t1
L {eat} =∞∫
t=0
eat · e−stdt =∞∫
t=0
e(a−s)tdt = e(a−s)ta− s
∣∣∣∣∞t=0
= 1a− s
[lim
T→∞e(a−s)T − 1
]= 1
s − a ,
Es gilt: e(a−s)T → 0 fur T →∞ falls Re(s) > Re(a)
Korrespondenz:
⇒ eat d s 1s − a ; Re(s) > Re(a)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 8
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele
Beispiel II
f1(t) = cos(ωt) · σ(t)
f2(t) = sin(ωt) · σ(t)ω ∈ IR
e±jωt · σ(t) d s 1s ∓ jω
1
1
t
cos(2t)
sin(5t)
Eulersche Formel (ejα = cosα+ j sinα) :
cos(ωt) = 12
[ejωt + e−jωt
] d s 12
[1
s − jω + 1s + jω
]= s
s2 + ω2
sin(ωt) = 12j
[ejωt − e−jωt
] d s 12j
[1
s − jω −1
s + jω
]= ω
s2 + ω2
Argumentation ohne σ(t)!
⇒cos(ωt) d s s
s2 + ω2
sin(ωt) d s ωs2 + ω2
; Re(s) > 0
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 9
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
Die Linearitat des Integrals ergibt sofort die Linearitat derLaplacetransformation
f1(t) d s F1(s)f2(t) d s F2(s)
⇒ a1f1(t) + a2f2(t) d s a1F1(s) + a2F2(s)
Eine lineare Substitution beim definierenden Integral(Nachrechnen!) ergibt den
”Ahnlichkeitssatz“:
f (at); a > 0 d s 1a · F
( sa)
Interpretieren wir s als Frequenz, dann ergibt sich daraus das
”Grundgesetz“ der Nachrichtentechnik:
Zeitdauer eines Signals und die Bandbreite des Spektrums sindzueinander umgekehrt proportional.
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 10
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
L {f (t − a) · σ(t − a)} =∞∫
t=af (t − a) · e−stdt = . . .
τ = t − adτ = dt
t a ∞τ 0 ∞
. . . =∞∫
τ=0
f (τ) · e−s(τ+a)dτ = e−as ·∞∫
τ=0
f (τ)e−sτdτ = e−as · F (s)
f (t) · σ(t) f (t − a) · σ(t − a)
at t
sd Verschiebungssatz: sdF (s) e−as · F (s)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 11
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
Eine Verschiebung im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereicheiner Multiplikation mit einer e-Funktion (analoger Nachweis durchSubstitution beim Umkehrintegral)
e−at · f (t) d s F (s + a)
Die Bezeichnung Dampfungssatz folgt aus der Tatsache, dass fura > 0 die Zeitfunktion f (t) gedampft wird.
Die Endwertsatze stellen einen Zusammenhang zwischen Anfangs-bzw. Endwerten der Zeitfunktion f (t) und den End- bzw.Anfangswerten der Frequenzfunktion F (s) her.
limt→∞
f (t) = lims→0
s · F (s)
limt→0
f (t) = lims→∞
s · F (s)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 12
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
Welche Rechenoperation im Frequenzbereich entspricht derDifferenziation im Zeitbereich?
L {f ′(t)} =∞∫
t=0
f ′(t)e−st dt partielle Integration∫f ′gdx = fg −
∫fg ′dx
= f (t) · e−st∣∣∞t=0︸ ︷︷ ︸
=0−f (0+)
− (−s) ·∞∫
t=0
f (t) · e−stdt
︸ ︷︷ ︸=F (s)= s · F (s)− f (0+)
Hohere Ableitungen:
L {f ′′(t)} = L {g ′(t)} mit g(t) = f ′(t) d s s · F (s)− f (0+)
= s · L {g(t)} − g(0+) = s · L {f ′(t)} − f ′(0+)
= s · [s · F (s)− f (0+)]− f ′(0+)
= s2 · F (s)− s · f (0+)− f ′(0+)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 13
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Beispiel zum Differenziationssatz
Bei Anfangswertproblemen werden die Anfangswerte bei derTransformation
”automatisch“ berucksichtigt.
Beispiel: y ′ + y = 0 ; y(0) = 5
Laplace-Transformation des Anfangswertproblems:Bezeichnung: L {y(x)} = Y (s) ; x entspricht t
L{y ′ + y
}= L {0} ⇐⇒ s · Y (s)− 5 + Y (s) = 0
Man erhalt eine algebraische Gleichung fur Y (s)
Y (s) =5
s + 1
Die Rucktransformation liefert die gesuchte Losung im x-Bereich
y(x) = 5 · e−x
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 14
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
Eine Differenziation im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereichder Multiplikation mit −t. Dabei sind keine Anfangswerte zuberucksichtigen.
− t · f (t) d s d
dsF (s)
Diese Eigenschaft kann man bei der Rucktransformation nutzen.
L {t · cosωt} = ? cosωt d s ss2 + ω2
L {t · cosωt} = − d
dsL {cosωt} = − d
ds
(s
s2 + ω2
)=
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
Fur hohere Ableitungen im Frequenzbereich gilt entsprechend
tn · f (t) d s (−1)n dn
dsnF (s)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 15
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
Integrationssatz: Der Integration (als Umkehrung derDifferenziation) im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich dieDivision durch s.
Faltungssatz: Der Multiplikation im s-Bereich entspricht dieFaltung im t-Bereich.
F1(s) · F2(s) s d f1(t) ∗ f2(t) =t∫
τ=0
f1(τ)f2(t − τ)dτ
Wegen f (t) = 0 fur t < 0 erhalt man fur die untere Integrationsgrenze stets 0.
Da die Reihenfolge der Multiplikation im s-Bereich keine Rollespielt, kann bei der Faltung die Reihenfolge vertauscht werden:
f1(t) ∗ f2(t) = f2(t) ∗ f1(t)
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 16
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Beispiel zur Faltung
g(t) = (1− e−t) · σ(t)
r(t) =
{e−t fur 0 ≤ t ≤ 1
0 sonst
f (t) =(g ∗ r
)(t)
=
{−e−t − te−t + 1, 0 ≤ t ≤ 1
−e−1 − e−t + 1, t > 0t
g(t − τ)
t
g(t − τ)
τ
1
r(τ)
g(τ)
f (τ)
f (t) =t∫0
r(τ) · g(t − τ) dτ =t∫0
e−τ [σ(τ)− σ(τ − 1)](1− e−(t−τ))σ(t − τ) dτ
0 ≤ t ≤ 1 f (t) =t∫0
e−τ (1− e−(t−τ))︸ ︷︷ ︸e−τ−e−t
dτ =[−e−τ − τe−t
]t0
= −e−t − te−t + 1
1 < t f (t) =1∫0
e−τ (1− e−(t−τ))︸ ︷︷ ︸e−τ−e−t
dτ =[−e−τ − τe−t
]10
= −e−1 − e−t + 1
MATLAB: faltung.m
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 17
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung
Laplacetransformation periodischer Funktionen
Die Funktion f0(t) sei auf 0 < t < t1 definiert. Durch periodischeFortsetzung fur t > 0 entsteht die Funktion f (t) mit f (t + t1) = f (t).
t t
f0(t) f (t)
F0(s) F0(s) · 11− e−t1s??
t1 t1 2t1 3t1
Verschiebung von f0(t) um k · t1: fk(t) d s Fk(s) = F0(s) · e−kt1sAddition der Einzelimpulse:
f (t) =∞∑k=0
fk(t) d s F (s) =∞∑k=0
Fk(s) = F0(s) ·∞∑k=0
[e−t1s ]k︷ ︸︸ ︷e−kt1s =
F0(s)1− e−t1s
gultig fur |e−t1s | < 1, d. h. Re(s) > 0 vgl. Skript Reihen!
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 18
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Losungsschema
Der Differentiation im t-Bereich entspricht die (mathematischwesentlich einfachere) Multiplikation mit s im Frequenzbereich;eine Differentialgleichung geht durch Laplace-Transformation ineine algebraische Gleichung uber. Anfangswertprobleme lassensich nach folgendem Schema behandeln:
DGL + Anfangsbedingungen
algebraische Gleichung Bildfunktion
Losung der DGL
L L−1
Algebra
s-Bereich
Zeitbereich
?
6
-
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 19
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)
Transformation einer linearen Differenzialgleichung
f (t) d s F (s)f ′(t) d s sF (s)− f (0+)f ′′(t) d s s2F (s)− f (0+) · s − f ′(0+)· · · · · · · · ·f (n) d s sn · F (s)− f (0+) · sn−1 − f ′(0+) · sn−2 − . . .− f (n−1)(0+)
Differentiationim Zeitbereich
} d s
Multiplikation mit einer Potenz
der Variablen s+ Polynom in s, dessen KoeffizientenAnfangswerte von f , f ′, . . . sind
ergibt algebraische Gleichung fur F (s) .
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 20
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Beispiel DGL 2. Ordnung I
AWP: x + x = t ; x(0) = 1 , x(0) = −2
(1) L-Transformation des AW-Problems: X (s) = L{x(t)}:
L {x + x} = L {x}+ L {x} = {s2X (s)− s + 2}+ X (s)
L {t} = 1s2
AWP ⇒ (s2 + 1) · X (s)− s + 2 =
1
s2
(2) Losung im s-Bereich: Die algebraische Gleichung fur dieBildfunktion X (s) hat die Losung
X (s) = 1s2(s2 + 1)
+ ss2 + 1
− 2s2 + 1
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 21
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Beispiel DGL 2. Ordnung II
(3) L−1-Transformation: X (s) = 1s2(s2 + 1)
+ ss2 + 1
− 2s2 + 1
Partialbruchzerlegung des ersten Terms:
1
s2(s2 + 1)=
a
s+
b
s2+
cs + d
s2 + 1
Multiplikation mit dem Hauptnenner und Koeffizientenvergleich . . .
1s2(s2 + 1)
= 1s2− 1
s2 + 1
Damit geht die Bildfunktion X (s) uber in
X (s) = 1s2
+ ss2 + 1
− 3 · 1s2 + 1
ds ds ds ds Tabelle!
x(t) = t + cos t − 3 · sin t
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 22
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Beispiel System I{x + 2y = 3ty − 2x = 4
}x(0) = 0 ; y(0) = 1
(1) LT des AW-Problems (L {x(t)} = X (s) , L {y(t)} = Y (s))
s · X + 2Y = 3s2
s · Y − 1− 2X = 4s
⇔ s · X + 2Y = 3
s2·2 ·s
−2X + sY = 4s + 1 ·s ·(−2)
(2) Losung des Gleichungssystems fur X (s),Y (s)
2s · X + 4Y = 6s2
−2s · X + s2Y = 4 + s
Y · (4 + s2) = 6s2
+ 4 + s
s2 · X + 2sY = 3s
4 · X − 2sY = −8s − 2
X · (4 + s2) = −5s − 2
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 23
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Beispiel System II
⇒
X (s) = −5
s(s2 + 4)− 2
s2 + 4
Y (s) = 4s2 + 4
+ 6s2(s2 + 4)
+ ss2 + 4
(3) L−1-Transformation (Partialbruchzerlegung, Tabelle, . . .)
X (s) = −54 ·
1s + 5
4 ·s
s2 + 4− 2
s2+4
ds ds dsx(t) = − 5
4 · 1 + 54 · cos 2t − sin 2t
Y (s) = 32 ·
1s2
+ ss2 + 4
+ 54 ·
2s2 + 4
ds ds dsy(t) = 3
2 · t + cos 2t + 54 · sin 2t
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 24
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation
Anwendung auf Differenzialgleichungen
LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen
Losen von DGL mittels Laplacetransformation
Wegen des 1. Differentiationssatzes werden bei derLaplacetransformations-Methode die Anfangsbedingungenautomatisch berucksichtigt. Interessiert man sich fur die allgemeineLosung, dann kann man allgemeine Anfangswerte verwenden, diedann die Rolle der Integrationskonstanten ubernehmen.Die Laplace-Transformationsmethode ist besonders einfach beilinearen Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungs-systemen mit konstanten Koeffizienten.Als Bildfunktionen ergeben sich gebrochen rationaleFunktionen, die sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung undeiner Korrespondenztabelle transformieren lassen.Im Nenner der Bildfunktion tritt dabei jeweils das charakteristischePolynom auf; die Eigenwerte der klassischen Losungsmethode sindNennernullstellen. Resonanzfalle mussen nicht gesondert behandeltwerden!
Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 25
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