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FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer)
processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico
esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti
(moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria
moti convettivi terrestri
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
RBC RBC membrane Plasma film around RBC Plasma Plasma film adiacent to capillary wall Endotelium Tissue
A B C D E F G
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
controlled drug release system
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer)
processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico
meccanismi simili su scala molecolare (analogie fisiche intrinseche)
forze motrici: differenze di concentrazione Dci gradienti di concentrazione ci
effetti risultanti: flussi del componente i
processi risultanti da differenti valori di grandezze (velocità, temperatura, concentrazioni)
all’interno di una regione, tra due regioni o fasi contigue
esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti
(moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria
esempio: diffusione di massa all’interno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti) permeazione di principi attivi in applicazioni transdermali assorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli
<>
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
scelta dell’espressione delle forze motrici: Dci o ci : scelta dell’approccio analitico
Dci approccio ‘ingegneristico’ convenzionale (rate process approach)
coefficienti di trasferimento e correlazioni empiriche per il calcolo del trasferimento globale
leggi costitutive: equazioni differenziali simili (analogie formali sul piano matematico)
ci approccio ‘fondamentale’ molecolare (transport approach)
proprietà di trasporto e leggi costitutive
possibilità di calcolo delle condizioni locali (profili di velocità, temperatura, concentrazione)
possibilità di analisi di processi simultanei di trasporto
possibilità di impiego nell’analisi di nuove tecnologie
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
diffusione di H2 in un metallo:
profili di concentrazione di H2 nel metallo a tempi differenti
Dc costante nel tempo
flusso variabile nel tempo
k variabile nel tempo
flusso = k Dc
H2
co
cb
Dc = co-cb
metallo
c variabile nel tempo
flusso variabile nel tempo D costante nel tempo
flusso = -D c
H2 metallo transport approach
rate process approach
scelta dell’espressione delle forze motrici: Dci o ci : scelta dell’approccio analitico
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
trasporto convettivo - trasporto molecolare
dipendente indipendente
dal moto di insieme del fluido
trasporto convettivo : trasporto simultaneo di massa, quantità di moto, energia
trasporto efficace, legato alla velocità del fluido, importante lontano dai contorni del sistema
trasporto convettivo:
complessità dell’analisi legata alla complessità del moto
miscelazione di due fluidi dissoluzione di sali
raffreddamento di un corpo caldo
dipendente da:
natura del moto (forze motrici, applicate o inerenti), velocità (moti laminari, moti turbolenti) contorni semplici, regolari o irregolari proprietà (struttura) del fluido
differente efficacia dei processi di trasporto in assenza o in presenza di un moto impresso
(interno o esterno)
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
esempio di trasporto molecolare in assenza di meccanismi convettivi : trasporto di energia (calore) in solidi
fattore di proporzionalità: proprietà inerente del materiale di trasportare energia (calore)
su scala molecolare:
energia tempo
DT, S, 1
l
S
l
T1 (> T2) T2
q
conducibilità termica k
k = 380 W / m . K (rame) 0.04- 0.13 W / m . K (legno)
conducibilità termica k legata a meccanismi molecolari (moti traslazionale, vibrazionale, rotazionale)
alla struttura microscopica (cristallina/amorfa) in solidi
trasporto convettivo e trasporto molecolare possono coesistere in fluidi
e avere direzioni uguali o differenti
differenti velocità di trasporto
trasporto convettivo trasporto molecolare
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di materiali
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di materiali (W m-1 K-1)
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di elementi
FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
processo di trasporto molecolare tra punti / regioni diverse di uno stesso sistema / fase
oppure di sistemi / fasi diverse comunicanti tra loro attraverso una parete / interfaccia permeabile al processo
trasporto molecolare di energia (calore) prodotto da condizioni di non equilibrio termico
velocità di trasporto molecolare in direzione x da alta T a bassa T
velocità di trasporto dipendente da
differenza di temperatura DT e distanza Dx
DT 0
dalla velocità di trasporto dipendono:
le dimensioni dell’apparecchiatura destinata allo scambio termico (condizione di progetto)
la capacità di scambio termico di un’apparecchiatura esistente (condizione di verifica)
T grandezza misurabile e controllabile
FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
trasporto molecolare di materia prodotto da condizioni di non equilibrio chimico:
velocità di trasporto molecolare della specie i in direzione x
da alto potenziale chimico mi a basso potenziale mi
velocità di trasporto dipendente da differenza di potenziale Dmi e distanza Dx
Dmi 0
mi grandezza di riferimento necessaria
in presenza di più cause fisiche del trasporto di materia
(effetti di concentrazione, temperatura, pressione)
in termini volumetrici
densità di massa ri o densità (concentrazione) molare ci
in termini relativi
frazione di massa wi o frazione molare xi
V
m ii r
V
nc i
i
r
rw
i
ii
i
ii
c
cx
mi grandezza non misurabile (direttamente)
sostituzione con concentrazioni
ijij nnP ,T ,nnV,S ,n
G
n
Uμ
ii
i
FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
due direzioni distinte
della velocità (z) e del trasporto di quantità di moto (x)
trasporto molecolare di quantità di moto (mv, ) da regione di alta velocità v a regione di bassa v
vm
grandezza vettoriale (non scalare) vm
z
x v
alta v
bassa v
rappresentazione formale più complessa
(ricorso a grandezze tensoriali)
per tener conto delle due direzioni
FLUSSI
flusso FL di una proprietà estensiva L:
quantità di L che attraversa una sezione unitaria
nell’unità di tempo
trasporto molecolare flusso diffusivo trasporto convettivo flusso convettivo
A
L .
dt
dLL portata di L attraverso
la sezione A normale
alla direzione del trasporto
AF
LL
V
LL rconcentrazione volumetrica di L:
AvV portata volumetrica:
vA
VF LLL rr
flusso convettivo di L
attraverso la sezione A
vF LL rflusso convettivo di L in un punto
flusso FL : grandezza vettoriale (FL o ) FL
CONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSI
energia cinetica
concentrazione
volumetrica
2
2
2
12
1
vV
mvr
flusso convettivo
in direzione x
xvv r 2
2
1
entalpia
)(ˆˆ
0TTcHV
Hmp rr xp vTTc r )( 0
massa (specie A)
AA c,r xAxA vcv ,r
xx v
V
m vr
quantità di moto (momento)
xx vv r )(
y
yv
V
m vr xy vv r )(
zz v
V
m vr xz vv r )(
flusso diffusivi equazioni costitutive
del trasporto molecolare
EQUAZIONI COSTITUTIVE
relazione valida per ogni Dx
Ax
Dx
T1 T2
flusso in direzione opposta al gradiente di temperatura
relazioni matematiche tra flussi diffusivi e forze motrici su scala molecolare (puntuale)
trasporto molecolare di energia (calore) osservazioni di Fourier
x
TAkQ x
D
D
x
Qx
Tkq
D
D
flusso
di calore
Dx 0
dx
dTkq
flusso orientato
da alta T (T1) a bassa T (T2) 0
dx
dT
Tkqd x
d Tkq x
legge di Fourier (estensibile in termini vettoriali)
conducibilità termica k: proprietà di trasporto del materiale
EQUAZIONI COSTITUTIVE
serbatoio
ad alta concentrazione di A serbatoio
a bassa concentrazione di A
diffusione
x
xDcJ A
A mxAD
D flusso diffusivo di A
Dx 0
x
Ax
dx
dxDcJ A
A mxA
in direzione opposta al gradiente di concentrazione
flusso orientato da alta xA a bassa xA
0dx
dx A
legge di Fick (estendibile in termini vettoriali)
diffusività o coefficiente di diffusione DAm: proprietà di trasporto del materiale
proprietà di miscela (A m)
d x
d cD
d x
d xDcJ A
A mA
A mxA a c costante
AAA cxcJ A mA m DD
trasporto molecolare di materia osservazioni di Fick e di Graham
EQUAZIONI COSTITUTIVE
trasporto molecolare di quantità di moto osservazioni di Newton
in direzione opposta al gradiente di velocità
z
x v
alta v
bassa v
trasporto di quantità di moto secondo z in direzione x
da strati ad alta vz a bassa vz
0v
dx
d z
legge di Newton, valida per fluidi semplici (Newtoniani) (indipendente dalle condizioni di moto e dal tempo)
viscosità m: proprietà di trasporto del materiale
dx
d zx z
vm
xz flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)
primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto
secondo indice: direzione del moto
legge di Newton generalizzabile in forma tensoriale
vm
ANALOGIE
equazioni costitutive (Fourier, Newton, Fick)
riscrittura delle leggi di Newton e di Fourier
n viscosità cinematica, a diffusività termica
)v(ρ)v(ρρ
μvμτ zzx z
d x
dv
d x
d
d x
d z
flusso
gradiente proprietà di trasporto =
Ohm forza motrice
resistenza flusso =
d x
d cJ A
A mxA D
: concentrazioni volumetriche zvr Tc p
ˆr Ac
: diffusività A mD,,v a
A mD diffusività (di materia)
significato analogo, stesse dimensioni ( L2/ t ) confrontabili numericamente
numeri caratteristici: Prandtl, Schmidt
)(c(ρα)c(ρcρ
kkq 0
pp
p
x TTd x
dT
d x
d
d x
d T
Pr n / a
Sc n / DAm
ESTENSIONI E GENERALIZZAZIONI
equazioni costitutive in coordinate sferiche e cilindriche
dr
d zrz
vm
dr
dTkq r
dr
dcDJ A
A mA r
componente radiale in coordinate sferiche e cilindriche
z
x
y
z
r
r
F
equazioni costitutive in forma generalizzata (vettoriale e tensoriale)
AA mAA m cDxDcJ Tkq
vettori (tre componenti) Jqtensore (nove componenti)
operatore
k
zj
yi
x
: vettore (tre componenti)
operatore
gradiente di grandezza scalare vettore
gradiente di grandezza vettoriale tensore
divergenza di grandezza vettoriale
scalare
TAc
v
(in coordinate cartesiane)
vm
)vv(μ T
v
OPERATORE GRADIENTE
z
k
zj
yi
x
coordinate cartesiane
k
zj
ri
r
1
coordinate cilindriche
k
rj
ri
r sin
11
coordinate sferiche
z
x
y
z
r
r
F
STATI STAZIONARI E NON
stati stazionari
(grandezze indipendenti dal tempo)
v
z
x
xv z
xv z lineare in stato stazionario
F
per costante nel tempo F
A
Fxz costante nel tempo e nello strato piano
(flusso di quantità di moto costante)
evoluzione della distribuzione di velocità nel tempo
verso il profilo lineare (gradiente di velocità costante)
t1 t2> t1 t
evoluzione analoghe in geometrie analoghe
per la distribuzione delle temperature e delle concentrazioni
F
LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI
applicazione dei principi di conservazione di energia, di materia e di quantità di moto
bilanci di energia, di materia e di quantità di moto per volumi di controllo finiti
bilanci di energia, di materia e di quantità di moto in un punto (equazioni differenziali)
[ input ]-[ output ]+[ sources ]-[ sinks ]=[ accumulation ]
equazione di conservazione
da applicare ad un volume di controllo
scelta agevole del volume di controllo in condizioni di trasporto monodimensionale
flusso z
x
y
Lx Ly
Dz r
r+Dr flusso
Dz
flusso D
Lz
flusso
Dr
LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI
[ input ] e [ output ] risultano dal prodotto dei flussi molecolari e convettivi
che attraversano le superfici del volume di controllo per le corrispondenti aree
[ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente, ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici
seguendo la direzione positiva del sistema di coordinate indipendentemente dalla direzione del flusso reale
[ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processi di generazione e di consumo
uniformi all’interno del volume di controllo
(termini di generazione positiva e negativa) reazione esotermica ed endotermica
VHR A DD
HD
AR velocità di reazione della specie A (moli di A reagenti per unità di volume e di tempo)
calore di reazione riferito alla specie A energia per moli di A reagenti
(endotermico: negativo, esotermico: positivo)
[ accumulation ] = 0 stato stazionario
VR A D
[ input ]-[ output ]+[ sources ]-[ sinks ]=[ accumulation ]
equazione di conservazione
da applicare ad un volume di controllo
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI
elementi necessari per la risoluzione dei problemi di trasporto di energia, di materia e di quantità di moto
e procedura di risoluzione
equazioni di bilancio (equazioni differenziali)
(principi di conservazione)
equazioni costitutive (equazioni differenziali)
(comportamento dei materiali e valori delle proprietà di trasporto)
condizioni al contorno e condizioni iniziali (particolarizzazione del problema)
(dalla soluzione generale a quella particolare)
combinazione dell’equazione di bilancio e dell’equazione costitutiva:
equazione per la risoluzione del problema (equazione differenziale)
soluzione generale attraverso integrazione/i
CONDIZIONI AL CONTORNO
esemplificazione per un problema di trasporto di energia in stato stazionario
problema del riscaldamento della guaina
calcolo della distribuzione di T
filo elettrico con guaina esterna
LR
flusso
2R2 2R1
r
z
TF
Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni): temperatura del filo costante in direzione z
temperatura alla parete interna della guaina (R1) eguale alla temperatura del filo TH
temperatura alla parete esterna (R2) eguale alla temperatura del fluido TF
0)( dr
dTr
dr
d
dal bilancio di energia in direzione radiale all’interno della guaina
CONDIZIONI AL CONTORNO
0)(22 D D
Lrrqr Lqrrrrr
r
z
r+Dr r
L
[ input ] - [ output ] = 0
0)(
D
DD
r
qrrrqrrrrr
0rrqdr
d
dr
dTkq r
0)( dr
dTkr
dr
d
0)( dr
dTr
dr
dk costante
due integrazioni : due costanti (C1, C2) da determinare
per ricavare la soluzione specifica
due condizioni al contorno del sistema (guaina)
1Rrp e rTT H
2Rrp e rTT F
21 ln CrCT
1
1
2
ln
lnR
r
R
R
TTTT FH
H
21 RrRp e r
CONDIZIONI AL CONTORNO
condizioni al contorno: due valori di temperatura
altre condizioni al contorno
nei problemi di trasporto di energia (calore)
riguardanti il flusso:
b) caso di perfetto isolamento
a) flusso costante al contorno
22
Rrp e rc o s t a n t eqRr
22
Rrp e r0qRr
profilo di temperatura
nella guaina
r
R
R
TTk
dr
dTkq FH 1
ln1
2
cost
ln
22Q
1
2
R
R
TTkLqrL FH
TF
TH
CONDIZIONI AL CONTORNO
condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasporto
di energia, di materia, di quantità di moto
quantità di moto
energia
materia
costdx
dTkq
i
i
sulle variabili sui flussi
0iqperfetto isolamento
(adiabaticità)
costdx
dcDJ
i
A
iA
0iAJ
impermeabilità
da velocità di reazione alla superficie
(catalisi eterogenea)
costdx
d
i
i j mjv
ii xi jxi j
all’interfaccia tra due fluidi
0 i j
all’interfaccia gas/liquido
c o s tT
superfici isoterme
c o s tc A
equilibrio
all’interfaccia
c o s tj vvelocità dei contorni mobili
(assenza di slittamento)
0j vcontorni fissi
(assenza di slittamento)
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