ベクトル解析(3 5. 6. 勾配 発散...x, y, z 単位ベクトル u u x i u y j u z k q x tu...
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1
ベクトル解析(3)
5. 点の運動とベクトル
6. 勾配
7. 発散
8. 回転
2
5. 点の運動とベクトル
r
v
)(tP
)( ttQ
r
x
y
平均速度:t
r
kjir zyx
P
:
平均加速度:t
v
trr
v )( : lim0
tvdt
d
tt
速度
kjikjiv zyx vvvdt
dz
dt
dy
dt
dx
2
2
0lim
dt
d
dt
d
tt
rvva
加速度
kjikjia zyxzyx aaa
dt
dv
dt
dv
dt
dv
2
2
2
2
2
2
, ,
dt
zd
dt
dva
dt
yd
dt
dva
dt
xd
dt
dva
zz
y
yx
x
5.1 速度と加速度
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx
3
5.2 加速度の接線成分と法線成分
)(tP)( ttQ
C
v
v
21 vvv
dt
dv
tta
ttt
vvvlimlim
0
1
0
22
0
2
0
/limlim
v
t
tv
ta
ttn
v
曲率半径:
/PC/PQ
PCPQ
)0( 0
tv
t
vvvvv 11 //
接線方向成分
ttt ttt
2
0
1
00limlimlim
vvva
法線方向成分
2
v
adt
dva
aa
nt
nt
nta
2 vv v
v 2v
1v
v
/ 2
2 tvv v
4
例題2
kjir bttatat sincos)( sincos22
jit
t ttba
a
dt
d
kjitr btatatvtdt
d cossin)()(
rv
22||||)( batv vr
nta nt aa
曲線半径曲率
3章 例題2
: /1:
sincos
sincos
//
2222
2222
22
t
t
jit
t
tntn
ba
a
ba
tata
ttba
aa
ba
abav
va
dt
dva
n
t
22
2222
)(
0
t
5
運動量:
5.3 面積速度
)(tr
rr d
O
)(tv
)(tA)(tA
P
Q
vr mvm角運動量の変化率
arv
rvvv
rvr
vr mdt
dmm
dt
dmm
dt
dm
dt
d )(
の間に動径OPが通過する面積 t
2
2
1sin
2
1rrrrS
面積速度
v
r2
1
2
1
2
1 22
0lim
r
dt
dr
t
S
dt
dS
t
5
角運動量:
vA r2
1)(
dt
dSt
t vr)2
1
2
1(
2
1rrrrr
6
):( 定数中心力 kkdt
dm r
vF
vrS
A 2
1
dt
d
)(2
1
dt
d
dt
d
dt
d vrv
rA
0)]([2
1)(
2
1 rrvv
vrvv
m
k
dt
d
∴面速度は一定
面積速度一定法則
質点が,つねに定点Oに向かっている力(中心力という)の作用を受けて運動しているときには、その点Oのまわりの面積速度は一定である。
7
例題2
kjir bttatat sincos)(
kjit btatatvdt
d cossin)(
rv
])cossin()cos(sin[2
)cossin()sincos(2
1
2
1
kji
kjikji
atttbtttba
btatabttata
vrA
問題
も求めよ。また、面積速度
を求めよ。、加速度速度接線方向と法線方向の
き、がと与えられているとでの位置ベクトル時刻
)(
)()(
)(
tA
tatv
tt r
kjir
kjir
tttt
ttet t
1283)( )2
sin)( )1
2
3
2
2
8
1.6 点の周りのベクトルのモーメント
のモーメントの周りのベクトル点
を始点とするベクトル点
の位置ベクトルに対する点定点
F
FrM
F
r
o
P
Po
:
:
FFFrM pOP )sin()180sin(
rF
p
FrM
o
P
rωωωv
rωv
sin
OPNP
NP
vP
lo
を半径とする円運動
の速度ベクトル1点
剛体内のの周りに回転しているを通る直線点
N
9
例題
kjikjikji 322 ,2 ,22 BCABOA のモーメント点のまわりのBC o )2
のモーメント点のまわりのBC A )1
ABr
BCAB rM
A
B
C
ji
kji
rM
322
211
BCABBCAB
oBr
BCoB rM
A
B
C
o
10
例題
めよにあるときの速度を求質点が点
転している。ラジアンの角速度で回毎秒
を通る軸の周りに質点が2点
)4,6,3(
2
)2,3,1(),2,1,0(
P
Ao
)42(21
2
42
kjiω
kji
oA
oA
oA
kjir 253 oP
)1424(21
2
253
42121
2kji
kji
rωv
A
Today’s Point
11
Chap. 6
Chap. 7
勾配
kjizyx
grad
z
A
y
A
x
AA
zA
yA
xdiv zyx
zyx
AA
kjiA zyx AAA 発散
),,( zyxスカラー場
kjiA zyx AAA
zyx AAA
zyxrot
kji
AA
Chap. 8
法線:
回転
ベクトル場
ベクトル場
12
6. 勾配 6.1 スカラー場とベクトル場
zyx ,,
等位曲面 czyx ,,
等位曲線 cyx ,
スカラー場
x
y
z
等位曲面
yx, cyx ,
等位曲線
を含む等位曲面)1,1,1( 1
23,,
22
222
Pyx
zyxzyx
例題
2 111
1231,1,1
21
23,,
22
222
yx
zyxzyx
2
)1(223
22
22222
zx
yxzyx
ベクトル場 kjirψ hgft )(
流線
13
6.2 勾配
kjizyx
grad
zyxzyx
kjikji
grad
例題1 yzyx sin2 スカラー場
kji
zyx
点(0,1,π )
スカラー場 空間内での変化率
ベクトル微分演算子(Hamilton演算子) ナブラ(nabla)
ixy2
kj
jyzzx cos2 kyzy cos
14
6.3 等位面
zyxP ,,
単位ベクトル
kjiu zyx uuu
zyx tuztuytuxQ ,,
t
zyxtuztuytux
du
d zyx
t
,,,,lim
0
点Pから点Qへの移動にともなう関数 の変化率
方向微分係数
zu
yu
xu
du
dzyx
u
du
d
の作る角とu :
)1( u
cosdu
d
rddzz
dyy
dxx
d
)( kjir dzdydxd
スカラー場 t
方向微分係数
関数φの全微分
15
等位面
czyx ,,
スカラー場 の等位面
を通る等位面に垂直点は z)y,P(x,,
czyxzyxP ,,,, を通る等位面点
点Pに接近して点Qをとる 0 ccPQd
kjir zyxPQ PからQへの微小変位
0 r ・d r に対する の増分
のすべての接線に垂直における等位面は点 c P
n
法線ベクトル
16
例題1
kji zyx 222
原点Oを中心とする球面 2222 czyx 等位面
222 zyx スカラー場 2222 czyx 等位面
0cはこの等位面に垂直である
kji zyxOP 点Pを通る半径
OP2
等位面であるこの球面に垂直
17
例題2
du
dP
P
zxyx
の方向への方向微係数での単位ベクトル
の値での
勾配
スカラー場
kjiu
849
11,1,3)3
1,1,3)2
)1
log 232
)1
1,1,3 )2 zyx
pdu
d
u )3
jy
x2
i223log2 zxyx kzx32
kji zxy
xzxyx 3
222 23log2 kji 54927
kjikji 54927849
1 ・
54198)27(49
1
6118)3(4 2
法線における接平面と単位上の点放物面 )5 ,2 ,1( 22 Pyxz
kjir )(),( 22 vuvuvu
)2,1(
)5,2,1(
例題3
1 42 22
)5,2,1(at
zy
yx
x
Pgrad
)5(4
)2(
2
)1(
z
yx
法線の方程式
0542
0)5()2)(4()1(2
)1,4,2()5,2,1(
zyx
zyx
P の平面方程式を通り法線方向が
22 yxz
例 3222 zyx )1 ,1 ,1 (P球面 上の点 における単位法線ベクトルと接平面
3),,( 222 zyxzyx
kjihzyx
grad
法線ベクトルは
単位法線ベクトル
では
)(3
1
222222)1,1,1(
kjih
hn
kjikjih
zyxP
kjig )1()1()1(
)1,1,1(),,(
zyx
Pzyx を結ぶベクトルはと平面上の点
0)1( 1)-y( )1(
)1,1,1( 0
zzy
xx
P
での接平面は従っては直交。と ghgh
3
0)1(2 1)y(2 )1(2
zyx
zx
20
例題4
yzxyyx 222 )1
1,1,1P 3
x
4
y
2
z
kjikji
n 24329
1
243
243
222
におけるP(1,1,1) 上の1点3 222 yzxyyx曲面
微分係数xyz 接線方向に 3)
接平面の方程式 2)
法線ベクトル 1)
の方向に対する
22 yxyx
22 2 zxyx
y
yz
z2
21
の方向微分係数xyz 法線方向に対する 3)
kji xyzxyz
1,1,1P kji
kjikjin 24329
1
29
9243
29
1
0121413 zyx 9243 zyx
0111243 kjikji zyx
2)接平面の方程式
0 pr -kjir zyx
kjip p
r
pr
22
問題
を求めよ勾配 .1
2323)1 zxyyx
yzxexy cos)2
du
d
Pzyxy
方向への微係数単位ベクトル
におけるについて、点スカラー場
kjiu
223
1
3,4,2 .2 222
とする時|| , .3 rkjir rzyx
rr
r)1
3
1)2
rr
r 2
log)3r
rr
の方程式を求めよにおける接平面と法線曲面上の点 oP .4
)2 ,1 ,1( 5
5)1 022
Pyx
z
)1 ,1 ,1( )2 0
4 22
Pez yx
23
7. 発散
kjiA zyx AAA ベクトル場
ベクトル場Aの発散(divergence)
との内積微分演算子
kjikjiAA zyx AAAzyx
div
・
kjiAxyzeyzyx 2232 sin
例題1
xyzez
yzy
yxx
div 2232 sin
AA
32xy
z
A
y
A
x
AA
zA
yA
x
zyxzyx
22 cos yzzxyzxye22
7.1 発散
24
スカラー場2
2
2
2
2
2
)(zyx
graddiv
kjizyx
grad
zzyyxx
graddiv
2
2
2
2
2
2
zyx
ラプラシアン(Laplacian)
2 graddiv
zyyx 2cos22
スカラー場例題2
2
2
2
2
2
22
zyx
zyzy 2cos2cos482
zy 2cos510
25
8. 回転
kjiA zyx AAA ベクトル場
との外積微分演算子
zyx AAA
zyxrot
kji
AA
kjiA
y
A
x
A
z
A
x
A
z
A
y
Arot xyxzyz
ベクトル場Aの回転 (rotation)
kjiA zyexy yz 3log2 ベクトル場例題
zyexy
zyxyz 3log2
kji
A ki xyyezy
yz 23
1
26
A、ベクトル場スカラー場
AAA
kjiA
y
A
x
A
z
A
x
A
z
A
y
A xyxzyz
kji
y
A
x
A
z
A
x
A
z
A
y
A xyxzyz
kji xyxzyz A
yA
xA
zA
xA
zA
y
AAA
27
A、ベクトル場スカラー場
0 0 A
とおいてB
yzzyBx
0
22
yzzy
.0 ,0 zy BB 0B 0
y
A
x
A
zz
A
x
A
yz
A
y
A
x
xyxzyzA
0222222
yz
A
xz
A
zy
A
xy
A
zx
A
yx
A xyxzyz
0 A
28
29
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