figuras planas

Figuras planas

Polígonos.

Línea poligonal es aquélla formada por varios segmentos consecutivos.

Una línea poligonal puede ser abierta o cerrada.

Definición de línea poligonal.

Línea poligonal cerradaLínea poligonal abierta

Polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Definición de polígono.

Polígono

Lado: Cada uno de los segmentos que encierran el polígono.Vértice: Cada uno de los puntos en los que se unen dos

lados.Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos.Ángulo interior: Ángulo formado por dos lados

consecutivos.Ángulo exterior: Ángulo formado por un lado y la

prolongación del consecutivo.

Elementos.

LadoVértice

Diagonal

Ángulo interior

Ángulo exterior

Número de diagonales.Nº de vértices

Nº de diagonales desde cada vértice

Nº de diagonales totales

3 0 0

4 1

5 2

6 3

1 42

2

2 55

2

3 69

2

Nº de vérticesNº de diagonales

desde cada vérticeNº de diagonales

totales

n n3 3

2

n n

En general:

Suma de ángulos interiores de un triángulo:

Suma de ángulos.

+ + = 180

Suma de ángulos interiores de un polígono de n lados:

Nº de vértices

Nº de diagonales desde cada

vértice

Nº de triángulos

Suma de ángulos interiores

4 1 2 1802=360

5 2 3 1803=540

6 3 4 1804=720

n n-3 n-2 180(n-2)

Suma de ángulos exteriores:

+ + + + =360

Clasificaciones.Según la medida de sus ángulos interiores:

o Cóncavo: Algún ángulo interior mide más de 180.o Convexo: Todos los ángulos interiores miden menos de

180.

Cóncavo Convexo

Según el número de lados:o Triángulo: Polígono de tres lados.o Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.o Pentágono: Polígono de cinco lados.o Hexágono: Polígono de seis lados.o Heptágono: Polígono de siete lados.o Octógono: Polígono de ocho lados.o Eneágono: Polígono de nueve lados.o Decágono: Polígono de diez lados…

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

Heptágono Octógono Eneágono Decágono

Según su forma:o Equiláteros: Polígonos de lados iguales.o Equiángulos: Polígonos de ángulos iguales.o Regulares: Polígonos de lados y ángulos iguales.

Polígono equilátero

Polígono equiángulo

Polígono regular

Triángulos.

Definición.Triángulo es un polígono de tres lados.

A

C

B

a

b

c

Base: Es el lado sobre el que se considera que se apoya el triángulo.

Altura: Es la recta perpendicular a la base que pasa por el vértice opuesto a dicha base.

Elementos.

Base

Altura

Clasificación.Según sus lados:

o Equilátero: Todos sus lados son iguales.o Isósceles: Dos lados iguales y uno desigual.o Escaleno: Tres lados distintos.

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Según sus ángulos:o Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos.o Rectángulo: Tiene un ángulo recto (y dos agudos).o Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (y dos agudos).

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo

Igualdad de triángulos.Dos triángulos son iguales si sus lados y sus ángulos

correspondientes son iguales.

A

C

B

ab

c

A’

C´

B’

ab

c

A´´

C´´

B´´

a

b

c

' ' '' ''BC B C B C a

' ' '' ''AC A C A C b

' ' '' ''AB A B A B c

ˆ ˆ ˆ' ''A A A ˆ ˆ ˆ' ''B B B

ˆ ˆ ˆ' ''C C C

Los triángulos ABC, A’B’C’ y A’’B’’C’’ son iguales.

Criterios de igualdad de triángulos:1. Dos triángulos con los tres lados correspondientes iguales, son

dos triángulos iguales.2. Dos triángulos con dos lados correspondientes iguales y el ángulo

comprendido entre ellos también igual, son dos triángulos iguales.3. Dos triángulos con un lado correspondiente igual y los dos

ángulos contiguos a él también iguales, son dos triángulos iguales.

b a

c

b a

c

a

b

a

b

a

a

Criterio 1. Criterio 3.Criterio 2.

Puntos y rectas notables.Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al

segmento que pasa por su punto medio.Circuncentro es el punto en el que se cortan las tres

mediatrices de los lados de un triángulo, pues es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

ma = mediatriz sobre el lado a

mb = mediatriz sobre el lado b

mc = mediatriz sobre el lado c

Co = circuncentro

r = radio de la circunferencia circunscritaA

Co

C

B

mamb

mc

r

a

b

c

c/2 c/2

Bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.

Incentro es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo, pues es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

bA = bisectriz del ángulo A

bB = bisectriz del ángulo B

bC = bisectriz del ángulo C

Io = incentro

r = radio de la circunferencia inscrita

A

C

B

ab

c

bA

bB

bC

Io

rÂ/2Â/2

Mediana es la línea recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto en el que se cortan las tres medianas de un triángulo.

mea = mediana sobre el lado a

meb = mediana sobre el lado b

mec = mediana sobre el lado c

G = baricentro

A

C

B

ab

c/2

mea

meb

mec

G

c

c/2

Nota: La distancia del baricentro a un vértice es doble que la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto.

Altura es la línea recta perpendicular a un lado (o a su prolongación) trazada desde el vértice opuesto.

Ortocentro es el punto en el que se cortan las tres alturas de un triángulo.

ha = altura sobre el lado a

hb = altura sobre el lado b

hc = altura sobre el lado c

Oo = ortocentro

A

C

B

ab

c

Ooha

hb

hc

Cuadriláteros.

Definición.Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

A

B

C

D

Clasificación. Paralelogramos: Cuadriláteros cuyos lados son paralelos dos a dos.

Rectángulo Cuadrado Romboide Rombo

Trapecio Trapecio isósceles Trapecio rectángulo

Trapezoide

Trapecios: Cuadriláteros con dos lados paralelos y los otros dos no paralelos.

Trapezoides: Cuadriláteros sin lados paralelos.

Polígonos regulares.

Polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos miden lo mismo.

Definición.

l l

l

l

l

l

l

Elementos. Centro: Punto del que equidistan todos los vértices del polígono. Radio: Segmento que une el centro con un vértice. Apotema: Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Ángulo central: Ángulo determinado por dos radios.

2l

2l

RadioApotema

l

Ángulo central

Figuras circulares.

Círculo es la región del plano encerrada por una circunferencia.

Círculo.

r

Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios.

Sector circular.

r

Segmento circular es la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y su cuerda correspondiente.

Segmento circular.

l

r

Corona circular es la porción de plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Corona circular.

r

R

Trapecio circular es la porción de corona circular comprendida entre dos radios

Trapecio circular.

r

R

Simetrías en figuras planas.

Un eje de simetría es una recta que divide en dos partes iguales una figura.

Eje de simetría.

Eje de simetría

Cuando una figura tiene n ejes de simetría, dos ejes contiguos forman un ángulo de 180/n.

Ángulo formado por dos ejes de simetría contiguos.

e1

e2

e3 e4

e5

18036

5

I.E.S. Camino de Santiago