fungsi eksponen dan logaritma
Post on 20-Jul-2016
517 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATERI POKOK VII : PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
Standar Kompetensi
5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eskponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
5.1 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
5.1.1 Persamaan eksponen
A. Sifat-sifat yang berlaku pada operasi bilangan berpangkat (eksponen)
1. ap x aq = ap + q 5. (ap) q = apq .
2. ap : aq = ap - q 6. a-p =
3. (ab)n = anbn 7. a0 = 1, a 0
4. = 8. =
Uji Kompetensi 1
1. Sederhanakan a. a2 x a3 = …… b b5 : b2 = ….. c. (a2 )0 = ….. d. (a2 b)3 = ….
2. Nyatakan dalam pangkat positif dan tentukan juga nilainya
a. 2-2 = …. b. ( )-3 = … c. = …. d. ( )-3 = …..
3. Hitunglah
a. 36 = …… c. ( ) = …..
b. = …… d. 49 = …..
4. Nyatakan dalam bentuk pangkat :
a. = …… b. = ….. c. = …… d. = …..
B. Persamaan eksponen bentuk af(x) = ap , a > 0
Untuk menyelesaikan persamaan ini digunakan sifat :
Untuk a > 0 , a 1 , au = av jika dan hanya jika u = v
Contoh : 1.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 9x + 1 = 27
Jawab :
9x + 1 = 27
(32)x+1 = 33
32(x + 1) = 33
2(x + 1) = 3
2x + 2 = 3
2x = 1
x = ½
Jadi HP { ½ }
Contoh : 2.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x - 2 =
Jawab :
4x - 2 =
4 x -2 = 4-2
x – 2 = -2
x = 0
Jadi HP {0}
C. Persamaan eksponen bentuk af(x) = ag(x) , a > 0
Untuk menyelesaikan persamaan ini digunakan sifat :
Untuk a > 0 , a 1 , au = av jika dan hanya jika u = v
Contoh : 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan :
82x + 1 = 128x – 5
Jawab :
82x + 1 = 128x – 5
(23)2x + 1 = (27)x – 5
26x + 3 = 27x - 35
6x + 3 = 7x - 35
- x = -38
x = 38
Jadi HP {38}
Uji Kompetensi 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
1. 5x + 2 = 125 5. 8x – 1 = 32(5 + 2x)
2. 32x + 3 = 6. 35x - 1 = 272x + 3
3. 42x – 1 = 1 7. 52 – x = 252x + 1
4. 3x - 3x = 8. 92x – 3 = ( ) 2 – 2x
Uji Kompetensi 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
1. 32x + 4 = 5.
2. 4x – 6 = 6. 42x – 6 = 2. 8x + 1
3. 125(3 – x) = 5 7. 2x : 8x + 2 = 64 . 43x
4. 3x - 4x + 3 = 1 8. 35x : 27x + 7 = 34x + 10 : 92x + 4
D. Persamaan eksponen yang dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat
Contoh : 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan :
2x + 1 + 22x + 3 = 36
Jawab :
2x + 1 + 22x + 3 = 36
2x . 2 + 22x . 23 = 36
8. (2x)2 + 2. 2x – 36 = 0
Misal 2x = p, maka persamaan di atas menjadi :
8p2 + 2p – 36 = 0
4p2 + p – 18 = 0
(4p + 9 )(p – 2) = 0
p = - 9/ 4 atau p = 2
Untuk p = - 9/ 4, tidak ada penyelesaian . Mengapa ?
Untuk p = 2 diperoleh 2x = 2 x = 1
Jadi HP {1 }
Uji Kompetensi 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
1. 22x + 1 + 3. 2x – 5 = 02. 32x – 3x – 6 = 03. 52x + 51 + x – 6 = 04. 4x + 1 – 5. 2x + 1 + 6 = 05. 4. 3x + 1 – 32x = 276. 5x + 51 – x = 67. 3x + 33 – x – 28 = 08. 72 – x – 492 – x + 42 = 0
5.2.1. Menggambar Grafik Fungsi Eksponen
A. Pengertian fungsi eksponen
Fungsi ekponen adalah fungsi f : R R yang ditentukan oleh y = f(x) = ax, dengan a > 0 dan a 1
Contoh : 1
1. f(x) = 2x 3. f(x) = ( )x
2. f(x) = 3x 4. f(x) = ( )x
B. Grafik Fungsi eksponen f : x ax
1) Grafik fungsi eksponen f : x ax , dengan a > 1, x R
Contoh : 1
Gambarlah grafik dari f(x) = 2x dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
Kompetensi Dasar
5.2 Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
X … -3 -2 -1 0 1 2 3…
Y= f(x) … … … … … …… … ….….
Gambarlah grafiknya untuk latihan!
Contoh : 2
Gambarlah grafik dari f(x) = 3x dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X … -3 -2 -1 0 1 2 3…
Y= f(x) … … … … … …… … ….….
Gambarlah grafiknya sebagai latihan!
2) Grafik fungsi ekponen f : x ax , dengan 0 < a < 1, x R
Contoh : 1
Gambarlah grafik dari f(x) = ( )x dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X … -3 -2 -1 0 1 2 3…
Y= f(x) … … … … … …… … ….….
Gambarlah grafiknya sebagai latihan!
Contoh : 2
Gambarlah grafik dari f(x) = ( )x dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X … -3 -2 -1 0 1 2 3…
Y= f(x) … … … … … …… … ….….
Gambarlah grafiknya sebagai latihan!
C. Sifat-sifat grafik fungsi eksponenPerhatikan sketsa grafik fungsi eksponen berikut :
Y = ax , a > 1 Y= ax, 0 < a < 1
X0
Y
1
Kalau kita perhatikan gambar di atas, kita dapatkan sifat-sifat grafik fungsi eksponen sebagai berikut :
1. Domainnya (daerah asalnya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata (real), sedangkan daerah hasilnya (rangenya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata yang positif.
2. Fungsi f(x) = ax merupakan fungsi naik untuk a > 1, dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1
3. Grafik fungsinya selalu memotong sumbu Y di titik (0,1)4. Kedua grafik di atas simetris terhadap sumbu Y5. Grafik fungsinya di atas sumbu X atau dikatakan grafik fungsinya tidak pernah
memotong Sumbu X
Uji Kompetensi 2
1. Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut ini, untuk x R
a. f(x) = 5x dan f(x) = ( )x
b. f(x) = 4x dan f(x) = (0,25)x
2. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x-1 untuk x R
3. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3x+1 dan f(x) = ( )x+1 untuk x R
a. Apakah kedua grafik melalui titik (0,1) ?b. Apakah kedua grafik simetri terhadap sumbu Y ?
Kompetensi Dasar
5.3 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana
5.3.1 Pertidaksamaan EksponenPerhatikan kembali grafik fungsi f(x) = ax , x R
1) Bentuk f(x) = ax dengan a > 1, x R
Fungsi eksponen f(x) = ax dengan a > 1 disebut sebagai fungsi naik, sebab jika x1 < x2 maka ax1 < ax2. ( Perhatikan grafik di atas)
Pernyataan tersebut kalau dinyatakan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :
Bila a > 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)
Atau
Bila a > 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)
2) Bentuk f(x) = ax dengan 0 < a < 1, x R
Y = ax
Y
X0 X1 X2
1 (x1, ax1)
(x2, ax2)
Y = ax
Y
X0X1 X2
1
(x1, ax1)
(x2, ax2)
Fungsi eksponen f(x) = ax dengan 0 < a < 1 disebut sebagai fungsi turun, sebab jika x1 < x2 maka ax1 > ax2. ( Perhatikan grafik di atas)
Pernyataan tersebut kalau dinyatakan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :
Bila 0 < a < 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)
Atau
Bila 0 < a < 1 dan berlaku af(x) ag(x) , maka f(x) g(x)
Contoh : 1
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 4x – 3 < 9
Penyelesaian :
3x + 4x – 3 < 9
3x + 4x – 3 < 32
x2 + 4x – 3 < 2
x2 + 4x – 5 < 0 -5 1
( x + 5)(x – 1) < 0
-5 < x < 1 (lihat grafik disamping )
Contoh : 2
Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :
( )x + 1 < ( )x + 2
Penyelesaian :
( )x + 1 < ( )x + 2
( )x + 1 < ( )x + 2
( )x + 1 <
x + 1 > 4x + 8
-7 > 3x
3x < -7
x < -
Uji Kompetensi 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut.
1. 32x > 36 12. 4 > 16x + 1
2. 24x < 28 13. 5 > 25x – ½
3. 125x – 1 < 52x 14. 2 < 8x - 2
4. 92x – 1 32x 15. ( )2x . 4 8
5. 43x – 2 8 16. ( )2x – 1 >
6. 32x < 17. ( )3x < ( )9
7. 5x + 2 1 18. ( )3x > ( )6
8. 3x + 1 < 92x – 1 19. ( )x +3 > 9
9. > 125x + 2 20. ( ) > ( )x
10. > 21. ( ) > ( )x + 2
11. 2 8 22. ( ) > ( )x + 3
MATERI POKOK VIII : PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
5.1.1 Persamaan logaritma
A. Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma1. a log an = n 6.
2. a log xy = a log x + a log y 7.
3. a log = a log x - a log y 8.
4. a log xn = n alogx 9.
5. a log x =
Uji Kompetensi 1
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma
a. a n = b b. 23 = 8 c. 32 = 9
2. Hitunglah :
a. 3 log 9 b. 3 log c. ½ log 4
Kompetensi Dasar
5.1 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
3. Hitunglah nilai x :
a. log 100 = x b. 2 log x = 2 c. x log 32 = 5
4. Sederhanakan :
a. log 2 + log 5 c. 2 log 7 – 2 log 28b. log 2 + 2 log 3 – log 18 d. 5 log 9 . 9 log 125
B. Persamaan logaritma bentuk , a > 0, a 1, dan b R +Contoh : 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
log (x – 2) + log (x – 1) = log 6
Jawab :
a. log (x – 2) + log (x – 1) = log 6
log (x – 2)(x – 1) = log 6 (x – 2)(x – 1) = 6 x2 – 3x + 2 = 6
x2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 x - 4 = 0 atau x + 1 = 0
x = 4 atau x = -1
b. Syarat :
x – 2 > 0 x > 2
x – 1 > 0 x > 1
Dari a dam b diperoleh x = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 4 }
Contoh : 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
2 log (x + 2) - 2 log (x – 1) = 2
Jawab :
a. 2log (x + 2) - 2log (x – 1) = 2
2log = 2 log 22 = 4 x + 2 = 4(x – 1)
x + 2 = 4x - 4 -3x = -6 x = 2
b. Syarat :
x + 2 > 0 x > - 2
x – 1 > 0 x > 1
Dari a dan b diperoleh x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2}
Uji Kompetensi 3
Tentukan himpunan penyelesian persamaan berikut :
1. 6. log(2x-1) – log(x-3) = log 72. log (x + 1) – log (x – 1) = log 3 7. 3. 8. 4. log x + log (x + 2) – 2 = log 0,15 9. log log x = log(3 – log x) + 1 5. 10. 4x + 1 = 3x – 1
C. Persamaan logaritma bentuk , a > 0, a 1, f(x) > 0 dan g(x) >0
Contoh : 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan :
Jawab :
a.
3x2 –2x – 5 = 2x2 + 5x + 3
x2 –7x – 8 = 0
(x – 8) (x + 1) = 0
x = 8 atau x = -1
b. Syarat :
1) 3x2 –2x – 5 > 0(3x – 5)(x + 1) > 0
x < - 1 atau x > 5/3 -1 5/3
2) 2x2 + 5x + 3 > 0(2x + 3)(x + 1) > 0
x < - 3/2 atau x > -1 -3/2 -1
Dari a dan b diperoleh x = 8
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 8 }
Uji Kompetensi 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
1. log 2x = log (x + 3) 5. log x = log (2x – 5)2. log x = log (1 – 2x) 6. log(x + 1) = log (3x – 5)3. log (x2 + 3x + 2) = log(5x + 5) 7. log (x2 + x – 2) = log (2x2 – 5x + 3)4. 2 log 2 log (2x + 1 + 3) = 1 + 2 log x
D. Persamaan logaritma yang dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat.
Contoh : 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan :
log2 x – 3 log x + 2 = 0
Jawab :
a. Syarat :x > 0
b. log2 x – 3 log x + 2 = 0( log x)2 – 3 log x + 2 = 0
Misal log x = p, maka persamaan di atas menjadi
p2 – 3p + 2 = 0 (p – 2)(p – 1) = 0 p = 2 atau p = 1
Untuk p = 2 log x = 2
x = 22 = 4
Untuk p = 1 log x = 1
x = 2
Dari a dan b diperoleh x = 4 atau x = 2
Jadi HP {2, 4}
Uji Kompetensi 5
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
1. log2 x – 2 logx – 24 = 02. log 2 x – 6 log x + 5 = 03. 2 log2 x – 3 log x = 24. 2log2 x – log x3 - 9 = 05. log2 x + 2 = log x3 6. log (x + 2) = 27. log 5 + log (x + 2) = 2,5
5.2.1 Grafik Fungsi Logaritma
A. Pengertian fungsi logaritmaFungsi logaritma merupakan invers fungsi ekponen f : R R yang ditentukan oleh y = f(x) = ax, dengan a > 0 dan a 1
Bila a > 0 dan a 1, maka fungsi yang didefinisikan oleh f : x , dengan x > 0 dinamakan fungsi logaritma
Contoh : 1
1. f(x) = 4. f(x) =
2. f(x) = 5. f(x) = 2 log (x + 1)
Kompetensi Dasar
5.2 Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
3. f(x) =
B. Grafik Fungsi logaritma f : x 1) Grafik fungsi logaritma f : x , dengan a > 1, x R
Contoh : 1
Gambarlah grafik dari f(x) = dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X…
1 2 4 8 …
Y= f(x) … … … … … …… … …. ….
Gambaralah grafiknya sebagai latihan!
Contoh : 2
Gambarlah grafik dari f(x) = x dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X… 1 3 9 27 …. …
Y= f(x) … … … … … …… … …. ….
Gambarlah grafiknya sebagai latihan!
2) Grafik fungsi logaritma f : x , dengan 0 < a < 1, x R
Contoh : 1
Gambarlah grafik dari f(x) = dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X … 1 2 4 8 …
Y= f(x) … … … … … …… … …. ….
Gambarlah grafiknya sebagai latihan!
Contoh : 2
Gambarlah grafik dari f(x) = dengan x R
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menggambar, lengkapilah tabel berikut :
X … 1 3 9 27 …. …
Y= f(x) … … … … … …… … …. ….
Gambarlah grafiknya sebagai latihan!
D. Sifat-sifat grafik fungsi logaritmaPerhatikan sketsa grafik fungsi logaritma berikut :
Y = a log x , a > 1
Y= a log x, 0 < a < 1
X0
Y
1
Kalau kita perhatikan gambar di atas, kita dapatkan sifat-sifat grafik fungsi logaritma sebagai berikut :
1. Domainnya (daerah asalnya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata (real), positif, sedangkan daerah hasilnya (rangenya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata .
2. Fungsi f(x) = merupakan fungsi naik untuk a > 1, dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1
3. Grafik fungsinya selalu memotong sumbu X di titik (1,0)4. Kedua grafik di atas simetris terhadap sumbu X5. Grafik fungsinya di sebelah kanan sumbu Y atau dikatakan grafik fungsinya tidak
pernah memotong Sumbu Y
Uji Kompetensi 2
1. Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut ini, untuk x R
f(x) = dan f(x) =
2. Gambarlah grafik dari setiap fungsi berikut untuk x > 0 dan x R
a.b.
c.
d. , x > 1
Kompetensi Dasar
5.3 Menggunakan sifat-sifat fungsi ekspoenen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana
5.3.1 Pertidaksamaan logaritma
Perhatikan kembali grafik fungsi f(x) = log x , a > 0 , a 1, x R
1) Bentuk f(x) = log x dengan a > 1, x R
(1,0)
Fungsi logaritma f(x) = log x dengan a > 1 disebut sebagai fungsi naik, sebab jika x1 < x2 maka log x1 < log x2.
Pernyataan tersebut kalau dinyatakan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :
Bila a > 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)
Atau
Bila a > 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)
2) Bentuk f(x) = log x dengan 0 < a < 1, x R
Y = a log x, a > 1
X2X1 X0
Y(X1,
alogx)
(X2, alog x)
Y = a log x, 0 < a < 1
X2X1 X0
Y
(X1, alogx)
(X2, alog x)
Fungsi eksponen f(x) = log x dengan 0 < a < 1 disebut sebagai fungsi turun, sebab jika x1 < x2
maka log x1 > log x2.
Pernyataan tersebut kalau dinyatakan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :
Bila 0 < a < 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)
atau
Bila 0 < a < 1 dan berlaku log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x)
Contoh : 1
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
a. 3log x > 3 b. 3 log x < 3
Penyelesaian :
a. (1) 3 log x > 3
3 log x > 3log 33
3 log x > 3log 27
x > 27
(2) Syarat :
x > 0
Dari (1) dan (2) diperoleh x > 27
Jadi HP { x / x > 27 }
b. (1) 3log x < 3
3 log x < 3log 27
x < 27
(2) Syarat :
x > 0
Dari (1) dan (2) diperoleh 0 < x < 27
Jadi HP { x / 0 < x < 27 }
Contoh : 2
Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :
a. ½ log x 4 b. ½ log (x – 1) < -1
Jawab :
a. (1) ½ log x 4
½ log x ½ log ½ log x ½ log x
(2) Syarat :
x > 0
Dari (1) dan (2) didapat 0 < x
Jadi HP {x/ 0 < x }
b. (1) ½ log (x – 1) -1
½ log (x – 1) ½ log ½ log (x – 1) ½ log 2 x – 1 2
x 3
(2) Syarat :
x – 1 > 0 x > 1
Dari (1) dan (2) didapat 1 < x 3
Jadi HP {x/ 1 < x 3}
Contoh : 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :
2 log (x2 + 2x) > 3
Penyelesaian :
(1) 2 log (x2 + 2x) > 3
2 log (x2 + 2x) > 2 log
2 log (x2 + 2x) > 2 log 8
(x2 + 2x) > 8
x2 + 2x - 8 > 0
(x + 4)(x – 2) > 0
-4 2
x < -4 atau x > 2
(lihat garfik di samping)
(2) Syarat :
x2 + 2x > 0
x (x + 2) > 0 -2 0
x < -2 atau x > 0
Dari (1) dan (2) didapat :
x < -4 atau x > 2
Jadi HP {x/ x < -4 atau x > 2}
Uji Kompetensi 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini :
1. 2 log x 2 log 5 7. ½ log x -22. 3 log x < 2 8. ¼ log x > 33. 3 log (x + 1) < 2 9. ½ log( 2x – 1) < -14. 3 log ( x – 1) > 2 10. ½ log ( x2 – 9) > -45. 6 log (2 – 4x) < 1 11. ½ log x > 06. 3 log ( x2 – 2x) 1 12. 4log (x2 – 2x - 8) < 2
Uji Kompetensi 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini
1. log ( x – 4) > 1
top related