funkcionalni nizovi - university of belgradepoincare.matf.bg.ac.rs/~zdrazic/mat2/funkcionalni...
Post on 28-Feb-2021
45 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Funkcionalni nizovi
November 9, 2017
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Nizovi realnih brojeva(an)n∈N,an = ( 1
2 )n
a1 = 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5 a1=1/2
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Nizovi realnih brojeva(an)n∈N,an = ( 1
2 )n
a1 = 12 , a2 = 1
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5 a1=1/2
a2=1/4
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Nizovi realnih brojeva(an)n∈N,an = ( 1
2 )n
a1 = 12 , a2 = 1
4 a3 = 18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5 a1=1/2
a2=1/4
a3=1/8
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Nizovi realnih brojeva(an)n∈N,an = ( 1
2 )n
a1 = 12 , a2 = 1
4 a3 = 18 , a4 = 1
16 , a5 = 132 , ....
limn→∞
an = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5 a1=1/2
a2=1/4
a3=1/8
a4=1/16
a5=1/32
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Funkcionalni niz
(fn(x))n∈N = (f1(x), f2(x), f3(x), ...)
Clanovi niza su funkcije, a ne brojevi.
Primer
f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) =
x3 , ...
tj. fn(x) = xn , (x ∈ R,n ∈ N)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
f1(x) = x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f1(x)=x
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
f1(x) = x , f2(x) = x2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f1(x)=x
f2(x)=x/2
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) = x
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f1(x)=x
f2(x)=x/2 f3(x)=x/3
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) = x
3 , f4(x) = x4 , ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f1(x)=x
f2(x)=x/2 f3(x)=x/3 f4(x)=x/4
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) =
x3 , f4(x) =
x4 , f5(x) =
x5 , ..., f50(x) = x
50 , ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f1(x)=x
f2(x)=x/2 f3(x)=x/3 f4(x)
f5(x) ...
f50(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
Za npr. x = 3 : f1(3) = 3, f2(3) = 32 , f3(3) =
33 = 1, f4(3) = 3
4 , f5(3) =35 , ..., f50(3) = 3
50 , ... dobija se brojni niz (fn(3))n∈N koji konvergira ka 0⇒ funkcionalni niz (fn(x))n∈N = x
n , konvergira u tacki x = 3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x) f5(x) ...
f50(x)
f1(3)
f2(3) f3(3)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
Za x = 3, x = 5, x = 8 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x) f5(x) ...
f50(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza na intervalu Ifn(x) = x
n , (x ∈ R,n ∈ N)
limn→∞
fn(x) = f (x) = 0 (funkcija! a ne broj)
(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε, x))(∀n > N(ε, x)) : |fn(x)− f (x)| < ε
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x) f5(x) ...
f50(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza na intervalu I(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε, x))(∀n > N(ε, x)) : |fn(x)− f (x)| < ε
Za fiksirano (malo) ε, koliko veliko treba da bude n tako da važi|fn(x)− f (x)| < ε ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x) f5(x) ...
f50(x) eps eps eps
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Konvergencija funkcionalnig niza na intervalu I(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε, x))(∀n > N(ε, x)) : |fn(x)− f (x)| < ε
Odgovor zavisi od x !
Za x = 1 : n ≥ 1. Za x = 3 : n ≥ 3. Za x = 7 : n ≥ 6.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x) f5(x) ...
f50(x) eps eps eps
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Uniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnigniza
(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε))(∀n > N(ε)) : |fn(x)− f (x)| < ε
Primer
(fn(x))n∈N = (x + 1n )n∈N = (x + 1, x + 1
2 , x + 13 , ...)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Uniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnigniza
(fn(x))n∈N = (x + 1n )n∈N
f1(x) = x + 1, f2(x) = x + 12 , f3(x) = x + 1
3 , ..., f50(x) = x + 150 , ....
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3 f1(x)
f2(x) f3(x) ...
f50(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
(fn(x))n∈N = (x + 1n )n∈N
limn→∞
fn(x) = f (x) = x - funkcionalni niz konvergira ka f (x) = x .
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3 f1(x)
f2(x) f3(x) ...
f(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Uniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnigniza
Za fiksirano (malo) ε, koliko veliko treba da bude n tako da važi|fn(x)− f (x)| < ε ?Za n ≥ 3. Odgovor ne zavisi od x! ⇒ (fn(x))n∈N ⇒ f (x) = x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3 f1(x)
f2(x) f3(x) ...
f(x)
eps
eps
eps
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ Rf1(x) = sin(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f1(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ Rf1(x) = sin(x), f2(x) = sin2(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f1(x)
f2(x)
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ Rf1(x) = sin(x), f2(x) = sin2(x), f3(x) = sin3(x), ..., f50(x) = sin50(x), ....
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f1(x)
f2(x)
fn(pi/2)=1
Funkcionalni nizovi
Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi
Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza
Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ R
sinn(x)→
{0, za x ∈ (0, π/2) ∪ (pi/2, π)1, za x = π/2
Niz (fn(x))n∈N ce da konvergira ka
limn→∞
fn(x) = f (x) =
{0, za x ∈ (0, π/2) ∪ (pi/2, π)1, za x = π/2
Granicna funkcija f (x) nije neprekidna, iako sve fn(x) jesu neprekidne⇒ Niz (fn(x))n∈N ne konvergira uniformno.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f1(x)
f2(x)
fn(pi/2)=1
Funkcionalni nizovi
top related