gamow (1928), condon & gurney (1928, 1929)radiohemija.info/docs/cas8.pdfУкупна...
Post on 01-Mar-2020
20 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Gamow (1928), Condon & Gurney (1928, 1929) – постоји
коначна вероватноћа продора -честице кроз баријеру –
тунел ефекат
Детаљан (и апроксимативни) квантномеханички рачун
дају израз за фактор пролаза (пробоја)
- редукована маса система потомак – -
честица
Q - енергија -распада
𝜆 = 𝑓𝑝
По deBroglie релацији таласна дужина -честице јеℎ
𝑣𝑅
Ако се -честица креће напред-назад у језгру константном
брзином онда важи
𝑓 =𝑣
2𝑅=
2 𝑉0 + 𝑄𝜇
2𝑅=
ℎ
2𝑅2
Производ ове фреквенције и фактора пролаза даје
вероватноћу распада
Интеграцијом израза добијамо
𝑢 =𝐸𝐸𝑐𝑏
1/2𝐸𝑐𝑏 =
𝑍1𝑍𝑒2
40𝑅
𝑅 = 𝑅1 + 𝑟 = 𝑟0𝐴1/3 + 𝑟
Вредност је веома осетљива на промене у E -ако се
енергија алфа честице промени за 1 MeV, се мења за
105
Добијене вредноасти времена полураспда разликују се
од измерених и за четири реда величине
Уколико је Ecb >> E и ако се експоненцијални фактор
изрази као e-2G(E) добијамо
𝑙𝑜𝑔 = 𝐶 − 2𝐺(𝐸)
Овај приступ не узима у обзир неколико чињеница
- честица може да са собом “однесе” угаони момент l у ком
случају енергија потенцијалне баријере расте за допринос који
потиче од центрифугалне силе
Потенцијал у језгру није сферно симетричан (посебно изражено
код језгара са деформацијом)
Уколико се почетно стање језгра претка и крајње стање језгра
потомка много разликују модел не даје задовољавајуће
резултате
Претпоставке: 1. електрон, позитрон, неутрино и антинеутрино нису присутни
у језгру, већ само настају у процесу β распада
2. Поред јаке интеракције у језгру (јаке силе) постоји и слаба интеракција која представља веома слабу пертурбацију која је одговорна за бета распад
По временски зависној теорији слабих пертурбација вероватноћа прелаза у јединици времена Pfi између почетног и финалног стања је пропорционална финалној густини стања
(𝜌𝑓 = 𝑑𝑛/𝑑𝐸0) и 𝐻𝑓𝑖2
где је Hfi је матрични елемент Хамилтонијана H слабе интеракције
𝑃𝑓𝑖 =2𝜋
ℏ𝐻𝑓𝑖
2 𝑑𝑛
𝑑𝐸0E0 је енергија бета распада, док је Hfi
𝐻𝑓𝑖 = 𝑓∗𝐻𝑖𝑑
Исти приступ се примењује и за - и + распад – односно сматра се
да се они своде на трансформацију из једног нуклеона у други уз
емисију два лептона (лептони = лаке честице: електрони,
неутрини…)
Финална густина стања се може одредити помоћу Хајзенбергове
једначине
𝑥𝑦𝑧𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧ℎ3
Можемо писати да је 𝑉𝑥𝑦𝑧 па је број електронских стања у
интервалу импулса (p, p+dp)
𝑑𝑛𝑒 = 𝑉4𝑝2𝑑𝑝ℎ3
док је аналогно томе број стања неутрина
𝑑𝑛𝜈 = 𝑉4𝑝2𝑑𝑝
ℎ3
Укупна густина стања у околини енергије која одговара
укупној енергији електрона и неутрина Е0
𝑑𝑛
𝑑𝐸0= 𝑉2
162
𝑐3ℎ6𝑝2𝑝𝜈
2𝑑𝑝𝜈𝑑𝐸0
𝑑𝑝
Ако се занемари маса неутрина (која је веома блиска
нули) за његову енергију се може писати
𝑝𝜈𝑐 = 𝐸𝜈 = 𝐸0 − 𝐸
Стога је коначан израз за густину стања (алтернативни
назив статистички фактор)
𝑑𝑛
𝑑𝐸0= 𝑉2
162
𝑐3ℎ6𝑝2 𝐸0 − 𝐸
2𝑑𝑝
Елемент матрице интеракције Hfi
𝐻𝑓𝑖 = 𝑔 𝑓∗ 𝑒
∗(𝑟) 𝜈∗ 𝑟 𝑴𝑖𝑑
потпуни Хамилтонијан слабе интеракције је gM.
g је константа слабе интеракције (силе)
Будући да је интеракција неутрина са окружујућом материјомвеома слаба, његову таласну функцију можемоапроксимирати равним таласом
𝜈 𝑟 = 𝑉−1/2𝑒𝑖𝒌𝜈𝒓𝑉−1/2 1 + 𝑖 𝒌𝜈𝒓 −
𝒌𝜈𝒓2
2+⋯ 𝑉−1/2
𝑘𝜈 = 𝑝𝜈/ℏ је таласни вектор неутрина
𝑉−1/2 је нормализациони фактор
За електроне енергија >200 keV и лака језгра потомкаталасна функција електрона се може такође представитиравним таласом.
𝑒 𝑟 = 𝑉−1/2𝑒𝑖𝒌𝜈𝒓𝑉−1/2 1 + 𝑖 𝒌𝑒𝒓 −
𝒌𝑒𝒓2
2+⋯ 𝑉−1/2
Ово значи да су таласне функције електрона и неутрина
унутар језгра приближно константне.
Стога је
𝐻𝑓𝑖 =𝑔
𝑉 𝑓
∗ 𝑴𝑖𝑑 =𝑔
𝑉𝑴𝑓𝑖
Mfi је елемент матрице прелаза између почетног i и
крајњег fi (језгро потомка). Ако су стања међусобно
слична и Mfi је велики и обрнуто.
По увршћивању таланих функција електрона и неутрина,
те Hfi у једначини за вероватноћу прелаза
𝑃𝑓𝑖 𝑝 𝑑𝑝 = 𝑁 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 𝑀𝑓𝑖2𝑝2 𝐸0 − 𝐸
2𝑑𝑝
C је константа 𝐶 =𝑔2
23𝑐3ℏ7
Електростатичка интеракција између језгра потомкаи електрона модификује облик -спектра. То јепосебно изражено код тежих језгара и мањихенергија -честица
Да би се то кориговало уводи се корекциони факторF(Z,E) – Фермијева функција
𝑁 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 𝑀𝑓𝑖2𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 𝐸0 − 𝐸
2𝑑𝑝
Теоријски и експериментални резултати могу се лакопоредити помоћу Киријевог дијаграмa (Kurie 1938) којипредставља зависност 𝑁(𝑝)/𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 1/2 у функцији(E0 – E)
Киријев дијаграм за - распад 35S
• Линеаран карактер дијаграма указује да 𝑀𝑓𝑖2
не зависи од енергије
електрона
• 𝑀𝑓𝑖21 дозвољен прелаз
• 𝑀𝑓𝑖2<<1 забрањен прелаз
• Вероватноћа распада дата је изразом
=𝑙𝑛2
𝑡1/2= 𝑝=0
𝑝𝑚𝑎𝑥𝑁 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 0𝑝𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑓𝑖
2𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 𝐸0 − 𝐸
2𝑑𝑝
0𝑝𝑚𝑎𝑥 𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 𝐸0 − 𝐸
2𝑑𝑝 = f(Z, E0)
је израчунат за више комбинација (Z, E0). Овај
израз се назива и Фермијевом интегралном
функцијом.
јако зависи од енергије електрона и брзо
расте са њеним порастом
Величина f Z, E0 𝑡1/2 означава се са ft и
назива се компаративно време полуживота
𝐸𝛾 = ℎ𝜈 = 𝐸𝑓𝑖𝑛 − 𝐸𝑖𝑛
Због тога што фотони имају спин једнак 1 гама распади су увек
праћени укупном променом угаоног момента ≥1
Емисија фотона доводи до прерасподеле наелектрисања у језгру, а
самим тим и до промене у магнетним особинама
У зависности од врсте промене коју гама емисија изазива прелази
се деле на магнетне и електричне
Тип
зрачењаТип промене
Промена
спина
Промена
парности
E1 Електрични дипол 1 Да
M1 Магнетни дипол 1 Не
E2 Електрични квадрупол 2 Не
M2 Магнетни квадрупол 2 Да
E3 Електрични октапол 3 Да
M3 Магнетни октапол 3 Не
На основу модела љуске Blatt и Weisskopf су израчунали
времена живота побуђених стања (претпоставка: језгро
има дијаметар 6 fm
За 2L електрични мултипол
𝜆𝑒𝑙 = 4,4 ∙ 1021
𝐿 + 1
𝐿 2𝐿 + 1 ‼2
3
𝐿 + 3
2𝐸𝛾197
2𝐿+1
𝑟2𝐿
За 2L магнетни мултипол
𝜆𝑚𝑔 = 1,9 ∙ 1021
𝐿 + 1
𝐿 2𝐿 + 1 ‼2
3
𝐿 + 3
2𝐸𝛾
197
2𝐿+1
𝑟2𝐿−2
L је угаони момент који односи фотон
Eg је енергија фотона
R је радијус језгра у fm
Пример24𝑚𝑁𝑎 → 24𝑁𝑎 + 𝛾
∆𝐼 = 4 − 1 = 3
Eg = 0,473 MeV1
𝜆𝑚𝑔= Δ𝑡 ≈ 0,02 𝑠
Измерена вредност 0,035 s
Претпоставке:
Фисија се може представити као хемијска
реакција, при чему је вероватноћа њеног
одигравања одређена прелазним стањем.
Дистрибуција енергија и маса новонасталих
језгара је дефинисана у тачки одвајања или
њеној близини
Мале деформације површине језгра могу се
апроксимирати релацијом
𝑅 𝜗 = 𝑅0 1 + 𝛼2𝑃2𝑐𝑜𝑠𝜗 ,
Аналогно при малим деформацијама површине
за електростатичку и површинску енергију важи
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐0 1 −
1
5𝛼22 𝐸𝑠= 𝐸𝑠
0 1 +3
5𝛼22
Када се промене ∆Ecи ∆Esизједначе језгро
постаје спонатано фисибилно. То се дешава
када је
𝐸𝐶0
2𝐸𝑆0 = 1овај однос је параметар фисибилности
и означава се са χ
Уколико се EC,0 и ES,0 замене са иразима већ
дефинисаним у Weizsäcker-овој једначини
𝐸𝐶0 =
3
5
𝑍2𝑒2
𝑅0𝐴1/3 = 𝑎𝐶
𝑍2
𝐴1/3и
𝐸𝑆0 = 4𝜋𝑅0
2𝑆𝐴2/3 = 𝑎𝑆𝐴2/3
добија се
𝜒 =𝑎𝐶
2𝑎𝑆
𝑍2
𝐴=
𝑍2
𝐴
𝑍2
𝐴 𝑐𝑟
Међутим𝑍2
𝐴 𝑐𝑟варира од језгра до језгра (због
изоспинске симетрије):
𝑍2
𝐴 𝑐𝑟= 50,883 1 − 1,7826
𝑁−𝑍
𝐴
2
χ представља релативну фисибилност језгара
За стабилна језгра χ<1
За изражено фисибилна χ високо (за 239Pu =37)
Ради поређења за мање фисибилан 209Bi је 33
На основу овог модела могуће је проценити
горњу границу периодног система
𝑍𝑘𝑟2 =
2𝑎𝑠𝑎𝑐𝐴𝑘𝑟
Енергетика нуклеарних реакција
Свака интеракција атомском језгра са другом
честицом назива се нуклеарном реакцијом
У основи постоје три типа
Реакције еластичног расејања (мења се само Ek)
Реакције ексцитације (језгро мете бива побуђено на
више енергетске нивое)
Реакције трансмутације (настаје нови нуклид/и)
пројектил мета Сложено
језгроПроизводи/ејектили
M1
v1
M2Mi
viM3
v3
M4
v4
𝑋1 + 𝑋2 → 𝑋3 + 𝑋4 +⋯
X1 пројектил
X2 језгро мета
X3 језгро производ
X4 ејектил
Bethe-ова нотација
X2(X1,X4)X3
Пример14𝑁(𝛼, 𝑝)17𝑂
Закони одржања су идентични као за радиоактивни распад, осим код реакција са честицама са енергијом већом од 100 MeV/нуклеону.
Рекапитулација закона одржања у нуклеарним процесима
∆E=0
∆p=0
∆Z=0
∆A=0
∆I=0
Закон одржања импулса
𝑝𝑝 + 0 → 𝑝3𝑐𝑜𝑠𝜃3 + 𝑝4𝑐𝑜𝑠𝜃4
Због (често) високих енергија честица пројектила у прорачунима везаним за нуклеарне реакције употребљавају се релативистичке масе/енергије
Енергија нуклеарне реакције Q је дата релацијом
𝑄 𝑀𝑒𝑉 = −931,5∆𝑀0
∆𝑀0 = 𝑀30 +𝑀4
0 −𝑀10 −𝑀2
0
∆M0<0, Q>0 егзоенергетска реакција
∆M0>0, Q<0 ендоенергетска реакција
𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚 −𝑚0 𝑐2
𝐸𝑚𝑎𝑠0 = 𝑚0𝑐2
𝐸𝑢𝑘 = 𝑚𝑐2 𝐸𝑢𝑘 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑚𝑎𝑠
0
Укупна енергија укључује Eнергију масе мировања 𝐸𝑚𝑎𝑠
0
Енергију ексцитације језгра 𝐸𝑒𝑘𝑠 Апсорпцију или емсију фотона у реакцији En
Електростатички потенцијал (у реакцијама са
наелектрисаним честицама) 𝐸𝐾𝑢𝑙
Кинетичку енергију 𝐸𝑘𝑖𝑛
У интеракцији позитивно нелектрисане честице –пројектила и језгра мете долази до међусобног одбијања
𝐹 =𝑘𝑒𝑍1𝑒𝑍2𝑥2
𝐸𝑘𝑖𝑛0 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑘𝑢𝑙
Да би позитивно наелектрисана честица изазвала нуклеарну реакцију
мора да има енергију већу од
𝐸𝐾𝑏 =𝑘𝑍1𝑍2𝑒
2
𝑟𝑐
Да би се израчунала Ecb за rc (у апроксимацији) можемо узети да је једнак збиру радијуса језгра мете и пројектила. Поред тога мора се узети у обзир да и центар масе таквог система има узмак, На основу тога и 𝑟 = 𝑟0𝐴
1/3 добија се
𝐸𝐾𝑏(𝑚𝑖𝑛) = 1,109 𝐴1 + 𝐴2𝑍1𝑍2
𝐴2 𝐴11/3+𝐴2
1/3 (MeV)
Пример нуклеарна реакција
714𝑁 + 2
4𝐻𝑒 → 817𝑂 + 1
1𝐻
𝐸𝛼(210𝑃𝑜) = 7,68 𝑀𝑒𝑉 𝐸𝐾𝑏 𝑚𝑖𝑛 = 4,99 𝑀𝑒𝑉
У већини случајева не ради се о чеоном судару пројектила
и мете. Минимално растојање између њих у одстуству
дејства сила x назива се параметар удара.
Ако на пројектил делује Ec минимално растојање је веће и
назива се растојање најближег приласка d
𝑑 = 𝑟 + 𝑟2 + 𝑥2
где је r радијус судара
𝑟 =𝑘𝑍1𝑍2𝑒
2
𝜇 𝑣10 2
𝑋1 𝑣1 + 𝑋2 𝑣2 → 𝑋1 𝑣1, + 𝑋2(𝑣2
, ) Q=0
Енергија пренесена у судару (под условом да мета мирује)
је
𝐸𝑠 = 𝐸𝑝𝑟4𝑀1𝑀2𝑀1 +𝑀2
2𝑠𝑖𝑛2
𝜃
2
док су брзине пројектила и мете после судара дате
изразима
𝑣1, =
𝑣1 𝑀1 −𝑀2𝑀1 +𝑀2
𝑣2, =
2𝑣1𝑀1𝑀1 +𝑀2
У случају чеоног судара неутрона са језгром мете предата енергија је
𝐸𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑛0
4𝑀21 +𝑀2
2
За опсег енерија 0-10 MeV сви судари су подједнако вероватни тако да је средња предата енергија
𝐸𝑠 = 𝐸𝑛0
2𝑀21 +𝑀2
2
Енергија коју неутрон задржи је
𝐸𝑛 = 𝐸𝑛0 − 𝐸𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑛
0 1 −4𝑀2
1 + 𝑀22
Из овога следи да највећи губитак енергије неутрон остварује у судару са честицом сличне масе-протоном
За судар са протоном
𝐸𝑛
𝐸𝑛0 = 1 −
1
2=1
2
После n судара са протонима енергија неутрона ће бити
𝐸𝑛
𝐸𝑛0 = 1 −
1
2
𝑛
=1
2𝑛
Стога су супстанције које садрже водоник добри модератори неутрона
За тачкасти неутронски извор окружен модератором флукс термалних неутрона је функција растојања
Процес у којем долази до промене
потенцијалне енергије али не долази до
трансформације језгра мете у друго
𝑋1 + 𝑋2 + γ𝑋1 + 𝑋2
𝑋1 + 𝑋2∗
Пример 107𝐴𝑔 + 0
1𝑛 → 107m𝐴𝑔 → 107𝐴𝑔 + 𝛾
t1/2(107mAg) = 44 s
714𝑁 + 2
4𝐻𝑒 → 18𝐹∗→ 817𝑂 + 1
1𝐻
∆𝑀0 = 𝑀0(17𝑂) +𝑀0 1𝐻) −𝑀0(14𝑁 −𝑀0( 4𝐻𝑒) =
= 16,999131 + 1,007825 − 14,003174 − 4,002603 = 0,001279𝑢
𝑄 = −∆𝑀0𝑐2 = −1,19 𝑀𝑒𝑉
Енергија узмака комплексног језгра је
𝐸𝑢𝑧 = 𝐸𝑘(4𝐻𝑒)
𝑀1
𝑀1 +𝑀2
Да би дошло до реакције енергија честице мора имати
кинетичку енергију већу за Q од енергије узмака
комплексног језгра
Енергија коју пројектил мора да има да би изазвао нуклеарну реакцију назива се енергијом прага
𝐸𝑝𝑟 = −𝑄𝑀1+𝑀2
𝑀1≈ −𝑄
𝐴𝑐
𝐴2
За Ратерфордову реакцију ова енергија је 1,53 MeV
Енергија у реакцији по ступњевима
I Q= +4,40 MeV
II узмак 18𝐹 𝐸𝛼4
4+14= 1,71 𝑀𝑒𝑉
Укупна енергија ексцитације 18𝐹 је 4,40 + 7,68 – 1,71 MeV = 10,37 MeV
Енергија реакције 18𝐹 → 817𝑂 + 1
1𝐻 је Q= -5,59MeV
Стога је укупна кинетичка енергија продуката
Ек = 10,37+1,71-5,59 MeV
714𝑁 + 2
4𝐻𝑒 → 19𝐹
top related