geometr 8kl roganin_2016
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25. D, = 40, = 150, = 100.
26. ABCD, AD = 6 , A = 110, AB = 4 , B = 90 BC = 5 .
27. ABCD, AD = 6 , AB = 3 , A = 90, D = 70 B = 120.
28. ABCD, AD = 5 , A = 80,
D = 70, AB = 4 DC = 3 . 29. D, , -
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18 1.
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37. ABCD AB = 2 ; AD = 4 ; CD = 3 , AC = 5 A = 120.
38. ABCD AB = 4 , AD = 6 CD = 2 AC = 7 , BD = 2 .
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40. ABCD AB = BC AD = CD. , - .
41. ABCD AC A C . - 32 , AB 7 . .
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2. ABC CDA. AC , 1 = 3 AB||CD AC, 2 = 4 - B||AD AC. , ABC = CDA - ( ).
3. , AB = CD, BC = AD B = D (. 14 ).
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10. .
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2. AB = AD ( ), ABD - , . = 60 .
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143. 40. .
144. 70. , .
145. , 30, 5 .
146. , 6 , 40.
147. : , . 148. : 180,
. 149. 28. . 150. 32.
. 151. . . 152. , 2 : 7.
. 153. , 40
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162. 2 : 3. .
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164. . 165. ,
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178. . 179. . 180. , .
181. ,
. 182. :
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1 : 3. , - .
184. , , - , , , .
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186. , . , , , 18 24 .
187. . , 24 .
188. A D ABCD BC M K, M B K. , BM = 5 MK = 2 .
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56 3. . .
189. . 190. . 191. ABCD .
CMD. 192. D BK BM,
60. 5 . - .
193. . , -.
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199. ) , ; ) .
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57
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3
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58 3. . .
3. 25, ... 50; 90; 65; 155.
4. , 8 ,
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50 . COD, .
6. , , .
7. , 12 ,
96 . 8. ,
. , 60 .
9. . 2 . K D, 4 6 . DK -.
10. ABCD N , BN = NC
NAND. , - 48 .
12. ACBD ABD
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11. KMTP - BD, -. , D , BD.
-
4.1. 59
4. .
1. .
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a b. a , : 1A2 = 2A3 = 3A4 (. 43 ). - , b B1, B2, B3 B4. B1B2, B2B3 B3B4 (. 43 )? , . - 1A2B2B1, 2A3B3B2 3A4B43 . : 1A2 = B1B2, 2A3 = B2B3 3A4 = B3B4, 1A2 = 2A3 = 3A4, B1B2 = B2B3 = B3B4.
c, a (. 43 ). 12, C2C3, C3C4 c?
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. 1. B2 , .
C1 C3 A1B1 A3B3 (. 44 ).
2. 1B2 = A12 23 = A23 A1221 A233B2. A12 = A23, C1B2 = 23.
3. 211 = 233 : 12 = 23, 1 = 2 , 3 = 4 11||33 .
4. 211 233 12 = 23. .
2. .
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4.1. 61
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1. (. 45 ). 2. 1 = 1A2 = 2A3 = 3A4 =
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5. B1, B2, B3, B4 AB (. 45 ). 5. : B1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B ( ). ,
5 .
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1. K || (. 47 ). , , . ,
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2. K , . K = A (. 47 ).
3. : K = A = . , K = . .
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207. , 5 , 7 10 .
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64 4. .
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65
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3. 11|| K|| , 11||K.
4. 11 = K = , 11 = K.
, 1K1 .
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66 4. .
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PK = .
3. MN||A PK||A , MN||PK.
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67
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211. 5 , - .
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214. 6 , 9 12 . , .
215. D E , BDE = DAC, = . DBE 20 . .
216. 4 , , . 6 . .
217. 24 . -, .
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4
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68 4. .
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226. , . 227. ,
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228. , -. , - 12 8 .
229. 3 : 4 : 5. , , - 30 .
230. 80 . , , 4 : 7 : 9. .
231. , . 232. . ,
. 233. = 63, = 27. K -
K . BMK 30 . .
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-
69
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236. . , , 52 , 38 54 . - , .
237. M, N K, . -, .
238. . M, - . , .
239. ABCD B M AD , AC P. ,
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240. D D , . -, 40 .
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70 5.
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. 51
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3. - , , - 180. , 180 ( 180, ).
2. .
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5.1. . 71
. 52
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MN (. 53). , : ) MN||AD (MN||BC);
) MN = (AD + BC).
. 53
1. B N . BC||AD, BN AD. T BN AD.
2. NCB NDT. CN = ND , CNB = DNT ( ), NCB = NDT ( BC AD CD). , NCB = NDT - .
3. NCB NDT , BC = DT BN = NT. 4. ABT M AB, N ,
MN ABT. :
1) MN||A, , , MN||AD MN||BC ( AD||BC).
, - .
.
-
72 5.
2) MN = AT = (AD + DT). DT = BC, :
MN = (AD + BC). .
3. .
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. 54
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243. 24 , 30 . : ) ; ) .
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245. ? , .
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5.2. 73
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. 55
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. 56
1. AD AP, BC.
2. ABCP ( ) (. 56 ). , AB||C - AB = CP.
, .
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-
74 5.
3. AB = CP AB = CD ( ) , CP = CD. , PCD D (. 56 ).
4. CPD = D PCD. CPD = A AB C AP. , A = D, .
5. B = 180 A C = 180 D A = D, B = C, . .
. D AD. , AC BD (. 57).
. 57
1. ABD DCA, BD AC. ABD = DCA : AD ; AB = CD ( ); BAD = CDA ( - ).
2. ABD DCA , BD = AC ( - ). .
247. , : )
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248. . , .
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-
75
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5
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. , , 180.
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76 5.
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. 59
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-
77
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3. , = =
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3. , - 12 23 , 30.
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. 60
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= (AD + C). , AD + BC = 2MN = 2 23 = 46 (). K:
K = ( , 30);
= 2K = 2 12 = 24 (). : ABCD = 46 + 2 24 = 94 ().
: 94 .
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BD . BKAD CMAD (. 61).
4
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-
78 5.
. 61
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. 62
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= D = D), = DK. BCKE -
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.
- 5
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-
79
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. 63
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MN = MO + ON = BM + AN = = KL, .
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8 . 253. , 10 ,
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81
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259. ABCD AD = 6 , = 3 , AB = 4 A = 40.
260. , 10 4 , 5 .
261. 5 7 , 20 . .
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266. , - 1 : 4.
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270. 4 , 40 3 .
271. 6 , 3 4 .
272. AD = 7 ,
AB = 5 c CD = 4 A = 30. 273. , .
-
82 5.
274. , , , .
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281. - , . , - -, 8 13 .
282. , , . , , 20 10 .
283. ABCD AD = 6 , BC = 4 , CD = 3 AC = 5 .
284. ABCD AD = 7 , AB = 5 CD = 3 BD = 5 .
285. , . 286. , .
-
83
287. , - . .
288. 63. , .
289. , 8 , 6 , 120.
290. 60, 15 39 . .
291. , : ) ; ) .
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45. . 295. ,
12 , 135. 296. ,
. 297. , -
.
298. D ,
CD, AD . - 8 . , MD 5 .
299. , . , - 50 , 11 .
300. 20 , 60. , , - , 3 . . ?
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84 5.
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306. , 2 , 7 .
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. 313. ,
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314. 50 , . , - 13 .
315. , , . , .
-
85
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317. , . 318. 24 ,
. .
319. 162 , 18 , 40 , . .
1. MN (. .) -
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EF MN ; EF = 2(BC + AD).
4 5
2. MN , MN = 4 . B -... 2 ; 8 ; 16 ; 6 .
3. E, M, F N ABCD (AD BC -). ? MN ; EF ;
-
86 5.
4. -
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6. , 42 155.
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10. , -
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87
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88 6. , .
6. , .
6.1. .
1. . .
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6.1. . 89
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. 65
() 360, 180, - 90. , , 360. . 65 ) ADB = 360 90 = 270, . 65 ) MNK = 360 225 = 135.
2. .
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3 . (. 67 ).
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D . ,
1, : ABC = ABD CBD = AOD
COD = (AOD COD) = AOC = AmC. .
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2. , (), (. 68 ).
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92 6. , .
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-
6.2. 93
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. 70
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-
94 6. , .
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2. . , . ,
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328. , 5 , , -
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329. ABCD, = 70 = 105. C D .
330. K , . , .
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6.3. 95
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336. 45 .
1. .
D.
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96 6. , .
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K. , , , . : = K, = BN, DP = KD, PC = NC.
: + B + D + = K + BN + + KD + N; + DC = AK + KD + BN + N; B + DC = AD + B.
2. .
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337. 5 , .
A, B, C D . , , MNKL. .
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97
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1. , , .
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98 6. , .
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2. , (), .
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1. -, 180. 2. 180, .
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1. , .
2. - , - .
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- 1
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-
99
. 72
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( AD). : = ASB + CBS ( -
CBS). ASB = ACB CBS.
= m, CBS = CnD ( ),
= m CnD = (m CnD), .
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. 73
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-
100 6. , .
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. 74
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2 = CnD. , AMB = AmB + CnD = (AmB + CnD).
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3
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4
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-
101
. 75
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DAC + CDA = 90. BAD = DAC + CAB = 90. CDA = CAB.
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. ABCD (. 76).
. 76
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- 5
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-
102 6. , .
6. ABCD AB : BC : CD = 3 : 5 : 7. , 30 .
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: 4,5 ; 7,5 ; 10,5 ; 7,5 .
1. , ,
, 18? 2. ,
1 , 45 /? 3. ,
, 20, 30, 45, 80 120 . 4. 8 ?
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- , -, . , , , . D . D : ) (. 77 ); ) (. 77 ); ) (. 77 ).
,
180, .
-
, 103
. 77
) , D . AD . AD . . . : + = 180 ( - ), + D = 180 ( ). = D, , D DCE, , D > E. , D .
) , D . AD . - ABCP. : + = 180 ( -), + D = 180 ( ). = D, , D, , > D. , D .
) ) , D . , , ABCD.
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, , . O AD, AB BC , . - CD .
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-
104 6. , .
. 78
) , D . 1D1, D . : + D = + D ( ), + 1D1 = 1 + D1 ( ). - , : 1D1 CD = 1 BC + D1 D = = BC + C1 BC + AD + DD1 D = CC1 + DD1. , 1D1 CD = CC1 + DD1 1D1 = CD + CC1 + DD1.
CC1D1D, C1D1 , . , K .
) : D . , , , . .
1. : ) ; ) ? 2. ? 3. . 4. : ) ; ) -
? 5. : ) ; )
. 6. : ) ; ) -
. 7. : ) ; )
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. 6
-
105
8. . 9. : ) ,
; ) , . 10. : ) , ;
) , .
346. . , :
) 50 ; ) 2 : 3. 347. , :
) 4 ; ) 2 30 . 348. , , 220.
, . 349. , ,
5 7. ?
350. , . , 2 : 7?
351. , 100. , .
352. , - 8 : 13 : 9. .
353. . , , 50 110.
354. 85 55. .
355. . , 30.
356. , 74, . .
6
-
106 6. , .
357. 3 : 5, 4 : 5. .
358. ABCD, = 100, = 70, = 80. , , - .
359. 8 , - 3 , 30 .
360. , 5 , 8 40.
361. 5 7 . .
362. 3 , 7 10 . .
363. 45 . , 2 : 3.
364. 4 7 . , 5 .
365. , 12 30. 366. , , 6 , -
150. . 367. 5 7 . -
. 368. 4 12 , -
7 . . 369. 5 40 -
.
370. . -
28. , .
371. 20 , 120. .
-
107
372. , 3 : 7 : 5 : 3. , - .
373. , . 40, 5 9. , .
374. 56. , - , . .
375. K , 120, D 3 : 5, . MDK.
376. , AD (. 79 ) , = 18, = 51. CAD.
377. MNK (. 79 ), KP 50.
. 79
378. , . 379. , , ,
. 380. 8 , -
120. . 381. ,
30 . . 382. ABCD 20 ,
50 . . 383. 5 : 6 : 7.
.
) )
-
108 6. , .
384. , , .
385. , , .
386. 24 . , 2 .
387. 36 . .
388. 44 . .
389. 72 , 19 . , .
390. 120 , 1 : 5. - , .
391. . 392. .
, , -, , .
, , , , .
395. . , 2 : 7. .
. . , .
397. 80. , , .
398. 7 : 11. - . , .
399. D - D . BAD = 74. .
400. D - = 31, = 32, DAC = 54, DCA = 63. ?
-
109
401. CD = 110, ADC = 70, BDC = 25. - .
402. , . 50. .
403. 7 , 60. , - .
404. . , , : ) ; ) ; ) ?
405. , - .
406. , - .
407. , 42 , . - , , , 2 : 7 : 12.
408. , 20 , - 60, . .
409. 5 13 4 8 -, , , . .
410. 2 3 , , , . .
411. 30 . - , , , 10 .
-
110 6. , .
1. AmB 120?
4. 1 : 2,
11 . .
5. 22 . .
6
2. ABCD.
= 4 , = 5 , CD = 8 , AD = ... 6 ; 7 ; 8 ; 5 .
3. D. = 115, D = ... 90; 65; 115; 45.
-
111
7. D -
2 : 3 : 4 : 6. , , -, .
8. , 8 , . , .
9. 20 , , , 16 8 , . - .
10. D -
BD . , BAD = 50.
12. , ,
, . .
6. , , D, . CAD = 20, CDA = 30. DAB.
11. - K . BAK, KM = 128.
-
112 6. , .
, . , , , , -
4000 . - .
- ( ). , - :
CD + AD BC = AC BD.
(. 90 . 168 .)
-
113
-
114 7.
7.
1. .
,
.
AB CD
AB: D. , AB = k CD.
. AB = 4 , CD = 6 . AB = CD;
CD = 1,5AB.
.
, .
. k > 1, , D (
k ). , . = 4,5CD, 4,5
, CD. k = 1, CD . k < 1,
, CD. , .
AB = CD, CD.
2. .
AB = 3 , CD = 5 , MN = 6 PK = 10 (. 80).
, .
-
115
. 80
, CD
MN PK . , AB CD -
MN PK.
, AB CD A1B1 C1D1,
.
, AB CD A1B1 C1D1,
.
3. ( ). . 81 A, B C ,
b A1, B1 C1.
. 81
-, , , -, - .
) )
-
116 7.
a b, , AB BC A1B1 B1C1? .
, - , , .
, .
. b.
, , , , b
1, 1 1. , , ,
11 11, .
m , 11 n .
11 (m + n) ().
l. . , ,
11 11.
, - .
(m n ).
n , -
m (. 82).
(m + n) -.
,
1. 11
. 82
-
117
412. : AB = 4 , CD = 12 . : ) ; ) .
413. : MN = 30 , PK = 5 . : ) ; ) .
414. C AB AC = 3 CB = 7 . :
) ; ) ; ) ; ) .
415. , : ) CD 4
AB; ) AB CD; ) -
CD 4 AB.
416. AB CD MO PK: .
: ) AB; ) CD;
) MO.
417. 83 MN||EF||PK. K , - : ) ; ) M E; ) ; ) MN F; ) PK EF; ) MN K.
. 83
-
118 7.
. . 84 ) C .
, AA1 BB1 ?
. 84
.
7
, .
, - , , -, .
. - , - - .
,
) )
-
119
. C AA1 BB1,
, 1 1 .
, , .
A1 a||BC. CB1 BB1, -
A1M BC. : . -
AA1MB , BM = AA1. , .
, . .
1. 14 21 . , - 5 12 , . -, .
. 85
, - - , , .
-
120 7.
ABCD ,
(. 85). -
. = = b . :
1) 3 = 2( + 5); 3 = 2 + 10; = 10 ();
2) 3b = 2(b + 12); 3b = 2b + 24; b = 24 ().
, = + + = 10 + 24 + 14 = 48 (). : 48 .
2. , b (. 86 ). , : b = : .
: a, b, c . : , : b = : .
. 86
1. (. 86 ). = = b, AN = .
2. MN, PK , PK||MN (K PK).
, .
, NK .
) )
-
121
. BD (1 = 2)
(. 87). , .
. 87
1. , BD. . , , 3 4.
2. : 3 = 2 BD|| , 4 = 1 BD|| . 1 = 2, 3 = 4. , ( ). , = .
3. BD||, .
,
: .
.
. (AD BE) -
(. 88).
- 3
( ). , - , - .
- 4
, -, 2 : 1, .
-
122 7.
. 88
MNDE, M N .
MN , MN||AB
MN = AB. DE , DE||AB
DE = AB.
, MN||DE MN = DE, MNDE MD NE. , = OD, = , = = OD. , AD AO : OD = 2 : 1. .
, 2 : 1. - AD BE , , , 2 : 1, , .
1. 6 .
, 1 : 10000? 2. , 5
300 .
-
123
1. ? 2.
? 3. ,
? 4. :
) ; ) ; ) ; ) .
5. : ) ( ); ) ; ) ; ) .
418. , b d, : ) = 1,5 , b = 0,7 , c = 6 , d = 2,8 ; ) = 40 , b = 2,5 , c = 48 , d = 3 ; ) = 8 , b = 30 , c = 3,6 , d = 12 . 419. , b, c, d m ,
= 2 , b = 16 , c = 17,5 , d = 4 , m = 35 . 420. 60 5 : 7.
. 421. C AB AC : CB = 5 : 3. -
AB CB, AC = 15 . 422. AB CD MN PK. : ) AB,
CD = 21 , MN = 10 PK = 15 ; ) MN, AB = 24 , CD = 36 PK = 9 .
. 7
7
-
124 7.
423. : ) 2 : 3; ) 3 : 5.
424. 5 , 3 2 ,
: ) ; ) .
425. BD . : ) AD DC, = 8 , = 12 , = 15 ; ) , CD : AD = 4 : 3 AB = 36 .
426. 5 8 . , 3 . .
427. A BC DE ( B D
, C ). : ) AC, AB = 8 , AD = 12 A = 10 ; ) AD, AC : AE = 15 : 33 BD = 12 .
428. AB 5 : 13, - 4 . AB.
429. BD (. 89). D DK, K, BD F, BF : FD = 7 : 5. : .
. 89
430. AB 6 . A 3,6 . AB B
-
125
D , A B AC : CB. B D.
431. A B K ( B , K ). : ) AC, B = 2 , K = 5 = 9 ; ) A, K = 16 , = 3 K = 7 .
432. , 68 , - 7 : 10.
433. ADMK , D, M K , . , = 28 , = 20 , = 24 .
434. 55 . , , - 5 : 3, . , .
435. 5 8 . ,
3,6 3,9 , . , - .
436. 24 18 , 15 12 . , - .
437. CD CDM, 45, - CD. , - 60 .
438. 4 - , , 36 . , .
439. , , 12 30. , .
-
126 7.
440. 6 . , 120.
441. , b . : ) ; ) .
.
, . - .
.
- - (1794 .).
()
proportionalis, , - , , - .
, - . , , ,
(1642 1727)
- (1752 1833)
-
127
, , .
(. sectio aurea, . golden ratio), . - .
: b = c : d
XVIII . .
, - , - , . , - .
(1646 1716)
-
128 8.
8.
1. .
90 ) ) , - .
. 90
, , .
. 91
ABC A1B1C1, . 91, -
. ABC,
(), A1B1C1.
(A = A1, B = B1 C = C1), ,
, : .
) ) )
, - , .
-
129
A1B1C1 ABC, :
A1B1C1 ~ ABC. , : A1 = A, B1 = B
C1 = C .
. . 91 A1B1C1 ABC
k = 2 . : A1B1C1 ABC.
ABC A1B1C1
.
2. .
? -, ? - .
. ABC . a AB BC M K. a||AC. , BMK ~ BAC.
. 92
, - , , - .
5* . . 8 .
-
130 8.
1. BMK BAC (. 92). B , M = A MK||AC AB. K = C MK||AC BC.
2. :
. , BMK ~ BAC .
442. ABC ~ MOK. , .
443. ACD ~ OPK. A = 30, D = 100. OPK. 444. 3 , 8 10 .
: ) 4; ) ; ) 0,4.
445. ABC MOK 4. : ) ABC MOK; ) MOK ABC.
446. 21 .
: ) 4; ) .
447. ABC MPK MPK = STO. ABC STO? - STO ABC.
448. ABC. : ) AOP A 3;
) BMK B .
3. .
- .
-
131
. , , .
.
. ABC A1B1C1 A = A1 B = B1 (. 93). , ABC ~ A1B1C1.
. 93
1. BA ABC ( ) B2 = 11 2 , AC, BC C2.
2. : 2BC2 ~ ABC -.
3. 2BC2 = A1B1C1 . : A2B = A1B1 , B = B1 , 2 = A1 , - A.
4. : ABC ~ 2BC2 2BC2 = A1B1C1. , ABC ~ A1B1C1. .
, .
, .
-
132 8.
.
. A1B1C1 ABC A1 = A .
A1B1 = kAB A11 = kA (. 94). , ABC ~ A1B1C1.
. 94
1. , AB2C2 ~ ABC.
AB ABC AB2 = A1B1
B2C2||BC. : . AC2 = kAC.
2. AB2C2 = A1B1C1 . :
A = A1 , AB2 = A1B1 , AC2 = A1C1,
AC2 = kAC A1C1 = kAC.
3. : ABC ~ AB2C2. AB2C2 = A1B1C1. , ABC ~ A1B1C1.
.
.
, , .
, .
-
133
. A1B1C1 ABC ,
A1B1 = kAB, B1C1 = kBC A1C1 = kAC (1) (. 95). ,
A1B1 1 ~ ABC.
. 95
1. , - AB2C2, ABC, , - A1B1C1. AB ABC AB2 = A1B1 B2C2||BC.
: AB2C2 ~ ABC.
: . AB2 = kAB; B2C2 = kBC AC2 = kAC (2).
2. (1) (2) , A1B1 = AB2, B1C1 = B2B2 A1C1 = AC2. , A1B1C1 = AB2C2.
3. : ABC ~ 2C2 2C2 = A1B1C1. , ABC ~ A1B1C1. .
449. , ABC
ODF: ) ; ) ; ) .
450. ABC AMK, A . - , ABC AMK: ) ; ) ?
-
134 8.
451. ABC POD. , . -
, ABC POD:
) ; ) ?
452. ABC MOK , A = M, B = O. ,
(. 96). : ) ; ) ; ) BC, OK = 15 ;
) MK, AC = 10 .
453. ACD MPK , C = , AC = 4MP CD = 4PK (. 97). A M; D K. . : ) AD, MK = 8 ; ) MK, AD = 12 .
454. ACD POK, , AC = 2PO, AD = 2PK CD = 2OK. POK, A = 30 D = 70.
455. , 30 70, : ) 30 80; ) 30 50; ) 70 80? -.
456. , 40, : ) 30; ) 50? .
457. , - 4 12 , : ) 8 24 ; ) 15 5 ; ) 10 40 ?
. 96 . 97
-
135
8
, , .
= 1, = 1, = 1
-. , -, , - .
BMK ~ BAC
. -, , .
. - , . . - , .
. -, .
-
136 8.
1. , 2 : 3. , 15 .
. 98
ABCD , . : = 2 : 3 (. 98), MN , MN = 15 .
1. AOD ~ : = DOA ; = OAD AD||BC .
2. , .
3. MN = (AD + BC);
AD + BC = 2MN = 2 15 = 30 ().
4. , D (30 ) .
: . : 3 = 2(30 ); 3 + 2 = 60; 5 = 60,
= 12. , = 12 , = 30 12 = 18 ().
: 12 ; 18 .
-
137
. CD, . , = MD. : 1) (. 99 ); 2) (. 99 ).
. 99
1 . CD .
1. MDB ( = DM). A = D, m. , MDB .
2. : , = MD.
2 . .
1. = mC. MDA D = mC.
M . , MDA .
2. : , = MD.
- 2
, - , - .
) )
-
138 8.
. KA ( ) KB, (. 100). , KC KB = KA2.
. 100
1. KAC KA . KAC = mC.
2. . AC = mC. , KAC = ABC.
3. KAC KBA K KAC = KAB. , KAC KBA .
4. : , KC KB = KA2,
.
1. , , .
- 3
, , , .
-
139
2. , , . 3. , 1,7 , 8 ,
. . ?
4. 1 , 4 .
, 0,5 ?
5. 2 10 -, 90 . -, 1 ?
6. 15 2 , 70 . .
. 2 . 3
-
140 8.
1. ? 2. , ? 3. : ) ; )
; ) ? 4. ,
, . 5. : ) ; ) ; )
.
458. 4 : 5 : 7.
, : ) 32 ; ) 28 ; ) 27 .
459. 3: 4 : 5. , - 48 .
460. , - 37, 53?
461. , 73 81, 26 73?
462. , , D, K. DK, : ) = 76 , D = 33 , = 44 ; ) = 36 , = 30 , AD = 20 .
463. ABC MOK A = M, B = O, AB = 6 BC = 8 . OM, OK = 2 .
464. ACD POK. , AC = 15 , CD = 7 , AD = 10 , OP = 45 OK = 21 . PK, C = O.
. 8
8
-
141
465. AB CD O, AC BD . , AOC ~ BOD. AC, AO = 2 , OB = 8 BD = 12 .
466. MK, M K . = 35, K = 145, = 7,2 , MK = 6 , = 2,7 . , MBK ~ ABC. .
467. ABCD AD BC. -, BOC ~ DOA. OD, AD = 15 , BC = 5 BO = 4 .
468. ABC AC AB
M K , AM = AC AK = AB. ,
AMK . MK, BC = 12 .
469. AB AC ABC M K
, AK = AC AM = AB. , AKM = .
470. MK . , - 12 , = 18 .
471. , , ( ) , D . D 2,25. , = 12 .
472. O O1 ABC A1B1C1.
, AOC ~ A1O1C1. , .
-
142 8.
474. ABCD, AD BC 12 3 , AC 10 . AO OC.
475. D . AD 26 39 , BD 35 . , B ~ DOA. .
476. ABC AC D , ABD = C. , AB2 = AD AC.
477. ABCD AD BAC = ADC. , AC2 = AD BC.
478. AC ABC C D , BDC = ABC. AC, AB = 3 DC = 8 .
479. = 12 , = 18 . - , , = . , ~ A. .
480. ABC AB = 20 , BC = 12 AC = 18 . -, C AB.
481. , - 3 . , - 8 16 .
482. , -
. 483. : ,
, . 484. ,
, . 485. , -
4,5 13,5 . , 42 .
486. 18 32 . . .
-
143
487. D AD BD ABD BCD . AD, = 10 , DC = 15 c, BD = 20 c.
488. MK D. D , D , D = 9 , DK = 4 , 10 .
489. CD K. CD, CK = 22 , AK = 6 , OB = 25 .
490. KP 14 12 . 11 . .
, , , -
, . VI . . . ( ) 1 -. , .
, , , - V IV . . . , , - . : , .
, , , - 90 S simils, . ~ 1679 .
, (. 101). - - , - () , () .
-
144 8.
. 101
2. 5 : 6 : 8.
, ... 20 , 24 , 36 ; 10 , 12 , 18 ; 60 , 80 , 100 ; 35 , 42 , 56 .
3. 30 70. , - ? 30, 60, 90; 70, 60, 50; 130, 35, 15; 80, 70, 30.
7 8
1. ||DE, = 4 , BD = 6 , = 5 . -... 7 ; 8 ; 7,5 ; 10 .
4. D||CK, AD = 6 , DK = 4 , + = 24 . - .
-
145
5. D BD 65 91 , = 35 , = 40 . -, .
6. . 34 , 10 . , - 42 .
7. K , PK = 7 , KM = 8 .
9 . K .
8. ABCD BM, 10 6 , . , M 48 .
9. 42 54 24 . 7 : 9 : 4, - 18 . .
10. 42 , 3 4 .
. 11. , -
, 15 12 . , 252 . - .
12. AD , . AD m, K. MK, = 16 , KC = 6 .
-
146 9.
9. .
9.1.
1. , .
, . , - .
. 102
a A, (. 102 ). A b, a. B - a b. , , AB , - A a, B . - AC, A C - , a. C , , . BC, - , (. 102 ). . 102 ) MK , M m. MP ML m. PK LK .
) ) )
, , , . , - , . , , .
-
9.1. 147
1. - , , ( - , ).
2. - -, , ( - , ).
491. m M . MK
MN. MN. 492. ACD C.
CK. , : ) AC -; ) CD .
493. MK , MN m, MN = 20 . -: ) , MNK = 60; ) MK, NMK = 60.
2. .
().
a b. c,
, () a b. :
c2 = a b = .
, 4 9 6,
4 9 = 36 = 62 . () -
. , -
.
() - , .
-
148 9.
. ABC - C A, . a , A, b , B, - (. 103 ).
. 103
CD , ha (. 103 ). CD AB, CB AC
, BD AD . BD ac ( a ), AD bc ( b ).
, :
1) ;
2) ; .
CD ABC : ADC CDB, = , = 90 , DCB = 90 (90 ) = . .
ADC ~ D AB.
: 1) , , , ;
2) - .
) )
-
9.1. 149
1. : ADC CDB. - CD AD D DB CD CDB ( ).
: . :
.
2. ) ACB CDB. -
-
DB CDB. : . -
: 2 = ;
) ADC ACB.
AD C D
AC AB ACB. : . -
: b2 = c bc . .
494. , d x, -
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153
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2 = BD AB; ( )2 = ( + 8); 2 + 8 = 20; 2 + 8 + 16 = 36; (x + 4)2 = 36. + 4 > 0, + 4 = 6; = 2. , BD = 2 = 2 + 8 = 10 ().
2. 2 = AD AB; 2 = 8 10 = 80 ().
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-
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1. K ABCD ABM DCK ( ) K. -, = KD K = . , B = AD 2AM.
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3. 4 17 , 13 20 . .
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ABCD (. 108) AD = 17 = 4 , = 13 BD = 20 K ( = K).
, , K, K, K. .
K , K = = 4 . = , K = ( + 4) , MD = (17 ) . K: K2 = 2 K2; K2 = 132 ( + 4)2.
DBM: BM2 = BD2 MD2; BM2 = 202 (17 )2. BM2 = K2, : 202 (17 )2 = 132 ( + 4)2; 400 289 + 34 2 = 169 2 8 16; 42 = 42; = 1. , = 1 ,
K = 5 K = (). K = = 12 .
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-
155
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: a b . : , : = : b.
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157
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516. 15 20 . , .
517. 12 16 . . 518. 25
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4 . . 521. 4 ,
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12 . . 523. 53 , 45 .
, 20 . 524. ,
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526. 6
, 5 . . 527. 36
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-
161
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532. 3 : 4, - 20 . .
533. 1 , , , 15 . -.
534. 28 , 10 . .
535. 36 , , , 12 . -.
536. 3 : 4, 50 . .
537. 50 , 48 . - .
538. 8 20 , 5 . .
539. 9 21 , - 17 . .
540. CK ABC, K AB. ABC, AC = 10 , CB = 17 , AK = 6 .
541. BD ABC, D AC. ABC, AB = 17 , BC = 39 BD = 15 .
542. , -
2 . .
6* . . 8 .
-
162 9.
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547. , 24 , 18 , .
548. , , , 7 . , 24 .
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550. h , -
b. , .
551. , , , -.
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60. .
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163
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558. 2 19 , 13 20 . .
559. 18 , , , 8 . - .
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561. , 24 , 50 . .
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564. : ABCD , AD2 + BC2 = AB2 + CD2.
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164 9.
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165
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6. . 20 , 16 . 13 . .
9
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2. BD D, - , - ...
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3. , , ...
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166 9.
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9. , , 12 18 , . .
10. ,
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12. . 15 20 . , .
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1. . . 113 ,
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171
3. .
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, (. 117 ) 180 6 = 1080.
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1. 15-, .
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, 15- 2340 : 15 = 156. 2 . 15- , .
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2. , 35 -.
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591. , , , -
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10
-
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(1436 1476)
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1. , , :
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2. , .
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3. . F1 = F2, S1 = S2.
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-
11.1. . 181
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2. .
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. 121 a = 8, b = 5).
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-
182 11.
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. 122
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:
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-
11.2. 183
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) 4 ; ) ; ) .
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1.
. ABC -
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, SABC = a b.
:
S. . = a b.
-
184 11.
. 123
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: SCBDA = SABC + SBAD. ABC = BAD, SABC = SBAD
( 2). , SABCD = 2SABC. SABC = SCBDA = a b.
.
2. .
. ABC , BC = a, AD
, , AD = ha. , SABC = BC AD = a ha.
. 124
) )
-, :
S. = a ha.
) ) )
-
11.2. 185
D AD - (. 124 ) ).
1 . D -
, , (. 124 ). D . ,
SABC = BC AD = a ha.
2 . D BC (D -
) (. 124 ). AD
: ABD ADC. : SABC = SAD + SAD =
= D AD + D AD = AD (D + D) = AD BC = BC AD =
= a ha. SABC = a ha.
3 . D BC (. 124 ).
ABC -
: ADC ADB. : SABC = SADC SADB = DC AD DB AD =
= AD (DC DB) = AD BC = BC AD = a ha. , SABC = a ha.
, S = a ha . .
3. .
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:
S = , a .
-
186 11.
. 125
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CK ACD CK. 604. :
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606. , , , : ) 3 8 ; ) 18 0,2 ;
) . 607. 4 . 608. , ,
, 10 15 .
-
11.3. , , 187
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610. , , 126, .
. 126
1. .
. ABCD ,
, , AD = a, BK , , BK = ha (. 127). , S. = AD BK S. = a ha.
-, :
S. = a ha.
-
188 11.
. 127
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ABD a , ha , . :
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SABCD = a ha. .
.
, . - , , .
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.
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S = d1 d2.
:
S = d1 d2, d1 d2 .
-
11.3. , , 189
. 128
-
, , ABC
ADC. , ,
BD. , : SABCD = 2SABC = 2 AC =
= 2 AC BD = d1 d2. S = d1 d2.
.
. ABCD AD, BK , (. 129). : D = a, B = b, BK = h.
, SABCD = , SABCD = .
. 129
:
S. = .
-
190 11.
, , BD. - : ABD D. :
SABCD = SBD + SBD = AD BK + BC BK =
= (AD + BC) BK = (a + b) h = .
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. ,
.
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612. KLMN KN. NA. , NA.
613. , ,
, : ) 12 15 ; ) 4 3 . 614. 12 8 . 615. , : ) 10 24 ;
) 4 3 .
616. : ) 7 13 5 ; ) 8 5 .
617. : ) ; ) ; ) ?
618. , , 130, - .
.
-
191
. 130
11
, - , : SE = 1, S , E .
- , . SF > 0, S , F . . F1 = F2, S1 = S2.
, :
S(F) = S1 + S2 + S3.
-
192 11.
, .
: S = a b. : S = a2.
- :
S. . = a b.
, :
S. = a ha.
-
S = , a .
, :
S = a ha.
:
S = d1 d2, d1 d2 .
-
: S. = .
- : S. = mh.
-
193
1. 4 , 20 . .
, - ( + 4) . , -, 2 + ( + 4)2 = 202. : 2 + 2 + 8 + 16 = 400; 22 + 8 384 = 0; 2 + 4 192 = 0. 1 = 16 ( - ), 2 = 12. , 12 , 16 . , - 12 16 = 192 (2).
: 192 2.
2. d.
. 131
D BD = d (. 131). -
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BD2 = AB2 + AD2; d2 = x2 + x2; 2x2 = d2; x = ; S = x2 = =
= = d2.
: d2.
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-
194 11.
3. 8 12 . , - 12 , 6 . , - 8 .
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9 .
: 9 .
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= ON = K = r. , , .
. 132
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-
195
. .
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. 133
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, ;
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. , b
, . ,
.
5
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hb. , .
-
196 11.
6. , -
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. b (. 134).
. 134
: ha , hb b.
S = ha = b hb. : ha : hb = b : a,
.
7. 24 36 , 5 . .
- .
. , , -
.
, ( + 5) . -: 36 = 24( + 5). : 36 = 24 + 120; 12 = 120; = 10. , S. = 36 10 = 360 (2).
: 360 2.
8. 50 14 , . .
-
197
. 135
ABCD (. 135), AD = 50 ,
= 14 BD. K .
= DCK K , AM = KD K = .
(). MD = AD AM = 50 18 = 32 ().
ABD, -
AD. -
: (). -
(2).
: 768 2.
. ABCD (||AD), - BD BD (. 136).
. 136
- 9
, S , - , , S = h2.
-
198 11.
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, = = (ON + OM) MN =
= MN2 = h2; SABCD = h2, .
. ABCD - (. 137).
. 137
ADC ABD . AD , , , . DCO. : SABO = SABD SAOD, SDCO = SDCA SAOD, D - D.
1. 8,25 4,32
2,2 1,2 . , -.
2. , . 3. , .
- 10
. , , , .
-
199
4. 580 376 . - , 16 2 ?
5. 40 35 - , 40 12 20 . , .
6. ABCD, , MN . AN, AB = 100 , DC = 60 .
7. . , 6,5 2 1,5 ( )?
8. 4000 , - 7,2 . -, .
. 2 . 3
. 6 . 7
-
200 11.
1. ? . 2. . . 3. :
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. 4. : ) ; ) ; ) ; ) . 5. .
619. , 15
3 . 620. 270 2, 15 .
. 621. , 45 2,
5 . 622. , 7 , -
34 . 623. , 25 2. 624. .
6 , 9 . -.
625. , 6 , - 10 .
626. , 60 2, 12 .
627. , 144 2, - 1 : 2.
. 11
11
-
201
628. 6 . , 24 2.
629. 30 2, 12 . , .
630. , - 12 , 13 .
631. , 40 2, , , 8 .
632. , 20 , 26 .
633. , - 20 , 16 .
634. 3 : 4. - , 96 2.
635. , , , 3 : 2, 108 2.
636. 12 . , , 96 2.
637. , 40 2, 5 .
638. 10 . -, 120 2.
639. , 10 , - 50 2.
640. 4 . - , 36 2.
641. ABCD, AB = 6 , AD = 8 A = 30.
642. , 6 , 150.
643. , 10 , - 12 .
644. , 10 , 30.
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202 11.
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646. 72 2, 18 12 . .
647. ABCD A CK = 4 - AD AK = 6 KD = 3 . .
648. 120 2, 10 8 . .
649. ,
3 , 46 . 650. , 24 . -
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651. 78 , 4 : 9. , .
652. , 26 , 40 2.
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203
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2.
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204 11.
669. 10 12 . .
670. , 19 10 , 15 .
671. , 12 13 , 4 : 9.
672. 20 , 13 , 12 . .
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KC , BK = 6 KC = 4 . . 674. A ABCD BC .
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677. , 30 40 . .
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679. 10 . .
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681. - 2 6 . .
682. 26 10 . .
683. ,
2 , 4 . 684. , ,
12 8 . .
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205
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686. 112 , , - , 25 . .
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689. , .
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692. 12 16 , 30. .
693. , .
694. 2 19 , 13 20 . .
695. 4 20 , 13 . .
696. , - 10 . .
697. m, - . .
698. 24 . - 5 6 . .
699. , , 162 2. , 30.
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206 11.
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207
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10 11
1. - 3 4 ... 7 2; 12 2; 6 2; 24 2.
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208 11.
9. - 10 6 . .
10. 12 , 20 .
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12. 70 , 37 . .
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210 12.
12.
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