geometri dimensi dua dan tiga

disampaikan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK

Jenjang Dasar

DI LPMP PROVINSI JAWA TIMUR

Drs. Markaban, M.Si.Drs. Markaban, M.Si.Widyaiswara P4TK Matematika YogyakartaWidyaiswara P4TK Matematika Yogyakarta

Alamat Rumah : SobrahGede RT 01/X, Alamat Rumah : SobrahGede RT 01/X, Buntalan, Klaten Tengah, KlatenBuntalan, Klaten Tengah, Klaten

No.HP: 081328759138, E-mail:mar_kaban@yahoo.comNo.HP: 081328759138, E-mail:mar_kaban@yahoo.com

Pengalaman Kerja :Pengalaman Kerja :

1. Guru MAN Karanganom Klaten1. Guru MAN Karanganom Klaten

2. Guru SMA Muh. I Klaten2. Guru SMA Muh. I Klaten

3. Instruktur Penyetaraan D33. Instruktur Penyetaraan D3

4. Guru SMK N 3 Klaten4. Guru SMK N 3 Klaten

GEOMETRI DIMENSI DUAGEOMETRI DIMENSI DUA

Kompetensi Dasar:

1. Mengidentifikasi sudut

2. Menentukan keliling bangun datar

dan luas daerah bangun datar

3. Menerapkan transformasi bangun

datar

Pengertian Sudut

Di dalam taksonomi belajar menurut Gagne, sudut adalah suatu konsep dasar, maka dari beberapa cara untuk mendefinikan tentang pengertian sudut, dapat melalui salah satu pendekatan melalui rotasi garis sebagai berikut :

A B

B’

α

Dinamai sudut BAB’

atau BAB’ atau A atau α

Sudut Dalam Kedudukan Baku

A

B

C

θ

Sudut θ tidak dlm kedudukan baku

X

Y

A B

C

θ

Sudut θ dalam kedudukan baku

Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ

Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ

Sudut Sebagai Bentuk

sudut lancip

sudut siku-siku

sudut tumpul

sudut lurus

sudut refleks

sudut penuh

Besar Sudut

Besar Sudut

Seksagesimal

Radial

Sentisimal

Sistem SeksagesimalSebagai motivasi digunakan Sejarah Matematika, bahwa berdasarkan hasil penggalian situs pubakala di lembah Mesopotamia (sekarang termasuk daerah Irak), diketemukan bahwa ilmu pengetahuan yang dimiliki bangsa Babilonia pada masa itu sudah sangat tinggi, bahkan dari peninggalan bangsa Sumeria (kira-kira tiga ribu tahun sebelum Masehi) didapati telah membagi satu putaran penuh menjadi 360 bagian yang sama. Inilah yang menurut dugaan para ahli bahwa satu lingkaran penuh dibagi menjadi 360 derajat (ditulis selanjutnya dengan simbul “ º “)

•P

•

Sistem Radial

•r

r

1 radian

Sebagai motivasi diceriterakan bahwa untuk pengukuran sudut elevasi penembakan meriam dalam kemiliteran zaman dulu diperlukan ukuran sudut yang tidak menggunakan ukuran derajat, namun ukuran lain yang lazim kita kenal dengan istilah sistem radian

Dalam sistem radian yang dimaksud besar sudut satu radian adalah besar sudut pusat dari suatu lingkaran yang panjang busur dihadapan sudut tersebut adalah sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.

"45'175757,296 1 00 radian

radian017453,010

Sehingga diperoleh hubungan:

1800 = π radian

Sistem Sentisimal• Pada instrumen-instrumen untuk keperluan

astronomi, peneropongan bintang, teodolit dikenal satuan sudut yang sedikit berlainan dengan kedua ukuran di atas, sistem ini kita kenal dengan nama sistem sentisimal. Pada sistem ini satu putaran penuh adalah 400g (dibaca “400 grad”).

• Sehingga besar sudut ½ putaran adalah 200g besar sudut ¼ putaran adalah 100g

besar sudut 1/400 putaran adalah 1g

Untuk ukuran sudut yang lebih kecil dikenal :• 1g = 10dgr = 10 (dibaca : “10 decigrad”)• 1dgr = 10cgr = 10 (dibaca : “10 centigrad”)• 1cgr = 10 mgr = 10 (dibaca : “10 miligrad”)• 1mgr = 10 dmgr = 10 (dibaca : “10

decimiligrad”)

2 __9

rad

berapa derajat?

P

360o - 2.400 = 2800

Besarnya sudut pusat dan sudut keliling

Beberapa relasi sudut

A1

23

4

g h

sudut bersisihan, jumlahnya 180o

A1 dengan A4 dan A2,

sudut bertolak belakang, sama besarA1 dengan A3

A2 dengan A4

sudut berpelurus, jumlahnya 180o

A1 dengan A4 dan A2,

Sudut berpenyiku, jumlahnya 90o

a //b

b//a

c memotong a dan b

24

8 65

7

1

3

A B

C

D E

CDE dan ABC sebangun

CD___CA = ___CE

CB =DE___AB

DE // AB

SEGIEMPAT

segiempat

segiempat garis

singgung

segiempat talibusur

jajar-genjang

layang-layang

belah-ketupat

trapesium sama kaki

persegi-panjang

trapesium siku-siku

trapesium

persegi

Soal

Jika suatu jajargenjang ABCD diketahui tegak

lurus , panjang 6 cm, = 9 cm, dan

panjang = 8 cm ; maka luas daerah

jajargenjang tersebut adalah ….

BE

AD BC AB

BE

Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang?

4)

1) 2)

3)

Luas Bangun Datar

GEOMETRI DIMENSI GEOMETRI DIMENSI TIGATIGA

Kompetensi Dasar:1. Mengidentifikasi bangun ruang dan

unsur-unsurnya2. Menghitung luas permukaan3. Menerapkan konsep volume bangun

ruang4. Menentukan hubungan antar unsur-

unsur dalam bangun ruang

Bangun ruang adalah bangun yang semua elemen pembentuknya tidak seluruhnya terletak pada sebuah bidang datar

• Pengalaman belajar

Bak Mandi

Container

Bak Truk

Gedung Bertingkat

Bangun Ruang

Berupa Luasan

Bukan Beru-pa Luasan

Tertutup

Tidak Tertutup

Bukan Bidang Banyak

Bidang Banyak

Bukan Konveks

Konveks

Pengalaman Belajar

• Sebuah kolam renang berukuran panjang 50 m dan lebar 20 m. Kedalaman kolam

pada bagian yang dangkal 1 m dan terus melandai hingga pada bagian yang paling

dalam 3 m. Jika kolam terisi penuh, berapa banyak air di dalam kolam tesebut!

Konsep pengukuran volum

Volum suatu bejana adalah banyaknya takaran yang dapat digunakan untuk memenuhi bejana tersebut

Bejana adalah bangun ruang yang berongga

Bagaimana penurunan rumus-rumus volum secara induktif?

Isi Panjang (p)

Lebar (l)

Tinggi (t)

p x l x t

bentuk alas balok

Panjang (p)

Lebar (l)

p x l (Luas alas)

L A x t

3 3 1 1 3

Persegi panjang

3 1 3 x 1 = 3 3

VOLUM BALOK

IsiPanjang

(p)Lebar

(l)Tinggi (t) p x l x t

bentuk alas

balokPanjang

(p)Lebar

(l)Tinggi

(t)

p x l

(Luas alas)

L A x t

16 2 2 4 16

kubus 2 2 4 164

Isi Panjang (p)

Lebar (l)

Tinggi (t)

p x l x t

bentuk alas balok

Panjang (p)

Lebar (l)

Tinggi (t)

p x l (Luas alas)

L A x t

8i

12 3 2 2 12

Persegi panjang 3 2 3 x 2 = 6 122

Rumus Volum Prisma tegak segi empat :

V = p l t

= L A t

Rumus Volum Prisma tegak segitiga sama kaki:

V =

= ½ (p l t)

t

lp

= L A t

½ V Prisma segiempat

Volum Prima tegak segitiga sama kaki

Volum Prisma tegak segitiga sembarang

a1a2

Volum Prisma tegak segitiga sembarang adalah :

V = (La1 + Laa) t

= Jumlah Luas alas tinggi

a1 a2a3

a5 a4a6

Volum prisma tegak segi enam adalah :

V = (La1 + La2 + La3 + La4 + La5 + La6) t

= Jumlah Luas alas tinggi

V = L A t

t

Alas prisma tegak segi enam

a6

a5a4

a3

a2

a1

Volum Prisma Tegak Segi EnamVolum Prisma Tegak Segi Enam

Volum prisma tegak segi enam adalah :

V = (La1 + La2 + La3 + … + Lan) t

= Jumlah Luas alas tinggi

V = L A t

Prisma tegak segi n Alas prisma tegak segi n

Volum Prisma Tegak Segi n

Tabung adalah prisma segi n dengan n tak hingga.Segi n tak hingga membentuk lingkaran, maka alas tabung adalah lingkaran

Karena alasnya berbentuk lingkaran, maka Volum tabung adalah : V tabung = LA x t

= L lingkaran x t

= π r 2 x t

VOLUM TABUNG

Prisma segiempat

Prisma segienam

Prisma segi banyak

Prisma segi n/ tabung

Tinggi kerucut = tinggi tabung

1

2

3

Volum tabung = π r 2 t

Volum tabung = 3 x Volum kerucut

Volum kerucut = 1/3 Volum tabung

= 1/3 x π r 2 t

Diameter kerucut = diameter tabung

Tinggi ½ bola = tinggi kerucut = jari-jari bola = r

Volum kerucut = 1/3 x π r 2 t

Volum ½ bola = 2 x Volum kerucut

Volum 1 bola = 4 x Volum kerucut

Volum Bola = 4 x 1/3 x π r 2 t

= 4/3 π r 2 t = 4/3 π r 3

Diameter bola = diameter kerucut

Volum balok (prisma tegak segi 4) = p x l x t

Volum balok (prisma tegak segi 4) = 3 x Volum limas

Volum limas = 1/3 Volum balok

= 1/3 x p x l x t

= 1/3 x LA x t

Tinggi limas = tinggi prisma tegak

VOLUM LIMAS

Alas prisma = alas limas

Langkah-langkah menurunkan rumus volume limas:

• misalkan panjang rusuk sebuah kubus a satuan, maka volume kubus a3 satuan

• Buat kerangka kubus dengan panjang rusuk a satuan

• Lengkapi kerangka kubus dengan ke empat diagonal ruangnya

• Maka dalam kubus terdapat enam buah limas persegi yang kongruen

Cara lain :

E F

H G

•Perhatikan gambar berikut

A B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

oA B

P

CD

a

o

Dari gambar diatas nampak bahwa:

Pada kubus ABCD.EFGH terdapat 6 buah limas P.ABCD yang kongruen.

1

Dengan kata lain volume kubus = 6 x volume limas

= a2 x a

= x a2 x 2 x a

= x luas alas x tinggi

a3 616

1

61

1

2

1

3

=

Volume limas = 1/6 volume kubus

Soal

• Seorang siswa merencanakan bangunan rumah dengan atap berbentuk limas beraturan T. ABCD dengan rusuk TA = 42 m dan AB = 4 m. Jarak A ke TC adalah … m.

Menentukan hubungan antar unsur-unsur dalam bangun ruang

Soal:

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik M adalah perpotongan diagonal-diagonal AC dan BD. Jarak titik E ke garis GM adalah ... cm

a) 32 b) 33 c) 43 d) 36 e) 63

2. Seorang siswa merencanakan bangunan rumah dengan atap berbentuk limas beraturan T. ABCD dengan rusuk TA = 42 m dan AB = 4 m. Jarak A ke TC adalah … m.

a. ½ 6 b. 6 c. 26 d. 36 e. 46

Jarak dalam Ruang