geometrÍa analÍtica (segunda parte)
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U.E. Manuel Ascencio Padilla Prof. Javier Delmo Hacosta Moralez
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Ángulo entre dos rectas en función de sus pendientes.- El ángulo entre dos rectas esta por:
2 1
2 1
tan1m m
m m
Nota: Los vértices se toman en sentido contrario a las agujas reloj
Ejemplo 1 Hallar el ángulo entre dos rectas y cuyos pendientes son: 113
m y 112
m
Sea:
2 1
2 1
tan1m m
m m
Remplazamos valores y resolvemos
1
1 12 3
tan1 112 31 12 3tan1 112 3
5 5306 6tan 1
1 5 3016 6
tan (1)45
U.E. Manuel Ascencio Padilla Prof. Javier Delmo Hacosta Moralez
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Ejemplo 2 Graficar y hallar el ángulo de las rectas formado por los puntos A(-2, -1); B(6, -2) y C(4, 5); D(1, -2) Graficamos e identificamos los puntos a utilizar para calcular las pendientes (nótese que las pendientes son tomadas en cuenta en sentido contrario a las agujas del reloj): Para calcular 1m usamos los puntos
A(-2, -1) y B(6, -2) Sea: Remplazamos: Resolvemos:
Para calcular 2m usamos los puntos
C(4, 5) y D(1, -2) Sea: Remplazamos: Resolvemos:
2 11
2 1
1
1
1
1
2 ( 1)6 ( 2)2 16 21818
y ym
x x
m
m
m
m
2 12
2 1
2
2
2
2 51 473
73
y ym
x x
m
m
m
U.E. Manuel Ascencio Padilla Prof. Javier Delmo Hacosta Moralez
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Remplazamos los valores de las pendientes en la fórmula:
2 1
2 1
tan1m m
m m
1
7 13 8
tan7 113 8
7 13 8tan
7124
5959 24 5924tan
17 24 17 172459tan17
73.93
Ejemplo 3 Los vértices de un triángulo son A(7, -2); B(6, 6) y C(-2, 1) Calcular:
a) La pendiente de cada lado b) Los ángulos interiores (nótese que la suma de los tres ángulos
interiores es 180º) a) Graficamos e identificamos y calculamos las pendientes de cada lado:
Para calcular la pendiente ABm usaremos los puntos A(7, -2) y B(6, 6) 8ABm
Para calcular la pendiente BCm usaremos los puntos B(6, 6) y C(-2, 1)
58BCm
Para calcular la pendiente ACm usaremos los puntos A(7, -2) y C(-2, 1)
13ACm
U.E. Manuel Ascencio Padilla Prof. Javier Delmo Hacosta Moralez
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b) Con las pendientes encontradas encontramos el ángulo de cada vértice ( , , ):
Para el ángulo usaremos las pendientes ABm y ACm las cuales remplazaremos en
la fórmula correspondiente para encontrar el ángulo entre dos rectas…
La pendiente 1m será 8ABm y la pendiente 2m será 13ACm
1
1 83
tan11 83
1 238 23 3 233 3tan8 11 3 11 1113 3
23tan11
64.44 De igual manera calcularemos los ángulos y con sus pendientes respectivas según la gráfica.
U.E. Manuel Ascencio Padilla Prof. Javier Delmo Hacosta Moralez
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PRÁCTICA
1. Se da los vértices de un triángulo, Calcular sus ángulos interiores:
a) A(5, 7); B(0, 2); C(10, -2) : 74.05 , 66.8 , 39.14R b) A(2, 0); B(6, -3); C(8, 7) : 86.27 , 64.44 , 29.29R c) A(7, 0); B(3, 6); C(-2, 3) : 37.87 , 49.4 92.73R
2. Hallar el ángulo menor que forman los diagonales de los siguientes cuadriláteros: a) A(1, 1); B(9, 1); C(11, 6); D(3, 6) : 66R b) A(-1, -1); B(11, 4); C(6, 8); D(1, 6) : 63R
NOTA: Cada inciso realizar con su respectiva gráfica
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