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Prof. Dr. Steinweg, Uni Bamberg
Vortrag Uni Wien 31.05.2012 1
Didaktik der Mathematik & Informatik Prof. Dr. Anna Susanne SteinwegMarkusplatz 3 | 96047 Bamberg | Tel. +49 (0)951 _ 863-1979 anna.steinweg@uni-bamberg.de | www.uni-bamberg.de
Gleichungen in der Grundschule – einmal anders gedacht
Wien 31.05.2012
Didaktik der Mathematik & Informatik Prof. Dr. Anna Susanne SteinwegMarkusplatz 3 | 96047 Bamberg | Tel. +49 (0)951 _ 863-1979 anna.steinweg@uni-bamberg.de | www.uni-bamberg.de
Algebra
• Gebiet der Mathematik, das die Auflösung von algebraischen Gleichungen zum Gegenstand hat.
• Studium algebraischer Strukturenz.B. Eigenschaften (M, +)
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Ansichtssache Algebra?
What is algebra? There is no Supreme Court to decide such questions. Nevertheless, ‚algebra‘ has a meaning in everyday language just as ‚chair‘ and ‚table‘ have. For instance, at school algebra is solving linear and quadratic equations.
Freudenthal, Hans (1977) „What is Algebra and What has it been in History?".In: Archive for History of Exact Science 16.189 – 200 (193)
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Denken verändern …Dynamisch - Statisch• Wird nicht allseits bewegliches Denken und
Dynamik gefordert?
• Was heißt in diesem Zusammenhang statisch?
21 + 22 = 43
dynamischRechenimpuls
21 + 22 = 43
statischRelationen der Ganzheit
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Grundlage
• Rechnen -dynamische Prozedurenausführen
• Algebra -statische Konzepteanalysieren
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Gliederung
• Einordnung des Begriffs „Algebra“
• Zugänge im so genannten
„pre-algebraischen Bereich“
• Algebraisches Denken in und mit Grundschulmathematik fördern
• Fazit und Diskussion
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Vortrag Uni Wien 31.05.2012 2
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Zugänge zur Schul-Algebra
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Verschiedene Zugänge zur Algebra
• Historische Perspektive
• Generalisations-Perspektive
• Problem-Solving-Perspektive
• Modellbildungs-Perspektive
• Funktionale Perspektive
• „Direkte“ Perspektive
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Davidov, W. W.МАТЕМАТИКА - 1 Класс 1997
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Russian Math in HawaiiBarbara Dougherty
Projekt „Measure up!“
“How would you explain … what the equal sign is?”
“the quantities on both sides of the equal sign are the same amount” [1st grader]
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Symbole - Variablen
• … als Indiz, dass algebraisch gearbeitet wird?
• … als Zeichen, die epistemologisch zu deuten sind
• Wenn überhaupt, „welche“ Variablensicht scheint für Pre-Algebra günstig?
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Variablenaspekte
Freudenthal Küchemann MalleUrsini & Trigoeros
Unbekanntespecific
unknown orobject
Gegenstand im Einzelaspekt
unknown
Veränderliche variableEinsetzung im
Veränderlichen-aspekt
in functional relations
Unbestimmtegeneralised
numberKalkül im
Simultanaspektgeneral number
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Vortrag Uni Wien 31.05.2012 3
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Symbol Sense (Arcavi 1994)
• ability to
scan algebraic expressions, table of function values
inspect algebraic operations
determine the appropriate forms within several equivalent forms
feel the power of symbols and know when to abandon them in favor of other approaches
…
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Ohne Buchstabenvariablen algebraisch Denken (Akinwunmi 2011/2012)
Verallgemeinerungsweise Plakative Beschreibung des Terms x2
Angabe eines Beispiels „Das ist zum Beispiel drei mal drei.“
Aufzählung mehrerer Beispiele„Das ist ein mal eins, zwei mal zwei,drei mal drei und so weiter.“
Quasi-Variablen „Ich rechne immer drei mal drei.“
Bedingungssätze„Wenn da drei steht, dann rechne ichdrei mal drei.“
Variablen„Man muss die Zahl mal die gleicheZahl rechnen.“oder „? ?“
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Algebraisches Denken in und mit Grundschulmathematik fördern
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Zwei Welten!?
Arithmetik
• Prozesse
• Rechenoperationen
• (diskrete) Ergebnisse
Algebra
• Konzepte
• Gleichungen
• Beziehungen / Verhältnisse von Variablen
Beziehungen & Strukturen (in konkreten Zahlen)
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Erfahrungen übertragen …
• Livneh/Linchevski (2003). „Teaching Arithmetic for Algebraic Purpose: Does it Work?“ CERME 3. Bellaria, Italy
• Livneh/Linchevski (2007) „Algebrification of Arithmetic …“ PME 31. Korea 3-217 ff.
16 - 4x + 3 x
gleich?
75 - 25 + 25 75 - 50
16 - 7x
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Drei Grundeinstellungen
1. „Kindgemäße“ Zugänge sind innermathematisch möglich
2. Algebraisches Denken entwickelt sich nicht von allein
3. Lernen als aktiver Prozess der Auseinandersetzung mit Anforderungen der Umgebung / Fördern durch Heraus-Fordern
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Vortrag Uni Wien 31.05.2012 4
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Design
• Lernanregungen (Aufgaben mit Kommentar für Lehrkräfte)
• Erprobung im alltäglichen Unterricht (Trennung von teacher-researcher)
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• Erprobungszeitraum: knapp 1 Jahr
• 6 Projektklassen
Beginn: drei 2. Schulj. und drei 3. Schulj.
Ende: drei 3. Schulj. und drei 4. Schulj.
• 147 Kinder (74 w, 73 m)
• 12 Kinder im Interview-Panel
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Elemente der Unterrichtsideen
• Gleichungen ergänzen
• Äquivalenz beurteilen
• Punktmuster und Gleichungen
• Zahlenrätsel
• Eigenschaften der Operationen
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25 + 4 = ___ + 25
Ein Einzelfall?
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65,2 %
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Komponenten des Gleichungslösens (Malle 1983)
• Erkennen von Termstrukturen
Gliederung und Übersicht
• Anwenden von Regeln
Fertigkeiten bei Umformungen
• Heuristische Strategien
Wohin will ich? Welche Wege sind möglich? ...
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Gleichungen ergänzen100+70 = ___+60
• über die Rechenkompetenz hinaus, die Zahlbeziehungen wahrnehmen und argumentativ fassen....
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Äquivalenz beurteilen
Franziska, 3. Schuljahr
Lasse 2. Schuljahr
Pascal 3. Schuljahr
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Geometrische Muster und (passende) Gleichungen
Was siehst du?
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4x4 - Punktmuster „Was siehst du?“Pre-Test % Post-Test %
4·4 12.6 26.3
1+2+3+4+3+2+1 o.Ä. 1.5 27.1
16 Punkte, 16 Punkte im Quadrat, etc.
41.5 16.5
Quadrat / Viereck / Raute
32.6 19.5
unpassend 5.2 5.3
nicht bearbeitet 6.7 5.3
gesamt 100 100
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Welche Vorstellungen haben Kinder von multiplikativen Strukturen?
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Geometrische Muster und Gleichungen
1+2+3+4 = 25
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Patterns … Early Algebra
Watch Them GrowTag Anzahl der
Dreiecke
1 4
2 6
3
…
10
Navigating through Algebra in Grade 3-5 / NCTM
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Zahlenrätsel
• Ich denke mir eine Zahl …
• Gibt es eine Zahl… (vgl. Winter)
• verbale Rätsel
• „formale“ Rätsel
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Erfahrungen mit Unlösbarkeit
• Schulbuchaufgaben sind üblicher Weise
… immer lösbar
… immer in N lösbar
Kurzschluss: Wenn etwas „Krummes“ herauskommt, habe ich mich verrechnet.
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Gibt es eine Zahl,für die das Siebenfache der Zahl um 5 größer als 30 ist?
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5 ___ – 3 = 5
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0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Pretest Posttest
Gibt es eine passende Zahl? 2*__-3=4
keine Antwort
man kann nichts rechnen
geht nicht
ginge durch folgendeVeränderung
ginge nur mit Komma
Parität kann nichtausgeglichen werden
weil 7 nicht durch 2 geteiltwerden kann
Operative Annäherung
Gibt es eine passende Zahl?2 ___ – 3 = 4
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Allgemeingültige Eigenschaften der Operationen
• Kommutativität
• Distributivität
• Assoziativität
• Konstanzeigenschaften
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Kommutativität
• keine Probleme des Erkennens und Nutzens (pre 77% / post 89%)
• Weitere Aufgaben erfinden (über 90 %)
• Problem, die „Besonderheit“ zu erfassen
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Gegenbeispiele Kognitive Konflikte provozieren
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DistributivitätMalreihen addieren - Struktursinn entwickeln
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Distributivität
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6 __ + 6 = 5 6
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Vorstellungsbilder / Innere Strukturen
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Allgemeingültigkeit –Grenzenlosigkeit
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D1: 4 7890 + 2 7890 = ____ ____D2: 10 5 – 4 5 = _____ ____
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
D1Pretest
D1Posttest
D2Pretest
D2Posttest
Distributivität
keine Antwort
(Versuch einer )Rechnung
Terme "umgedreht" /Kommutativität
korrekt
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Allgemeingültigkeit
• Kommutativität 30%
• Distributivität 2.1% (3 Kinder)
hingegen Erkennen und Nutzen Pre-Test: 1.5 % Post-Test: ca. 30% in den Arbeitsblättern bis zu 66.7%
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Entwicklung der Sicht auf Aufgaben
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Pretest Pretest2/3Kinder
Pretest 3/4Kinder
Posttest Posstest2/3 Kinder
Posttest 3/4Kinder
Erfinde eine Aufgabe mit =
keine Antwort
zwei äquivalente Terme
Rechnung ohne Lösung
Rechnung mit Lösung
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89,5 %
7,5 %1,5 % 1,5 %
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Fazit und Diskussion
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Förderung algebraischen Denkens
• Implementation algebraischer Themen in das GS-Curriculum(vgl. UK, USA, AUS, NZ …)
aber: Forderungen durch Lehrpläne werden deshalb nicht zwingend in der Praxis erfüllt vgl. Chick/Harris (2007) 31st PME
• Unterstützung algebraischer Sichtweisen durch mathematische Kompetenz der Lehrpersonen
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Zum VerhältnisArithmetik – Algebra
• innerhalb der prozeduralen und rechnerischen Vorstellungswelt neue, konzeptionelle Strukturen entdecken
• zunehmende „Übersicht“ und Einsicht in Analogien und Strukturen
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„Neue“ Ziele ?
• Prozessebene / Handwerk / Ausbildung:Rechenkompetenz – schnell und sicher rechnen können
• Konzeptebene / Metaebene / Bildung: Operationen in ihren Eigenschaften verstehen
Mathematische Kompetenz
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Vortrag Uni Wien 31.05.2012 10
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Diskussion
• Aufgaben allein genügen nicht
• Umgang der Kinder und qualifizierter Lehrpersonen mit Entdeckungen bedeutsam
• Wege auf die Metaebene suchen
• Bedeutung von Muße und mathematischer Kommunikation
… um (Gleichungen) neu denken zu lernen
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Vielen Dank für Ihr Interesse.
www.uni-bamberg.de/matheinfdidaktik
Univ. Prof. Dr. Anna Susanne Steinweg (Otto-Friedrich-Universität Bamberg)
31.05.2012 Universität Wien
Gleichungen in der Grundschule – einmal anders gedacht
Leseanregungen
Akinwunmi, Kathrin (2011) “Zum Verallgemeinern mathematischer Muster und zur propädeutischen
Entwicklung von Variablenkonzepten in der Grundschule“. In: Beiträge zum Mathematikunterricht. Münster: WTM: 47-50
Arcavi, Abraham (1994) “Symbol Sense: Informal Sense-making in Formal Mathematics” In: For the Learning of Mathematics 14/3: 24-35
Bednarz, N., C. Kieran, et al. (1996). Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching.
Kluwer
Cerulli, Michele und M.A. Mariotti (2001) “Arithmetic and Algebra, Continuity or Congnitive Break?”
In: Proceedings of the 25th Conference of the International Group of PME. Utrecht, NL. vol. 2.: 225-
232
Chick, H. und K. Harris (2007) “Grade 5/6 Teachers’ Perception of Algebra in the Primary School
Curriculum” In: Proceedings of the 31st Conference of the International Group of PME 31. vol.
2. Seoul, Korea: 121 - 128
Cuevas, Gilbert J. und K. Yeatts (2001). Navigating through Algebra in Grades 3 – 5. Reston, Virginia,
NCTM
Davidov, W. W. et al. (1997) Mathematika Klass 1. Moskau [Давь׀дов, В.В. et al. (1997)
МАТЕМАТИКА - 1 Класс. МИРОС-АРГУС. Москва]
Dougherty, Barbara und L. Vanenciano (2007) „Measure Up for Understanding“ In: Teaching Children Mathematics. May: 452 - 456
Freudenthal, Hans (1977) „What is Algebra and What has it been in History?". In: Archive for History of Exact Science 16.189 – 200 (193)
Freudenthal, Hans (1986). „Algebra in der Grundschule?" In: mathematik lehren 15: 12 – 13
Livneh, Drora und Liora Linchevski (2003). „Teaching Arithmetic for Algebraic Purpose: Does it
Work?" In: Proceedings of the 3rd CERME. Bellaria, Italy
Livneh, Drora und Liora Linchevski (2007) “Algebrification of Arithmetic: Developing Algebraic
Structure Sense in the Context of Arithmetic” In: Proceedings of the 31st Conference of the International Group of PME. vol. 3. Seoul, Korea: 217 – 224
Malle, Günther (1993) Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg
Sawyer, W. W. (1964) Vision in Elementary Mathematics. Penguin
Steinweg, Anna S. (2001) „Wie heißt die Partnerzahl? Ein Übungsformat für alle Schuljahre“. In:
Schipper, W. & Ch. Selter (Hrsg.) Offener Mathematikunterricht: Arithmetik II. Seelze: Friedrich
Verlag: 72 - 74
Steinweg, Anna S. (2002) „Ich glaub, da hab ich was - Deutungen zu funktionalen Beziehungen durch
Grundschulkinder“ In: Peschek, W. (Hrsg.) Beiträge zum Mathematikunterricht. Hildesheim:
Franzbecker: 483 - 486
Steinweg, Anna S. (2003) „Gut, wenn es etwas zu entdecken gibt - Zur Attraktivität von Zahlen und
Mustern“ In: Ruwisch, S. & A. Peter-Koop (Hrsg.) Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Offenburg: Mildenberger Verlag: 56 – 74
Steinweg, Anna S. (2004) „Vom Reiz des Ausrechnen-Wollens oder Warum 25+4 auch 54 sein kann
...“ In Heinze, A. & S. Kuntze (Hrsg.) Beiträge zum Mathematikunterricht. Hildesheim:
Franzbecker: 573 - 576
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Steinweg, Anna S. (2006) „Mathematik einmal „ohne“ Rechnen - Kinder bewerten und beschreiben
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Steinweg, Anna S. (2007) „Vier Ziffern – viele Aufgaben: Anregendes Spielen mit Zahlen und
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