gleichungen in der grundschule – einmal anders gedacht z.b...

Prof. Dr. Steinweg, Uni Bamberg

Vortrag Uni Wien 31.05.2012 1

Didaktik der Mathematik & Informatik Prof. Dr. Anna Susanne SteinwegMarkusplatz 3 | 96047 Bamberg | Tel. +49 (0)951 _ 863-1979 [email protected] | www.uni-bamberg.de

Gleichungen in der Grundschule – einmal anders gedacht

Wien 31.05.2012


Algebra

• Gebiet der Mathematik, das die Auflösung von algebraischen Gleichungen zum Gegenstand hat.

• Studium algebraischer Strukturenz.B. Eigenschaften (M, +)


Ansichtssache Algebra?

What is algebra? There is no Supreme Court to decide such questions. Nevertheless, ‚algebra‘ has a meaning in everyday language just as ‚chair‘ and ‚table‘ have. For instance, at school algebra is solving linear and quadratic equations.

Freudenthal, Hans (1977) „What is Algebra and What has it been in History?".In: Archive for History of Exact Science 16.189 – 200 (193)


Denken verändern …Dynamisch - Statisch• Wird nicht allseits bewegliches Denken und

Dynamik gefordert?

• Was heißt in diesem Zusammenhang statisch?

21 + 22 = 43

dynamischRechenimpuls

21 + 22 = 43

statischRelationen der Ganzheit


Grundlage

• Rechnen -dynamische Prozedurenausführen

• Algebra -statische Konzepteanalysieren


Gliederung

• Einordnung des Begriffs „Algebra“

• Zugänge im so genannten

„pre-algebraischen Bereich“

• Algebraisches Denken in und mit Grundschulmathematik fördern

• Fazit und Diskussion




Zugänge zur Schul-Algebra


Verschiedene Zugänge zur Algebra

• Historische Perspektive

• Generalisations-Perspektive

• Problem-Solving-Perspektive

• Modellbildungs-Perspektive

• Funktionale Perspektive

• „Direkte“ Perspektive


Davidov, W. W.МАТЕМАТИКА - 1 Класс 1997


Russian Math in HawaiiBarbara Dougherty

Projekt „Measure up!“

“How would you explain … what the equal sign is?”

“the quantities on both sides of the equal sign are the same amount” [1st grader]


Symbole - Variablen

• … als Indiz, dass algebraisch gearbeitet wird?

• … als Zeichen, die epistemologisch zu deuten sind

• Wenn überhaupt, „welche“ Variablensicht scheint für Pre-Algebra günstig?


Variablenaspekte

Freudenthal Küchemann MalleUrsini & Trigoeros

Unbekanntespecific

unknown orobject

Gegenstand im Einzelaspekt

unknown

Veränderliche variableEinsetzung im

Veränderlichen-aspekt

in functional relations

Unbestimmtegeneralised

numberKalkül im

Simultanaspektgeneral number




Symbol Sense (Arcavi 1994)

• ability to

scan algebraic expressions, table of function values

inspect algebraic operations

determine the appropriate forms within several equivalent forms

feel the power of symbols and know when to abandon them in favor of other approaches

…


Ohne Buchstabenvariablen algebraisch Denken (Akinwunmi 2011/2012)

Verallgemeinerungsweise Plakative Beschreibung des Terms x2

Angabe eines Beispiels „Das ist zum Beispiel drei mal drei.“

Aufzählung mehrerer Beispiele„Das ist ein mal eins, zwei mal zwei,drei mal drei und so weiter.“

Quasi-Variablen „Ich rechne immer drei mal drei.“

Bedingungssätze„Wenn da drei steht, dann rechne ichdrei mal drei.“

Variablen„Man muss die Zahl mal die gleicheZahl rechnen.“oder „? ?“


Algebraisches Denken in und mit Grundschulmathematik fördern


Zwei Welten!?

Arithmetik

• Prozesse

• Rechenoperationen

• (diskrete) Ergebnisse

Algebra

• Konzepte

• Gleichungen

• Beziehungen / Verhältnisse von Variablen

Beziehungen & Strukturen (in konkreten Zahlen)


Erfahrungen übertragen …

• Livneh/Linchevski (2003). „Teaching Arithmetic for Algebraic Purpose: Does it Work?“ CERME 3. Bellaria, Italy

• Livneh/Linchevski (2007) „Algebrification of Arithmetic …“ PME 31. Korea 3-217 ff.

16 - 4x + 3 x

gleich?

75 - 25 + 25 75 - 50

16 - 7x


Drei Grundeinstellungen

1. „Kindgemäße“ Zugänge sind innermathematisch möglich

2. Algebraisches Denken entwickelt sich nicht von allein

3. Lernen als aktiver Prozess der Auseinandersetzung mit Anforderungen der Umgebung / Fördern durch Heraus-Fordern




Design

• Lernanregungen (Aufgaben mit Kommentar für Lehrkräfte)

• Erprobung im alltäglichen Unterricht (Trennung von teacher-researcher)


• Erprobungszeitraum: knapp 1 Jahr

• 6 Projektklassen

Beginn: drei 2. Schulj. und drei 3. Schulj.

Ende: drei 3. Schulj. und drei 4. Schulj.

• 147 Kinder (74 w, 73 m)

• 12 Kinder im Interview-Panel


Elemente der Unterrichtsideen

• Gleichungen ergänzen

• Äquivalenz beurteilen

• Punktmuster und Gleichungen

• Zahlenrätsel

• Eigenschaften der Operationen


25 + 4 = ___ + 25

Ein Einzelfall?


65,2 %


Komponenten des Gleichungslösens (Malle 1983)

• Erkennen von Termstrukturen

Gliederung und Übersicht

• Anwenden von Regeln

Fertigkeiten bei Umformungen

• Heuristische Strategien

Wohin will ich? Welche Wege sind möglich? ...




Gleichungen ergänzen100+70 = ___+60

• über die Rechenkompetenz hinaus, die Zahlbeziehungen wahrnehmen und argumentativ fassen....


Äquivalenz beurteilen

Franziska, 3. Schuljahr

Lasse 2. Schuljahr

Pascal 3. Schuljahr


Geometrische Muster und (passende) Gleichungen

Was siehst du?


4x4 - Punktmuster „Was siehst du?“Pre-Test % Post-Test %

4·4 12.6 26.3

1+2+3+4+3+2+1 o.Ä. 1.5 27.1

16 Punkte, 16 Punkte im Quadrat, etc.

41.5 16.5

Quadrat / Viereck / Raute

32.6 19.5

unpassend 5.2 5.3

nicht bearbeitet 6.7 5.3

gesamt 100 100


Welche Vorstellungen haben Kinder von multiplikativen Strukturen?


Geometrische Muster und Gleichungen

1+2+3+4 = 25




Patterns … Early Algebra

Watch Them GrowTag Anzahl der

Dreiecke

1 4

2 6

3

…

10

Navigating through Algebra in Grade 3-5 / NCTM


Zahlenrätsel

• Ich denke mir eine Zahl …

• Gibt es eine Zahl… (vgl. Winter)

• verbale Rätsel

• „formale“ Rätsel


Erfahrungen mit Unlösbarkeit

• Schulbuchaufgaben sind üblicher Weise

… immer lösbar

… immer in N lösbar

Kurzschluss: Wenn etwas „Krummes“ herauskommt, habe ich mich verrechnet.


Gibt es eine Zahl,für die das Siebenfache der Zahl um 5 größer als 30 ist?


5 ___ – 3 = 5


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Pretest Posttest

Gibt es eine passende Zahl? 2*__-3=4

keine Antwort

man kann nichts rechnen

geht nicht

ginge durch folgendeVeränderung

ginge nur mit Komma

Parität kann nichtausgeglichen werden

weil 7 nicht durch 2 geteiltwerden kann

Operative Annäherung

Gibt es eine passende Zahl?2 ___ – 3 = 4




Allgemeingültige Eigenschaften der Operationen

• Kommutativität

• Distributivität

• Assoziativität

• Konstanzeigenschaften


Kommutativität

• keine Probleme des Erkennens und Nutzens (pre 77% / post 89%)

• Weitere Aufgaben erfinden (über 90 %)

• Problem, die „Besonderheit“ zu erfassen


Gegenbeispiele Kognitive Konflikte provozieren


DistributivitätMalreihen addieren - Struktursinn entwickeln



Distributivität




6 __ + 6 = 5 6


Vorstellungsbilder / Innere Strukturen


Allgemeingültigkeit –Grenzenlosigkeit


D1: 4 7890 + 2 7890 = ____ ____D2: 10 5 – 4 5 = _____ ____

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

D1Pretest

D1Posttest

D2Pretest

D2Posttest

Distributivität

keine Antwort

(Versuch einer )Rechnung

Terme "umgedreht" /Kommutativität

korrekt


Allgemeingültigkeit

• Kommutativität 30%

• Distributivität 2.1% (3 Kinder)

hingegen Erkennen und Nutzen Pre-Test: 1.5 % Post-Test: ca. 30% in den Arbeitsblättern bis zu 66.7%


Entwicklung der Sicht auf Aufgaben

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Pretest Pretest2/3Kinder

Pretest 3/4Kinder

Posttest Posstest2/3 Kinder

Posttest 3/4Kinder

Erfinde eine Aufgabe mit =

keine Antwort

zwei äquivalente Terme

Rechnung ohne Lösung

Rechnung mit Lösung





89,5 %

7,5 %1,5 % 1,5 %


Fazit und Diskussion


Förderung algebraischen Denkens

• Implementation algebraischer Themen in das GS-Curriculum(vgl. UK, USA, AUS, NZ …)

aber: Forderungen durch Lehrpläne werden deshalb nicht zwingend in der Praxis erfüllt vgl. Chick/Harris (2007) 31st PME

• Unterstützung algebraischer Sichtweisen durch mathematische Kompetenz der Lehrpersonen


Zum VerhältnisArithmetik – Algebra

• innerhalb der prozeduralen und rechnerischen Vorstellungswelt neue, konzeptionelle Strukturen entdecken

• zunehmende „Übersicht“ und Einsicht in Analogien und Strukturen


„Neue“ Ziele ?

• Prozessebene / Handwerk / Ausbildung:Rechenkompetenz – schnell und sicher rechnen können

• Konzeptebene / Metaebene / Bildung: Operationen in ihren Eigenschaften verstehen

Mathematische Kompetenz




Diskussion

• Aufgaben allein genügen nicht

• Umgang der Kinder und qualifizierter Lehrpersonen mit Entdeckungen bedeutsam

• Wege auf die Metaebene suchen

• Bedeutung von Muße und mathematischer Kommunikation

… um (Gleichungen) neu denken zu lernen


Vielen Dank für Ihr Interesse.

www.uni-bamberg.de/matheinfdidaktik

Univ. Prof. Dr. Anna Susanne Steinweg (Otto-Friedrich-Universität Bamberg)

31.05.2012 Universität Wien

Gleichungen in der Grundschule – einmal anders gedacht

Leseanregungen

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