hefop 3.3.2 pályázat ppke itk – ve mik -...
Post on 09-Sep-2019
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
ROBOTIKA
XI. Előadás
Robot manipulátorok III.Differenciális kinematika
Infobionika
Tartalom• A forgatási mátrix időbeli deriváltja• A geometriai Jacobi-mátrix• Kinematikai szingularitások• Differenciális kinematikai inverzió• Redundáns manipulátorok
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3
A forgatási mátrix deriváltjaR=R t
R t RT t =I
R t RT t R t RT t =0
St =R t RTt
St ST t =0
R t =S t R t
tekintsünk egy időfüggő forgatási mátrixot:
ortogonalitási feltételből tudjuk:
a szorzat deriváltja:
vezessük be a következő jelölést:
S ferdén szimmetrikus, azaz:
R deriváltja kifejezhető önmaga függvényeként:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4
Ismétlés: a vektoriális szorzat
a=[axayaz] b=[bxb yb z]legyen és
a×b=[a yb z−a zb ya zbx−axb zax b y−a ybx]ekkor
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5
A vektoriális szorzat fizikai jelentéseTekintsünk egy origó körül ω szögsebességel forgó merev testet:
Kérdés: mi lesz a p pont v sebességvektora?
v nagysága:
∣v∣=∣∣=∣∣∣r∣sin
v merőleges r-re és ω-ra :
v=×r
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6
A forgatási mátrix deriváltja
Fizikai jelentés: legyen pt =R t p '
p t =R t p 'derivált:
pt =St R t p 'azaz:
Ha ω(t) jelöli az R(t) bázis tengelyeinek alap bázishoz képesti szögsebességeit, akkor tudjuk, hogy
pt =t ×R t p '
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7
A forgatási mátrix deriváltja
t =[x y z ]T
S t =St
RS RT=SR
Legyen:
Ekkor S a következő:
Jelölhetjük tehát így:
Bebizonyítható a következő összefüggés:
St =[ 0 −z y
z 0 −x
−y x 0 ]
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8
A forgatási mátrix deriváltjaTekintsük a következő példát:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9
A forgatási mátrix deriváltja
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10
A geometriai Jacobi-mátrix
Tekintsünk egy n szabadságfokú manipulátort. A direkt kinematikai egyenlet a következő:
Ahol a csuklóváltozók vektora:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11
A geometriai Jacobi-mátrixA differenciális kinematika célja: megtalálni az összefüggést a csuklóváltozók sebessége és a végberendezés sebessége (pozíció, orientáció változása) között a következő formában:
Vagy kompakt jelöléssel:
amely a manipulátor differenciális kinematikai egyenlete
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12
A geometriai Jacobi-mátrix
a 6 x n-es méretű J mátrix a manipulátor geometriai Jacobi-mátrixa
amely a csuklóváltozók általános függvénye
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13
A forgatási mátrix deriváltja
Tekintsük a P pont 1. bázis és 0. bázis közötti koordináta-transzformációját:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14
A forgatási mátrix deriváltjaa kifejezést idő szerint differenciálva kapjuk:
felhasználva a következő összefüggést:
az eredmény:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15
A forgatási mátrix deriváltja
Vezessük be a következő jelölést:
Ekkor:
Ha p1 állandó, akkor
mivel ebben az esetben
=
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16
Manipulátor-struktúra i. szegmense
pi: az i. bázis origójapi-1: az i-1. bázis origójari-1,i: az i. bázis origójának i-1. bázisra vonatkozó koordinátája
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17
Az i. szegmens pozíciójának változása
Ismétlés:
Az i+1. szegmens origójának pozíciója:
(1)
Az (1) egyenletet differenciálva:
Ezt alkalmazva kapjuk:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18
A szegmens szögsebességekiindulás:
felhasználva, hogy
(1) időbeli deriváltja a következő:
ahol jelöli az i. bázis i-1. bázishoz képesti szögsebességét az i-1. bázisban kifejezve
az összefüggésből adódik:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19
A szegmens szögsebessége
Tudjuk, hogy
Ebből következik:
A végeredmény:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20
Transzlációs csukló
Az i. bázis i-1. bázishoz képesti orientációja az i. csukló mozgatásával nem változik, tehát:
A pozíció változása:
ahol zi-1 az i. csukló mozgástengelyén fekvő egységvektorA szögsebesség a következőképp számolható:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21
Transzlációs csukló
A pozíció változása:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22
Rotációs csukló
A szögsebesség:
A lineáris sebesség:
Az i. bázis i-1. bázishoz képesti forgása miatt
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23
Rotációs csuklóA szögsebesség és lineáris sebesség általános formulái:
Rotációs csuklónál a következő alakúak lesznek:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24
A Jacobi-mátrix kiszámítása
A Jacobi mátrix:
Partícionáljuk 3 x 1-es oszlopvektorokra a következőképp:
az i. csukló hozzájárulása a végberendezés lineáris sebességéhez:
az i. csukló hozzájárulása a végberendezés szögsebességéhez:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25
A Jacobi-mátrix kiszámításaA szögsebességhez való hozzájárulás: Ha az i. csukló transzlációs
Ha az i. csukló rotációs
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26
A Jacobi-mátrix kiszámításaA lineáris sebességhez való hozzájárulás:
Ha az i. csukló transzlációs:
Ha az i. csukló rotációs (a végberendezés origójának sebességéhez való hozzájárulást számoljuk):
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27
A Jacobi-mátrix kiszámítása
Összefoglalás:
transzlációs csukló esetén
rotációs csukló esetén
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28
A Jacobi-mátrix kiszámítása
A zi-1, p és pi-1 vektorok a csuklóváltozók függvényei
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29
A Jacobi-mátrix kiszámításazi-1: forgatási mátrix harmadik oszlopa:
ahol
p a mátrix utolsó oszlopának első három eleme
p homogén formában:
ahol:
pi-1 homogén alakban:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30
A Jacobi-mátrix kiszámításaAz előzőekben a Jacobi-mátrixot az alap-bázisban írtuk fel. Ha az u bázisra vonatkozóan szeretnénk felírni, akkor elég ismerni az Ru forgatási mátrixot.A két bázisban felírt sebességek kapcsolata:
Behelyettesítve a összefüggésbe
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31
A Jacobi-mátrix kiszámítása
Ha az u bázis időben nem változik:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32
Három szegmensű síkbeli kar
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33
Három szegmensű síkbeli kar
Az egyes szegmensek (csuklók) pozíciói:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 34
Három szegmensű síkbeli karA rotációs csuklók mozgástengelyeihez tartozó egységvektorok:
J mátrix felbontása (volt):
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 35
Három szegmensű síkbeli karA kiszámított J mátrix:
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 36
Kinematikai szingularitások
Két szegmensű síkbeli kar a szingularitás határán
A differenciális kinematika alapegyenlete (q-tól függő lineáris leképezés):
ahol a csuklósebességek vektora, és
a végberendezés sebessége
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 37
Kinematikai szingularitásokKinematikai szingularitások: azok a konfigurációk, ahol a J mátrix nem teljes rangú
A kinematikai szingularitások jelentősége:A szingularitások olyan konfigurációkhoz tartoznak, ahol a szerkezet mobilitása lecsökken, azaz nem lehet a végberendezéssel tetszőleges mozgást végeztetni.Ha a szerkezet szinguláris konfigurációban van, akkor az inverz kinematikai problémára végtelen megoldás is létezhet.Szingularitás környezetében a műveleti tér kis sebességeihez nagy sebességek tartozhatnak a csuklóváltozók terében.
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 38
Kinematikai szingularitásokA kinematikai szingularitások csoportosítása:
Határ-szingularitások: akkor jelennek meg, ha a manipulátor teljesen kihúzott vagy összecsukott állapotban van. Elkerülhetők, ha a manipulátort nem vezéreljük ki az elérhető munkatér határáig.
Belső szingularitások: az elérhető munkatér belsejében vannak, és általában a mozgástengelyek elrendezése vagy bizonyos speciális végberendezés-helyzetek okozzák őket. Súlyos problémát jelenthetnek bizonyos trajektóriák követésénél.
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 39
Differenciális kinematikai inverzióProbléma: adott egy kívánt v(t) mozgás trajektória és a pozíció ill. orientáció kezdeti értékei. Határozzunk meg egy megvalósítható
trajektóriát a csuklóváltozók terében, amelynek eredménye v(t).
qt , q t
v=J q q
q t =J−1q t v t
a
egyenletből kiindulva n=r esetén a megoldás:
azaz egy elsőrendű nemlineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszer
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 40
Redundáns manipulátorokHa a manipulátor redundáns (r<n), akkor a Jacobi-mátrixnak több oszlopa van, mint sora, és a
v=J q qegyenletre végtelen sok megoldás létezik →valahogy ki kellene választani egyet.
Válasszuk ki azt, amely minimalizálja a következő célfüggvényt:
g q= 12qTWq
ahol W egy megfelelő n x n-es szimmetrikus pozitív definit súlyozómátrix
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 41
Redundáns manipulátorokA megoldás (levezetés nélkül):
q=W−1JT JW−1JT −1 v
Speciális eset: ha W egységmátrix, akkor:
q=JT JJT −1v
ahol JT JJT −1 a J mátrix jobb oldali pszeudoinverze
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 42
Geometriai és analitikus Jacobi-mátrixgeometriai Jacobi-mátrix:
v=[ p]=J q qanalitikus Jacobi-mátrix: a végberendezés pozícióját és orientációját a műveleti tér változóinak segítségével fejezzük ki (pl. pozíció és Euler-szögek)
x=[p]=k qx=∂k q
∂qq=[J p qJq ]JAq q
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 43
Geometriai és analitikus Jacobi-mátrixPélda: két szegmensű síkbeli karKinematikai függvény
Az analitikus Jacobi-mátrix
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 44
Inverz kinematikai algoritmusAz inverz differenciálkinematikai egyenlet diszkretizálása időben:
Probléma: a diszkrét idejű egyenlet megoldása az integráció pontatlansága miatt eltér a folytonos idejű megoldástól → a kiszámított csuklóváltozókhoz tartozó végberendezés-pozíció és -orientáció eltér az előírtaktól (drift-jelenség).
Megoldás: vegyük az előírt (xd) és tényleges (x) végberendezés-pozíció és -orientáció közötti különbséget:
e=xd−x=xd−k q
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 45
Inverz kinematikai algoritmusVegyük a hiba időbeli deriváltját:
e=xd−x=xd−JAq qVálasszuk meg q deriváltját a következőképpen:
q=JA−1q xdKe
ahol K sajátértékeinek valós része negatív. Ekkor az aszimptotikusan stabil (nullához tartó) hibadinamika a következő:
eKe=0
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 46
Az algoritmus blokkvázlata
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 47
Bevezetés a manipulátorok dinamikájába
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 48
A dinamikai feladatManipulátorok dinamikus egyenletei: leírják,
hogyan mozog a manipulátor, ha adottak az aktuátorok nyomatékai és az esetleges külső erők
Két fontos alapprobléma:• inverz dinamika: adott a végrehajtandó
mozgás, kiszámítandók az általánosított erők (nyomatékok), mint bemenetek
• direkt dinamika: adott nyomatékok és erők esetén meg kell oldani a mozgásegyenleteket
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 49
A dinamikus egyenletek általános alakjaEgy n csuklóval rendelkező manipulátor
egyenleteinek általános alakja:M q qCq , q qF qG q=
qqq
MFG
csuklókoordinátákcsuklósebességekcsuklógyorsulásokCoriolis és centripetális erőhatásokmanipulátor inerciatenzoraviszkózus és Coulomb súrlódás (általában nem modellezik)gravitációs hatása q általánosított koordinátákhoz (csuklóváltozókhoz) tartozó általánosított erőhatások
C
A robot szerkezetéből és fizikai paramétereiből (szegmensméretek, -tömegek) algoritmikusan számolható (pl. szimbolikus algebrai szoftverek segítségével)
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 50
A dinamikus egyenletek általános alakjaA dinamikus egyenletek irányítási célra
legjobban használható tömör formája:H q qh q , q=
ahol H(q) pozitív definit, szimmetrikus mátrix
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 51
Trajektóriakövetési feladat linearizálássalFeladat: a csuklókoordináták megadott
időfüggvényének (qref(t)) követése visszacsatolással.
Linearizáló visszacsatolás:=H quhq , q
ahol u az új referenciabemenet.A megadott bemenettel a rendszer egyenletei
lineárisak és irányíthatók lesznek az új referenciabemenettel:
q=u
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 52
Trajektóriakövetési feladat linearizálássalJelölés: z=q
Az állapottér-modell alakja ekkor: q=zz=u
A követési hibák (n csukló esetén):e i=qi−qi , ref , i=1,. .. , n
f i=qi− ˙qi , ref=ei , i=1,. .. , nA követési hibadinamika:
ei= f i
f i=ui− ¨qi , ref , i=1,. .. , n
2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 53
Trajektóriakövetési feladat linearizálássalA referenciakövető visszacsatolás:
ui= ¨qi , refk i1eik i2 f i
Ahol a k konstansokat úgy kell megválasztani, hogy az (ei, fi) állapotváltozókkal rendelkező lineáris rendszer stabil legyen
top related