il campo elettrico - university of cagliari · 2020. 7. 28. · il campo elettrico supponiamo che...
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Il campo elettrico❑ Quando due cariche elettriche “entrano in contatto”, ciascuna esercita sull’altra una reciproca forza di Coulomb, in conformità col 3° principio della dinamica. Ma cosa significa “entrare in contatto” ?
❑ La forza agisce a distanza con legge 1/R2, dunque essere “in contatto” vuol dire che la distanza R tra le cariche non deve essere così grande da rendere la forza trascurabile
❑ C’è un altro modo di descrivere ed interpretare l’interazione tra le particelle: possiamo dire che una carica genera un campo di forze (il CAMPO ELETTRICO) nello spazio circostante; in assenza di altre cariche interne al campo, nessuna forza viene esercitata
❑ Nel momento in cui una seconda carica ENTRA nel CAMPO di FORZE generato dalla prima, si genera una forza tra le due cariche
❑ Il concetto di CAMPO di FORZA fu elaborato dai grandi scienziati britannici M. Faraday e J.C. Maxwell, padri dell’elettromagnetismo classico
Michael Faraday(Londra, 1791 – 1867)
James Clerk Maxwell (Edimburgo 1831-1879)
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Il campo elettricoUna carica Q MODIFICA lo SPAZIO CIRCOSTANTE, generando un CAMPO ELETTRICO attorno a sé; in un punto distante R dalla carica Qquesto campo vale:
2ˆ
Ma G r
R=
Il campo è come una RETE dispiegata nello spazio;
quando una seconda particella entra nel campo,
essa subisce la forza dovuta all’azione del campo
Q
R
E
rR
QkE ˆ
2=
il campo elettrico è del tutto analogo al campo gravitazionale generato da una massa M:
-
Il campo elettricoSupponiamo che una carica q di segno opposto entri all’interno del campo generato da Q; essa subisce una forza data dal prodotto della propria carica q per il campo generato da Q; se R è la distanza tra le cariche, la forza è:
2ˆ
mMF ma G r
R= =
Q
qF qE=
2ˆ
qQF qE k r
R= =
Se al posto delle cariche q e Q ponessimo due masse m ed M, l’espressione della forza gravitazionale analogamente sarebbe:
-
Il campo elettrico
C’è una differenza tra i due campi: nel caso del campo gravitazionale, la ‘RETE’ è sempre attrattiva, ovvero cattura le altre masse; nel caso del campo elettrico, può essere attrattiva o repulsiva
Q
q
Qq
Q, q di segno differente Q, q di segno uguale
-
Il campo elettrico✓ Si noti che il principio di azione e reazione vale per la forza, ma NON per il
campo: il campo è proprietà di UNA specifica carica, per cui cariche diverse generano campi diversi
✓ Possiamo descrivere la stessa forza tra q e Q considerando la forza che agisce sulla carica Q dovuta al campo elettrico generato da q; abbiamo:
q
QF QE=
2 2ˆ ˆ
q qQE k r F Q E k r
R R= = =
✓ Chiaramente, l’espressione della forza non cambia, è sempre la forza di Coulomb reciprocamente esercitata dalle due cariche
campo generato da q: forza su Q:
-
✓ le linee di flusso (o linee di forza) sono un modo semplice e geniale inventato da Faraday per raffigurare il campo elettrico nello spazio
✓ Le linee sono tali per cui in ogni punto la direzione del campo è sempre tangente la linea; la freccia indica il verso del campo, mentre la densità delle linee di flusso indica l’intensità del campo
Linee di flusso del campo elettrico
✓ il campo elettrico generato da una carica puntiforme ha simmetria radiale: le linee sono raggi rettilinei che dalla carica si estendono nello spazio
✓ il verso del campo è USCENTE dalla carica generatrice Q se essa è positiva, ENTRANTE se Q è negativa (ciò vale per qualsiasi campo, non soltanto per quello della carica puntiforme)
✓ le linee si diradano allontanandosi dalla carica generatrice; questo diradamento raffigura l’andamento 1/R2
+Q
-Q
-
Consideriamo una carica q0 all’interno del campo generato da Q:
Relazione tra campo e forza
EqF
0=
✓ campo e forza elettrica sono grandezze proporzionali, per cui hanno sempre la stessa direzione
✓ il loro verso è concorde o discorde a seconda che la carica q0 sia positiva o negativa
+QF
0q
F0q
-Q
F0q
F0q
-
Unità di misura del campo elettrico
F N
E Eq C
= → =L’unità di misura del campo elettrico nel Sistema Internazionale è Newton su Coulomb
✓ All’interno dell’atomo, vicino al nucleo icampi elettrici sono enormi
✓ all’esterno dell’atomo neutro il campo elettrico si annulla a causa della compensazione di carica di protoni ed elettroni
✓ Con tempo sereno i campi presenti in atmosfera sono 102 N/C, ma in caso di temporali sono mediamente 103 N/C
✓ Quando il campo raggiunge 3106 N/C (rigidità dielettrica dell’aria) si generano i fulmini: nonostante l’aria sia isolante, il campo è così grande da produrre scariche elettriche dalle nuvole al suolo
Alcuni valori tipici di campo elettrico (N/C)
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Coppia di cariche puntiformi identiche
✓ Nel piano intermedio tra le due cariche il campo totale si annulla, poiché le cariche generano campi uguali in modulo ed opposti in verso
✓ A corta distanza dalle cariche il campo elettrico ha simmetria cilindrica rispetto all’asse che congiunge le cariche
+Q
✓ A grande distanza dalle cariche il campo diventa uguale a quello di una carica puntiforme +2q, dunque riacquista simmetria radiale
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Coppia di cariche uguali in modulo ma di segno opposto: il dipolo elettrico
✓ Nel dipolo le linee di flusso sono chiuse: escono dalla carica positiva ed entrano (in ugual numero, essendo le cariche uguali in modulo) nella carica negativa
✓ Nella regione tra le cariche il campo è molto intenso, ma allontanandosi dal dipolo, le linee si diradano rapidamente, ovvero il campo tende rapidamente a indebolirsi, causa compensazione delle cariche
-
Il dipolo elettrico nelle molecoleIl dipolo elettrico è una quantità di estrema importanza nella fisica e chimica dello stato solido e molecolare. Molti fenomeni elettrici nei solidi e nei liquidi infatti coinvolgono non cariche singole ma dipoli
Ad esempio nella molecola dell’acqua H2O i due idrogeni tendono a perdere gli elettroni, i quali si spostano verso l’ossigeno; in un modello semplificato la molecola quindi si può descrivere come un dipolo, il cui il polo negativo (carico -2e) è l’atomo O, ed polo positivo (carico +2e) è in posizione intermedia tra gli ossigeni
2O −
1
2H+
-
Campo elettrico generato dal dipolo
( )( )2
ˆ( )/ 2
qE z k z
z d+ =
−
Il campo generato da +q nel punto z è:
( )( ) ( )( )2 22
1 1
1 / 2 1 / 2
kq
z d z d z
= − − +
Il campo del dipolo è troppo complesso per poter essere valutato ANALITICAMENTE in un punto qualsiasi; ci limitiamo a considerare il campo nei punti dell’asse dipolare (problema unidimensionale); sia z l’asse del dipolo, e d la distanza tra le cariche; poniamo l’origine z=0 nel centro del dipolo
( )( ) ( )( )2 2
( )/ 2 / 2
q qE z k k
z d z d= −
− +
( )( )2
ˆ( )/ 2
qE z k z
z d− = −
+
-q
+q
z
2
dz −
0
E+
E−
2
dz +
La somma dei due è il campo totale in z; in modulo:
Il campo generato da -q nel punto z è:
-
Esercizio: calcolo del campo del dipolo nei punti dell’asse distanti dal dipolo
✓ Abbiamo calcolato il campo generato da un dipolo di carica in un punto qualsiasi lungo il suo asse; come esercizio di analisi, calcoliamo il campo in un punto dell’asse z molto distante dalle cariche, ovvero per z molto maggiore della lunghezza d del dipolo
✓ A tale scopo, nella formula generale operiamo il cambiamento di variabile x=d/(2z) cosicché:
1 11 1
1 1x x
x x + −
− + ( ) ( )2 2
1 14
1 1x
x x −
− +
( ) ( )2 22
1 1( )
1 1
kqE z
z x x
= −
− +
✓ Nella nostra ipotesi si ha che x
-
Momento di dipolo elettrico
3ˆ( ) 2
q dE z k z
z=
✓ Il prodotto della carica q per la distanza tra le cariche d si definisce momento di dipolo elettrico, e si indica con P(chiaramente si misura in Coulomb m)
✓ P è un vettore diretto lungo la congiungente delle cariche e avente come verso quello che va da –q a +q:
✓ P ed E sono paralleli lungo l’asse z, ma non in generale nelle altre zone dello spazio (si vedano le linee di flusso del campo di dipolo)
✓ notiamo la dipendenza da z-3: allontanandosi dal dipolo, il campo di dipolo svanisce molto prima di quello della carica puntiforme
ˆP q d z q d= =
✓ Riportando indietro x al suo valore in termini di z, si ottiene (utilizziamo l’espressione vettoriale):
3( ) 2
PE z k
z=
✓ dunque il campo elettrico lungo l’asse del dipolo, in punti zlontani dal dipolo, può scriversi:
P
E
-
Il campo elettrico uniforme
✓ Il campo elettrico più semplice che si possa immaginare è quello uniforme, ovvero costante in modulo, direzione, e verso
✓ Il campo uniforme si disegna con lineerette equispaziate, tutte di ugualeverso; in figura vediamo le linee di flusso di un campo uniforme di direzioneorizzontale, e verso che va da sinistra adestra
✓ Il campo elettrico uniforme può essere generato mediante un importantissimo dispositivo elettronico: il condensatore a piatti piani paralleli
E
-
Dipolo all’interno di un campo uniforme
✓ Consideriamo un dipolo di carica rigido (ad esempio una molecola dipolare); siano +q e –q le cariche del dipolo, e P=qd il momento di dipolo
✓ Poniamo il dipolo all’interno di un campo elettrico uniforme: le forze esercitate dal campo elettrico su +q e –q causano la rotazione del dipolo e l’allineamento di P alla direzione del campo
✓ Una coppia di forze uguali ed opposte esercitata su un oggetto rigido genera un momento torcente tendente a ruotare l’oggetto rispettoall’asse perpendicolare al piano di rotazione (nell’esempio in figura l’asse di rotazione è perpendicolare alla pagina)
P E d F = =
Il momento torcente è un vettore perpendicolare al piano di rotazione, uguale al prodotto vettoriale di momento didipolo e campo elettrico:
F qE=
E
F qE= −
q+
q−
P
-
Dipolo all’interno di un campo uniforme
( ) ( )P E sen d F sen = =
Dunque, un dipolo di carica P all’interno di un campo elettrico subisce una torsione data dal prodotto vettore del dipolo per il campo elettrico (NB: ciò è vero in generale, non solo per un campo uniforme !)
P E d F = =
Dalla formula del prodotto vettore calcoliamo il modulo del momento torcente:
F qE=
E
F qE= −q+q− P
Per =0 (ovvero P ed E paralleli) si ha =0, ovvero quando il dipolo si allinea con il campo, la torsione cessa ed il sistema è in equilibrio
-
Riepilogo: carica puntiforme vs. dipolo
P E =
Campo generato dalla carica Q:
dipolo: P Qd=
3
2kE P
z=r
r
QkE ˆ
2=
Carica puntiforme: Q
Campo generato dal dipolo:
F QE=
La carica Q all’interno di un campo elettrico E subisce una forza:
Il momento di dipolo P all’interno di un campo elettrico E subisce una torsione:
-
Esercizio
Consideriamo 3 cariche in figura con q1=-q, q2 = 2q, q3 =-2q, q=1 mC; sia a =3 cm.a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle 3 cariche nel punto P (x=0, y=a)b) Poniamo una quarta carica nel punto P,q4= 3q; calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy della forza esercitata dal campo elettrico sulla carica q4.c) Di questa forza, calcolare modulo F e angolo a che la forza forma con l’asse x. d) Disegnare con una freccia la forza in figura, indicando approssimativamente direzione e verso.
2q 1qa x
y
3q
a
P
a
2q 1qa x
y
3q
a
4q
a
-
Esercizio
ya
qkE ˆ
21−=
ya
qkx
a
qkE oo ˆ)45sin(
2
2ˆ)45cos(
2
2222
+=
2 2
2ˆ ˆ
q qE k x k y
a a= −
C
N
cm
C
C
NmEx
7
22
29 1041.1
)3(
2109 ==
m
C
N
cm
C
C
NmEy
7
22
29 100.1
)3(
1109 −=−=
m
ya
qkx
a
qkE oo ˆ)45sin(
2
2ˆ)45cos(
2
2223
−=ararar 2;2; 321 ===
2q 1q
x
y
3q
o451E
3E
2E
o45
Consideriamo separatamente i campi generati nel punto P dalle 3 cariche, espressi in coordinate cartesiane:
La geometria ci dice che:
Il campo totale in coordinate cartesiane è quindi:
-
Esercizio
NNF 9.5110323.4 22 =+=
NC
NCEqF xx 3.421041.13
7
4 === m
NC
NCEqF yy 30100.13
7
4 −=−== m
Fa
2q 1qa x
y
3q
a
4q
a
o
x
y
F
F3.3571.0)tan( −=−== aa
Forza sulla carica q4 in coordinate cartesiane:
-
Distribuzioni continue di cariche
Finora abbiamo considerato distribuzioni di cariche discrete, ovvero un insieme di cariche puntiformi in punti specifici dello spazio. Quando si ha a che fare con moltissime cariche, la descrizione in termini di cariche puntiformi è poco utile
In un cubo di materia di lato 1 cm vi è circa una mole di sostanza; una mole corrisponde a NA = 610
23 atomi (NA è detto numero di Avogadro). Immaginiamo quanto tempo occorrerebbe per sommare i campi elettrici dovuti a tutti gli atomi carichi nel cubo…
1 cm
-
Distribuzioni continue di cariche
=
3)(
m
C
dV
dqr r
1 cm1 nm
In un punto r interno al cubo, immaginiamo di considerare un volumetto dV così piccolo (ad esempio 1 nm di lato) che la carica contenuta in esso (dqr) sia uniforme; definiamo la densità di carica nel punto r:
dV
In molti casi pratici, le cariche non sono distribuite nello spazio casualmente (disordinatamente), ma secondo una certa simmetria: in questi casi è conveniente passare dal formalismo discreto al formalismo del continuo. Ciò comportai): l’utilizzo del calcolo infinitesimale; ii) l’utilizzo del concetto di densità di carica al posto della carica
-
Distribuzioni continue di cariche
=
3)(
m
C
dV
dqr r
=
2)(
m
C
dA
dqr r
=
m
C
dS
dqx x)(
3D
2D
1D
dA dS
2D 1D
-
Campo di un anello carico
Nel punto P, dS genera un campo:
Calcoliamo il campo elettrico lungo l’asse dell’anello. Sia dq la carica contenuta nel segmento infinitesimale dS
dq ds=
2 2 2 2
dq ds dsdE k k k
r r z R
= = =
+
Sommando i contributi di tutti i ds si vede che la componente perpendicolare all’asse z è nulla poiché il contributo di ogni segmento ds è controbilanciato dal ds collocato dalla parte opposta dell’anello; dunque soltanto la componente Ez parallela all’asse dell’anello è non nulla. Si ha:
cos( )zdE dE =
-
Campo di un anello carico
( )3/22 2 2 2
z
z zdE dE k ds
z R z R
= =
+ +
( ) ( )3/2 3/2
2 2 2 2(2 )z z
C C
z zE dE k dS k R
z R z R
= = =
+ +
( ) 2/322 Rzzq
kEz+
=Se q è la carica totale dell’anello, si ha:
Per calcolare il campo totale basta integrare il campo infinitesimale lungo la circonferenza dell’anello, ovvero integrare in ds da s=0 a S=2R
La geometria ci dice che:2 2
cos( ) cos( )z z
r zr z R
= = =+
-
Campo di un anello carico
( ) 2/322 Rzzq
kEz+
=
✓Com’è il campo nel punto z=0?✓Se la carica dell’anello fosse negativa cosa cambierebbe?✓Per un punto P lontanissimo dall’anello (z>>R), come diviene il campo lungo l’asse ??
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