inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora...

Inženjerska grafikageometrijskih oblika

(6. predavanje)

Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu

Predavač:Dr Predrag Rajković

Mart 27, 2006 6. predavanje

TRANSFORMACIJE KOORDINATNOG SISTEMA(CONSTRUCTION PLANE)

BAZA PROSTORA

•Baza vektorskog prostora jenajmanji potreban skup vektorapomoću koga se mogu izraziti svi preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa.

BAZA PROSTORA•U trodimenzionalnom prostoru jednu bazu čine vektori

,100

k,010

j,001

i⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

rrr

kzjyixprrrr

++=

•Vektor položaja proizvoljne tačke

NOVA BAZA PROSTORA

•Neka je nova baza u prostoru data vektorima

,k,j,i

33

23

13

1

32

22

12

1

31

21

11

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ααα

ααα

ααα

rrr

NOVA BAZA PROSTORA

kjik

kjij

kjii

rrrr

rrrr

rrrr

3323131

3222121

3121111

ααα

ααα

ααα

++=

++=

++=

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

111 kjikjiααααααααα

rrrrrr

MMatrica transformacije sistemaatrica transformacije sistema

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

ααααααααα

α

Determinanta matrice transformacijeDeterminanta matrice transformacije

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

Det||ααααααααα

α

STARE I NOVE KOORDINATE

1

33

23

13

1

32

22

12

1

31

21

11

zyxzyx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααα

ααα

ααα

111111 kzjyixkzjyixrrrrrr

++=++

VektorVektor polopoložžaja proizvoljne taaja proizvoljne taččkeke

Izražavanje starihpreko novih koordinata

133132131

123122121

113112111

zyxz

zyxy

zyxx

ααα

ααα

ααα

++=

++=

++=

•Stare koordinate vektora položaja neke tačke mogu se izraziti preko novih koordinata

Nove koordinate izražene preko starih koordinata

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

3332

2322

1312x

1

zyx

Det||

1||

xαααααα

αα∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

3331

2321

1311y

1

zyx

Det||

1||

yαααααα

αα∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

zyx

Det||

1||

z

3231

2221

1211z

1

αααααα

αα∆

TRANSLACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

10

10

10

zzzyyyxxx

+=

+=

+=

•Translacija koordinatnog sistema se može opisati formulama

ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

131211

131211

131211

zcosycosxcoszzcosycosxcosy

zcosycosxcosx

γγγβββ

ααα

++=

++=

++=

•Rotacija koordinatnog sistema se može opisati formulama

ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

3331

2221

1111

kji

kji

γβαγβαγβα

r

r

r

rrr

•Rotacija koordinatnog sistema u novi koordinatni sistem pri čemu su dati sledeći uglovi

TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

1312110

1312110

1312110

zcosycosxcoszzzcosycosxcosyy

zcosycosxcosxx

γγγβββ

ααα

+++=

+++=

+++=

•Translacija i rotacija koordinatnog sistema se mogu opisati formulama

Homogenetransformacije

Homogene transformacije se zadajuhomogenim koordinatama.Ove koordinate se uvode da olakšajuprimenu određenih tipovatransformacija u projektivnoj geometrijii kompjuterskoj grafici.

Homogenetransformacije

Vektor n-dimenzionalnog prostorapredstavlja se pomoću (n+1)-homogene koordinate.Nema jedinstvenog predstavljanja tačke iz trodimenzionalnog prostora u homogenim koordinatama.

Homogenetransformacije

najčešće biramo

]1[][ zyxpzyxp h =⇒=rr

Opšta homogena transformacija jedata relacijom

hhh TpPrr

=gde je Th - transformaciona matrica.

Translacijakoordinatnog sistema

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1zyx010000100001

]1zyx[]1zyx[

000

111

TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1zyx0coscoscos0coscoscos0coscoscos

]1zyx[]1zyx[

000

313

212

111

111 γβαγβαγβα

•Translacija i rotacija koordinatnog sistema se mogu opisati formulama

Turntable

Komanda Turntable stvara animaciju neprekidnim okretanjem koordinatnog sistema i objekata u njemu.Pritisnuti Esc za zaustavljanje.

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

•Nova ravan konstruisanja se može postaviti pomoću View-SetCPlane.U ovoj ravni se mogu crtati pravilnipoligoni i krugovi na uobičajeni način.• Nova konstruktivna ravan se može zadati pomoću 3 tačke u prostoru opcijom 3 Points

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

Nacrtati pravouganik čija su 3 uzastopna temenaA(-5,0,0), B(0,-6,0) i C(0,0,8);Iz tačke O(0,0,0) postaviti normalu na ravan ABC i naći tačku prodora S;Koristeći View-SetCPlane-3Points, nacrtati pravilan šestougaoADEFGH čije je središte S i jedno teme tačka A. Nacrtati pravilnu šestostranu prizmu čiji je jedan bazisADEFGH i osa OS.

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

•Nova ravan konstruisanja može se postaviti pomoću View-SetCPlane.•Opciju Perpedicular to Curve korisitimo da nacrtamo novu ravan crtanja normalnu na datu liniju, najčešće pravu.

Nova ravan konstruisanja

Data je duž V(7:5:5)S(0:6:0). Nacrtatiobrtni konus čija je ona osa sa centrom bazisa u S i poluprečnikom R=5cm.Nacrtati pravilnu šestougaonu prizmu sa istom osom poluprečnika osnove r=3cmi visine h=3cmPrikazati deo konusa bez prizme.

Nova ravan konstruisanja

KoristitiView-SetCPlane-Perpedicularto Curve