inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora...
TRANSCRIPT
Inženjerska grafikageometrijskih oblika
(6. predavanje)
Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu
Predavač:Dr Predrag Rajković
Mart 27, 2006 6. predavanje
TRANSFORMACIJE KOORDINATNOG SISTEMA(CONSTRUCTION PLANE)
BAZA PROSTORA
•Baza vektorskog prostora jenajmanji potreban skup vektorapomoću koga se mogu izraziti svi preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa.
BAZA PROSTORA•U trodimenzionalnom prostoru jednu bazu čine vektori
,100
k,010
j,001
i⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
rrr
kzjyixprrrr
++=
•Vektor položaja proizvoljne tačke
NOVA BAZA PROSTORA
•Neka je nova baza u prostoru data vektorima
,k,j,i
33
23
13
1
32
22
12
1
31
21
11
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
ααα
ααα
ααα
rrr
NOVA BAZA PROSTORA
kjik
kjij
kjii
rrrr
rrrr
rrrr
3323131
3222121
3121111
ααα
ααα
ααα
++=
++=
++=
[ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
111 kjikjiααααααααα
rrrrrr
MMatrica transformacije sistemaatrica transformacije sistema
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
ααααααααα
α
Determinanta matrice transformacijeDeterminanta matrice transformacije
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
Det||ααααααααα
α
STARE I NOVE KOORDINATE
1
33
23
13
1
32
22
12
1
31
21
11
zyxzyx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααα
ααα
ααα
111111 kzjyixkzjyixrrrrrr
++=++
VektorVektor polopoložžaja proizvoljne taaja proizvoljne taččkeke
Izražavanje starihpreko novih koordinata
133132131
123122121
113112111
zyxz
zyxy
zyxx
ααα
ααα
ααα
++=
++=
++=
•Stare koordinate vektora položaja neke tačke mogu se izraziti preko novih koordinata
Nove koordinate izražene preko starih koordinata
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
3332
2322
1312x
1
zyx
Det||
1||
xαααααα
αα∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
3331
2321
1311y
1
zyx
Det||
1||
yαααααα
αα∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
zyx
Det||
1||
z
3231
2221
1211z
1
αααααα
αα∆
TRANSLACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
10
10
10
zzzyyyxxx
+=
+=
+=
•Translacija koordinatnog sistema se može opisati formulama
ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
131211
131211
131211
zcosycosxcoszzcosycosxcosy
zcosycosxcosx
γγγβββ
ααα
++=
++=
++=
•Rotacija koordinatnog sistema se može opisati formulama
ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
3331
2221
1111
kji
kji
γβαγβαγβα
r
r
r
rrr
•Rotacija koordinatnog sistema u novi koordinatni sistem pri čemu su dati sledeći uglovi
TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
1312110
1312110
1312110
zcosycosxcoszzzcosycosxcosyy
zcosycosxcosxx
γγγβββ
ααα
+++=
+++=
+++=
•Translacija i rotacija koordinatnog sistema se mogu opisati formulama
Homogenetransformacije
Homogene transformacije se zadajuhomogenim koordinatama.Ove koordinate se uvode da olakšajuprimenu određenih tipovatransformacija u projektivnoj geometrijii kompjuterskoj grafici.
Homogenetransformacije
Vektor n-dimenzionalnog prostorapredstavlja se pomoću (n+1)-homogene koordinate.Nema jedinstvenog predstavljanja tačke iz trodimenzionalnog prostora u homogenim koordinatama.
Homogenetransformacije
najčešće biramo
]1[][ zyxpzyxp h =⇒=rr
Opšta homogena transformacija jedata relacijom
hhh TpPrr
=gde je Th - transformaciona matrica.
Translacijakoordinatnog sistema
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1zyx010000100001
]1zyx[]1zyx[
000
111
TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1zyx0coscoscos0coscoscos0coscoscos
]1zyx[]1zyx[
000
313
212
111
111 γβαγβαγβα
•Translacija i rotacija koordinatnog sistema se mogu opisati formulama
Turntable
Komanda Turntable stvara animaciju neprekidnim okretanjem koordinatnog sistema i objekata u njemu.Pritisnuti Esc za zaustavljanje.
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
•Nova ravan konstruisanja se može postaviti pomoću View-SetCPlane.U ovoj ravni se mogu crtati pravilnipoligoni i krugovi na uobičajeni način.• Nova konstruktivna ravan se može zadati pomoću 3 tačke u prostoru opcijom 3 Points
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
Nacrtati pravouganik čija su 3 uzastopna temenaA(-5,0,0), B(0,-6,0) i C(0,0,8);Iz tačke O(0,0,0) postaviti normalu na ravan ABC i naći tačku prodora S;Koristeći View-SetCPlane-3Points, nacrtati pravilan šestougaoADEFGH čije je središte S i jedno teme tačka A. Nacrtati pravilnu šestostranu prizmu čiji je jedan bazisADEFGH i osa OS.
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
•Nova ravan konstruisanja može se postaviti pomoću View-SetCPlane.•Opciju Perpedicular to Curve korisitimo da nacrtamo novu ravan crtanja normalnu na datu liniju, najčešće pravu.
Nova ravan konstruisanja
Data je duž V(7:5:5)S(0:6:0). Nacrtatiobrtni konus čija je ona osa sa centrom bazisa u S i poluprečnikom R=5cm.Nacrtati pravilnu šestougaonu prizmu sa istom osom poluprečnika osnove r=3cmi visine h=3cmPrikazati deo konusa bez prizme.
Nova ravan konstruisanja
KoristitiView-SetCPlane-Perpedicularto Curve