introduction to diffusion monte carlo

Introduction to Introduction to Quantum Monte Carlo Methods Quantum Monte Carlo Methods 22!!

Claudio Attaccalitehttp://attaccalite.com

What we learned last timeWhat we learned last time

 How to sample a given probability p(x)  distribution with Metropolis Algorithm:

How to evaluate integrals in the form:

 Evaluate Quantum Mechanical Operators:

A xx ' =min 1,p x ' T x, x 'p x T x ', x

⟨ f ⟩=∫ f x p x dx=1N ∑ f x i

where xi are distributed

 according to p(x)

f = ⟨ f 2⟩−⟨ f ⟩

2

N

⟨ A⟩=∫ A dx

∫ x 2 dx

=∫ AL xp xdx p x=∣ x ∣

2

∫∣ x ∣2dx

AL x=x

x

OutlineOutline

Path integral formulation of Quantum Mechanics

Diffusion Monte Carlo

One­Body density matrix and excitation energies 

Path Integral : classical action

where S is the Classical Action and L is the Lagrangian 

S=∫t a

t b

dt Lx t , x t ;t

The path followed by the particle is the one that minimize:

Lxt , x t ;t =m2

x t 2−V xt ;t

Only the extreme path contributes!!!!

Path Integral: Quantum Mechanics

K B, A= ∑ [x t ]over allpossiblepaths

In quantum mechanics non just the extreme path contributes to the 

probability amplitude

P B, A=∣K 2,1∣2

where

[x t ]=Aexp { iℏ

S[x t ]}

K B, A=∫A

Bexp i

ℏS[B, A ]Dx t

Feynman's path integral formula

From Path Integral to Schrödinger equation 1

XA

XB

X1

X2

X3

X4 X

5

X...

XM­1

SM=∑

j=1

M m2 x j−x j−1

2

−V x j2

It is possible to discretized the integral on the continuum 

into many intervals M slices of length 

x2,t2=∫−∞

∞

K x2, t2 ; x1,t1 x1,t1

K B, A =lim ∞

∫ ...∫exp iℏ

SM[2,1 ]

dx1

A...

dxM−1

A

=∣x i1−xi∣

On each path the discretized classical action can be written as

We want use this propagator in order to obtain the wave­function at time t2 in the position x

2

x i , t=1A∫

−∞

∞

exp iℏ

L x i−x i−1

, xi xi−1 , t dxi−1

From Path Integral to Schrödinger equation 2 

x i , t=1A∫−∞

∞

exp iℏ m2

exp [−iℏ V x i ,t ] x i , t dxi−1

We call  xi−1−x i= , then send

Substituting the discretized action

and  compare left and right at the same order   

A=2 iℏ

m 1 /2

−ℏ

i∂

∂t=

−ℏ2

2m∂2

∂x2V x ,t

, to zero

At the order 0 we get the normalization constant

At the order 1 we get the Schroedinger  equation!

Cafe Moment 

x ,t =∫−∞

∞

dx0K x ,t ,x0,0 x0,0

I=∫ f x1,. .. , xN p x1,. .. , xN dx1. ..dxNWhat we want: ­>

What we have: ­> 

Imaginary Time Evolution

=itWe want to solve the Schrödinger equation in imaginary time:  ℏ

∂

∂=

ℏ

2m∂2

∂x2[V x −Er ]

The formal solution is: x , =exp[− H−ER

ℏ ] x0 ,0

If we expand in a eigenfunction of H: x , =∑n=0

∞

cnnx e−

En−ER

ℏ

 if ER > E

0

 if  E

R < E

0

if  ER = E

0 

limt∞ =∞

limt∞ =o

limt∞ =0

Tree Possibility:

From Path Integral to DMC: 1

x ,=∫−∞

∞

dx0K x , , x0,0 x0,0

Using Feynman path integralthe imaginary time evolution can

be rewritten as

limN∞

∫−∞

∞

...∫−∞

∞ m2ℏ

N /2

exp{−

ℏ∑j=1

N

[ m2

x i−x j−12V x i−En ]}

K x, ,x0 ,0 is equal to

and as usual we rewrite this integral as

K x, ,x0 ,0= limN ∞

∫−∞

∞ ∏j=1

N−1

dx j ∑n=1

N

W xn×P xn , xn1 x0,0

From Path Integral to DMC: 2

K x, ,x0 ,0= limN ∞

∫−∞

∞ ∏j=1

N−1

dx j ∑n=1

N

W xn×P xn , xn−1 x0,0

P xn ,xn−1= m2 ℏ exp [−mxn−xn−1

2

2 ℏ ]

W xn=exp[−[V xn −ER ]

2ℏ ]

A Gaussian probability distribution

A Weight Function

P x0, x1,...xn , xN = x0,0∏i=1

N

P xn , xn−1

f x1,... xn , xN =∏i=1

N

W xN

If we define:

I=∫ f x1,. .. , xN P x1,. .. , xN dx1. ..dxNwe have

The Algorithm

P x0, x1,...xn , xN = x0,0∏i=1

N

P xn , xn−1

f x1,...xn , xN =∏i=1

N

W xN

We want generate the probability distribution

and sample

Generate points distributed on (x

0,0)

x1 is generate from x

0

sampling P(xn,x

n­1) (a Gaussian)

the weight function is evaluated W(x1)

x ,∞=0

X

An example H and H2 

Convergence of the Energy  H molecule versus 

H atom wave­function and energy

Application to Silicon:one body density matrix

r ,r '=∑i , j

i , ji r j r ' i r LDA local orbitals

i , j=N∫∗ir i jr ' r ' ,r 2,.... , rN

r1,. .. , rN

∣r1,. .. , rN 2∣dr 'dr 1. ..drN

The matrix elements are calculated as:

Results on Silicon

Max difference between ii  

QMC and LDA is 0.00625

Max off­diagonal element 0.0014(1)

Results on Silicon: 2

QMC one­body­density matrix on the 110 plane where r is fixed

on the center of the bonding

Difference between QMC and LDAfor r=r' is 1.7%

ReferenceSISSA Lectures on Numerical methods for strongly correlated 

electrons 4th draft  S. Sorella G. E. Santoro and F. Becca (2008)

Introduction to Diffusion Monte Carlo MethodI. Kostin, B. Faber and K. Schulten, physics/9702023v1 (1995)

Quantum Monte Carlo calculations of the one­body density matrix and excitation energies of siliconP. R. C. Kent et al. Phys. Rev. B 57 15293 (1998)

FreeScience.info­> Quantum Monte Carlohttp://www.freescience.info/books.php?id=35

From Path Integral to Schrödinger equation: 1+1/2 

x i , t=1A∫

−∞

∞

exp iℏ m x i−xi−12

exp[−iℏ V x i , t ] xi−1 , t dxi−1

We call  xi−1−x i= and send to zero

Substituting the discretized action

x i , t ∂∂t

x i , t =1A∫−∞

∞

exp im2

ℏ [1−iℏV x i , t ...]

[ x i ,t ∂∂x i

x i , t 12

2 ∂2

∂x i2 x i , t ]dxi−1

1A∫−∞

∞

exp[ imℏ2

2ℏ ]d=1 and  ∂

∂t=−

iℏV −

ℏ

2m∂2

∂x2