lebensdauer eines x-jährigen manuel sampl proseminar bakkalaureat tm 13.12.2005
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Lebensdauer einesLebensdauer einesx-jährigenx-jährigen
Manuel SamplManuel Sampl
Proseminar Bakkalaureat TMProseminar Bakkalaureat TM
13.12.200513.12.2005
ModellModell
Person mit Alter xPerson mit Alter x
zukünftige Lebensdauer T = T(x)zukünftige Lebensdauer T = T(x)
x+T Todesalter der Personx+T Todesalter der Person
Verteilsfunktion von TVerteilsfunktion von T
T eine ZufallsvariableT eine Zufallsvariable
VerteilsfunktionVerteilsfunktion G(t) = Pr(T G(t) = Pr(T ≤ t),≤ t), t ≥ 0.t ≥ 0.
t festt fest G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb
von t Jahren zu sterbenvon t Jahren zu sterben
Verteilsfunktion von TVerteilsfunktion von T
FunktionFunktion stetigstetig
WahrscheinlichkeitsdichteWahrscheinlichkeitsdichte g(t) = G‘(t)g(t) = G‘(t)
BeispielBeispiel g(t) dt = Pr(t < T < t + dt)g(t) dt = Pr(t < T < t + dt) Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem
IntervallIntervall
SymbolikSymbolik
internationale Symbolik in der internationale Symbolik in der VersicherungsmathematikVersicherungsmathematik
ttqqxx = G(t) = G(t)
ttppxx = 1 – G(t) = 1 – G(t)
ssIIttqqxx = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s) = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s)
= = s+ts+tqqxx - - ssqqxx
Bedingte WahrscheinlichkeitenBedingte Wahrscheinlichkeiten
ttppx+sx+s eine bedingte Wahrscheinlichkeit eine bedingte Wahrscheinlichkeit
ttppx+sx+s = Pr(T > s+t = Pr(T > s+t II T > s) T > s)
= (1 – G(s+t)) / (1 – G(s))= (1 – G(s+t)) / (1 – G(s))
ttqqx+sx+s = Pr(T = Pr(T ≤ s+t ≤ s+t II T > s) T > s)
= (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))= (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))
LebenserwartungLebenserwartung
ėėxx als Symbol für die E(T) des x- als Symbol für die E(T) des x-jährigenjährigen
∞ ∞
ėėxx = = ∫t g(t) dt∫t g(t) dt 00
Verteilsfuntkion von TVerteilsfuntkion von T ∞ ∞ ∞ ∞
ėėxx = = ∫(1 – G(t)) dt = ∫∫(1 – G(t)) dt = ∫ttppxx dt dt 00 0 0
Vereinfachungen der NotationVereinfachungen der Notation
Präfixe der Symbole Präfixe der Symbole
ttqqxx , , ttppxx , , ssIIttqqxx
für t =1für t =1 qqxx , , ppxx , , ssIIqqxx
Die SterblichkeitsintensitätDie Sterblichkeitsintensität
DefinitionDefinition μμx+tx+t = g(t) / (1 – G(T)) = g(t) / (1 – G(T))
= - d/dt ln(1 – G(t))= - d/dt ln(1 – G(t)) weilweil
g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und ttppxx = 1 – G(t) = 1 – G(t)
alternativer Ausdruckalternativer Ausdruck
Pr(t < T < t+dt) = Pr(t < T < t+dt) = ttppxx μμx+tx+t dt dt
LebenserwartungLebenserwartung
SchreibweisenSchreibweisen ∞ ∞
ėėxx = = ∫t ∫t ttppxx μμx+tx+t dtdt 00
∞ ∞
ėėxx = = ∫t g(t) dt∫t g(t) dt 00
∞ ∞ ∞ ∞
ėėxx = = ∫(1 – G(t)) dt = ∫∫(1 – G(t)) dt = ∫ttppxx dt dt 00 0 0
Analytische Verteilung von TAnalytische Verteilung von T
analytisch bzw. „mathematisch“, falls G(t) analytisch bzw. „mathematisch“, falls G(t) durch eine einfache Formel beschrieben durch eine einfache Formel beschrieben wirdwird
VorteilVorteil wenig Paramterwenig Paramter
NachteilNachteil ungenauungenau
Beispiele von analytischen Beispiele von analytischen VerteilungenVerteilungen
De MoivreDe Moivre (1724) (1724)
oberstes Alter oberstes Alter ωω
T gleichverteilt im Intervall (0 , T gleichverteilt im Intervall (0 , ωω-x)-x)
g(t) = 1 / (g(t) = 1 / (ωω – x) – x)
SterblichkeitsintensitätSterblichkeitsintensität μμx+tx+t = 1 / ( = 1 / (ωω – x – t) – x – t) für 0 < t < für 0 < t < ωω – x – x wachsende Funktionwachsende Funktion
GompertzGompertz (1824) (1824)
exponentielles Wachstumexponentielles Wachstum
μμx+tx+t = B c = B cx+tx+t mit B, c, t > 0mit B, c, t > 0
Vergleich zu Vergleich zu De MoivreDe Moivre bessere Beschreibung menschlichen Alternsbessere Beschreibung menschlichen Alterns oberstes Alter oberstes Alter ωω überflüssig überflüssig
MakehamMakeham (1860) (1860)
Verallgemeinerung von Verallgemeinerung von GompertzGompertz
μμx+tx+t = A + B c = A + B cx+tx+t mit A > 0mit A > 0
konstante Sterblichkeitsintensitätkonstante Sterblichkeitsintensität
GompertzGompertz μμx+tx+t = B c = B cx+tx+t
c = 1c = 1
MakehamMakeham μμx+tx+t = A + B c = A + B cx+tx+t
B = 0B = 0
WeibullWeibull (1939) (1939)
WachstumWachstum nicht exponentiellnicht exponentiell wie eine Potenzwie eine Potenz
μμx+tx+t = k (x + t) = k (x + t)nn mit k, n > 0mit k, n > 0
Die gestutzte LebensdauerDie gestutzte Lebensdauer
ModellModell
μμx+tx+t = g(t) / (1 – G(T)) = g(t) / (1 – G(T))
= - d/dt ln(1 – G(t))= - d/dt ln(1 – G(t))
Pr(t < T < t+dt) = Pr(t < T < t+dt) = ttppxx μμx+tx+t dt dt
ZufallsvariabelenZufallsvariabelen
K = K(x)K = K(x)
S = S(x)S = S(x)
SeiSei
K = [T] K = [T] die ganzzahlig gestutzte die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauerzukünftige Lebensdauer
Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) für k = 0, für k = 0, 1, ...1, ...
Erwartungswert von K heißt die gestutzte Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung bezeichnet mit eLebenserwartung bezeichnet mit exx
SeiSei
S der Bruchteil des Jahres im TodesjahrS der Bruchteil des Jahres im Todesjahr
S im Intervall ( 0 , 1 )S im Intervall ( 0 , 1 )
T = K + ST = K + S
Approximation mit S = ½Approximation mit S = ½
ėėxx ≈ e ≈ exx + ½ als Näherung + ½ als Näherung
Verwendung in der Praxis um die Verwendung in der Praxis um die vollständige Lebenserwartung vollständige Lebenserwartung auszurechnenauszurechnen
VorteilVorteil einfacher auszuwerteneinfacher auszuwerten
NachteilNachteil nicht ganz so genaunicht ganz so genau
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