linearna algebra

Glava 1

Linearna algebra

1.1 Sistemi linearnih algebarskih jednacina

Sistem jednacina

(1.1)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

gde su aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) i bi (i = 1, 2, . . . ,m) realnibrojevi i xj (j = 1, 2, . . . , n) nepoznate, naziva se sistem od m linearnihalgebarskih jednacina sa n nepoznatih.

Realni brojevi aij nazivaju se koeficijentima uz nepoznate, a realnibrojevi bi slobodnim clanovima. Ako su svi slobodni clanovi bi jednakinuli, tada se sistem jednacina (1.1) naziva homogen, a ako je bar jedanod slobodnih clanova bi razlicit od nule tada se sistem jednacina (1.1)naziva nehomogen.

Uredena n-torka brojeva (ξ1, ξ2, . . . , ξn) je resenje sistema jednacina(1.1) ako pri zameni xj = ξj (j = 1, 2, . . . , n) u (1.1) dobijamo brojnejednakosti. Ako sistem jednacina (1.1) ima resenje tada kazemo da jesaglasan, a ako nema resenje kazemo da je nesaglasan. Ako sistem imatacno jedno resenje kazemo da ima jedinstveno resenje. Ako sistem imavise od jednog resenja kazemo da je neodreden.

U teoriji linearnih algebarskih jednacina postavljaju se dva osnovnazadatka. Prvi zadatak odnosi se na utvrdivanje potrebnih i dovoljnihuslova za postojanje resenja sistema linearnih algebarskih jednacina.

1

2 1.1. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACINA

Tim zadatkom u ovom kursu necemo se baviti. Drugi zadatak odnosi sena resavanje sistema linearnih jednacina u slucajevima kada takav sis-tem ima resenja. Jedna od najpoznatijih i najefikasnijih metoda, kojase koristi za resavanje sistema linearnih jednacina, je Gauss-Jordanovametoda eliminacije. O ovoj metodi bice reci u nastavku ove sekcije.Ovom metodom moguce je ne samo naci resenja, u slucaju kada je sis-tem saglasan, vec i ustanoviti nesaglasnost, u slucaju kada je sistemnesaglasan.

Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako i samo ako jesvako resenje jednog sistema ujedno resenje drugog sistema i obrnuto. Uosnovi resava- nja sistema linearnih jednacina je njihovo svodenje (trans-formacija) na veoma jednostavne ekvivalentne sisteme, cija su resenjaocigledna.

Sistem linearnih jednacina transformise se u njemu ekvivalentan sis-tem ako:

(A) Dve jednacine zamene mesta.

(B) Jednacinu sistema pomnozimo konstantom razlicitom od nule.

(C) Jednu jednacinu, pomnozenu konstantom, dodamo drugoj jedna-cini.

Koeficijenti uz nepoznate i slobodni clanovi sistema linearnih jedna-cina (1.1) mogu se iskoristiti za formiranje nekoliko matrica od interesaza njihovo resavanje. Sa sistemom (1.1) povezane su sledece matrice:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

,

b1

b2...

bm

,

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 . . . amn bm

Prva matrica je matrica koeficijenata, druga matrica je matrica slo-bodnih clanova, a treca matrica je prosirena matrica sistema (1.1).

Prosirena matrica sadrzi sve sustinske delove sistema: koeficijenteuz nepoznate i slobodne clanove. Vertikalna crta stavljena je kao znakkoji razdvaja koeficijente uz nepoznate od slobodnih clanova. Za nasepotrebe u ovom trenutku dovoljno je posmatrati prosirenu matricu sis-tema jednacina (1.1).

Za dve matrice kazemo da su ekvivalentne po vrstama ako i samoako one predstavljaju prosirene matrice ekvivalentnih sistema jednacina.

GLAVA 1. LINEARNA ALGEBRA 3

Primenom bilo koje od nize navedenih operacija na vrstama, polaznamatrica se transformise u matricu ekvivalentnu po vrstama:

(A) Dve vrste menjaju mesta (Vi ↔ Vj)(B) Vrsta se mnozi konstantom razlicitom od nule (kVi → Vi)(C) Proizvod konstante i jedne vrste dodaje se drugoj vrsti (kVi +

Vj → Vj)Ovo je direktna posledica operacija kojima se sistem linearnih jedna-

cina transformise u njemu ekvivalentan sistem.Primena navedenih operacija na transformaciju prosirenih matrica

sistema jednacina u matrice ekvivalentne po vrstama najbolje se ilustrujena primerima.

Primer 1.1. Posmatrajmo sistem jednacina

(1.2)2x1 −2x2 +x3 = 33x1 +x2 −x3 = 7x1 −3x2 +2x3 = 0

i transformisimo njegovu prosirenu matricu na sledeci nacin:

2 −2 1 33 1 −1 71 −3 2 0

∼

1 −3 2 03 1 −1 72 −2 1 3

∼

1 −3 2 00 10 −7 70 4 −3 3

∼

1 −3 2 00 1 −0.7 0.70 4 −3 3

∼

1 0 −0.1 2.10 1 −0.7 0.70 0 −0.2 0.2

∼

1 0 −0.1 2.10 1 −0.7 0.70 0 1 −1

∼

1 0 0 20 1 0 00 0 1 −1

U prvom koraku na mestu (1, 1), tj. u prvoj koloni i prvoj vrstidobijamo 1 na taj nacin sto prva i treca vrsta promene svoja mesta(V1 ↔ V3). Zatim u prvoj koloni na svim ostalim mestima dobijamonule. To se postize tako sto se prva vrsta pomnozi sa -3 i doda drugojvrsti (−3V1 + V2 → V2), a zatim se prva vrsta pomnozi sa -2 i dodatrecoj vrsti (−2V1 + V3 → V3). Dakle, u prvoj koloni imamo 1 na vrhu,a svi ostali elementi u toj koloni su jednaki 0.

U drugom koraku treba dobiti 1 na mestu (2,2), sto se postize mnoze-njem druge vrste sa 0,1 (0, 1V2 → V2), a zatim se u drugoj koloni na svim

4 1.1. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACINA

ostalim mestima dobijaju nule uz pomoc sledecih operacija: 3V2 +V1 →V1, −4V2 + V3 → V3.

Na kraju treba dobiti 1 na mestu (3,3), sto se postize mnozenjemtrece vrste sa -5 (−5V3 → V3), a onda u trecoj koloni na svim ostalimmestima dobiti nule uz pomoc operacija: 0, 1V3+V1 → V1, 0, 7V3+V2 →V2.

Na ovaj nacin dobili smo matricu ekvivalentnu po vrstama prosirenojmatrici sistema (1.2). Ovoj matrici odgovara sistem jednacina

(1.3)x1 = 2

x2 = 0x3 = −1

koji je ekvivalentan sistemu (1.2) i koji se lako resava. Resenje sistema(1.3), a samim tim i sistema (1.2) je: x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1. 4Primer 1.2. Posmatrajmo sada sistem jednacina

(1.4)2x1 −4x2 +x3 = −44x1 −8x2 +7x3 = 2

−2x1 +4x2 −3x3 = 5

i izvrsimo transformaciju njegove prosirene matrice na sledeci nacin:

2 −4 1 −44 −8 7 2

−2 4 −3 5

∼

1 −2 0, 5 −24 −8 7 2

−2 4 −3 5

∼

1 −2 0, 5 −20 0 5 100 0 −2 1

∼

1 −2 0, 5 −20 0 1 20 0 −2 1

∼

1 −2 0 −30 0 1 20 0 0 5

Prvi korak je identican prvom koraku u primeru 1.1. U drugom korakune mozemo dobiti 1 na mestu (2,2), jer se na tom mestu nalazi 0, a nulese nalaze i na svim ostalim mestima u drugoj koloni ispod mesta (2,2).Zbog toga se pomeramo udesno i dobijamo 1 na mestu (2,3) mnozenjemdruge vrste sa 0,2 (0, 2V2 → V2), a zatim u trecoj koloni na svim ostalimmestima dobijamo nule uz pomoc operacija: (−0, 5V2 + V1 → V1, 2V2 +V3 → V3.

GLAVA 1. LINEARNA ALGEBRA 5

Na ovaj nacin dobili smo matricu ekvivalentnu po vrstama prosirenojmatrici sistema (1.4). Ovoj matrici odgovara sistem jednacina

(1.5)x1 −2x2 = −3

x3 = 20 = 5

koji je ekvivalentan sistemu (1.4). Sistem (1.5) je nesaglasan, jer nijednauredena trojka realnih brojeva ne zadovoljava poslednju jednacinu togsistema. 4Primer 1.3. Posmatrajmo sada sistem jednacina

(1.6)3x1 +6x2 −9x3 = 152x1 +4x2 −6x3 = 10

−2x1 −3x2 +4x3 = −6

i izvrsimo transformaciju njegove prosirene matrice na sledeci nacin:

3 6 −9 152 4 −6 10

−2 −3 4 −6

∼

1 2 −3 52 4 −6 10

−2 −3 4 −6

∼

1 2 −3 50 0 0 00 1 −2 4

∼

1 2 −3 50 1 −2 40 0 0 0

∼

1 0 1 −30 1 −2 40 0 0 0

U prvom koraku na mestu (1,1) dobijamo 1 mnozenjem prve vrste sa 13

(13V1 → V1), a zatim u prvoj koloni na svim ostalim mestima dobijamo

nule uz pomoc sledecih operacija: (−2)V1 + V2 → V2, 2V1 + V3 → V3.Posto se u drugoj vrsti nalaze samo nule, zamenom mesta drugoj i

trecoj vrsti (V2 ↔ V3), dobijamo na mestu (2,2) 1. Zatim u dugoj kolonina svim ostalim mestima dobijamo nule uz pomoc sledece operacije:(−2)V2 + V1 → V1.

Na ovaj nacin dobili smo matricu ekvivalentnu po vrstama prosirenojmatrici sistema (1.6). Ovoj matrici odgovara sistem jednacina

(1.7)x1 +x3 = −3

x2 −2x3 = 40 = 0

6 1.1. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACINA

koji je ekvivalentan sistemu (1.6). Sistem (1.7) je saglasan i ima besko-nacno mnogo resenja. Ta resenja dobijamo tako sto krajnje leve promen-ljive x1 i x2 iz prve dve jednacine izrazavamo pomocu trece promenljivex3:

x1 = −x3 − 3x2 = 2x3 + 4

Stavljajuci x3 = t, za svaki realan broj t dobijamo resenja sistema (1.7):

x1 = −t− 3x2 = 2t + 4x3 = t

Dakle, skup {(−t − 3, 2t + 4, t)|t ∈ R} predstavlja skup svih resenjasistema (1.7), a samim tim i sistema (1.6) koji je sa njim ekvivalentan.4

U svim prethodnim primerima koristili smo operacije na vrstamakako bismo transformisali prosirenu matricu sistema na pojednostavljenoblik koji se zove redukovana matrica. Matrica je redukovana matricaako :

10 Svaka vrsta koja se sastoji od samih nula dolazi ispod svake vrstekoja sadrzi bar jedan od nule razlicit elemenat.

20 Krajnji levi od nule razlicit element u svakoj vrsti je 1.30 Svi drugi elementi u koloni koja sadrzi 1 na krajnjem levom mestu

su nule.40 Krajnja leva jedinica u bilo kojoj vrsti stoji desno od krajnje leve

jedinice u vrsti iznad.Istovremeno, u prethodnim primerima ilustrovali smo i proces resava-

nja sistema jednacina, poznat kao Gauss-Jordanova metoda eliminacije.Ova metoda transformise prosirenu matricu sistema jednacina u reduko-vani oblik. Sistem koji odgovara redukovanoj prosirenoj matrici zove seredukovani sistem. Ovi sistemi se lako resavaju.

U sustini imamao tri mogucnosti: sistem je saglasan i ima jedin-stveno resenje (Primer 1.1), sistem je saglasan i ima beskonacno mnogoresenja (Primer 1.3) i sistem je nesaglasan (Primer 1.2).

Gauss-Jordanova metoda eliminacije dobila je ime po nemackommatematicaru Carlu Fridrichu Gausssu (1777-1885) i nemackom geodeti

GLAVA 1. LINEARNA ALGEBRA 7

Wilhelmu Jordanu (1842-1899). Gauss, jedan od najvecih matematicarasvih vremena, metodu je koristio za resavanje sistema jednacina zapotrebe svojih istrazivanja u astronomiji, a Jordan je uopstio ovu meto-du za potrebe resavanja ovih problema u geodeziji.

Sistem linearnih jednacina ima beskonacno mnogo resenja ako jesaglasan i ako je broj levih krajnjih jedinica u redukovanoj prosirenojmatrici manji od broja nepoznatih. To je slucaj kod sistema jednacinanavedenog u primeru 1.3. Kod ovog sistema je broj krajnjih levih je-dinica u redukovanoj matrici 2, a broj nepoznatih je 3. Opis skuparesenja nije tezak. Krajnje leve nepoznate u redukovanom sistemu odgo-varaju krajnjim levim jedinicama odgovarajuce redukovane prosirenematrice. Definicija redukovanog oblika prosirene matrice osigurava da sesvaka krajnja leva nepoznata u odgovarajucem redukovanom sistemu po-javljuje u samo jednoj jednacini sistema. Krajnje leve nepoznate trebaizraziti pomocu preostalih nepoznatih i ispisivanje opsteg resenja sistemaobicno je lako.

Navodimo jos jedan primer saglasnog sistema jednacina koji imabeskonacno mnogo resenja i postupak njegovog resavanja.

Primer 1.4. Gauss-Jordanovom metodom eliminacije resiti sistem je-dnacina

(1.8)x1 +2x2 +4x3 +x4 −x5 = 1

2x1 +4x2 +8x3 +3x4 −4x5 = 2x1 +3x2 +7x3 +3x5 = −2

Resenje. Uz pomoc operacija koje proizvode matrice ekvivalentne povrstama prosirenu matricu sistema (1.8) svodimo na redukovani oblik

1 2 4 1 −1 12 4 8 3 −4 21 3 7 0 3 −2

∼

1 2 4 1 −1 10 0 0 1 −2 00 1 3 −1 4 −3

∼

1 2 4 1 −1 10 1 3 −1 4 −30 0 0 1 −2 0

∼

1 0 −2 3 −9 70 1 3 −1 4 −30 0 0 1 −2 0

∼

1 0 −2 0 −3 70 1 3 0 2 −30 0 0 1 −2 0

8 1.1. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACINA

Redukovanoj prosirenoj matrici odgovara redukovani sistem jednacina

(1.9)x1 −2x3 −3x5 = 7

x2 +3x3 +2x5 = −3x4 −2x5 = 0

Krajnje leve nepoznate x1, x2 i x4 izrazavamo zatim pomocu preostalihnepoznatih x3 i x5:

x1 = 2x3 + 3x5 + 7x2 = −3x3 − 2x5 − 3x4 = 2x5

Stavljajuci x3 = s, x5 = t dobijamo za svaka dva realna broja s i tresenja sistema (1.9), odnosno njemu ekvivalntnog sistema (1.8):

x1 = 2s + 3t + 7x2 = −3s− 2t− 3x3 = s

x4 = 2t

x5 = t 4