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Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1
Mathematisch-Statistische Verfahren
des Risikomanagements
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 2
Gliederung und Literaturhinweise
Semesterapparat Fachbereichsbibliothek
Vorlesungsfolien im Netz
wöchentlich 2 Std. Vorlesung Di 14.00 - 16.00 alle 14 Tage Praktikervortrag Di 16.00 - 18.00 Beginn:
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Gliederung
Risikomanagement in Unternehmen
Marktpreisrisiko
Kreditrisiko
Operationelles Risiko
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1. Risikomanagement in Unternehmen Gesetz zur Kontrolle und Transparenz im Unternehmensbereich
(KonTraG) - Mai 1988:
Vorstand einer AG ist verpflichtet „geeignete Maßnahmen zu treffen, insbesondere ein Überwachungssystem einzurichten, damit den Fortbestand der Gesellschaft gefährdende Entwicklungen früh erkannt werden“
Betroffene Unternehmen: Börsennotierte AGs und andere
Intention: Transparenz und Kontrolleffizienz
Dokumentation und Berichterstattung
Risikofrüherkennung und Risikomanagement
Keine inhaltliche Ausgestaltung des Risikomanagementsystems durch Gesetzgeber
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wachsende Bedeutung des Shareholder Value
öffentliche Diskussion zu Corporate Governance
institutionelle Anleger fordern interne Überwachungs- und Steuerungsmaßnahmen Unternehmen, die Risiken nur „zufällig“ entdecken, sind poten- tiell existenzgefährdet
Unternehmensrisiken lassen sich nicht vermeiden, sie müssen jedoch erfaßt, begleitend überwacht und falls wesentlich abgewehrt werden.
Notwendigkeit eines effizienten Risiskomanagementsystems!!
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1.1 Risikobegriff
Risiko resultiert ursachenbezogen aus Unsicherheit zukünftiger Ereignisse einhergehend mit unvollständigem Informationsstand
Sicherheit Unsicherheit
Möglichkeit, dem Eintritt bestimmter (unsicherer) Ereignisse Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen
- objektive meßbare Wahrscheinlichkeiten
- subjektive Wahrscheinlichkeiten
Risiko als Wahrscheinlichkeit eines Verlustes
Risiko schlägt sich wirkungsbezogen in einer negativen Abweichung von einer festgelegten Zielgröße nieder
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Höhe des Risikos abhängig von
- Ausmaß der Zielverfehlung
- der jeweils zuzurechnenden Wahrscheinlichkeit
Bestimmung der Risikoposition eines Unternehmens
Frage nach der Tragfähigkeit von Risiken und Risikopotentialen
Verhältnis von Risiken zu vorhandenen Risikodeckungs- potentialen (z.B. Ertragskraft, Eigenkapitalreserven)
Risikomanagement umfaßt sämtliche Maßnahmen zur planmäßigen und zielgerichteten Analyse, Beeinflussung und Kontrolle der Risikoposition
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1.2 Risikobereiche
Markt-risikoLiqu.-
risikoOpera-
tionellesRisiko
Kredit-risiko
Ge-schäfts-
risiko
Reputationsrisiko
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Marktrisiko/Marktpreisrisiko Veränderungen des Wertes einer Position aufgrund von Zinsen, Wechselkursen, Aktienkursen oder sonstigen Preisen oder Preisbildungsfaktoren (z.B. Volatilitäten)
Kreditrisiko entsteht durch die verspätete Erfüllung von Zahlungsverpflichtungen durch den Schuldner und den teilweisen oder vollständigen Ausfall der Forderungen.
Operationelles Risiko ist das Risiko von Verlusten durch menschliche Fehler, fehlerhafte Prozesse, Technologieversagen, Natur- und sonstige Katastrophen und Änderungen im externen Umfeld.
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Liquiditätsrisiko beziehen sich auf die jederzeitige, uneingeschränkte, fristgerechte Zahlungsfähigkeit. Ursachen für eine Beeinträchtigung der Liquidität liegen z.B. in fehlender Refinanzierungsmöglichkeit, in verspäteter Rückzahlung von Anlagen und gewährten Krediten oder in unerwartet hoher Kreditinanspruchnahme durch Kunden.
Geschäftsrisiko Wertveränderungen durch unvorhersehbare Veränderungen der Umwelt, die zu Gewinneinbußen führen
Reputationsrisiko
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1.3 Risikomaßzahlen
1.3.1 Risiko als Standardabweichung
Portfoliotheorie (Harry Markowitz)
Erwartungswert der Rendite
Streuung der Rendite um Erwartungswert
Ermittlung der Standardabweichung in der Portfoliotheorie
Annahme einer Renditeverteilung (z.B.Normalverteilung)
Beobachtung historischer Renditen
N
nnxN 1
1̂
N
nnxN 1
2)ˆ(1
1ˆ
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< 1.1 > Aus den täglichen Renditen des CHF und des USD gegenüber der DEM in der Zeit vom 1.1.95 bis zum 31.3.95 können folgende Erwartungswerte und Standardabweichungen (pro Tag) geschätzt werden:
%,0387,0ˆ CHF %,2260,0ˆ CHF
%,1794,0ˆ USD %7807,0ˆ USD
Ist lediglich die Standardabweichung der Renditen das Risikomaß, so folgt, dass das Risiko des CHF geringer ist als das des USD.
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1.3.2 Risiko als Sensitivität
Quantifizierung von Risiko durch Messung der Wertänderung eines Assets oder eines Portfolios, wenn sich ein oder mehrere Marktparameter ändern
Sensititvitätsanalyse
1. Wert des Portfolios (X) als Funktion der Marktparameter
2. Veränderung jedes Marktparameters Szenario Sz =
3. Risiko =
N ,...,1
),...,( 11 NN
),...,(),...,( 111 NNN XX
Wenn sich der Markt um Sz bewegt, verändert sich der Wert des Portfolios um den errechneten Risikobetrag.
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< 1.2 > Europäische Calloption auf eine Aktie
Bestimmung des Preises nach der Formel von Black und Scholes
c =
mit und
wobei c - Preis der europäischen Calloption; S0 - Aktienkurs zum Bewertungszeitpunkt; K - Strikepreis; - Volatilität p.a.; t - Restlaufzeit in Jahren rRF - risikofreier Zins p.a. (bei exponentieller Verzinsung)
)()( 210 deKdS trRF
t
trd RFKS
2
1
20ln tdd 12
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Zu berechnen sei der Preis eines europäischen Calls auf eine Aktie mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem risikofreien Zins von 5% p.a.
4225,025,0
05,0ln
124
124
225,0
2930
1
2
d
2782,025,04225,0 124
2 d
DMec 53,2)2782,0(29)4225,0(30 12405,0
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Der Aktienkurs fällt um 10%, die Volatilität steigt um 10%, der risikofreie Zins steigt um 10%:
)5,05;5,225;330(1 Sz
Bewertung der Option für einen Aktienkurs von 27 DM, eine Volatilität von 27,5% p.a. und einen Zins von 5,5% p.a.
Preis unter Sz1 : 1,11 DM
Risiko unter Sz1: 1,11 - 2,53 = -1,42 DM
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häufig nur Veränderung einzelner Parameter
„Greeks“
Berechnung von Sensitivitätskennzahlen
Sensitivität als partielle Ableitung der Bewertungsformel nach der entsprechenden Einflußgröße
)( 1dc
Delta: Veränderung des Optionspreises bei Veränderung des Aktienkurses
Ändert sich der Aktienkurs um einen sehr kleinen Betrag, so ändert sich der Wert der Option um das 0,6627-fache dieses Betrages
6627,0)4225,0( c
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tdSc )( 10
Gamma: Veränderung des Delta bei Veränderung des Aktienkurses
tSd
c
0
1)( 0844,025,030
)4197,0(
124
c
Vega: Veränderung des Optionspreises bei Veränderung der Volatilität
2419,430)4225,0( 124 c
• Option mit einem Vega von 10 hat ein höheres Risiko gegen-über Änderungen der Volatilität als eine Option mit einem Vega von 5.
• Ändert sich die Volatilität, so verändert sich der Wert der Option mit dem höheren Vega stärker als der Wert der anderen Option.
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Theta: Veränderung des Optionspreises bei Veränderung der Restlaufzeit
Rho: Veränderung des Optionspreises bei Veränderung des risikofreien Zinses
tdSderK tr
RFcRF
2)()( 102
)( 2detK trc
RF
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1.3.3 Risiko als Value at Risk
• Portfolio bewertet zu Marktpreisen• Gewinn/Verlust als Zufallsvariable von Veränderungen der Markt-
verhältnisse• Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Quantil• Im Falle eines negativen Betrages gibt das 1%-Quantil an,
welchen Verlust die Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% höchstens annimmt.
• Value at Risk eines Portfolios ist ein Maß für die Verlustobergrenze des betrachteten Portfolios, die über einen bestimmten Zeitraum mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 21
< 1.3 > Ein Investor hält am 31.3.95 eine Position von 100 Millionen CHF (Gegenwert 121,33 Mio DM). In den letzten drei Monaten hatten die täglichen Erträge aus dieser Position einen Mittelwert von 46.093,75 DM und eine Standardabweichung von 268.697,96 DM.
Das VaR zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% kann nun über das 2,5%-Quantil bestimmt werden.
Das 2,5%-Quantil der Normalverteilung ist durch - 2 gegeben.
Das VaR beträgt also:
DM17,302.491)96,697.268275,093.46(
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1.4 Der Prozeß des Risikomanagements
umfaßt sämtliche Maßnahmen zur planmäßigen und zielgerichteten
Analyse, Beeinflussung und Kontrolle der Risikoposition
Risikomanagementprozeß
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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Risikoidentifikation Risikoanalyse i.e.S.
Risikobewertung
Risikoerfassung
Interdependenzen,Ursache-Wirkungs-beziehungenidentifizieren
Systematisierung
Klassifizierung
Messung
Quantifizierung (Risikomaßzahlen)
Zielabwei- chungen, Relationen zwischen Kennzahlen, Gefährlichkeit
klassifizieren
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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Strategien zur Beeinflussung der Risikoposition
Risikovermeidung bestimmte risikobehaftete Geschäfte werden nicht durchgeführt
Risikoverminderung ursachenorientierte Verringerung der Eintrittswahrscheinlichkeiten und/oder wirkungsorientierte Begrenzung des Schadensausmaßes
Risikoüberwälzung Übertragung des Risikos auf Dritte
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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Risikodiversifikation bewußte Ausnutzung der Risikostreuung; Risiken in einem Teilbereich werden durch Chancen in anderen Bereichen ausgeglichen
Risikoübernahme bewußtes Eingehen bestimmter Risikopotentiale vor dem Hintergrund einer entsprechenden Risikotragfähigkeit
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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Sicherstellung, daß ein Unternehmen nur mit den Risiken behaftet ist, die auch tatsächlich eingegangen werden sollen:
Limitierung
- Qualitative Limits
- Quantitative Limits
Volumenslimits und Risikolimits und Verlustlimits
Sensitivitäts-Limits Szenario-Limits Value at Risk-Limits
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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Hedging
Versuch, mögliche Wertverluste in einer Position durch ein Gegengeschäft abzusichern, so daß die Verluste in der ursprünglichen Position durch Gewinne aus dem Gegen-geschäft kompensiert werden können
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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risikopolitische Entscheidungen werden auf ihre Wirksamkeit und ihren ökonomischen Nutzen hin kontrolliert:
Analysemethoden Genauigkeit und Aktualität
Steuerungsinstrumente Kosten/Nutzen
organisatorische Umsetzung zentral/dezentral
Risikoanalyse Risikosteuerung Risikokontrolle
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