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MATLAB Ferienkurs WiSe 2011 SoSe 2012Teil 1 von 6
Dr. Matthias Wohlmuth
Technische Universität MünchenFakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Basierend auf Kursunterlagen von Boris von Loesch
14. März 2012
Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 MATLAB Ferienkurs WiSe 2011 SoSe 2012
Ablauf
Theorie 1+2 Mi, 9:00 - 10:30 HS 1Übung 1 Mi, 10:30 - 12:00 große Rechnerhalle
Theorie 3+4 Mi, 12:15 - 13:45 HS 1Übung 2 Mi, 14:30 - 16:00 große RechnerhalleÜbung 3 Mi, 16:00 - 17:30 große RechnerhalleÜbung 4 Do, 9:30 - 11:00 große Rechnerhalle
Theorie 5+6 Do, 11:00 - 12:30 HS 1Übung 5 Do, 13:30 - 15:00 große RechnerhalleÜbung 6 Do, 15:00 - 16:30 Uhr große RechnerhalleTutorium Do, 16:30 - 18:00 Uhr große Rechnerhalle
Kurswebseite mit Skript:
http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/MatlabSoSe2012
Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 MATLAB Ferienkurs WiSe 2011 SoSe 2012
Teil 1: Inhalt
1 Einführung
2 Grundlagen
3 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen
Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 MATLAB Ferienkurs WiSe 2011 SoSe 2012
Teil 1: Inhalt
1 Einführung
2 Grundlagen
3 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen
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Organisatorisches
Folien und Übungsblätter werden auf die Webseite gestellt
(Fast) alle im Kurs behandelten Programm-Beispiele und Übungenlaufen auch unter Octave (ab Version 3.2.3)Eine graphische Benutzeroberfläche für Octave bietet QtOctave.Das Testat wird im Rahmen eines Multiple-Choice-Tests amMontag, den 16.04.2012, 18:30-19:15 im HS 1 stattfinden
Warum Matlab/Octave?
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Organisatorisches
Folien und Übungsblätter werden auf die Webseite gestellt(Fast) alle im Kurs behandelten Programm-Beispiele und Übungenlaufen auch unter Octave (ab Version 3.2.3)Eine graphische Benutzeroberfläche für Octave bietet QtOctave.
Das Testat wird im Rahmen eines Multiple-Choice-Tests amMontag, den 16.04.2012, 18:30-19:15 im HS 1 stattfinden
Warum Matlab/Octave?
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Organisatorisches
Folien und Übungsblätter werden auf die Webseite gestellt(Fast) alle im Kurs behandelten Programm-Beispiele und Übungenlaufen auch unter Octave (ab Version 3.2.3)Eine graphische Benutzeroberfläche für Octave bietet QtOctave.Das Testat wird im Rahmen eines Multiple-Choice-Tests amMontag, den 16.04.2012, 18:30-19:15 im HS 1 stattfinden
Warum Matlab/Octave?
Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 MATLAB Ferienkurs WiSe 2011 SoSe 2012
Organisatorisches
Folien und Übungsblätter werden auf die Webseite gestellt(Fast) alle im Kurs behandelten Programm-Beispiele und Übungenlaufen auch unter Octave (ab Version 3.2.3)Eine graphische Benutzeroberfläche für Octave bietet QtOctave.Das Testat wird im Rahmen eines Multiple-Choice-Tests amMontag, den 16.04.2012, 18:30-19:15 im HS 1 stattfinden
Warum Matlab/Octave?
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische Berechnungen
Entwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)
Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von Ergebnissen
Anwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)
Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer Probleme
Viele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)
Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Was ist Matlab?Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:
Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer Benutzeroberfläche (siehe Übung 6)Toolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(Petsc, IPOpt, ODE Löser (C. Ludwig (M3)), MatlabLaserLibrary)Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie=⇒ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner
Matlab ist NICHT...
Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple. Die symbolic Toolbox stellt solche Funktionen aberauch zur Verfügung.
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Beispiel: Numerische Berechnungen
Lösen eines Gleichungssystems.
>> A = gallery(’poisson’,4);>> f = ones(16,1);>> x = A \ f
x =0.83331.16671.1667...1.16670.8333
>> full(A)ans =
4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 -1 4 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 0 0 0 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 00 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 00 0 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 -1 0 0 -1 4 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 -1 0 0 0 4 -1 0 0 -1 0 0 00 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 0 00 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 4 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4
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Beispiel: Entwicklung von Algorithmen
Iteratives Lösungsverfahren (PCG).function [u,m] = solvePCG(A, f, u_s, C1, C2, tol, m_max)
u = u_s; m = 0;r = f - A * u;p = C2 \ (C1\ r);norm_f = norm(f);while( (norm(r)/norm_f > tol) & (m < m_max))
a = A * p;a_dot_p = a’ * p;lambda = (r’ * p) / a_dot_p;u = u + lambda * p;r = r - lambda * a;inv_C_times_r = C2 \ (C1 \ r);p = inv_C_times_r - ((inv_C_times_r’ * a) / a_dot_p) * p;m=m+1;
end
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Beispiel: Visualisierung
3D-Plot der Funktion 1x2+y2 .
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Beispiel: Modellierung und Simulation
Berechnen und Darstellen der Verschiebungsfigur eines Querschnittsunter einer Flächenlast.
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Beispiel: GUI-AnwendungenPartial Differential Equations Toolbox pdetool von Matlab.
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Stärken von Matlab
Algorithmen lassen sich in einer an die Mathematik angelehntenForm implementierenNative Unterstützung von Vektoren und Matrizen (auchdünnbesetzt!!)Große Bibliothek mit numerischen Funktionen, z.B. spline zurBerechnung kubischer Splines
Umfangreiche VisualisierungsmöglichkeitenMatlab wählt automatisch effizienten Algorithmus für bestimmteAufgabe, z.B. beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit \Weite Verbreitung in der CommunityLeicht zu lernende, umfangreiche ProgrammierumgebungNicht so langsam wie sein Ruf bei Beachtung gewisser Regeln
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Stärken von Matlab
Algorithmen lassen sich in einer an die Mathematik angelehntenForm implementierenNative Unterstützung von Vektoren und Matrizen (auchdünnbesetzt!!)Große Bibliothek mit numerischen Funktionen, z.B. spline zurBerechnung kubischer SplinesUmfangreiche VisualisierungsmöglichkeitenMatlab wählt automatisch effizienten Algorithmus für bestimmteAufgabe, z.B. beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit \Weite Verbreitung in der CommunityLeicht zu lernende, umfangreiche ProgrammierumgebungNicht so langsam wie sein Ruf bei Beachtung gewisser Regeln
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Bezugsmöglichkeit und Alternativen
Installiert auf den Rechnern in der RechnerhalleMatlab Campus Lizenz (mit persönlicher Registrierung)https://matlab.rbg.tum.de/
Spezielle Version für Mathematikstudenten aus Studiengebühren,nur aus dem Mathenetz installierbar. Infos unterwww.ma.tum.de/Studium/MatlabForStudents (Username:MatlabForStudents, Passwort: MFS)Studentenversion direkt bei Mathworks bestellbar (ohne Gewähr: ca.90 Euro ): www.mathworks.de/academia/student_version/
Kostenlose Alternative: Octave (www.octave.org)
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Matlab IDE
Verzeichnis-FensterBefehls-FensterBefehls-HistorieVariablenspeicherHilfe (help und doc)
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Teil 1: Inhalt
1 Einführung
2 Grundlagen
3 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen
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Befehlseingabe
Eingaben können direkt in das Befehlsfenster gemacht werdenMit help <Funktionsname> und doc <Funktionsname> findetman HilfeStichwortsuche in den Hilfetexten aller Funktionen mit lookfor<Stichwort>
Tabulator-Taste verwenden um Befehle automatisch zuvervollständigenMit den Hoch/Runter-Tasten können die zuletzt verwendetenBefehle durchgegangen werdenLaufende Operationen können mit Ctrl+C abgebrochen werdenKeine Ausgabe bei Abschluss mit ;
Mehrere Befehle in einer Zeile mit , oder ; trennen
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Rechnen in Matlab
Variablenzuweisung durch =Punkt-vor-Strich-RechnungIn ans steht das Ergebnis der letzten RechnungEingabe im DezimalsystemFormat: [Vorzeichen] Zahl [Exponent]
Vorzeichen: + oder −Zahl: mind. 1 Ziffer, ggf. DezimalpunktExponent: e oder E gefolgt von + oder − und ganzer Zahl
>> a=5;>> 5*a+2
ans =27
>> b=sqrt(a), b^2
b =2.2361
ans =5.0000
>> 1+2/3*4-5
ans =-1.3333
>> ans
ans =-1.3333
>> 1+2/3*4-5;>>
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Rechnen in Matlab
Variablenzuweisung durch =Punkt-vor-Strich-RechnungIn ans steht das Ergebnis der letzten RechnungEingabe im DezimalsystemFormat: [Vorzeichen] Zahl [Exponent]
Vorzeichen: + oder −Zahl: mind. 1 Ziffer, ggf. DezimalpunktExponent: e oder E gefolgt von + oder − und ganzer Zahl
>> a=5;>> 5*a+2
ans =27
>> b=sqrt(a), b^2
b =2.2361
ans =5.0000
>> 1+2/3*4-5
ans =-1.3333
>> ans
ans =-1.3333
>> 1+2/3*4-5;>>
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Komplexe Zahlen
Matlab unterstützt das Rechnen mit komplexen Zahlen.Eingabeformat: a+bi oder a+bj
Alternativ: complex(a,b)
Achtung: Automatischer Wechsel kann zu Problemen führen
>> z=5+3.5i
z =5.0000 + 3.5000i
>> a=2;>> b=3;>> z2 = a+bi??? Undefined function or variable ’bi’.
>> z2 = a+b*j
z2 =2.0000 + 3.0000i
>> j=2;>> z3 = a+b*j
z3 =8
>> z3=complex(a,b)
z3 =2.0000 + 3.0000i
>> sqrt(-5.2)
ans =0 + 2.2804i
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Komplexe Zahlen
Matlab unterstützt das Rechnen mit komplexen Zahlen.Eingabeformat: a+bi oder a+bj
Alternativ: complex(a,b)
Achtung: Automatischer Wechsel kann zu Problemen führen
>> z=5+3.5i
z =5.0000 + 3.5000i
>> a=2;>> b=3;>> z2 = a+bi??? Undefined function or variable ’bi’.
>> z2 = a+b*j
z2 =2.0000 + 3.0000i
>> j=2;>> z3 = a+b*j
z3 =8
>> z3=complex(a,b)
z3 =2.0000 + 3.0000i
>> sqrt(-5.2)
ans =0 + 2.2804i
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Komplexe Zahlen
Matlab unterstützt das Rechnen mit komplexen Zahlen.Eingabeformat: a+bi oder a+bj
Alternativ: complex(a,b)
Achtung: Automatischer Wechsel kann zu Problemen führen
>> z=5+3.5i
z =5.0000 + 3.5000i
>> a=2;>> b=3;>> z2 = a+bi??? Undefined function or variable ’bi’.
>> z2 = a+b*j
z2 =2.0000 + 3.0000i
>> j=2;>> z3 = a+b*j
z3 =8
>> z3=complex(a,b)
z3 =2.0000 + 3.0000i
>> sqrt(-5.2)
ans =0 + 2.2804i
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Teil 1: Inhalt
1 Einführung
2 Grundlagen
3 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen
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Alles ist Matrix!
Matlab unterstützt das Rechnen mit mehrdimensionalen Datenstrukturen(bei uns Vektoren und Matrizen). Jede Variable wird als Matrixgespeichert, z.B. wird eine Zahl als 1× 1-Matrix interpretiert.
Um Matlab effizient zu nutzen muss vektorisiert gearbeitetwerden!
Dies führt in der Regel auch zu (zumindest für Mathematiker) gutlesbarem Code.
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Erzeugen von Matrizen I
Spezielle häufig benötigte Matrizen können mit Hilfe von Befehlenerzeugt werden:
eye: Einheitsmatrixones: Einsmatrixzeros: Nullmatrixrand: Matrix mit gleichverteilten Zufallswerten in (0, 1)
Syntax (bei allen identisch)rand(n,m): Matrix mit n Zeilen und m Spaltenrand(n): Quadratische Matrix mit n Zeilen und n Spalten
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Erzeugen von Matrizen I
Spezielle häufig benötigte Matrizen können mit Hilfe von Befehlenerzeugt werden:
eye: Einheitsmatrixones: Einsmatrixzeros: Nullmatrixrand: Matrix mit gleichverteilten Zufallswerten in (0, 1)
Syntax (bei allen identisch)rand(n,m): Matrix mit n Zeilen und m Spaltenrand(n): Quadratische Matrix mit n Zeilen und n Spalten
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Erzeugen von Matrizen II
>> R = rand(2,4)
R =
0.8913 0.4565 0.8214 0.61540.7621 0.0185 0.4447 0.7919
>> eye(4,3)
ans =1 0 00 1 00 0 10 0 0
>> ones(4,1)
ans =1111
>> zeros(1,3)
ans =0 0 0
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Erzeugen von Matrizen III
Matrizen und Vektoren können auch direkt mit Hilfe von [...] erzeugtwerden
Zeileneinträge mit Leerzeichen oder Komma trennenZeilenumbruch oder Semikolon für eine neue ZeileAnzahl der Einträge muss in jeder Zeile gleich sein
>> x = [3,4 5 -6]x =
3 4 5 -6
>> x = [2,3;4,5]x =
2 34 5
>> x = [2,3,45 6 7]
x =2 3 45 6 7
>> x = [1,2,3;4,5]??? Error using ==> vertcatCAT arguments dimensions are not consistent.
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Erzeugen von Matrizen III
Matrizen und Vektoren können auch direkt mit Hilfe von [...] erzeugtwerden
Zeileneinträge mit Leerzeichen oder Komma trennenZeilenumbruch oder Semikolon für eine neue ZeileAnzahl der Einträge muss in jeder Zeile gleich sein
>> x = [3,4 5 -6]x =
3 4 5 -6
>> x = [2,3;4,5]x =
2 34 5
>> x = [2,3,45 6 7]
x =2 3 45 6 7
>> x = [1,2,3;4,5]??? Error using ==> vertcatCAT arguments dimensions are not consistent.
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Erzeugen von Matrizen III
Matrizen und Vektoren können auch direkt mit Hilfe von [...] erzeugtwerden
Zeileneinträge mit Leerzeichen oder Komma trennenZeilenumbruch oder Semikolon für eine neue ZeileAnzahl der Einträge muss in jeder Zeile gleich sein
>> x = [3,4 5 -6]x =
3 4 5 -6
>> x = [2,3;4,5]x =
2 34 5
>> x = [2,3,45 6 7]
x =2 3 45 6 7
>> x = [1,2,3;4,5]??? Error using ==> vertcatCAT arguments dimensions are not consistent.
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Erzeugen von Matrizen IV
Statt Zahlen können auch Vektoren oder Matrizen innerhalb von [...]verwendet werden (Blockmatrizen).Achtung: Auf Dimensionen achten
>> A=[eye(2); ones(2)]
A =
1 00 11 11 1
>> A=[eye(2), [1;2]; rand(1,2), 5]
A =
1.0000 0 1.00000 1.0000 2.0000
0.9218 0.7382 5.0000
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Erzeugen von Matrizen IV
Statt Zahlen können auch Vektoren oder Matrizen innerhalb von [...]verwendet werden (Blockmatrizen).Achtung: Auf Dimensionen achten
>> A=[eye(2); ones(2)]
A =
1 00 11 11 1
>> A=[eye(2), [1;2]; rand(1,2), 5]
A =
1.0000 0 1.00000 1.0000 2.0000
0.9218 0.7382 5.0000
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Erzeugen von Matrizen IV
Statt Zahlen können auch Vektoren oder Matrizen innerhalb von [...]verwendet werden (Blockmatrizen).Achtung: Auf Dimensionen achten
>> A=[eye(2); ones(2)]
A =
1 00 11 11 1
>> A=[eye(2), [1;2]; rand(1,2), 5]
A =
1.0000 0 1.00000 1.0000 2.0000
0.9218 0.7382 5.0000
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Doppelpunkt Operator, Linspace I
Mit Hilfe der Doppelpunkt Operators können spezielle Vektoren erzeugtwerden. Diese finden häufig in Schleifen oder beim Indizieren Anwendung.
Syntaxv = <Start>:<Abstand>:<Ende>Erzeugt einen Vektor v mit Elementen von <start> bis <Ende>, wobei jezwei benachbarte Elemente den Abstand <Abstand> haben.Hinweis: <Start>:<Ende> == <Start>:1:<Ende>
Auch der verwandte Befehl linspace erzeugt Vektoren.
Syntaxv = linspace(<Start>, <Ende>, n)Erzeugt einen Vektor v der Länge n mit Elementen von <Start> bis<Ende>, wobei je zwei benachbarte Elemente denselben Abstand haben.
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Doppelpunkt Operator, Linspace I
Mit Hilfe der Doppelpunkt Operators können spezielle Vektoren erzeugtwerden. Diese finden häufig in Schleifen oder beim Indizieren Anwendung.
Syntaxv = <Start>:<Abstand>:<Ende>Erzeugt einen Vektor v mit Elementen von <start> bis <Ende>, wobei jezwei benachbarte Elemente den Abstand <Abstand> haben.Hinweis: <Start>:<Ende> == <Start>:1:<Ende>
Auch der verwandte Befehl linspace erzeugt Vektoren.
Syntaxv = linspace(<Start>, <Ende>, n)Erzeugt einen Vektor v der Länge n mit Elementen von <Start> bis<Ende>, wobei je zwei benachbarte Elemente denselben Abstand haben.
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Doppelpunkt Operator, Linspace II
>> x = 1:2.5:7
x =1.0000 3.5000 6.0000
>> x = -1:-2:-6
x =-1 -3 -5
>> x = -1:2
x =-1 0 1 2
>> 2:-1
ans =Empty matrix: 1-by-0
>> x = linspace(1,2,4)
x =1.0000 1.3333 1.6667 2.0000
>> linspace(4,-1,3)
ans =4.0000 1.5000 -1.0000
>> linspace(1,2,0)
ans =2
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Doppelpunkt Operator, Linspace II
>> x = 1:2.5:7
x =1.0000 3.5000 6.0000
>> x = -1:-2:-6
x =-1 -3 -5
>> x = -1:2
x =-1 0 1 2
>> 2:-1
ans =Empty matrix: 1-by-0
>> x = linspace(1,2,4)
x =1.0000 1.3333 1.6667 2.0000
>> linspace(4,-1,3)
ans =4.0000 1.5000 -1.0000
>> linspace(1,2,0)
ans =2
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Weitere Möglichkeiten: Einlesen aus Datei
Matrizen können aus Textdateien, die z.B. durchTabellenkalkulationsprogramme erzeugt wurden oder numerischeEregbnisse enthalten, eingelesen werden.
SyntaxA = csvread(’eingabe.csv’) erwartet per Kommata getrennteSpalten.A = dlmread(’eingabe.txt’,’\t’) erlaubt die Angabe desTrennungszeichens zwischen den Spalten (hier Tabulator).
Analog zu csvread,dlmread gibt es Befehle um Matrizen inTextdateien abzuspeichern: csvwrite,dlmwrite
In der Matlab-Hilfe finden Sie zahlreiche Lese- und Schreibbefehlefür andere Dateiformate (z.B. Bild-, Audio- und Videodateien)
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Weitere Möglichkeiten: Einlesen aus Datei
Matrizen können aus Textdateien, die z.B. durchTabellenkalkulationsprogramme erzeugt wurden oder numerischeEregbnisse enthalten, eingelesen werden.
SyntaxA = csvread(’eingabe.csv’) erwartet per Kommata getrennteSpalten.A = dlmread(’eingabe.txt’,’\t’) erlaubt die Angabe desTrennungszeichens zwischen den Spalten (hier Tabulator).
Analog zu csvread,dlmread gibt es Befehle um Matrizen inTextdateien abzuspeichern: csvwrite,dlmwrite
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Matrizen können aus Textdateien, die z.B. durchTabellenkalkulationsprogramme erzeugt wurden oder numerischeEregbnisse enthalten, eingelesen werden.
SyntaxA = csvread(’eingabe.csv’) erwartet per Kommata getrennteSpalten.A = dlmread(’eingabe.txt’,’\t’) erlaubt die Angabe desTrennungszeichens zwischen den Spalten (hier Tabulator).
Analog zu csvread,dlmread gibt es Befehle um Matrizen inTextdateien abzuspeichern: csvwrite,dlmwrite
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Weitere Möglichkeiten
repmat erzeugt Matrizen durch mehrfaches Kopieren.
Syntaxrepmat(A, n, m)Matrix A wird insgesamt m-mal nach rechts kopiert und die entstehendeMatrix n-mal unten angehängt.
>> B=[1,2;3,4]
B =
1 23 4
>> repmat(B, 2, 3)
ans =1 2 1 2 1 23 4 3 4 3 41 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4
>> [B,B,B; B,B,B]
ans =1 2 1 2 1 23 4 3 4 3 41 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4
>> repmat(1:3, 3, 1)
ans =1 2 31 2 31 2 3
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Weitere Möglichkeiten
repmat erzeugt Matrizen durch mehrfaches Kopieren.
Syntaxrepmat(A, n, m)Matrix A wird insgesamt m-mal nach rechts kopiert und die entstehendeMatrix n-mal unten angehängt.
>> B=[1,2;3,4]
B =
1 23 4
>> repmat(B, 2, 3)
ans =1 2 1 2 1 23 4 3 4 3 41 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4
>> [B,B,B; B,B,B]
ans =1 2 1 2 1 23 4 3 4 3 41 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4
>> repmat(1:3, 3, 1)
ans =1 2 31 2 31 2 3
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Operatoren I+, -, .*, ./, .^: Elementweise OperationenAchtung: Auf den Punkt bei .*, ./ und . achten.Syntax
C = s + A mit s Skalar, A Matrix/Vektor: cij = aij + s.C = A .* B mit A und B Matrizen: cij = aij · bij .Achtung: A und B müssen die gleiche Anzahl Zeilen und Spaltenhaben
>> A = eye(2)+2
A =3 22 3
>> R = rand(2,3);>> 3.*ones(2,3) + R
ans =3.8147 3.1270 3.63243.9058 3.9134 3.0975
>> (1:5).^2
ans =1 4 9 16 25
>> 2.^(1:5)
ans =2 4 8 16 32
>> ones(2) + [1,2]??? Error using ==> plusMatrix dimensions must agree.
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Operatoren I+, -, .*, ./, .^: Elementweise OperationenAchtung: Auf den Punkt bei .*, ./ und . achten.Syntax
C = s + A mit s Skalar, A Matrix/Vektor: cij = aij + s.C = A .* B mit A und B Matrizen: cij = aij · bij .Achtung: A und B müssen die gleiche Anzahl Zeilen und Spaltenhaben
>> A = eye(2)+2
A =3 22 3
>> R = rand(2,3);>> 3.*ones(2,3) + R
ans =3.8147 3.1270 3.63243.9058 3.9134 3.0975
>> (1:5).^2
ans =1 4 9 16 25
>> 2.^(1:5)
ans =2 4 8 16 32
>> ones(2) + [1,2]??? Error using ==> plusMatrix dimensions must agree.
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Operatoren I+, -, .*, ./, .^: Elementweise OperationenAchtung: Auf den Punkt bei .*, ./ und . achten.Syntax
C = s + A mit s Skalar, A Matrix/Vektor: cij = aij + s.C = A .* B mit A und B Matrizen: cij = aij · bij .Achtung: A und B müssen die gleiche Anzahl Zeilen und Spaltenhaben
>> A = eye(2)+2
A =3 22 3
>> R = rand(2,3);>> 3.*ones(2,3) + R
ans =3.8147 3.1270 3.63243.9058 3.9134 3.0975
>> (1:5).^2
ans =1 4 9 16 25
>> 2.^(1:5)
ans =2 4 8 16 32
>> ones(2) + [1,2]??? Error using ==> plusMatrix dimensions must agree.
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Operatoren II
*: Multiplikation im Matrizenprodukt Sinn oder elementweiseMultiplikation mit Skalar
Syntax
C = A*B mit Matrizen A und B: cij =∑
k aikbkj .Achtung: Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl Zeilenvon B seins*A == s.*A, wenn s Skalar.
Hinweis: A*x mit x Spaltenvektor ist das normale Matrix-Vektor Produktvon A mit x .
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Operatoren III
>> x = [1; 2; 3];>> A = ones(3)+eye(3)
A =2 1 11 2 11 1 2
>> A*x
ans =789
>> y = [2; 3; 4];>> x*y??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.
>> y = [2, 3, 4];>> y*x
ans =20
>> B = [2,2;-3,1; 0,1]
B =2 2
-3 10 1
>> A*B
ans =
1 6-4 5-1 5
>> B*A??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.
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Operatoren III
>> x = [1; 2; 3];>> A = ones(3)+eye(3)
A =2 1 11 2 11 1 2
>> A*x
ans =789
>> y = [2; 3; 4];>> x*y??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.
>> y = [2, 3, 4];>> y*x
ans =20
>> B = [2,2;-3,1; 0,1]
B =2 2
-3 10 1
>> A*B
ans =
1 6-4 5-1 5
>> B*A??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.
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Operatoren IV
A’: Adjungierte Matrix A∗ == AT (alternativ: ctranspose(A)))A.’: Transponierte Matrix AT (alternativ: transpose(A))Wird häufig verwendet um aus Zeilenvektoren (z.B. x = 1:n;)Spaltenvektoren zu machen (x = (1:n)’;)
Hinweis: A’ und A.’ unterscheiden sich nur bei Matrizen mit komplexenEinträgen.
>> A=[1, 1+i;2,3]
A =1.0000 1.0000 + 1.0000i2.0000 3.0000
>> A’
ans =1.0000 2.00001.0000 - 1.0000i 3.0000
>> A.’
ans =1.0000 2.00001.0000 + 1.0000i 3.0000
>> transpose(A)
ans =1.0000 2.00001.0000 + 1.0000i 3.0000
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Operatoren IV
A’: Adjungierte Matrix A∗ == AT (alternativ: ctranspose(A)))A.’: Transponierte Matrix AT (alternativ: transpose(A))Wird häufig verwendet um aus Zeilenvektoren (z.B. x = 1:n;)Spaltenvektoren zu machen (x = (1:n)’;)
Hinweis: A’ und A.’ unterscheiden sich nur bei Matrizen mit komplexenEinträgen.
>> A=[1, 1+i;2,3]
A =1.0000 1.0000 + 1.0000i2.0000 3.0000
>> A’
ans =1.0000 2.00001.0000 - 1.0000i 3.0000
>> A.’
ans =1.0000 2.00001.0000 + 1.0000i 3.0000
>> transpose(A)
ans =1.0000 2.00001.0000 + 1.0000i 3.0000
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Beispiel: Auswerten von Polynomen
Beispiel: Auswerten des Polynoms p(x) := 3.5x3 + 2x2 − 2 an denPunkten xi = 0 + i/2, i = 0, . . . , 4. In der Regel speichert man denKoeffizientenvektor, also p = [-2; 0; 2; 3.5].
>> p = [-2; 0; 2; 3.5]
p =-2.0000
02.00003.5000
>> x=(0:0.5:2)’
x =0
0.50001.00001.50002.0000
>> X=[x.^0, x, x.^2, x.^3]
X =1.0000 0 0 01.0000 0.5000 0.2500 0.12501.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 1.5000 2.2500 3.37501.0000 2.0000 4.0000 8.0000
>> y = X * p
y =-2.0000-1.06253.5000
14.312534.0000
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Beispiel: Auswerten von Polynomen
Beispiel: Auswerten des Polynoms p(x) := 3.5x3 + 2x2 − 2 an denPunkten xi = 0 + i/2, i = 0, . . . , 4. In der Regel speichert man denKoeffizientenvektor, also p = [-2; 0; 2; 3.5].
>> p = [-2; 0; 2; 3.5]
p =-2.0000
02.00003.5000
>> x=(0:0.5:2)’
x =0
0.50001.00001.50002.0000
>> X=[x.^0, x, x.^2, x.^3]
X =1.0000 0 0 01.0000 0.5000 0.2500 0.12501.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 1.5000 2.2500 3.37501.0000 2.0000 4.0000 8.0000
>> y = X * p
y =-2.0000-1.06253.5000
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