เมทริกซ์(matrix) - tatc.ac.th€¦ · web viewมิติ . i ( j ( (แถว...
Post on 28-Jul-2018
217 Views
Preview:
TRANSCRIPT
เรื่อง ระบบสมการเชงิเสน้และเมทรกิซ์
มติิ i j แถว หลัก
เชน่ A = เมทรกิซ ์A มีมติิ 23
a13 คือ สมาชกิของเมทรกิซ ์A ตำาแหน่งท่ี 1 3
หมายถึง สมาชกิของเมทรกิซ ์A ตัวท่ีอยู่ในแถวท่ี 1 หลักท่ี 3
A = Bต้องม ี มติิท่ีเท่ากัน สมาชกิในตำาแหน่ง เดียวกันเท่ากัน
เชน่ ถ้า จะได้ x = 1 , y = 2 , a = 3
และ b = 4แต่
A + Bต้องม ี มติิท่ีเท่ากัน ดำาเนินการกับสมาชกิในตำาแหน่งเดียวกัน
เชน่
A Bใช ้ แถว หลัก นำาผลคณูมาบวกกัน
ต้องมีหลักของตัวตั้งเท่ากับแถวของ
ตัวคณู
เชน่
ถ้า A B แล้ว AB BA
มติิ 23 31 2 1
(2)
สลับ แถว กับ หลัก
เชน่ ถ้า A = เมทรกิซ ์A มมีติิ 23
แล้ว At = เม
ทรกิซ ์At มมีติิ 32
AA-1 = A-
1A = In
ถ้า AB = In แล้ว B = A-1
เมื่อ ad – bc 0 ได้
และ
คณูทแยงลงมค่ีาเป็นบวก คณูทแยงขึ้นมค่ีาเป็นลบ
เมื่อ m > 2ผลบวกของผลคณูระหวา่งสมาชกิกับค่า
โคเฟกเตอร์แต่ละตำาแหน่งของแถวหรอืหลักท่ีเลือก
และ เมื่อ det(A) 0
det(A) = det(At) det(kA) = kmdet(A) det(AB) = det(A) det(B) det(A-1) =
(3)เมทรกิซเ์อก
ฐาน(Sigolar Matrix)
ถ้าเมทรกิซ ์ A ม ีdet(A) = 0 แล้ว A จะเป็นเมทรกิซเ์อกฐาน (ไมม่ ีA-
1) เมทรกิซไ์มเ่อก
ฐาน(Non-Sigolar Matrix)
ถ้าเมทรกิซ ์ A ม ีdet(A) 0 แล้ว A จะเป็นเมทรกิซไ์มเ่อกฐาน(ม ีA-
1)
เมื่อ det(A) 0
โดยท่ี และ เมื่อ เป็นค่าดีเทอรม์นัินต์ของเมทรกิซท่ี์เกิดจากการตัดแถวท่ี i กับหลักท่ี j
เลือก แถวท่ี 1det(A) = 1C11(A) + 2C12(A) + 6C13(A)= 1M11(A) + 2(-1)M12(A) + 6M13(A)= -11 + (21) + (64)= -11 + 2 + 24 = 15
(4)การแก้ระบบ
สมการ
ใชตั้วผกผันการคณูA เป็นเมทรกิซส์มัประสทิธ์X เป็นเมทรกิซ์ตัวแปรB เป็นเมทรกิซ์ตัวคงท่ี
AX = B X = A-1B
เชน่ x – 3z = -23x + y – 2z = 52x + 2y + z = 4
จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังนี้
ใชตั้วผกผันการคณู
ให ้
ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 ,
2 )(5)
ถ้า det(A) 0 แล้ว det(adj(A)) = det(A)m-1
การแก้ระบบสมการ
ใชก้ฎของคราเมอร์เมื่อ det(A)
0A เป็นเมทรกิซส์มัประสทิธ์Ax เป็นเมทรกิซท่ี์เกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 1 ของเมทรกิซ ์A ด้วยตัวคงท่ีAy เป็นเมทรกิซท่ี์เกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 2 ของเมทรกิซ ์A ด้วยตัวคงท่ีAz เป็นเมทรกิซท่ี์เกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 3 ของเมทรกิซ ์A ด้วยตัวคงท่ี
เชน่ x – 3z = -23x + y – 2z = 52x + 2y + z = 4
จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังนี้
ใชก้ฎของคราเมอร์
ให ้
ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )
(6)
การแก้ระบบสมการ
ใชเ้มทรกิซ์แต่งเติมA เป็นเมทรกิซส์มัประสทิธ์X เป็นเมทรกิซ์คำาตอบB เป็นเมทรกิซ์ตัวคงท่ีIn เป็นเมทรกิซ์เอกลักษณ์
A B In X
เชน่ x – 3z = -23x + y – 2z = 52x + 2y + z = 4
จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังนี้
ใชเ้มทรกิซแ์ต่งเติม
จากบรรทัดท่ี 1 ได้ x = 4จากบรรทัดท่ี 2 ได้ y = -3จากบรรทัดท่ี 3 ได้ z = 2
ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )
A In In A-1
ใชเ้มทรกิซแ์ต่งเติม ดำาเนินการตามแถวหา A-1
(7)แนวขอ้สอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชงิเสน้
และเมทรกิซ์
1. ถ้า
แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับขอ้ใด ก. -2 ข. 0 ค. 2 ง. 342. กำาหนดให ้ และ แล้ว ค่าของ 2A – Bt เท่ากับขอ้ใด ก. ข. ค. ง.
4. เมทรกิซใ์นขอ้ใดเป็นตัวผกผันการคณู ของเมทรกิซ ์
ก.
ข.
ค.
ง.
5. ถ้า = แล้ว ค่าของ x เท่ากับขอ้ใด ก. 0 ข. -2 ค. 2
3. กำาหนดให ้
และ
แล้ว ขอ้ใดต่อไปนี้ถกูต้อง ก. ข. ค. ง.
ง. 46. กำาหนดให ้
แล้ว เท่ากับขอ้ใด ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 14
(8)
7. กำาหนดให ้ และ แล้ว ขอ้ใดต่อไปนี้ไมถ่กูต้อง ก. ข. ค. ง.
8. ถ้า
แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด ก. 0
9. ถ้า
แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด ก. -125 ข. -29 ค. -5 ง. 2510. จากระบบสมการ
ค่าของ x + y + z เท่ากับขอ้ใด ก. 7
ข. 12 ค. 24 ง. -24
ข. 5 ค. 4 ง. 3
(9)
เฉลยแนวขอ้สอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชงิเสน้
และเมทรกิซ์
1. ถ้า แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับขอ้ใดแนวคิด เมทรกิซท่ี์เท่ากันยอ่มมสีมาชกิในตำาแหน่งเดียวกันเท่ากัน
ดังนัน้ x + y = 2 และ 5 = x – 3 x = 5 + 3 = 8
แทนค่า x = 8 ใน x + y = 2 8 + y = 2
y = 2 – 8 = -6
เพราะฉะนัน้ 2x – 3y = 2(8) – 3(-6) = 16 + 18 = 34
ตอบ ง. 34(หรอือาจจะหาค่า x และ y จาก -5 = 2y+7 และ x –
y = 14)
2. ให ้ และ แล้ว 2A – Bt มค่ีาเท่าใดแนวคิด 1) หาค่า 2A จาก ได้
2) หาค่า Bt จาก ได้
3) หาค่า 2A – Bt 2A – Bt = –
= =
ตอบ ข. (10)
3. ให ้ และ แล้ว ขอ้ใดต่อไปน้ี
ถกูต้องแนวคิด ก.
A มมีติิ 23
B มมีติิ 32ฉะนัน้ AB มมีติิ 22
ดังนัน้ ก. ผิดข.
B มมีติิ 32 A มมีติิ 23 ฉะนัน้ BA มมีติิ 33
แต่ ข. มมีติิ 22 ดังนัน้ ข. ผิด ค.
เพราะวา่ ฉะนัน้ ดังนัน้ ค. ถกูต้อง ง.
เพราะวา่ ดังนัน้ ง. ผิด ตอบ ค.
(11)4. เมทรกิซใ์นขอ้ใดเป็นตัวผกผันการคณูของเมทรกิซ ์
แนวคิด
เมื่อ ad – bc 0 ได้
และ
ฉะนัน้ ตัวผกผันการคณูของเมทรกิซ ์ คือ
ก. =
ข. =
ค. =
ง.
ตอบ ข.
5. ถ้า = แล้ว ค่าของ x เท่ากับขอ้ใดแนวคิด จากโจทยก์ำาหนดใหค่้าดีเทอรม์นัินต์เท่ากัน ฉะนัน้ต้องนำาแต่ละค่าไปหาค่า
= = = = =
แต่ = ฉะนัน้ = + 4 = 0
(x – 2)(x – 2) = 0 x = 2 ตอบ ค. 2
(12)
6. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้
ใด
แนวคิด
= (–1)( –4 – 3)
= (–1)( –7) = 7
= 4 – 3 = 1
ดังนัน้ = 7 + 1 = 8
ตอบ ค. 8
(13)
7. ให ้ และ แล้ว ขอ้ใดต่อไปน้ีไมถ่กูต้องแนวคิด ก.
ดังนัน้ ก. ถกูต้องข.
เพราะวา่ det(AB) = det(A) det(B) = –23 12 = –276
ดังนัน้ ข. ถกูต้องค.
เพราะวา่ det(A) = det(At) ดังนัน้ det(A+B) = det(A+B)t
ซึ่ง จาก ก. ฉะนัน้ ดังนัน้ ค. ถกูต้อง
ง. เพราะวา่ det(A-1) = ซึ่ง จาก ก. ฉะนัน้
ดังนัน้ ง. ไมถ่กูต้อง ตอบ ง.
(14)
8. ถ้า แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด
แนวคิด = = [004]+[(-1)30]+[2(-3)(-2)]–[002]–[(-2)30]–[4(-3)(-1)]= 0 + 0 + 12 – 0 – 0 – 12= 0
หรอื ใชว้ธิเีลือก หลักท่ี 1 ซึ่งมสีมาชกิเป็น 0 , -3 , 0
= 0 + (-3) + 0 = 0 + (-3) + 0
= = = = (-1)[(-8) + 8] = (-1) 0 = 0
ตอบ ก. 0
(15)
9. ถ้า แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด
แนวคิด
เมื่อ ถ้า det(A) 0 แล้ว det(adj(A))
= det(A)m-1
= = [114]+[(-1)(-3)0]+[23(-2)]–[012]–[(-2)(-3)1]–[43(-1)]= 1 + 0 + (-12) – 0 – 6 – (-12)= -5
= 3-1 = (-5) 3-1 = (-5)2 = 25
ตอบ ง. 25
(16)
10. จากระบบสมการ ค่าของ x + y + z เท่ากับขอ้ใด
แนวคิด จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังน้ี
ใชก้ฎของคราเมอร์
ให ้
ดังนัน้ x + y + z = 4 + (-3) + 2 = 3ตอบ ง. 3
(17)
ตัวอยา่งขอ้สอบ Entrant
เรื่องระบบสมการเชงิเสน้และเมทรกิซ์
1) กำาหนดให ้
และ แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มค่ีาเท่ากับเท่าใด
(Ent. 45 คณิต 2)2) ให ้x เป็นจำานวนจรงิบวก
และ A เป็นเมตรกิซโ์ดยท่ี ถ้า det [ A2] = 16
แล้ว det [8A-1 + 2At] มค่ีาเท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 40 2. 72 3. 80 4.
82 (Ent. 46 คณิต 2)
3) กำาหนดเมตรกิซ ์ ถ้า a, b เป็นคำาตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45 โดยท่ี a > b แล้ว 2a – b มค่ีาเท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)4) ถ้า
และ det (ABt) = -132 แล้ว det (A + B) มค่ีาเท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)(18)
5) กำาหนดให ้x เป็นจำานวนเต็ม และ
ถ้า det (A – B) = 44 แล้ว เท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)6) ถ้า x และ y เป็นจำานวนจรงิ
ซึ่งสอดคล้องกับสมการ แล้ว y2 – 2x เท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8(Ent. 48 คณิต 2)
7) ถ้า A เป็น 22 เมตรกิซ ์ ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0
และ det (A) เป็นจำานวนเต็ม แล้วขอ้ใดต่อไปน้ีถกู 1. det (A) 10 2. 10 det
(A) 20 3. 20 det (A) 30 4. det (A) 30
(Ent. 48 คณิต 2)
8) กำาหนดให ้ และ
ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด
(Ent. 48 คณิต 2)(19)เฉลย
ตัวอยา่งขอ้สอบ Entrant เรื่องระบบสมการเชงิเสน้และเมทรกิซ์
1) กำาหนดให ้ และ
แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มค่ีาเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2)
แนวคิด
จาก
ได้ ……..
และ ได้ ……..
+
ดังนัน้ det [5(A-1 + Bt)] = 2515 – 255 = 375 – 125 = 250
ตอบ 250(20)
2) ให ้x เป็นจำานวนจรงิบวก และ A เป็นเมตรกิซโ์ดยท่ี
ถ้า det [ A2] = 16 แล้ว det [8A-1 + 2At] มค่ีาเท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี (Ent. 46 คณิต 2) 1. 40 2. 72 3. 80
4. 82
แนวคิด จาก det(A) = (1+x) (1+x) – 11 = 1 + 2x + x2 – 1 = x2 + 2x
เพราะวา่ det[ A2] = ( )2det(A2) = [det(A)]2
= [ (x2 + 2x)]2
แต่โจทยก์ำาหนดให ้ det[ A2] = 16 = 42 ฉะนัน้ [ (x2 + 2x)] = 4ดังนัน้ (x2 + 2x) = 4 หรอื (x2 + 2x) = -4
x2 + 2x = 8 หรอื x2 + 2x = -8
x2 + 2x – 8 = 0 หรอื x2 + 2x + 8 = 0 เป็นไปไมไ่ด้ (x – 2)(x + 4) = 0 ได้ x = 2 , -4
แต่โจทยก์ำาหนดให ้ x เป็นจำานวนจรงิบวก ดังนัน้ x คือ 2ดังนัน้ ดังนัน้ det (8A-1 + 2At) = (99) – [(-3)(-3)] = 81 – 9 = 72
ตอบ 2. 72(21)
3) กำาหนดเมตรกิซ ์ ถ้า a, b เป็นคำาตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 โดย a > b แล้ว 2a – b มค่ีาเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
แนวคิด จาก ได้ det (A) = x(-x) – 1(-1) = -x2 + 1
det (A2) = (x2 – 1)(-1 + x2) = -x2 + 1 + x4- x2
= x4– 2x2 + 1 เพราะวา่ det (2A2) = 22det (A2) = 4(x4– 2x2 + 1) = 4x4– 8x2 + 4 และ det(A-1) = = =
แทนค่าใน det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)3( ) = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)2 = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – 2x2+x4) =
45 5x4– 10x2 + 5 = 45 x4– 2x2 + 1 = 9 x4– 2x2 – 8 = 0 (x2– 4)(x2+ 2) = 0แต่ (x2+ 2) 0 ฉะนัน้ (x2– 4) = 0
(x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 , -2
แต่โจทยก์ำาหนดให ้ a, b เป็นคำาตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45
โดยท่ี a > b ดังนัน้ a คือ 2 และ b คือ -2 แล้ว 2a – b = 22 – (-2) = 4 + 2 = 6
ตอบ 6(22)
4) ถ้า , และ det (ABt) = -132 แล้ว det (A + B) มค่ีาเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
แนวคิดจาก ได้ det (A) = -31 – aa2 = -3 – a3
และ ได้ det (B) = 43 – 0(-1) = 12เพราะวา่ det (ABt) = det (A) det (Bt) และ det(Bt) = det (B)
ได้ det (ABt) = (-3 – a3) 12 แต่โจทยก์ำาหนดให ้ det (ABt) = -132
ดังนัน้ (-3 – a3) 12 = -132 (-3 – a3) = -11
– a3 = -8 a3 = 8
a = 2จาก และ ได้ = แต่ a = 2 ดังนัน้ det (A + B) = =
= 14 – 23 = 4 – 6 = -2
ตอบ -2(23)
5) กำาหนดให ้x เป็นจำานวนเต็ม และ ,
ถ้า det (A – B) = 44 แล้ว เท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
แนวคิด จาก และ
ได้ det (A) = (x+1)(2x+3) ได้ det (B) = (2 – x)(5 – 3x)
= x2 + 5x + 3 = 10 – 11x + 3x2
= ได้ det (A – B) = (2x–1)(5x–2) – 11(2 –
3x) = 10x2– 9x + 2 – 22 + 33x =
10x2+ 24x – 20 แต่โจทยก์ำาหนดให ้ det (A – B) = 44 ฉะนัน้
10x2+ 24x – 20 = 44 10x2+ 24x – 20 – 44
= 0 10x2+ 24x – 64
= 0 5x2+ 12x – 32
= 0 (5x – 8)(x + 4)
= 0
x = -4 , แต่โจทยก์ำาหนดให ้ x เป็นจำานวนเต็ม ดังนัน้ x = -4
ดังนัน้ det (A) = x2 + 5x + 3 = (-4)2 + 5(-4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -1 และ det (B) = 10 – 11x + 3x2
= 10 – 11(-4) + 3(-4)2 = 10 + 44 + 48 = 102
เพราะวา่ det (A-1B) = det (A-1) det (B) และ det(A-1) = แทนค่า หา det (A-1B) ได้ det (A-1B) = 102 = -102ดังนัน้ = = 102
ตอบ 102(24)
6) ถ้า x และ y เป็นจำานวนจรงิ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ แล้ว y2 – 2x เท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี (Ent. 48 คณิต 2)
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
แนวคิด จาก
ได้ 93x + 82y = 5 ……..
63x + 42y = 3 ……..
2, 123x + 82y = 6 …….. –, 33x = 1
3x = 3x = 3-1 x = -1
แทนค่า 3x = ใน ได้ 6 + 42y = 3 2 + 42y
= 3 42y = 1 2y =
2y = 2-2 y = -2
ดังนัน้ y2 – 2x = (-2)2 – 2(-1) = 4 + 2 = 6
ตอบ 2. 6(25)
7) ถ้า A เป็น 22 เมตรกิซ ์ ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 และ det (A) เป็นจำานวนเต็ม แล้วขอ้ใดต่อไปน้ีถกู (Ent. 48 คณิต 2)
1. det (A) 10 2. 10 det (A) 20 3. 20 det (A) 30 4. det (A) 30
แนวคิดจาก 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 ( ใชค้วามรูเ้กี่ยวกับ det(A) = det(At) ดังนัน้ det( (A-
1)t = det( (A-1) ) det(3(A-1)t) = 32det( (A-1)t) = 9det(A-1)
= 9 = ดังนัน้ 2det (A) + 3 – 55 = 0
2det (A) det (A) + 3 det (A) – 55 det (A) = 0det (A)
2det2(A) + 27 – 55det (A) = 0
2det2(A) – 55det (A) + 27 = 0
(2det(A) – 1)(det(A) – 27) = 0
ได้ det(A) = , 27
แต่กำาหนดให ้ det (A) เป็นจำานวนเต็ม
ดังนัน้ det(A) = 27แต่ det(3(A-1)t) = แสดงวา่ det (A) 0
ฉะนัน้ ตัวเลือก 1. det (A) 10 ตัวเลือก 2. 10 det (A) 20
และ ตัวเลือก 4. det (A) 30 ผิดตอบ 3. 20 det (A)
30 (26)
9) กำาหนดให ้ และ ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2)
แนวคิด ใชค้วามรูเ้กี่ยวกับ det(kA) = kmdet(A)
det(AB) = det(A) det(B) det(A-1) =
จากกำาหนดให ้ det (2A) = 28 ได้ 22det (A) = 28
นัน้คือ det (A) = 7 แต่จาก ได้ det(A) = x3 – 1
ดังนัน้ x3 – 1 = 7 x3 = 8 นัน้คือ x = 2
แต่จาก ได้ det(B) = (x-1)(x-1) – (-x2) = x2 – 2x
+ 1 + x2 = 2x2 – 2x + 1แทน x = 2 ใน det(B) = 2x2 – 2x +
1 ได้ det(B) = 2(2)2 – 2(2) + 1 =
8 – 4 + 1 = 5เพราะวา่ det (AB-1) = det (A) det (B-1)
= det (A) = 7
= ตอบ
……The End……
top related