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27
MATRIZES
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
IN
Por vezes, para designar com clareza algumas
situações é necessário que os números se
apresentem de forma ordenada em linhas e colunas
numa tabela. A essas tabelas, em Matemática,
damos o nome de matrizes. Vamos examinar um
exemplo:
Em uma pequena livraria, as vendas de livros
didáticos de português, química e biologia no
primeiro trimestre do ano podem ser expressas por
essa tabela a seguir.
Janeiro Fevereiro Março Português 200 300 220 Química 160 150 170 Biologia 120 90 105
Se quisermos saber:
quantos livros de português foram vendidos
no mês de janeiro, basta conferirmos o
número que está na primeira linha e na
primeira coluna;
quantos livros de química foram vendidos
no mês de março, conferimos o número que
está na segunda linha e na terceira coluna.
Uma tabela desse tipo, de três linhas e três colunas
é chamado de matriz 33 (matriz três por três) e
podemos representá-la da seguinte forma:
200 300 220
160 150 170
120 90 105
ou
200 300 220
160 150 170
120 90 105
Além disso, há diversas outras aplicações, como em
computação gráfica e outros conteúdos que serão
necessários na disciplina de geometria,
notadamente a geometria analítica.
Consideremos m e n dois números inteiros
quaisquer iguais ou maiores que 1.
Chamamos de matriz mn (m por n) uma tabela
retangular de m n números dispostos em m linhas
e n colunas.
Dizemos que a matriz
é do tipo mn ou de
ordem mn.
Vejamos abaixo alguns
exemplos:
2 4
3 1
é uma matriz de ordem 22.
11 5 9
3
8 5 4 13
é uma matriz de ordem 24.
Quando nós temos uma matriz de somente uma
linha, ou seja, do tipo 1n, chamamos de matriz-
linha. Por exemplo:
2 4 6 8 é uma matriz-linha de ordem 14.
Já quando temos uma matriz de somente uma
coluna, ou seja, do tipo m1, chamamos de matriz-
coluna. Por exemplo:
2
9
5
é uma matriz-coluna de ordem 31
As matrizes são representadas por uma letra
maiúscula (A, B, C,...) e a sua ordem indicada na
parte inferior direita da letra: Por exemplo, 3 4A é
a matriz A de 3 linhas e 4 colunas.
1 INTRODUÇÃO 2 definição de matriz
ATENÇÃO: A ordem
nesse caso faz diferença!
Uma tabela 23 implica
necessariamente que ela
tem 2 linhas e 3 colunas.
Já uma tabela de 3 linhas
e 2 colunas é uma tabela
3 2.
28 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
Como vimos no início do capítulo, quando
queremos saber alguma informação sobre algum
número de uma tabela, ou agora, nesse caso, uma
matriz, esta informação está na combinação de uma
linha com uma coluna. Cada um desses números são
chamados de elementos ou termos da matriz.
Vamos considerar a seguinte matriz:
3 2 5 1
5 4 10 0
6 2 1 2
A
Nela, podemos observar que:
o elemento 3 está na 1ª linha e na 1ª coluna.
Indicamos esse elemento por 11 3a .
(dizemos a um um igual a 3)
o elemento 10 está na 2ª linha e na 3ª
coluna. Indicamos esse elemento por
23 10a .
O elemento 2 está na 3ª linha e na 4ª
coluna. Indicamos esse elemento por
34 2a .
Entendeu como funciona? Como já vimos, para
indicar o elemento de uma matriz, usamos uma
letra e dois índices, um que indica a linha, e outro
que indica a coluna, necessariamente nessa
ordem.
Logo, o elemento genérico (ou seja, qualquer
elemento) da matriz A é indicado por ija , onde i
indica a i-ésima linha e j indica a j-ésima coluna.
Ele é então chamado de ij-ésimo elemento ou
termo da matriz.
Podemos também dizer matriz A dos elementos
ou termos ija , de ordem mn, ou mesmo como
A = ij m n
a
, com 1 im, 1 jn, com i, j .
Então, uma matriz A, do tipo mn pode ser
genericamente escrita dessa forma:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
...
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Toda essa regra também se aplica às matrizes-linha
e às matrizes-coluna.
Você pode estar se perguntando: entendi, mas pra
que serve saber identificar cada um dos elementos
de uma matriz?
Sabendo identificar com precisão cada um dos
elementos de uma matriz podemos escrever
qualquer matriz segundo regras gerais. Vamos a um
exemplo:
Escreva a matriz X = ija , com 1 i3 e 1 j3 tal
que 4, para i j
1, para i j
ij
ij
a
a
.
Como 1 i3 e 1 j3, a matriz tem que ter 3 linhas
e 3 colunas.
Nos termos em que i = j, temos 11a = 22a = 33a = 4.
Nos demais, 13a = 13a = 21a = 23a = 31a = 32a = 1.
Montando a matriz, temos: X
4 1 1
1 4 1
1 1 4
.
Dependendo de certas características específicas as
matrizes podem receber alguns nomes especiais.
Vamos a elas.
MATRIZ QUADRADA
Consideremos uma matriz mn. Quando m = n, ou
seja, quando o número de linhas é igual ao número
de colunas, dizemos que a matriz é quadrada de
ordem nn, ou simplesmente de ordem n.
3 representação genérica de uma
matriz
ma
4 tipos especiais de matrizes
29 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
Vejamos alguns exemplos:
3 5 19
2 3 11
7 8 4
é uma matriz quadrada de ordem 3.
1 2
3 4
é uma matriz quadrada de ordem 2.
Nas matrizes quadradas, os elementos onde m = n,
ou seja, 11a , 22a , 33a , ..., nna formam a diagonal
principal da matriz.
3 5 19
2 3 11
7 8 4
3, 3 e 4 formam a diagonal principal.
1 2
3 4
1 e 4 formam a diagonal principal.
A outra diagonal da matriz é a diagonal
secundária.
3 5 19
2 3 11
7 8 4
7, 3 e 19 são a diagonal secundária
1 2
3 4
3 e 2 são a diagonal secundária.
MATRIZ TRIANGULAR
Vamos considerar uma matriz quadrada de ordem
n. Quando os elementos acima OU abaixo da
diagonal principal são todos nulos, dizemos que a
matriz é triangular. Vejamos alguns exemplos
1 0
7 13
Acima da diagonal principal só há zero.
3 5 7
0 3 8
0 0 1
Abaixo da diagonal principal só há zero.
1 15 3 8 1
0 2 9 3 4
0 0 3 5 5
10 0 0 85
0 0 0 20
MATRIZ DIAGONAL
A matriz diagonal de ordem n em que todos os
elementos acima E abaixo da diagonal principal são
nulos é chamada de matriz diagonal. Vejamos
exemplos:
3 0 0
0 3 0
0 0 4
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
10 0 0 05
0 0 0 20
1 0
0 5
Em uma matriz diagonal, ija = 0 para todo i j.
MATRIZ IDENTIDADE
A matriz quadrada de ordem n em que todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e
todos os outros elementos são iguais a 0 é chamada
de matriz identidade e seu símbolo é nI . Vamos
aos exemplos:
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
Em uma matriz identidade, ija = 1 para i = j e ija = 0
para i j.
MATRIZ NULA
Uma matriz é dita nula quando todos os seus
elementos são iguais a zero. Denotamos esse tipo de
matriz mn como 0m n . Se for uma matriz nula
quadrada, simplesmente dizemos 0n . Exemplos:
Abaixo da diagonal
principal só há zero.
30 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
4
0 0 0 0
0 0 0 00
0 0 0 0
0 0 0 0
4 3
0 0 0
0 0 00
0 0 0
0 0 0
3 1
0
0 0
0
Exercícios de treino
1. Identifique o tipo ou ordem das matrizes abaixo:
a)4 6
1 5
b)
12
5
6
c)
1 3 0
2 6 2
5 4 1
10 1 3
0 0 1
2. Identifique:
a) os elementos 11a , 21a e 13a na matriz
2 6 10
4 5 1
.
b) os elementos 31a , 23a e 33a na matriz
1 3 0
4 10 2
6 3 2
.
3. Escreva as matrizes:
a)2 3ijA a
, tal que ija = i² + j².
b) 4 2ijX a
, de modo que ija = 2i² - j.
c) 2 4ijY a
, com ija = |i – j|
4. Escreva a matriz quadrada:
a) de ordem 2, cujo elemento genérico é dado por
ija = 4i – 2j + 3.
b) de ordem 3 tal que ija = i³ - 2j.
5. Escreva a matriz diagonal:
a) de ordem 3, em que ija = i + j para i = j.
b) de ordem 4, em que ija = i para i = j.
6. Escreva a matriz triangular:
a) de ordem 4, em que:
0, para i > j
( )², para i = j
2, para i < j
ij
ij
ij
a
a i j
a
b) de ordem 3, em que: 0, para i > j
³, para i j
ij
ij
a
a i
7. (Ufop-MG) Observe a matriz
1 2 3
0 4
0 0
x
y
.
Chama-se traço de uma matriz a soma dos termos
de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz
acima tal que seu traço valha 9 e y seja o triplo de x.
Vamos considerar duas matrizes A e B, de mesma
ordem mn, no caso 32:
11 12
21 22
31 32
a a
A a a
a a
11 12
21 22
31 32
b b
B b b
b b
Quando duas matrizes têm a mesma ordem, os
elementos que ocupam as mesmas posições são
chamados de elementos correspondentes. 11a é
correspondente de 11b e por aí vai...
Portanto, definimos:
Duas matrizes A e B são dadas como iguais se, e
somente se, têm a mesma ordem e seus elementos
correspondentes forem iguais.
5 Igualdade de matrizes
31 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
Determine x e y para que sejam iguais as matrizes
3 2 2
2 3 3
x y
x y
e
7 2
2 3
.
As duas matrizes tem a mesma ordem 22. Logo,
podemos comparar os elementos correspondentes.
Para que as matrizes sejam iguais, temos que:
3 2 7
3 3 3
x y
x y
Resolvendo esse sistema de equações do 1º grau,
temos x = 1 e y = 2.
Para somar matrizes, temos de atender ao fato de
que elas devem possuir sempre a mesma ordem, ou
seja, uma matriz 3 2A só pode ser somada com uma
3 2B .
O procedimento de soma é bem simples, basta
somar os termos correspondentes.
Vamos somar as duas matrizes abaixo:
3 5 2
2 8 6A
e
1 4 1
7 0 2B
.
A resposta é então dada pela soma dos termos
correspondentes das duas matrizes, resultando
numa outra matriz:
3 1 5 ( 4) ( 2) ( 1) 4 1 3
2 7 8 0 ( 6) 2 9 8 4
Essa matriz é equivalente à soma de A e B.
PROPRIEDADES
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = A
A + (-A) = 0
MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZ
Dizemos matriz oposta de uma matriz A quando ela
mesma somada com A resulta numa matriz nula.
Um tanto abstrato, não? Vamos exemplificar:
Tomemos a seguinte matriz do exercício anterior.
4 1 3
9 8 4
Precisamos determinar uma matriz que somada a
essa dê uma matriz nula. Como fazemos isso?
Simples, somamos uma matriz que tenha todos os
valores invertidos:
4 1 3 4 1 3 0 0 0
9 8 4 9 8 4 0 0 0
Essa matriz 4 1 3
9 8 4
é a oposta de
4 1 3
9 8 4
.
Em resumo, é só inverter todos os termos da matriz.
Definido isso, já podemos partir para o próximo
item:
Para fazer a subtração de matrizes, basta somente
somar uma matriz com a matriz oposta da outra.
Em resumo: A – B = A + (-B)
Exemplo:
4 2 3 9 4 2 3 9 1 7
2 1 7 1 2 1 7 1 5 0
1 3 1 3 1 3 1 3 2 0
Para simplificar, basta subtrair os termos
correspondentes. Mas cuidado com os sinais!
6 ADIÇÃO DE MATRIZES
7 subtração DE MATRIZES
32 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
Dada uma matriz genérica
11 12
21 22
31 32
a a
A a a
a a
, quando
a multiplicamos por qualquer número real r, a
matriz resultante é dada por:
11 12
21 22
31 32
r a r a
r A r a r a
r a r a
Ou seja, basta multiplicar todos os termos pelo
número natural. Vamos a um exemplo:
Dada a matriz 5 8 1
4 3 6A
, determine 2A .
Temos então:
2 5 2 8 2 ( 1) 10 16 22
2 ( 4) 2 3 2 6 8 6 12A
PROPRIEDADES
( )A A A
( )A B A B + 0 = A
1A = A
( )A A
Exercícios de treino
8. Sabendo que 9 1
2 2 3 6 18
a b b c
b a d
,
determine a, b, c e d.
9. Determine m e n para que se tenha
20
m n mI
n
.
10. Dadas as matrizes 2 4
0 1A
,
4 2
6 0B
e 3 0
5 2C
, calcule:
a) A + B b) 2A + 3C c) B - C d) A - B + C
11. Seja a matriz A = [ ija ] de ordem 32 dada por
ija = 3i – j. Calcule A + A.
12. Determine x, y, z e t sabendo que:
a)
3 10
1 4
5 5
x
y
z
b) 3 10 1
3 2 4 18
x y x
z t z
Muita atenção nesta parte! Vamos considerar A
como uma matriz qualquer mn. Denominamos
matriz transposta de A ( tA ) a matriz nm onde
ORDENADAMENTE, as linhas de A são as colunas de tA .
Complicado? O exemplo esclarece!
Vamos tomar uma matriz
2 6
4 9
8 1
A
. Para
obtermos a transposta, a 1ª linha deverá ser a
primeira coluna, a 2ª linha deverá ser a segunda
coluna e por aí vai:
1ª linha de A: 2 e 6 ------> 1ª coluna de tA : 2 e 6.
2ª linha de A: 4 e 9 -------> 2ª coluna de tA : 4 e 9.
3ª linha de A: 8 e 1 -------> 3ª coluna de tA : 8 e 1.
8 multiplicação de um número
real por MATRIZ
9 matriz transposta
33 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
Logo, temos:
2 4 8
6 9 1
tA
Até agora, as operações realizadas com matrizes
foram bastante intuitivas. No entanto, a
multiplicação de matrizes não é tão simples quanto
o que vimos até agora, não bastará apenas
multiplicar os termos de duas matrizes de mesma
ordem.
Para explicar, tomemos o seguinte exemplo:
Durante a Copa do Mundo de 2002, o grupo C foi
composto por 4 seleções: Brasil, Turquia, Costa Rica
e China. Eis o quadro dos jogos, que como vimos no
começo do capítulo, pode ser interpretado por uma
matriz:
Seleções Vitórias Empates Derrotas Brasil 3 0 0 Turquia 1 1 1 Costa Rica 1 1 1 China 0 0 3
3 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 3
A
Pelo regulamento do futebol, uma vitória equivale a
3 pontos, um empate a 1 ponto e uma derrota a 0
ponto. Colocamos esses dados em uma tabela e
representamos também em uma matriz:
Pontos Vitória 3 Empate 1 Derrota 0
3
1
0
B
Como descobrimos o número de pontos que cada
país obteve? Certamente multiplicaria o número de
vitórias por 3, depois multiplicaria o número de
empates por 1 e por último o número de derrotas
por 0, somando tudo no final.
Total de pontos de cada seleção Brasil 3 3 + 0 1 + 0 0 = 9 Turquia 1 3 + 1 1 + 1 0 = 4 Costa Rica 1 3 + 1 1 + 1 0 = 4 China 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0
Ou até mesmo podemos representar por
9
4
4
0
AB
.
Essa é a multiplicação entre matrizes. Observemos
o que houve com a ordem das matrizes envolvidas:
4 3 3 1 4 1A B AB
Observe que o produto de duas matrizes só pode
acontecer quando o número de colunas de A for
igual ao número de linhas de B. E a matriz AB
possui o número de linhas de A e o número de
colunas de B.
No exemplo acima:
A: 4 linhas e 3 colunas
B: 3 linhas e 1 coluna
AB: 4 linhas e 1 coluna
Vamos ver mais um exemplo:
Dados
3 2
5 0
1 4
A
e 3 1
6 2B
, vamos
determinar AB.
Como A é uma matriz 32 e B é uma matriz 22,
podemos determinar o produto AB, que será uma
matriz 32 (número de linhas de A número de
colunas de B).
10 multiplicação de matrizes
O número de
colunas de A é
igual ao número
de linhas de B.
A matriz AB tem o
número de linhas de A e
de linhas de B.
34 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
Atenção à multiplicação:
3 2 3 3 2 6 3 1 2 2 21 73 1
5 0 5 3 0 6 5 1 0 2 15 56 2
1 4 1 3 4 6 1 1 4 2 27 9
Vamos entender como fazer a multiplicação.
Façamos passo a passo, pois o processo não é
complicado, mas é trabalhoso:
Na primeira coluna de AB, temos:
Os números da 1ª linha de A vão ser multiplicados
pelos das 1ª coluna de B, depois são somados:
1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;
2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.
Os números da 2ª linha de A vão ser multiplicados
pelos da 1ª coluna de B, depois são somados:
1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;
2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.
Os números da 3ª linha de A vão ser multiplicados
pelos da 1ª coluna de B, depois são somados:
1º termo da linha de A 1º termo da coluna de B;
2º termo da linha de A 2º termo da coluna de B.
O procedimento se repete para a 2ª coluna de AB:
Teremos então:
Os números da 1ª linha de A vão ser multiplicados
pelos das 2ª coluna de B, depois são somados:
1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;
2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.
Os números da 2ª linha de A vão ser multiplicados
pelos da 2ª coluna de B, depois são somados:
1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;
2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.
Os números da 3ª linha de A vão ser multiplicados
pelos da 2ª coluna de B, depois são somados:
1º termo da linha de A 1º termo da coluna de B;
2º termo da linha de A 2º termo da coluna de B.
Exercícios de treino
13. Determine os produtos:
a) 6 5 2 4
1 0 1 3
b)
1
3 2 5 0
6
c) 5 4 7 4
2 1 6 2
d) 5 1 0 5 1 6
3 2 2 1 4 3
14. Sendo 3 1
0 1A
e 0 2
2 1B
, responda:
a) tA B
b) tAB
c) t tA B
Dada uma matriz quadrada A, definimos uma
matriz inversa (A 1 ) quando A A 1 resulta uma
matriz identidade.
Quando uma matriz possui uma matriz inversa
dizemos que ela é invertível.
Vamos a um exemplo:
11 matriz inversa
35 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
A matriz 1 1
2 0A
é invertível e sua matriz
inversa é 1
10
2
11
2
A
?
Para saber, basta multiplicar as duas matrizes. O
resultado deverá ser uma matriz identidade.
1
1 0 ( 1) 1 2 0 0 ( 1)01 1 2
1 12 0 1 2 0 0 1 2 0
1 2 22
= 1 0
0 1
.
Logo, A é invertível, e essa é a sua matriz.
É importante ressaltar que tanto A A 1 como
A 1 A vão resultar na matriz identidade.
Vale lembrar que nem todas as matrizes podem ser
invertíveis!
Não confunda matriz oposta com matriz inversa!
Vamos a um exemplo:
Verifique se existe, e se existir qual a matriz inversa
de 5 8
2 3A
.
Consideremos a matriz inversa que queremos como
a bX
c d
.
Efetuando a multiplicação, temos:
5 8 5 8 5 8 1 0
2 3 2 3 2 3 0 1
a b a c b d
c d a c b d
Pela igualdade de matrizes, obtemos dois sistemas de
equações do 1º grau:
5 8 1
2 3 0
a c
a c
, que resulta em a = -3 e c = 2.
5 8 0
2 3 1
b d
b d
, que resulta em b = 8 e d = -5.
Logo, a resposta que queremos é 3 8
2 5
.
Vamos conferir então o resultado:
5 8 3 8 5( 3) 8 2 5 8 8( 5)
2 3 2 5 2( 3) 3 2 2 8 3( 5)
=1 0
0 1
.
Exercícios de treino
15. Determine, se existir, a inversa de casa uma das
seguintes matrizes:
a) 1 3
0 2A
b) 5 10
2 4A
c) 2 3
4 5A
d)1 2
1 3A
LISTA DE EXERCÍCIOS
Leia o texto a seguir para as questões 1, 2 e 3:
A Criptografia é uma arte antiga que surgiu,
praticamente, com a escrita. Sua utilização sempre
teve conotação militar, mas após a Segunda Guerra
Mundial, com o advento dos computadores, a
aplicação da criptografia atingiu a "sociedade da
informação".
A evolução das técnicas criptográficas permite hoje
que haja mais segurança nas transações eletrônicas,
36 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
sendo a solução mais indicada face aos problemas de
se garantir a privacidade e proteção da informação,
inclusive através da autenticação de mensagens e da
assinatura digital.
Disponível em http://www.davi.ws/ss/crip_principal.htm, acesso
em 13/02/2014.
1. Desde os tempos mais antigos os mais diversos
povos estudaram diversas formas de codificar
mensagens de modo que elas não sejam
facilmente compreendidas. O código a seguir é
baseado numa multiplicação de matrizes, com o
código lido da esquerda pra direita, de cima
para baixo. Qual a mensagem transmitida
abaixo, sabendo que algumas letras codificadas
seguem no quadro abaixo? (desconsidere
acentuação)
1 63 5
2 11 2
4 3
A C D E G 4 18 13 17 15 I O P Q R
12 26 9 1 7
a) CORREIO
b) HORA
c) PERIGO
d) CARA
e) RÁPIDO
2. Devido a um erro de transmissão, a mensagem
“carro de apoio” foi transmitida da seguinte
forma:
18 26 9
4 13 26
7 17 12
7 4 26
Ao tentar saber qual foi o problema da
transmissão, o transmissor informou que
utilizou uma operação das matrizes, pois o
sistema estava sendo identificado por
outras pessoas. Que operação era essa?
a) Matriz inversa
b) Matriz transposta
c) Soma de matrizes
d) Multiplicação por escalar
e) Matriz oposta
3. Para evitar erros de comunicação dos valores
da tabela, acabou sendo feito um sistema de
conferência do código. Duas matrizes são
enviadas: a do código correspondente, e outra,
de mesma ordem, que quando multiplicadas
resultam numa matriz identidade. Segundo o
código abaixo, qual é a matriz de conferência
correta?
3 9
1 2
a) 3 1
9 2
b) 5 1
7 2
c)
11
2
4 5
d)
23
3
11
3
e)
2 1
3 3
11
3
4. (Enem 2012) Um aluno registrou as notas
bimestrais de algumas de suas disciplinas numa
tabela. Ele observou que as entradas numéricas
da tabela formavam uma matriz 4x4, e que
poderia calcular as médias anuais dessas
disciplinas usando produto de matrizes. Todas
as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela
37 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
que ele conseguiu é mostrada a seguir. Para
obter essas médias, ele multiplicou a matriz
obtida a partir da tabela por:
1º bim 2º bim 3º bim 4º bim Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5 Português 6,6 7,1 6,5 8,4 Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0 História 6,2 5,6 5,9 7,7
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz
obtida a partir da tabela por:
a) 1 1 1 1
2 2 2 2
b) 1 1 1 1
4 4 4 4
c) 1 1 1 1
d)
1
2
1
2
1
2
1
2
e)
1
4
1
4
1
4
1
4
5. Em certa escola realizou-se os Jogos Escolares.
Para a peteca, foram organizados quatro times
que se enfrentaram dois a dois, totalizando seis
jogos. Abaixo está a tabela de vitórias, empates
e derrotas para cada time e a pontuação:
Times Vitórias Empates Derrotas A 1 1 1 B 2 0 1 C 0 2 1 D 1 1 1
Pontos Vitória 5 Empate 3 Derrota 1
Qual foi a pontuação dos times A, B, C e D,
respectivamente?
a) 9, 11, 7, 9
b) 11, 7, 9, 9
c) 9, 7, 7, 9
d) 9, 11, 9, 7
e) 7, 9, 9, 11
Leia o texto abaixo para responder as questões 6, 7
e 8:
As imagens em uma tela de computador são na
verdade formadas por pequenos pontos (pixels) que
são elementos de uma matriz. Uma imagem de
resolução 800600 tem 800 600 = 480 000 pixels
em 800 colunas e 600 linhas. Quando um programa
gráfico altera a posição da imagem, gira a imagem
ou muda a escala da imagem, na verdade está
mudando a posição dos pixels que a formam. Isso
tudo é feito por operações de matrizes, e em
computação gráfica é o que se chama de
transformação geométrica. Considerando a tela
como um plano cartesiano, podemos efetuar vários
processos.
Adaptado de DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA, Volume
Único, 1ª edição, 2009, São Paulo, Editora Ática.
6. Considerando que a rotação de graus de um
ponto P(x, y) no sentido anti-horário é feita pela
multiplicação da matriz cos sen
sen cosR
pela matriz x
Py
, qual a posição do ponto
(4,-2) após rodar 60 no sentido anti-horário?
a) ( 3 , 1+ 3 )
b) (2+ 3 , 2 3 - 1)
c) 1
,2 32
d) (4,2)
e) 3
,2 3 42
7. A translação de um ponto P(x, y) de m unidades
para a direita e de n unidades para cima é feita
38 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
pela soma da matriz x
Py
com a matriz
mT
n
, qual a posição do ponto (2,3) após
uma translação de 10 unidades para a esquerda
e 5 unidades para cima?
a) (8, 8)
b) (12,8)
c) (-12,-2)
d) (-8,8)
e) (12,2)
8. Sabendo que um aumento de escala de um
ponto é dada pela multiplicação de um número
real r pela matriz x
Py
, quais as
coordenadas dos pontos A(5,-6) e B(2,-4) após
um aumento de 100%, respectivamente?
a) (500,-600); (200,-400)
b) (15,-18); (6,-12)
c) (50,-60); (20, -40)
d) (-10,12); (-4,8)
e) (10,-12); (4,-8)
9. Para a fabricação de caminhões uma indústria
montadora precisa de eixos e rodas para seus
três modelos de caminhões, com as seguintes
especificações:
Modelo A B C Eixos 2 3 4 Rodas 4 6 8
Para os dois primeiros meses do ano, a
produção da fábrica deverá seguir a tabela
abaixo:
Modelo Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15
Quantas rodas e quantos eixos serão
necessários em janeiro para que a
montadora atinja a produção planejada?
a) 154 e 308
b) 305 e 610
c) 201 e 402
d) 115 e 230
e) 215 e 430
10. Sobre matrizes, considere as seguintes
afirmações:
I. Dadas duas matrizes quaisquer, é
sempre possível determinar seu
produto.
II. Pela definição, se A é uma matriz mp e
B uma matriz pn, então AB será de
ordem mn.
III. Dadas duas matrizes quadradas, sempre
é possível realizar seu produto.
Estão corretas:
a) I e II
b) II e III
c) I e III
d) Somente I
e) I, II e III
11. (FGVRJ-03) Uma organização econômica é
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de
negócios realizados entre os três parceiros é
representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3
colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j
informa quanto o país i exportou para o país j,
em bilhões de dólares. A matriz A é dada por:
0 1,2 3,1
2,1 0 2,5
0,9 3,2 0
Qual foi o país que mais exportou e o que
mais importou, respectivamente?
a) A e B
b) C e B
c) B e C
d) A e C
e) C e A
12. Um aluno desenvolveu um sistema de
identificação de LEDs queimados em um
letreiro digital através de matrizes. O
39 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II
computador envia para o sistema da placa a
matriz correspondente ao que deveria aparecer
na tela, como, por exemplo:
Que gera a matriz
0 1 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
.
Então o sistema do letreiro responde a
matriz complementar, que nada mais é do
que responder 0 onde havia 1, e 1 onde
havia 0. Certo dia, para o mesmo símbolo
acima, a matriz de resposta foi:
1 0 0 0 1
1 0 1 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
Quais são, então, os LEDs que deverão ser
trocados, na devida notação de elemento
matricial?
a) 33a e 44a
b) 43a e 12a
c) 33a e 54a
d) 14a e 21a
e) 52a e 55a
13. O gerente de uma danceteria fez um
levantamento sobre a frequência de pessoas na
casa, em um final de semana, e enviou a seguinte
tabela para o proprietário:
80 60
? 75
rapazes moças
sexta
sábado
O gerente se esqueceu de informar um campo da
tabela, mas sabia que, curiosamente, a arrecadação
nos dois dias havia sido a mesma. Sabendo que o
ingresso para rapazes é R$ 15,00 e para moças é R$
12,00, determine o valor do campo que ficou sem
ser preenchido.
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