maturski rad 1
Post on 03-Jul-2015
1.630 Views
Preview:
TRANSCRIPT
JU “ GIMNAZIJA OBALA “ ; Sarajevo
MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE
TEMA: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Mentor:Hrbat Maja, prof matematike Učenik:Dević Sanela IV-3
Sarajevo, mart 2010
SADRŽAJ
Uvod.....................................................................................................................................3
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja……………………………………………..3-7
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……………….7-9
Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……...9-15
Primjena i primjeri iz svakodnevnog života………………………………………….16-17
Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva……………………………18-25
Literatura…………………………………………………………………………………30
2
UVOD
Tema ovog maturskog rada je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Kao prvo,
postavlja se pitanje zasto se uopšte uvodi trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Podsjetimo se da smo u svakom novom skupu brojeva mogli uvesti neku novu operaciju.
Tako smo u skupu mogli oduzimati (tj. dobili smo inverzne elemente u
odnosu na sabiranje), u skupu smo mogli dijeliti (tj. dobili smo inverzne elemente u
odnosu na množenje), a u skupu R smo mogli računati potencije pozitivnih brojeva i
kada je eksponent racionalan broj, tj. mogli smo vaditi korijene iz pozitivnih brojeva). U
skupu C je pak moguće vaditi korijene iz svih komplesnih brojeva. Također, u skupu
je za i jednačinaa imala najviše dva rješenja (ovisno o predznaku
broja a i parnosti broja n), no u skupu C ona će uvijek imati tačnono n rješenja.
Da bismo na jednostavan način vadili korijene iz kompleksnih brojeva uvodi se novi
način zapisivanja kompleksnoih brojeva tj. trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Zaključak se odosi na primjenu kompleksnih brojeva u fizici, prije svega, ali i u
svakodnevnom životu.
3
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Poznato je da kompleksnom broju
(1)
možemo pridružiti (obostrano jednoznačno) tačku M (x,y) koordinatne ravni. Označimo
sa udaljenost tačke M (x,y) od koordinatnog početka, a sa
orijentisani ugao između pozitivnog dijela x-ose i vektora (radijus-vektor položaja
tačke M (x,y).
Sa slike nalazimo:
(2)
(3)
Iz (1) i (2) dobivamo:
(4)
Izraz (4) zovemo trigonometrijski oblik kompleksnog broja z.
- modul kompleksnog broja z
- argument kompleksnog broja z.
4
Definicija (argumenta): Neka je M (x,y) tačka koja predstavlja kompleksan broj
. Svaki mjerni broj orijentisanog ugla koji čini radijus vector sa
pozitivnim dijelom x-ose zove se argument broja z i označava se sa Arg z. Argument
broja z koji zadovoljava uvjet zove se glavna vrijednost argumenta broja z i
označava se arg z.
Uglu (x, ) odgovara tačno jedan mjerni broj koji se nalazi u intervalu , dok
se svi ostali mjerni brojevi ugla (x, ) dobiju po formuli
.
Iz navedenog zaključujemo broj = Arg z je određen kompleksnim brojem samo do
sabirka , dok je broj arg z potpuno određen brojem z i važi:
tj. ima beskonačno mnogo vrijednosti.
Pokažimo sada kako određujemo i iz zadanog broja .
Ako je iz (3) slijedi =0 pa je (4) zadovoljeno za svaki realan broj
. Za određivanje glavne vrijednosti argumenta imamo:
Ako je i >0 (y<0) onda je , ;
Ako je onda =argz određujemo rješavanjem jednačine
(x=Rez, y=Imz)
uz uvjet da je:
, ako je x>0 i y>0 (tačka M (x,y) je u prvom kvadrantu),
, ako je x<0 i y>0 (tačka M (x,y) je u drugom kvadrantu),
, ako je x<0 i y<0 (tačka M (x,y) je u trećem kvadrantu),
, ako je x>0 i y<0 (tačka M (x,y) je u četvrtom kvadrantu).
Na osnovu izloženog o glavnom argumentu kompleksnog broja treba naglasiti da
jednačina
5
(5)
nije ekvivalentna sistemu
, , (6)
Istina, svako rješenje sistema (6) jeste i rješenje od (5), međutim ,
pokazuje da su i rješenja od (5) ali da jedan od tih brojeva
nije rješenje od (6). Imajući sve ovo u vidu, aposebno ova ograničenja za , onda
formule i koristimo za transformaciju kompleksnog broja , iz
oblika u trigonometrijeski oblik .
Primjer1:
Predstaviti u trigonometrijskom obliku broj:
,
jer je općenito
(jer su lukovi i
komplementni) odakle za dobivamo . Dalje je
Odakle zbog slijedi . Znači
.
, pa je , jer se tačka (-1,-1) nalazi u trećem kvadrantu.
6
Prema tome imamo
Teorema:
Dva kompleksna broja i zadana u trigonometrijskom obliku ,
jednaka su onda i samo onda kada je
, , .
Dokaz: Ako je imamo
, (7)
pa je odavde
(8).
Iz (7) i (8) imamo , što daje , , i obrnuto,
ako je , , tada je očigledno .
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja pogodan je za množenje i dijeljenje
kompleksnih brojeva.
Ako su
,
dva zadana kompleksna broja onda je:
, (2)
Iz formule (2) slijedi:
, ,
Dakle, kompleksni brojevi zadani u trigonometrijskom obliku množe se tako da im se
moduli pomnože a argumenti saberu.
7
Primjer2:
Naći proizvod kompleksnih brojeva:
, z
.
Za količnik vrijedi:
)sin(cos
)sin(cos
111
222
1
2
i
i
z
z
=
.
Imamo dakle na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva:
Pa je modul količnika jednak količniku modula djeljenika i djeljitelja, dok je argument
količnika jednak razlici argumenta djeljenika i argumenta djeljitelja.
Primjer3:
Naći količnik kompleksnih brojeva:
i
8
Napomena: Formula za množenje kompleksnih brojeva zadana u trigonometrijskom
obliku lahko se proširuje matematičkom indukcijom na slučaj proizvoda n kompleksnih
brojeva . Prema tome, n kompleksnih brojeva oblika
množe se na sljedeći način:
.
Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom
obliku
Ako u jednakosti
stavimo dobit ćemo
Slično imamo i za:
,
Neka je
tada je
Uopće, ako u jednakosti
stavimo dobit ćemo
(1).
Na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva iz formule (1) slijedi:
, .
Dakle, kompleksan broj se stepenuje prirodnim brojem n tako što se njegov modul
stepenuje sa n, a argumene pomnoži sa n.
9
Jednostavnost formule (1) pokazuje da stepenovanje još više nego množenje i djeljenje
kompleksnih brojeva, opravdava cjelishodnost uvođenja trigonometrijskog oblika
kompleksnog broja.
Formulu (1) otkrio je francuski matematičar Moivre (Moavr), pa se ona po njemu i
naziva Moivreova formula.
Specijalno za iz (1) dobivamo
.
Primjer4:
Primjenom Moivreove formule izračunati:
a) b)
a) =
Abram de Moavr emigrira iz Francuske u Englesku 1685. po ukidanju ukaza iz Nanta i izgnanstvom Hugenota. Živeo je
siromašno, te je kao stalni gost “Slaughter's Coffee House, St. Martin's Lane at Cranbourn Street“ zarađivao je novac igrajući šah.
Poznat po “Moavrovoj formuli“, koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju i po radu na “normalnoj distribuciji“ i “teoriji
slučaja“, godine 1697. izabran je kao član Naučne akademije (Royal Society) u Londonu. Godine 1718, De Moavr je napisao knjigu o
teoriji verovatnoće nazvanoj “Doktrina sreće“ (The Doctrine of Chances).
Korjenovanje kompleksnog broja
Definicija: Neka je dati kompleksni broj; n-tim korijenom
kompleksnog broja z nazivamo takav kompleksan broj čiji je n-ti stepen jednak broju z.
Znači,
10
Za n-ti korijen kompleksnog broja vrijedi:
Teorema:
Za svaki kompleksan broj postoji n različitih vrijednosti tj. jednačina ,
gdje je z bilo koji zadan kompleksan broj različit od nule, ima tačno n različitih rješenja.
Dokaz:
Neka je dat kompleksan broj , )0( z
i neka je
,
gdje je broj koji treba odrediti. Na osnovu definicije je tj
Odakle na osnovu jednakosti kompleksnih brojeva zaključujemo
, tj.
,
gdje je aritmetička vrijednost korjena.
Dakle, sada imamo
( (1)
U formuli (1) broj k može imati bilo koju cijelu vrijednost. Međutim, pokazat ćemo da
postoji tačno n različitih vrijednosti n-tog korjena broja z i da se one dobiju ako je
Dakle, tvrdimo da su sve vrijednosti k=0,1,2,…,(n-1) među sobom različite.
Pretpostavimo suprotno tj. da postoje bar dva različita indeksa
formula za koje je a ovo bi značilo da je
tj.
što je nemoguće jer je i s cijeli broj.
11
Pokažimo još da za svaki cijeli broj takav da vrijedi
Broj možemo predstaviti u obliku (q Z)
odakle je
Što znači da je
Prema tome ima tačno n različitih vrijednosti koje odgovaraju vrijednostima
k = 0,1,2…..,n-1;
(2)
i to su:
Ovim je teorema dokazana.
Vrijednost
(2)
Zove se glavna vrijednost n-tog korjena broja Z
12
Iz izraza (2) za neposredno zaključujemo da Morvreova formula vrijedi i za
razlomljene eksponente tj. da je
ako je z =
Iz izraza (2) za vrijednost mozemo primjetiti da su moduli svih vrijednosti jednaki
to znači tačke koje odgovaraju tim brojevima nalaze se na kružnici poluprečnika i
centrom u tački O; pri tome poluprečnici ma kojih dviju uzastopnih tačaka grade ugao
.
Prema tome, korijeni su tjemena pravilnog n-tougla upisanog u krug poluprečnika
Na osnovu toga zaključujemo da svaka binarna j-na
( n-prirodan broj, dati kompleksan broj) ima n korjena;
Tačke koje ovim korjenima odgovaraju leže na krugu poluprečnika sa centrom u
koordinantnom početku.
Primjer4: Naći sve vrijednosti
Napišimo z=-64 u trigonometrijskom obliku
-64=64
Prema formuli (2) imamo
13
(k=0,1,2,3,4,5)
Slijedi:
Tacke su tjemena pravilnog šestougla u kružnici poluprečnika 2 s
centrom u koordinatnom početku.
14
Primjene i primjeri iz realnog života
Kompleksni brojevi su sastavni dio kvantne fizike. Najčešća primjena kompleksnih
brojeva je kod elektromagnetizma i naizmjenične struje.
Kompleksnim brojevima mjeri se:
Jačina elektromagnetnog polja
Taj broj će biti čisto realan ako je polje električno i nema magnetnih komponenti, a čisto
imaginaran ako je polje magnetno i nema električnih komponenti.
Induktivitet vodiča koji se kreće kroz elektromagnetno polje
Stanje komponenti električne struje
Broj je čisto realan ako postoji napon duž vodiča, ali nema toka kroz vodič i čisto
imaginaran ako postoji tok kroz vodič, ali nema napona duž vodiča.
Einsteinov-a teorija relativnosti
15
Odgovor na pitanje: Da li je moguće putovati brzinom većom od brzine svjetlosti ? , nije
jednostavan niti je odgovor još uvijek poznat.
Einsteinova teorija relativnosti i njegova formula dilatacije vremena govori
o usporavanju protoka vremena što je brzina bliža brzini svjetlosti.
Ako je brzina mala vrijeme će teći normalno, vrijednost ispod korijena je pozitivan broj.
Ako je brzina bliža brzini svjetlosti protok vremena se sve više usporava.
Ako je brzina jako blizu svjetlosnoj brzini (98%) tada će putnik koji putuje 1 godinu kada
se vrati na Zemlju zaključiti da je tamo prošlo 4 godine.
Kod same brzine svjetosti vrijeme se beskonačno uspori!
Područje u kojem je brzina manja od brzine svjetosti možemo nazvati područjem realnog
vremena.
Ako brzina je veća od svjetlosne brzine tada je ispod drugog korjena negativan broj i
izraz postaje imaginaran.
Sada se nalazimo u području imaginarnog, a ne realnog vremena.
Kako se ubrzava to se i dalje u imaginarnom području ubrzava i vrijeme, te bi npr.
putnik koji putuje pri 200% svjetlosne brzine jednu godinu, pri povratku na Zemlju
ustanovio da je prošlo samo 7 mjeseci.
No ovo su samo nagađanja koja nemaju realnog fizikalnog znacđčenja.
Niko ne zna da li je to moguće i što bi se pri tome događalo!
16
Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva
Kompleksni brojevi nisu nastali iz potrebe, kao što je uobičajeno mišljenje, rješavanja
kvadratnih jednačina , npr. , već iz potrebe rješavanja kubnih jednačina.
Sljedeće činjenice prikazuju razvoj kompleksnih brojeva kroz historiju i daju podršku
navedenoj tvrdnji:
1. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850), arapski matematičar, rođen u
Khwarizm (sada Khiva, Uzbekistan) u svom djelu Kitab al-jabr w’al Muqabalah navodi
rješenja različitih tipova kvadratnih jednačina. Njegova rješenja kvadratnih jednačina
odnose se samo na pozitivna rješenja. U svom djelu on daje dokaze koji su geometrijski
utemeljeni i čini se da imaju izvore u grčkoj i hinduskoj matematici.
17
2. Omar Khayyam (oko 1050-1122), perzijski matematičar, astronom i autor
najpoznatijih poema, rođen u Neyshabur (Nishapur, sada Iran) u 12. vijeku daje
geometrijska rješenja nekih kubnih jednačina koristeći konusne presjeke.
3. Latinski prevod Gerarda da Cremona (1114-1187) Al-Khwarizmi–evog djela, kao i rad
Leonardo da Pisa (1170-1250 ), poznatijeg kao Leonardo Fibonacci, omogućili su i
italijanskim matematičarima da se upoznaju sa metodama algebre koje su uveliko bile
poznate arapskim matematičarima. Oko 1225, Fibonacci je gostovao na dvoru, za vrijeme
boravka cara Frederick-a II na Siciliji. Lokalni matematičari postavili su probleme, koje
je Leonardo trebao da riješi . Jedan od problema je bio iz knjige Omar-a Khayyam-a :
problem rješenja kubne jednačine
.
Leonardo Fibonacci, dokazao je da ova jednačina nema rješenja kako u skupu cijelih,
tako ni u skupu racionalnih brojeva. On je našao pibližnu aproksimaciju rješenja s
tacnošcu na devet decimala, koristeci arapske metode sukcesivnih aproksimacija.
4. Svođenje opće kubne jednačine oblika
na kubnu jednačinu bez kvadratnog člana
linearnom supstitucijom (1)
prvi put se pojavljuje u dva anonimna rukopisima blizu Firence krajem 14-tog vijeka.
U slučaju kada su dopušteni samo pozitivni koeficijenti i pozitivne vrijednosti x , tada su
moguća samo tri slučaja kubne jednačine :
(1)
(2)
18
(3)
Scipione del Ferro (1465-1526) profesor Univerziteta u Bolonji, prvi je otkrio formulu za
rješenja jednačine oblika (1) oko 1515 godine, ali svoje rezultate je čuvao u tajnosti . Na
samrti, del Ferro povjerava dobivene rezultate svom zetu Hanibalu Naveu i svom učeniku
Antoniu Maria Fioreu.
Antonio Maria Fiore, osrednji matematičar, u poznavanju tajne metode rješavanja kubne
jednačine vidio je šansu da dođe do slave i novca. Želeći da postane poznat izazvao je
italijanskog matematičara Niccolò Fontana (1500-1557) poznatijeg kao Tartaglia na
matematički dvoboj 1535 godine. Svaki od njih trebao je zadati drugom po 30 zadataka s
rokom rješavanja do 50 dana. Kako se Fiore hvalio da zna tajnu rješavanja kubne
jednačine oblika (1) Tartaglia je očekivao da ce mu dati jednačine tog tipa. Noć uoči
natjecanja Tartaglia smišlja metodu njihova rješavanja. Kad je došao dan dvoboja,
njegovo očekivanje pokazalo se tačnim : Fior mu je dao zadatke isključivo tipa (1) , no
Tartaglia ih je uspio riješiti za dva sata. Nasuprot tome, Tartaglia je Fioru zadao razne
zadatke, koje Fior nije uspio riješiti.
(2) početnu promjenljivu zamijenimo sa koji je jednak umanjenom za trećinu koeficijenta uz
kvadratni član
Za Tartaglinu pobjedu saznao je milanski liječnik, matematičar i kockar Gerolamo
Cardano (1501-1576), jedan od najneobičnijih ličnosti historije matematike. Cardano,
saznavši za nove događaje vezane uz rješavanje, tada iznimno popularnog problema
kubne jednačine, poziva Tartagliu da ga posjeti u Milanu. Po dolasku u Milano Tartaglia
Cardanu otkriva metodu rješavanja kubne jednačine u stihu, ali samo uz uvjet da se
Cardano zakune da je neće objaviti sve dok je on, Tartaglia, sam ne objavi.
Kad su kub i stvari skupa
Jednaki nekom diskretnom broju
Nađi druga dva broja
Koji se za taj razlikuju
Tad ćeš to zadržati kao naviku
Da im je proizvod uvijek jednak
Tačno kubu trećine od stvari
Ostatak tad kao opće pravilo
19
Od njihovih oduzetih kubnih korijena
Bit će jednak tvojoj osnovnoj stvari .
Saznavši o formuli, Cardano je bio u mogućnosti rekonstruirati metodu rješavanja kubne
jednačine.
Dakle, treba riješiti sistem jednačina
Rješenje x polazne jednačine dobije se kao razlika kubnih korijena iz u i v.
Polazeći od Tartaglinog rješenja, Cardano zajedno sa svojim studentom Lodovicom
Ferrarijem (1522-1565) razvio je metodu rješavanja primjenjivu na sva tri tipa kubnih
jednačina.
Ferrari dalje izvodi i metodu za rješavanje jednačine četvrtog stepena.
Kad Cardano sazna da je formulu tridesetak godina prije otkrio del Ferro, a ne Tartaglia
odluči da je objavi u svom najpoznatijem djelu Ars Magna (1545.).
Cardano daje detaljni opis metode za rješavanje jednačina trećeg i četvrtog stepena i pri
tom spominje del Ferro-a i Tartagliu kao autore.
Prilikom rješavanja jednačine oblika (2) Cardano uočava problem, koji nije bio prisutan
pri rješavanju jednačine oblika (1).
Problem : mogućnost da se kvadratni korijen negativnog broja pojavi u numeričkom
izrazu date formule.
Uvodenjem supstitucije
u jednačinu
dobivamo
Uvrštavajući u prethodnu jednačinu dobivamo
To jest, suma i proizvod od dva kuba su poznati.
Prethodne jednačine izračunavamo pomoću jednačina drugog stepena i dobivamo
20
I ako su korijeni negativnih brojeva, bili poznati i ranije, još starogrčkim matematičarima,
Cardano u svom djelu Ars Magna izbjegava raspravu o ovom slučaju .
Npr. treba riješiti klasičan primjer kubne jednačine .
Nakon primjene formule, imamo
U ovom slučaju, Cardan tvrdi da opća formula nije primjenjiva (jer imamo kvadratni
korijen iz -121).
Medutim , B. L. van der Waerden(6), tvrdi
" Cardano je u algebru prvi uveo kompleksne brojeve oblika , ali je imao
nedoumice u vezi s njima. "
Kompleksni brojevi nisu nastali iz ovog primjera , ali su neraskidivo povezani sa
rješenjima kubne jednačine.
5. Rafael Bombelli (1526-1572) italijanski matematičar, u svom djelu l'Algebra (1572 i
1579), polazeći od kubne jednačine , nakon primjene Cardano-ove formule,
dobija
Bombelli uočava da kubna jednačina ima rješenje , a zatim pokušava
da izraze dobijene pomoću Cardano-ove formule predstavi kao drugi prikaz za .
Da bi to postigao stavlja
i
gdje su i realni brojevi.Također, uvodi notaciju i naziva je“ pi´u di meno ” –
više nego manje.
U osnovi on posmatra brojeve oblika
tj. brojeve oblika
i primjenjuje uobičajena pravila algebarskog računa u radu s njima.
21
6. René Descartes (1596-1650) francuski matematičar i filozof čiji čuveni orginalni rad,
La Géométrie, uključuje primjenu algebre u geometriji. U svom djelu dao je geometrijsko
značenje za četiri elementarne računske operacije i vađenje kvadratnog korijena. Zatim je
, konstatovao da euklidska geometrija je zasnovana na aritmetičkoj strukturi, tj. na
strukturi realnih brojeva.
Albert Girard 1620 godine sugerisao je da jednačina može imati onoliko rješenja koliki je
njen stepen.
René Descartes u La Géométrie postavlja sljedeći princip :
“ Ako je n stepen polinoma P(x) , onda jednačina P(x)=0 ima tačno n rješenja “
7. John Wallis (1616-1703) norveško-danski istraživač i matematičar , u svojoj Algebri
bilježi da negativni brojevi, tako dugo posmatrani s podozrenje, imaju savršeno dobro
fizičko objašnjenje. Objašnjenje je bazirano na pravoj na kojoj je označena tačka nula,
pozitivni brojevi su brojevi na pravoj s desne strane tačke nula, a negativni brojevi su
brojevi na pravoj s lijeve strane tačke nula.
Također, on je napravio napredak dajući geometrijsku interpretaciju za .
1673 John Wallis konstruisao je geometrijske slike kompleksnih brojeva koje su slične
onima koje danas koristimo. On je bio zainteresiran za rješavanje kvadratne jednačine
oblika
Koristeći formulu, za rješenja kvadratne jednačine, dobit ćemo korijene jednačine
koji su realni akko je . Wallis je zamislio da su
ovi korijeni jednačine pomaci u
lijevo i desno od tacke za
vrijednost što je dužina
stranice pravouglog trougla
prikazanog na sl.1.1.
22
Tačke P1 i P2, predstavljaju korijene jednačine , što je očigledno ako je
Ali postavlja se pitanje kako bi prikazali tačke P1 i P2, kada predstavljaju negativne
korijene jednačine tj. ako je ?
Wallis je razmišljao da , s negativnim korijenima, b će biti manje od c, tako da je dužina
b na sl.1.1 više ne bi mogla doći sve do x ose.
Umjesto toga, ona će prestati negdje iznad nje, kao što prikazuje sl. 1.2.
Wallis je tvrdio da tacke P1 i P2,
trebaju predstavljati geometrijske
lokacije rješenja
i
kada je . Kako je b kraća
od c, to više nije mogla biti
hipotenuza u pravouglom trouglu
kao što je bila ranije. Stranica dužine
c sada ima tu ulogu.
Wallis-ova metoda imala je neželjene posljedice da je ( u slučaju kada
)
Ipak, ovo tumačenje je pomoglo da se o kompleksnim brojevima razmišlja kao o tačkama
u ravni.
8. Jean-Robert Argand (1768-1822) bio je pariški
knjigovođa. Argand 1806 godine izradio je mali
letak koji na naslovnoj stranici nije sadržavao
njegovo ime već samo naslov eseja " Essay on the
Geometrical Interpretation of Imaginary Quantities
". Jedan primjerak tog eseja završava u rukama
poznatog matematičara A. Legendre (1752-1833).
U pismu svom prijatelju Francois Francais,
profesoru matematike Legendre opisuje Argand-ov
23
rad. Nakon Francaisove smrti, njegove radove naslijedio je njegov brat Jaques, profesor
vojne umjetnosti i matematike . On pronalazi Legendre-ovo pismo i 1813 godine u
časopisu u Annales de Mathémathiques Jaques objavljuje članak o osnovama
kompleksnih brojeva. U posljednjoj tački članka, Jaques priznaje da je rad djelo
nepoznatog autora i podstiće ga da se javi. Argand saznaje o svom radu i šalje svoj
odgovor u sljedećem broju časopisa.
J. R. Argand (1806, 1814) uveo je termin " modul " za apsolutnu vrijednost kompleksnog
broja. Argand-ovim dijagramom ili kompleksnom ravni naziva se bilo koja ravan sa
parom međusobno ortogonalnih pravih, koje koristimo za vizualizaciju kompleksnih
brojeva u ravni tako što kompleksni identifikujemo sa tačkom u ravni čije su
koordinate . Argand je poznat i po geometrijskom prikazu kompleksnog broja
gdje i predstavlja rotaciju za 90°
9. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Postoje indicije da je čuveni matematičar Gauss znao za geometrijski interpretaciju
kompleksnog broja od 1796. godine, ali da je nije objavio do 1831.godine, kada je
predstavio svoje ideje Royal Society u Göttingen-u.
U svojoj doktorskoj tezi 1797 objavio je prvi korektan dokaz fundamentalnog teorema
algebra, ali je još uvijek tvrdio " istinska metafizika kvadratnog korijena od -1 je
iskjučiva ".
1831 Gauss nadvladava neke od svojih sumnji vezanih za kompleksne brojeve i
objavljuje rad geometrijske reprezentacije kompleksnih brojeva kao tačaka u ravni.
Gauss uvodi izraz kompleksni broj.
U pismu Bessel-u 1811, Gauss pominje teorem koji ce kasnije biti poznat kao Cauchy-ev
teorem.
10. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) zasnovao je teoriju kompleksnih funkcije 1814 u
svom naučnom radu dostavljenom francuskoj Académie des Sciences.
Pojam analitičke funkcije nije se još spominjao , ali koncept jeste.
Cauchy 1847.godine izgrađuje skup kompleksnih brojeva kao
24
LITERATURA:
1. Džubur Nataša, Matematika sa zbirkom zadataka, za IV razred srednje škole, IP
“SVJETLOST” , Sarajevo 2006
2. Huskić Adem, Matematika za drugi razred gimnazije i drugih srednjih škola,
IP “SVJETLOST” , Sarajevo 2006
3. Karamata Jovan, Kompleksan broj sa primjenom na elementarnu geometriju,
Izdavačko preduzeće narodne Republike Srbije, Beograd 1950
Internet
http:www.e-math.com
http:www.matematiranje.com
25
top related