minces sous l’effet des conditions - … · notre travail consiste en l’analyse du comportement...
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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministre de LEnseignement Suprieur Et De La Recherche Scientifique
UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE
Facult des Sciences de lIngnieur
DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE
Ecole Nationale Doctorale de la Mcanique de Construction
MEMOIRE
Prsent pour obtenir le Diplme de Magister en Gnie Mcanique
Option : CONSTRUCTION MECANIQUE
Mcanique Applique en Engineering
Intitul :
ANALYSE DES PLAQUES ORTHOTROPES
MINCES SOUS LEFFET DES CONDITIONS
EXTERIEURES Prsente par:
SOFIANE CHORFI
Soutenu Le : ..Mai 2010, Devant le Jury :
Prsident : Mr. A.BOUCHOUCHA Prof. Universit Mentouri Constantine
Rapporteur : Mr. B.NECIB Prof. Universit Mentouri Constantine
Examinateur : Mr. A. BELLAOUAR Prof. Universit Mentouri Constantine
Mme. Z. LABED M.C. Universit Mentouri Constantine
Mai 2010
N dordre : .. / / 2010
Srie : . / GM / 2010
-
Ddicace
Ddicace
A la mmoire de ma mre, et de mon pre
Jespre quils reposent en paix jamais.
Faible tmoignage de ma reconnaissance infinie
A ma petite famille :
Ma femme et ma petite fille JOMANA RAWANE
A ma grande famille :
Mes frre et mes surs et leurs petites familles
A Ma belle famille,
Et a Tous mes amis,
tous ceux qui mont apport leur aide.
-
Remerciement
iv
Remerciement
Je tiens exprimer nos sincres remerciements toute personne qui a contribu de prs ou de
loin a laccomplissement de ce travail.
Je tiens tout dabord remercier Mr. Brahim NECIB, Professeur au dpartement de gnie
mcanique, Universit Mentouri Constantine, encadreur de mon mmoire de magister, pour la
confiance quil ma accord en me proposant ce mmoire. De plus, son enthousiasme et sa confiance
qui mont donn les motivations ncessaires pour raliser ce travail. Je noublierai pas la grande
humanit dont il ma fait preuve. Son encouragement, son entire disponibilit au cours de ce
mmoire et ses judicieux conseils.
Je tiens particulirement remercier le Professeur Mr. BOUCHOUCHA Ali de
lUniversit Mentouri Constantine de mavoir fait lhonneur de prsider le jury de ce mmoire.
Je tiens aussi remercier les autres membres de jury Monsieur le professeur Mr. Ahmed
BELLAOUAR et Docteur Mm ZOHRA LABED qui m'ont fait l'honneur d'accepter d'tre
les examinateurs de mon travail et pour le temps qu'ils ont consacr l'examen de ce mmoire.
Je noubli pas aussi de remercier tous les enseignants de lcole national doctorale qui ont
contribus ma formation et spcialement monsieur le responsable du pole de Constantine Mr.
Professeur NECIB BRAHIM et le Directeur de lEcole Mr. Toufik BOUKHAROUBA,
Professeur lUSTHB de Bab Ezouar - Alger.
Je tiens remercier Mr. Ismail BEN YASAAD chef de dpartement de Gnie mcanique
Je tiens enfin remercier galement tous mes collgues et amis pour leur soutien, conseil et
aide.
SOFIANE - CHORFI
-
Rsum
v
Rsum :
ANALYSE DES PLAQUES ORTHOTROPES MINCES SOUS LEFFET DES CONDITIONS EXTERIEURES
Les matriaux orthotropes prsentent un intrt trs important dans le domaine des
applications industriels modernes tels que : la mcanique, laronautique, le gnie civil et la
biomcanique vu leur duret leur lgret et leur super lasticit. Durant leur fonctionnement et
sous leffet des efforts extrieurs, ces matriaux peuvent subir des fissurations ou des ruptures
qui peuvent provoquer le dsastre de la structure. Afin dviter ces types de problmes, lanalyse
de ces matriaux est ncessaire afin de prdire leur caractristiques mcaniques et ainsi
daugmenter leur dure de vie. Cette analyse repose essentiellement sur la structure interne du
matriau, sa gomtrie, ses conditions aux limites et les conditions extrieures appliques.
Notre travail consiste en lanalyse du comportement statique et dynamique des plaques
orthotropes minces bi dimensionnelle sous leffet des efforts extrieurs utilisant les mthodes
numriques et de modlisations en se basant sur la mthode des lments finis. Les contraintes et
les dformations nimporte quel noeud de la plaque orthotrope ont t dtermines pour
diffrents types de chargement (alatoires et harmoniques), avec et sans amortissement
comparativement avec celles dune plaque isotrope de mme dimension. Et de bonnes efficacits
et fiabilits des proprits mcaniques de la plaque orthotrope ont t observes que celles du
matriau isotrope.
Mots cls: Plaque orthotrope, lment finis, simulation numrique, vibration, contraintes et dformations.
-
Rsum
vi
Abstract:
ANALYZIS OF THIN ORTHOTROPIC PLATES UNDER THE EXTERNAL CONDITION EFFECTS
The orthotropic materials are of a great importance and interest in the field of the
modern industrial technologies applications such as: mechanics, aeronautics, civil engineering
and biomechanics due to their hardness, their lightness and their super elasticity. During their
working operation and under the effect of the external efforts, these materials can be
submitted to cracks or ruptures which can cause the disaster of their structure. In order to
avoid these types of problems, the analysis of these materials is necessary in order to predict
their mechanical characteristics and thus to augment their lifespan. This analysis is based
essentially on the internal structure of material, its geometry, its boundary conditions and the
external applied conditions.
Our work consists of the analysis of the static and dynamic behaviour of thin
orthotropic bi- dimensional plates under the effect of external efforts using the numerical
methods and of modulating based on the finite element methods. The strain and stress in any
node of the orthotropic plate have been found for various types of loading (random and
harmonic), with and without damping comparatively with those of an isotropic plate of the
same dimension. And good effectiveness and reliabilities of the mechanical properties of the
orthotropic plate were observed compared to those of orthotropic one.
Key words: Orthotropic plate, finites elements, numerical simulation, vibration, stress and Strain.
-
Rsum
vii
:
.
.
.
.
( )
.
:
-
Nomenclature
viii
La nomenclature
Linsigne Dsignation
Cijkl Tenseur dlasticit (ou de rigidit)
Sijkl Tenseur de souplesse
ij Tenseur de dformation
E Module de Young
Cij Coefficient dlasticit
h Epaisseur
Dij Coefficient qui caractrise la matrice de rigidit
x,y,z Cordonne principale
1,2,3 Cordonne global
D66, Dxy Rigidit la torsion
s La lure de londulation
l Longueur de larc dune demi onde
f Epaisseur donde
E Module de Young des renforts
I Moment dinertie
Dx, Dy, D Moment dinertie suivant laxe Y
Kx, Ky, Kxy Courbure de flexion et de torsion qui caractrise les dformations angulaires
p Vecteur de force de volumique de llment
Fd Vecteur de force volumique dintensit (correspond la rsistance linaire)
[] Dplacement gnralis
f(t) Vecteur des force appliqu
u(t) Vecteur de position de la masse)
T Energie cintique total du systme
v Energie potentielle du systme (dformation + force conservatives extrieurs)
wnc Travail effectu par les forces non conservatives agissant sur le systme
(amortissement + autre charge extrieur)
Variation subie pendant lintervalle du temps
{} Vecteur dacclration
{} Vecteur de vitesse
-
Nomenclature
ix
{u} Vecteur de dplacement
w Frquence
, Coefficient de New mark ou Constante damortissement de Rayleigh
t Pas de temps
G Coefficient de coulomb
a, b Espacement des renforts dans la direction x, y respectivement
G12 Module de cisaillement
Coefficient de poisson
El Module de Young dans le sens de fibre
Et Module de Young dans le sens transverse
Fx, Fy, Fz Composantes de la force volumique suivant x, y, et z
M Moment de la force
U Dplacement suivant x
V Dplacement suivant y
ij Distorsion ou dformation angulaire
Densit ou masse volumique
la viscosit
x , y Rotation autour de laxe x et y respectivement
{U} , {} Vecteur de dplacement
{P} Vecteur de charge
[K] Matrice de rigidit
[m] Matrice de masses
[C] Matrice de lamortissement
Qi Travail interne
.Qe Travail externe
t Temps (s)
Contrainte
ii Contrainte de traction
ij Contrainte de Cisaillement
Lallongement
Section
-
Table des Matires
x
Table des matires
Ddicace... iii
Remerciement.. iv
La nomenclature.. v
Table des matires... vi
Table des figures..
vii
Introduction
1
1. Introduction aux matriaux orthotropes........................................... 2
2. Application des matriaux orthotropes ... 3
a. Application dans lindustrie arospatiale ... 3
b. Application dans lindustrie mcanique.. 4
c. Application dans le domaine de la biomcanique .. 5
d. Application dans le domaine des sports et de loisir ... 5
3. Modlisation numrique par la mthode des lments finis ... 6
3.1. Introduction. 6
3.2. Avantage de la M.E.F.. 8
3.3. Autres types de modlisation.. 8
3.3.1. Modlisation par ANSYS 8 3.3.2. Modlisation par SAP2000 . 8
4. Objectif de ltude .. 10
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques
orthotropes
12
1.1 Introduction 13 1.1.1 Thorie des Plaques.. 13
1.1.1 Historique 13
1.1.1.2. Dmarche ... 13
1.1.1.3. Dmarche pour l'tude des plaques 14
1.1.1.4. Dfinitions et hypothses .. 14
1.2. les Milieux Continue.. 15 1.2.1. Dfinition. 15
1.2.2. Milieu homogne 15
1.3. Loi de Hooke Gnralise 15
1.4. les Diffrents Types des Matriaux... 15 1.4.1. Les matriaux anisotropes 15
1.4.2. Matriaux monocliniques. 16
-
Table des Matires
xi
1.4.3. Matriaux orthotropes.. 17
1.4.4. Matriaux transversalement isotropes.. 18
1.4.5. Matriaux quasi isotropes transverses. 19
1.4.6. Matriaux quasi isotropes 19
1.4.7. Matriaux isotropes. 19
1.5. Cas des Plaques Orthotropes.. 22 1.5.1. Diffrentes Formes des Plaques Orthotropes.. 23
1.5.1.1. Plaque ondule.. 25
1.5.1.2. Plaque renforce 25
1.5.1.3. Plaque composite.. 27
1.5.1.4. Plaque stratifie. 28
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes 29
2.1. Introduction... 30
2.2. Equations d'quilibres .. 30
2.2.1. Equilibre des contraintes.. 30
2.2.2. Equilibre des forces.. 31
2.3. Types de forces appliques sur la plaque . 32
2.3.1. Forces extrieures. 32
2.3.1.1. Forces volumiques... 32
2.3.1.2. Forces surfaciques 32
2.3.2. Contraintes... 32
2.4. Forces et Moments Rsultants.. 33
2.4.1. Moments flchissant .. 33
2.4.2. Moments de torsion 34
2.4.3. Efforts tranchants ... 34
2.4.4. Particularits des plaques orthotropes. 35
2.5. Equation Diffrentielles de Dplacements 36
2.5.1. Validit des thories de la plaque. 36
2.5.2. Plaque mince... 37
2.5.3. Thorie des Plaque paisse .. 40
Chapitre III Analyse des plaques orthotropes par
mthodes des lments finis
44
3.1. Introduction 45
3.2. Formulation dun Elment 45
3.2.l. Mthode directe.. 46
3.2.2. Mthode des rsidus pendrs. 46
3.2.3. Mthode variationnelle... 46
3.3. Formulation de la Matrice de Rigidit de la Plaque.. 46
3.4. La Mthode de l'Energie Potentielle. 51
3.5. Le Potentiel des Charges Appliques 51
-
Table des Matires
xii
Chapitre IV Etude dynamique de la plaque orthotrope
par la mthode de New Mark
53
4.1. Introduction... 54
4.2. Formulation des Equations du Mouvement.. 54 4.2.1. Ecriture directe de l'quilibre dynamique par le principe
dAlembert..
54
4.2.2. Principe des dplacements virtuels.. 55
4.2.3. Principe de Hamilton... 55
4.3. Choix des degrs de libert... 55
4.4. Expression d'Equilibre Dynamique... 56
4.5. Diffrents Types de Chargement.. 56 4.5.1. Chargement Harmonique.. 57
4.5.2. Chargement priodique. 57
4.5.3. Chargement par impulsion 58
4.5.3.1. Impulsion sinusode 58
4.5.3.2. Impulsion rectangulaire.. 58
4.6. L'Amortissement des Vibrations... 59
4.7. Dtermination de l'Amortissement 59
4.8. Rsolution Numrique par la Mthode de NEW MARK. 59
Chapitre V Analyse des plaques orthotropes par
modlisation numriques
65
5.1. Introduction... 66
5.2. Calculs Numriques et Modlisation ... 66
5.3. Organisation du Programme de Fortran. 67 5.3.1. Introduction des donnes. 67 5.3.2. Construction des matrices [K], [M] et F.. 67
5.3.3. Rsolution du systme d'quation [K] U = F.. 67 5.3.4 Impression des rsultats 67
5.3.5. L'enchanement de ces diffrents blocs 67
5.4 Organisation du Programmation avec ANSYS. 68 5.4.1. Organisation de logiciel d'ANSYS.. 68 5.4.2. les Procds danalyse.. 68
5.4.2.1. tablissez le modle 69
5.4.2.2. Choisissez le type d'analyse & Options.. 69
5.4.2.3 Rsultats de revue 69
5.5. Organisation du Programmation avec le SAP2000.. 69 5.5.1. Dispositifs d'analyse. 70
5.6. Modle dapplication : Caractristiques des plaques
considre
71
5.6.1. Mthode utilisant le programme Fortran 77 .. 71
5.6.2. Mthode utilisant le SAP2000 (analyse Modale). 72
-
Table des Matires
xiii
5.6.3 Mthode utilisant ANSYS:.. 74
5.7. Rsultats et Discussion 75 5.8. Conclusion 106
Conclusion Gnrale ...
107
Bibliographie ...
110
Annexes 113
Annexe 1 : Programme Fortran. 114
Annexe 2 : Aide dutilisation ANSYS, SAP2000 .. 128
Annexe 3 : Rsultat du programme Fortran.. 143
Annexe 4 : Rsultats obtenue par ANSYS et SAP 2000.. 163
-
Liste des Tableaux
xiv
Table des figures
Figure 1.1 : organigramme du dmarche de ltude de la plaque.
Figure 1.2 : matriau orthotrope.
Figure 1.3 : Dformation d'une plaque mince avec mise en vidence du dplacement d'un
lment de matire, de son feuillet moyen (rouge) et de sa fibre normale (bleue)
Figure 1.4 : Dplacement du feuillet moyen (gauche) et d'une fibre normale (droite)
Figure1.5 : plaque ondule
Figure 1.6 : plaque renforce par deux sries quidistantes de renforts
Figure 1.7 : plaque renforce par une srie de nervures quidistantes
Figure 1.8 : plaque composite
Figure 1.9 : plaque stratifie
Figure 2.1 : modle dquilibre dun lment
Figure 2.2 : Moments flchissant et contraintes
Figure 2.3 : Moments de torsion et scission
Figure 2.4 : Efforts tranchants et scission
Figure 2.5 : dformation de la plaque du point A au point A
Figure 3.1 : illustration dplacement et rotation dun lment rectangulaire a 4 noeud
Figure 3.2 : illustration effort tranchant et moment dun lment rectangulaire a 4
Figure 4.1 : chargement harmonique
Figure 4.2 : chargement priodique
Figure 4.3 : Impulsion sinusode
Figure 4.4 : Impulsion rectangulaire
-
Liste des Tableaux
xv
Figure 5.1 : Comparaison entre dflection dune plaque orthotrope et isotrope sans
amortissement
Figure 5.2 : Comparaison entre dflection dune plaque orthotrope et isotrope avec
amortissement facteur damortissement 2%
Figure 5.3 : Comparaison entre dflection dune plaque orthotrope et isotrope avec
amortissement facteur damortissement 5%
Figure 5.4 : linfluence du coefficient de New Mark Alpha sur lamortissement (plaque
orthotrope)
Figure 5.5 : comparaison entre les rsultats obtenus en SAP2000 et en Fortran de dflection au
milieu de la plaque
Figure 5.6 : comparaison entre les contraintes suivant la direction x et y sans amortissement
pour une plaque orthotrope
Figure 5.7 : comparaison entre les contraintes suivant la direction x et y avec amortissement
pour une plaque orthotrope
Figure 5.8 : comparaison entre les contraintes de cisaillement transversale xz,yz et contrainte
dans le plan xy avec et sans amortissement pour une plaque isotrope
Figure 5.9 : comparaison entre les contraintes de cisaillement transversale xz,yz et contrainte
dans le plan xy avec et sans amortissement pour une plaque orthotrope
Figure 5.10 : variation du dplacement en fonction dpaisseur.
Figure 5.11 : Amplitude modale des dplacements et des contraintes.
Figure 5.12 : variation des dplacements en fonction dpaisseur pour une plaque orthotrope
nud 14 .
Figure 5.13 : variation de frquence fondamentale en fonction de nombre des nuds.
Figure 5.14 : variation de frquence fondamentale en fonction dpaisseur pour plaque isotrope.
Figure 5.15 : variation de frquence fondamentale en fonction dpaisseur pour plaque
orthotrope.
-
Liste des Tableaux
xvi
Figure 5.16 : Effet d'alpha attnuant sur la constante d'amortissement (bta attnuation ignore).
Figure 5.17 : Effet du bta attnuation sur la constante d'amortissement (attnuation d'alpha
ignore).
Figure 5.18 : Comment rapprocher des constantes d'amortissement de Rayleigh.
Figure 5.19 : Dflection Ux et Uy en fonction de la frquence pour une plaque isotrope
Figure 5.20 : Dflection Ux, Uy, et Uz en fonction de la frquence pour une plaque isotrope.
Figure 5.21 : Dflection, vitesse, et acclration suivant y ou x en fonction de la frquence
plaque isotrope.
Figure 5.22 : Dflection, vitesse, et acclration suivant z en fonction de la frquence plaque
isotrope.
Figure 5.23 : Contrainte suivant x et y en fonction de la frquence plaque isotrope.
Figure 5.24 : Contrainte suivant z en fonction de la frquence plaque isotrope.
Figure 5.25 : Contrainte suivant xy, yz et xz en fonction de la frquence plaque isotrope.
Figure 5.26 : Contrainte suivant xz et yz en fonction de la frquence plaque isotrope.
Figure 5.27 : Contrainte quivalent VM en fonction de la frquence plaque isotrope.
Figure 5.28 : Contrainte suivant x, y, z et contrainte quivalent VM en fonction de la frquence
Charg nud 408 plaques isotropes.
Figure 5.29 : Dflection Uz en fonction du temps Charg Transitoire nud 408 plaque isotrope.
Figure 5.30 : Dflection Ux et Uy en fonction du temps Charg Transitoire nud 408 plaque
isotrope.
Figure 5.31 : Dflection, vitesse et acclration suivant x en Fct temps. Charg Transitoire
nud 408 plaque isotrope.
Figure 5.32 : Dflection, vitesse et acclration suivant y en Fct temps. Charg Transitoire
nud 408 plaque isotrope.
-
Liste des Tableaux
xvii
Figure 5.33 : Dflection, vitesse et acclration suivant z en Fct temps. Charg Transitoire
nud 408 plaque isotrope.
Figure 5.34 : Contrainte suivant x en Fonction du temps. Charg Transitoire nud 408 plaque
isotrope.
Figure 5.35 : Contrainte suivant z en Fonction du temps. Charg Transitoire nud 408 plaque
isotrope.
Figure 5.36 : Contrainte suivant x, y, et z en Fonction du temps. Charg Transitoire nud 408
plaque isotrope.
Figure 5.37 : Contrainte suivant xy, yz, et xz en Fonction du temps. Charg Transitoire nud
408 plaque isotrope.
Figure 5.38 : Dflection Ux et Uy en fonction du temps Charge Harmonique nud 408 plaque
orthotrope.
Figure 5.39 : Dflection Uz en fonction du temps Charge Harmonique nud 408 plaque
orthotrope.
Figure 5.40 : Contrainte suivant x en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408
plaques orthotropes.
Figure 5.41 : Contrainte suivant z en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408
plaques orthotropes.
Figure 5.42 : Contrainte suivant xy en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408
plaques orthotropes.
Figure 5.43 : Contrainte suivant yz en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408
plaques orthotropes.
Figure 5.44 : Contrainte suivant xz en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408
plaques orthotropes.
Figure 5.45 : Contrainte quivalent Vm Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408
plaques orthotropes.
-
Liste des Tableaux
xviii
Figure 5.46 : Dflection Ux en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaque
orthotrope.
Figure 5.47 : Dflection Uy en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaque
orthotrope.
Figure 5.48 : Dflection Uz en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaque
orthotrope.
Figure 5.49 : Dflection, vitesse et acclration suivant x en fonction du temps Charge
transitoire nud 408 plaque orthotrope.
Figure 5.50 : Dflection, vitesse et acclration suivant y en fonction du temps Charge
transitoire nud 408 plaque orthotrope.
Figure 5.51 : Dflection, vitesse et acclration suivant z en fonction du temps Charge
transitoire nud 408 plaque orthotrope
Figure 5.52 : Contrainte suivant x en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques
orthotropes.
Figure 5.46 : Dflection Ux en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques
orthotropes.
Figure 5. 47 : Dflection Uz en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques
orthotropes.
Figure 5.48 : Dflection, vitesse et acclration suivant x en fonction du temps Charge
transitoire nud 408 plaques orthotropes.
Figure 5.49: Dflection, vitesse et acclration suivant y en fonction du temps Charge
transitoire nud 408 plaques orthotropes.
Figure 5.50 : Dflection, vitesse et acclration suivant z en fonction du temps Charge
transitoire nud 408 plaques orthotropes.
Figure 5.51 : Contrainte suivant x en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques
orthotropes.
-
Liste des Tableaux
xix
Figure 5.52 : Contrainte suivant y en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques
orthotropes.
Figure 5.53 : Contrainte suivant z en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques
orthotropes.
Figure 5.54 : Contrainte suivant xy, yz et xz en fonction du temps Charge transitoire nud
408 plaques orthotropes.
-
Introduction
1
Introduction:
-
Introduction
2
1. Introduction aux matriaux orthotropes
Les matriaux orthotropes prsentent actuellement un intrt important dans le
domaine des applications industriels modernes tels que : le domaine de la mcanique, de
laronautique, du gnie civil et de la biomcanique vu leur duret leur lgret, leur super
lasticit et leur dure de vie. Ces matriaux sont des matriaux anisotropes caractre
structural inhomogne et complexes utiliss pour la ralisation des pices ou des corps lgers
de haute fiabilit et rsistance mcanique. Cependant durant leur fonctionnement et leur mode
de vie, ces matriaux peuvent subir des fissurations sous leffet des efforts extrieurs
provoquant leur rupture et leur dsastre [1]. En consquence les charges limites leur rupture
de ces matriaux doivent tre dtermines ltat statique comme ltat dynamique.
En effet, les matriaux orthotropes sont des matriaux anisotropes ayant des diffrentes
proprits mcaniques suivant leurs trois directions orthogonales. Parmi ces matriaux on
rencontre souvent : les matriaux composites, les matriaux onduls, les matriaux
sandwiches, les matriaux renforcs, etc...
Afin de rpondre aux besoins des compagnies aronautiques, pour la ralisation
dappareils plus lgers et moins polluants, les prochaines gnrations davions civils
intgreront de nombreuses structures primaires en matriaux orthotropes, telles que le caisson
central, le fuselage ou les ailes. La ralisation de ce type des matriaux, jouant un rle cl
dans la tenue de lavion, ncessite un haut niveau de confiance dans les mthodes de
dimensionnement. Dun point de vue acadmique, de nombreuses mthodes danalyse des
plaques ont t proposes dans la littrature. Toutefois, ces approches avances sont
relativement complexes mettre en uvre dans un bureau dtude et les cots de calculs
associs ces mthodes restent trs levs pour traiter des structures aronautiques. Dun
point de vue industriel, des mthodes simplifies danalyse de la tenue de matriaux
orthotropes, sont couramment utilises. Toutefois, le calcul de pices aronautiques ncessite
ltablissement de valeurs de calculs massivement recales sur les donnes exprimentales
disponibles. Actuellement, lidentification des paramtres constitutifs de matriaux partir
dun nombre rduit dessais mcaniques et exploitant les mesures de champs cinmatiques ou
thermiques constituent un fort courant de recherche. Les techniques didentification
dveloppes exploitent la richesse des mesures de champs sur des essais qui sont
gnralement analyss partir de modle analytique. (Chalal, 2005) (Meuwissen et al. 1998)
(Gavrus et al. 1999) (Forestier, 2003)[2-3-4-5], lidentification des paramtres du
-
Introduction
3
comportement orthotrope est conduite selon une technique inverse fonde sur une approche
variationnelle. Celle-ci est base sur la minimisation dune norme nergtique formule par
lerreur en relation de comportement (Bonnet et al. 2003), (Constantinescu, 1995) [6-7]. Cette
erreur est traduite en fonction de lcart entre les dformations thoriques et les champs de
dformations exprimentales obtenues par des techniques de mesure de champs cinmatiques.
Lidentification des paramtres du comportement est effectue par la minimisation de ce
problme inverse. Lutilisation de cette mthode de rsolution ncessite le calcul de la matrice
de sensibilit. Dans la littrature, il existe plusieurs mthodes de construction de cet oprateur
de sensibilit. (Gavrus et al. 1999) [3] utilisent des mthodes analytiques directes tandis que
(Tortorelli et al. 1994) [8] le font par la mthode adjointe. (Forestier et al. 2003) [4] proposent
une technique mixte base sur les mthodes semi analytique utilisant conjointement la
mthode des diffrences finies pour la diffrentiation numrique et un calcul analytique. Dans
le prsent travail, le choix sest port sur la mthode semi analytique combinant les avantages
de la mthode analytique directe et la mthode des diffrences finies pour le calcul du
gradient et construire ainsi la matrice de sensibilit. La drivation numrique a t faite par la
mthode de diffrences finies. Cette mthode tout en tant relativement stable, permet au
modle inverse dvoluer avec le code du modle direct. (M.E.F) est utilis pour rsoudre le
problme direct. La mise en oeuvre d'une telle approche ncessite alors un choix pertinent de
gomtrie d'prouvette, de mthode de mesure de champs cinmatiques ainsi que d'une
stratgie d'identification. Ce code permet de dvelopper la robustesse de la technique de
calcul pour diffrentes configurations dessais. Le choix de ces essais mcanique permet de
gnrer des champs htrognes de contrainte/dformation dans les zones dtude. Cette
technique est utilise pour tester des corps bruits par simulation des erreurs [39].
2. Application des matriaux orthotropes :
Les matriaux orthotropes ont une grande application dans le domaine de lingnierie
et de la biomcanique essentiellement :
a. Application dans lindustrie arospatiale :
En aronautique, les matriaux orthotropes ont connus des applications courantes
surtout dans la construction des pices de structures primaires, les gouvernes et lhabillage
extrieur ainsi de lintrieur de laronef. Lutilisation des matriaux orthotropes dans les
constructions aronautiques entranes un gain de poids substantiel dont les gains de masse
varient de 10 20 %, le poids de lavion moyen-courrier Bing 767 a t rduit, par lemploi
-
Introduction
4
des composites, de 921 kg par rapport la solution mtallique conventionnelle. De tels gains
de poids sont dterminants pour optimiser la consommation de carburant dappareils soumis a
des cycles quotidiens levs de dcollages et datterrissages. Un gain de masse d1Kg, sur la
structure de lavion 120 litre/anne dexploitation et une augmentation du rayon daction de
lappareil dun mile nautique ainsi sa vitesse de croisire. Par lintroduction des matriaux
orthotropes dans la construction du gros porteur TRISTAR, la socit LOCKHEED a effectu
une rduction importante du nombre dlments assembls par rivets de 175 lments
assembls par 40000 rivets pour une masse totale au dcollage de 363 tonnes 18 lments
assembls par 5000 rivets pour une masse de 245 tonnes au dcollage 5000 rivets et obtenir
par consquent des surfaces lisses entranant de meilleures performances. Les matriaux
orthotropes sont aussi utiliss dans la construction spatiale (lanceurs, navettes et satellites)
cause de leurs proprits remarquables dont la haute rsistance llvation de la temprature.
Surtout ceux a fibres de carbone (dilatation nulle jusqu 600c) et lallgement. Les preuves
sont les cots minimiss de 30000$ pour chaque Kg gagn dans la ralisation du lanceur de la
fuse europennes ARIANE E.S.A de plus, les matriaux orthotrope sont essentiellement
utiliss dans la ralisation de propulseurs de poudre des lanceurs de satellites et de leurs
tuyres djection des gaz de propulsion [13].
b. Application dans lindustrie mcanique :
Lintgration des matriaux orthotropes dans lindustrie mcanique, de lautomobile et
des transports terrestres a pu rduire substantiellement la consommation de carburant au
moyen de lconomie du poids obtenu. Les applications sont trs nombreuses dans les
domaines des transports, mme ferroviaires. Avec la fabrication de nombreux lments de
carrosserie et des boucliers amortisseurs de choc placs lavant de motrices de T.G.V. et qui
prsentent des performances suprieures en matire dabsorption dnergie [9]. La socit
LOHEAC de transports routiers a pu rduire substantiellement sa consommation de carburant
grce lconomie du poids obtenue en remplaant les cabines conventionnelles de ses
tracteurs par de nouveaux lments mouls en une seule pice. Cette innovation a permis de
rduire le poids de la cabine de 875 Kg quipe en acier 455 Kg seulement et de prsenter
une plus grande solidit et une meilleure rsistance aux dgts. Le saut technologique, ralis
grce lintroduction des matriaux orthotropes dans la construction traditionnelle en bois.
Ladoption de tels matriaux dans la construction des coques des bateaux a permis
de procurer la structure une haute rsistance lusure et aux chocs rpts dans les vagues et
aux collisions encaisses avec les corps flottants. Lintroduction des matriaux orthotrope
-
Introduction
5
(composites, tels que ceux renforcs par la fibre aramide kevlar 49 associe la fibre de
verre-E) conduisant des proprits mcaniques suprieures, a permis de diminuer le poids
des structures de bateaux rapides (patrouilleurs, bateaux dintervention ou de service) tout en
ayant une rsistance suffisante affin davoir pour rsultat soit un augmentation de la vitesse
pour une puissance donne, soit une meilleure rentabilit pour la mme vitesse ou soit
lutilisation dune motorisation moins puissante.
c. Application dans le domaine de la biomcanique :
En biomcanique, les matriaux orthotropes ont connus des applications courantes
surtout dans la construction des biomatriaux. Les biomatriaux sont des matriaux non
vivants utiliss dans des dispositifs mdicaux, prvus pour interagir avec le systme
biologique dans le cadre dun acte thrapeutique savoir :
- implants, plaques et vis dostosynthse.etc.
- appareils de circulation extracorporelle (dialyseursetc.)
- instruments chirurgicaux (seringue.etc.)[11].
Dans ce domaine les matriaux orthotropes sont des matriaux synthtiques (mtaux,
polymres, cramiques, composites,..etc.). La particularit de ces matriaux cest que ces
derniers sont biocompatibles c-a-d ils nentranent aucune rponse inflammatoire de lhte au
niveau des site o ils sont appliqus [10].
d. Application dans le domaine des sports et de loisir :
De par leur lgret. Leur bonne tenue la fatigue statique est dynamique et leur
stabilit dimensionnelle, les matriaux orthotropes sont des matriaux idaux pour la
fabrication et la conception de trs nombreux darticles de sport et de loisirs tels que les skis
et les btons, les planches voiles, des instruments de musique. Etc.
Des nombreux rsultats dtudes confirment le haut degr damortissement des
vibrations des skis sur neige qui confre au skieur le confort tout en conservant au produit ses
caractristiques essentielles. De plus, les matriaux orthotrope permettent de concevoir de
raquettes lgres, trs rigides et excellentes en fatigue dynamique qui confrent au joueur une
moindre sollicitation des muscles du bras et donc de moindre fatigue et plus de confort [12].
-
Introduction
6
3. Modlisation numrique par la mthode des lments finis :
3.1. Introduction
L'utilisation trs rpondue de structures en plaques orthotropes exige une investigation
afin de dvelopper une conception prcise et confiante. Dans ce domaine, d'un point de vu
engineering, la mthode des lments finis (MEF) donne une solution complte au problme
d'valuation des modes de vibrations et les rponses dynamiques d'une plaque orthotrope
lorsque les proprits des matriaux et les conditions limites sont connues.
Cependant au cours des premires tapes pendant l'laboration et la conception du
projet, o la tache essentielle consiste slectionner les dimensions et les proprits des
matriaux constitutifs doivent tre slectionns, de mme que lorsqu'on applique les contrles
de qualits pour la prcision de la conception au moyen de calcul par la (MEF), dans ce cas il
est trs utile d'avoir une mthode simplifie pour calculer les frquences modales des plaques
orthotropes rectangulaires [18]. On dit quune structure est complexe si toute solution
analytique de celle-ci est impossible ou est obtenue aprs des calculs dlicats. Cette dfinition
sapplique aux structures en plaques. Et on dit aussi quune telle mthode est quivalente si
elle nous permet de calculer une structure avec des mthodes approches tout en respectant un
seuil derreur ne pas dpasser. Nous allons utiliser donc ces mthodes quivalentes pour
trouver les solutions des structures en plaques en vibration libre [17]. Concept La mthode de
l'analyse par lments finis (MEF), l'origine prsente par Turner et autres (1956), est une
technique informatique puissante pour les solutions approximatives aux une srie de " ; vrai
world" ; les problmes de technologie ayant des domaines complexes sous rserve des
conditions gnrales de frontire. MEF est devenu tape essentielle dans la conception ou la
modlisation d'un phnomne physique dans diverses disciplines de technologie. Un
phnomne physique se produit habituellement dans a le continuum de matire (solide,
liquide, ou gaz) impliquant plusieurs mettent en place des variables. Les variables de champ
varient de point par point, de ce fait possdant un nombre infini de solutions dans le domaine.
Dans la porte de ce livre, a le continuum avec une frontire connue s'appelle un domaine
[16]. La base de MEF se fonde sur la dcomposition du domaine dans un nombre fini de
subdomains (les lments) pour lesquels les systmatiques rapprochent la solution est
construite en appliquant les mthodes rsiduelles variationnelles ou peses. En effet, FEA
ramne le problme celui d'un nombre fini d'inconnus en divisant le domaine en lments et
par l'expression la variable inconnue de champ en termes de rapprocher assum fonctionne
-
Introduction
7
dans chaque lment. Ces fonctions (galement appeles les fonctions d'interpolation) sont
dfinies en termes de valeurs des variables de champ aux points spcifiques, vises comme
noeuds. Des noeuds sont habituellement situs le long des frontires d'lment, et ils relient
les lments adjacents
La capacit de discrtiser les domaines irrguliers avec les lments finis fait la
mthode un valable et l'outil d'analyse pratique pour la solution de la frontire, de l'initiale, et
des problmes de valeur propre surgissant dans la diverse technologie discipline. Depuis son
commencement, beaucoup d'exposs techniques et de livres sont apparus sur le
dveloppement et l'application de MEF. Les livres par Desai et Abel (1971), Oden (1972),
Gallagher (1975) [17-19], Huebner (1975) [17-19], se baignent et Wilson (1976), Ziekiewicz
(1977), cuisinier (1981), et se baignent (1996) ont influenc tat actuel de FEA. Problmes
communs de technologie de reprsentant et leurs discrtisations correspondantes de MEF sont
illustres dans figure suivante :
La mthode d'analyse par lments finis exige les tapes principales suivantes [27] :
Discrtisation du domaine dans un nombre fini de subdomains (lments).
Choix des fonctions d'interpolation.
Dveloppement de la matrice d'lment pour le subdomain (lment).
Assemble des matrices d'lment pour que chaque subdomain obtienne la matrice
globale pour le domaine entier,
Imposition des conditions de frontire.
Solution des quations.
Calculs additionnels (si dsir) [16].
Reprsentation des problmes engineering pratiques [29].
-
Introduction
8
3.2. Avantage de la M.E.F
- on peut reprsenter un grand nombre de formes de structures laide de modle
analytique gnrales communes.
- La facult de dfinir des maillages trs irrguliers et depuis lorigine un des grands
avantage de la M.E.F
- Peut accepter des loi complexes de proprits intrinsque de matriaux si on compare
aux possibilit des mthodes classiques de rsolution, et offrent plus vastes
perspectives en analyse non linaire [18].
3.3. Autres types de modlisation
3.3.1. Modlisation par ANSYS:
ANSYS, est l'un des plus grands dveloppeur et fournisseur de logiciels de simulation
numrique au monde. Ses produits majeurs sont des logiciels qui mettent en uvre la
mthode des lments finis, afin de rsoudre des modles discrtiss [27].
Ce produit permet d'effectuer des simulations mcaniques. Ses principales capacits sont :
(1) l'analyse statique.
(2) l'analyse modale
(3) l'analyse harmonique (rponse force)
(4) l'analyse temporelle ou transitoire
(5) la gestion de diffrentes situations non linaires (contacts, plasticit des matriaux,
grands dplacements ou grandes dformations
(6) simulations en matire de mcanique des fluides
(7) permet de rsoudre des modlisations mettant en jeu des phnomnes
lectromagntiques.
3.3.2. Modlisation par SAP2000 :
Est un progiciel partir de Computers et Structures, pour l'analyse structurale et de
signe. Chaque paquet est un systme entirement intgr pour la modlisation, l'analyse,
concevoir, et les structures de linarisation d'un dtail type :
SAP2000 pour gnral structure, y compris des ponts, des stades, tours, ensembles
industriels, structures en mer, systmes sifflants, btiments, barrages, sols, machine
pices et beaucoup d'autres.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_num%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_num%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_num%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finishttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides
-
Introduction
9
Au coeur de chacun de ces progiciels est un moteur commun d'analyse, dsign par
dehors ce manuel sous le nom de SAP2000. Ce moteur est le plus tardif et les la plupart
version puissante de la srie bien connue de SAP de programmes d'analyse structurale.
Le but de ce manuel est de scribe les dispositifs du moteur de l'analyse SAP2000.
Par dehors ce manuel le moteur d'analyse dsign sous le nom de SAP2000. Non tous
les dispositifs de tracs rellement soient disponibles dans chaque niveau de chaque
programme.
Leur moteur danalyse offre les dispositifs suivants :
Analyse statique et dynamique.
Oreille de Lin et analyse non linaire.
Analyse sismique dynamique et analyse statique de facilit.
Analyse de vivre charge de vhicule pour des ponts.
Non linarit gomtrique, y compris des effets de grand dplacement.
Construction (par accroissement) tage.
Fluage, rtrcissement, et effets de vieillissement.
Analyse de boucle.
Analyse quilibre et de puissance spectral densit.
lments structuraux de vue et de coquille, y compris la colonne de faisceau, la botte,
la membrane, et le comportement de plat.
Avion bidimensionnel et lments pleins axisymtriques.
lments pleins tridimensionnels.
lments non linaires de lien et de soutien.
Proprits lies la frquence de lien et de soutien.
Systmes du mme rang multiples.
Beaucoup de types de contraintes.
Une large varit d'options de chargement.
Alpha numrique marque.
Grande capacit.
Algorithmes de solution trs efficaces et stables.
-
Introduction
10
4. Objectif de ltude :
Notre travail consiste en lanalyse du comportement statique et dynamique des plaques
orthotropes minces bi dimensionnelle sous leffet des efforts extrieurs utilisant les mthodes
numriques et de modlisations en se basant sur la mthode des lments finis. La mthode
des lments finis (M.E.F) est trs rpandue de structures en plaques orthotropes exige une
investigation afin de dvelopper une conception prcise et confiante. Elle donne une solution
complte aux problmes statique et dynamique afin d'valuer les modes de vibrations et les
rponses dynamiques d'une plaque orthotrope lorsque les proprits des matriaux et les
conditions limites sont connues. Au cours des premires tapes de l'laboration de cette tude,
notre tache essentielle consiste slectionner les dimensions et les proprits des matriaux
constitutifs doivent tre slectionns, de mme que lorsqu'on applique les contrles de
qualits pour la prcision de la conception au moyen de calcul par la (MEF), dans ce cas il est
trs utile d'avoir une mthode simplifie pour calculer les frquences modales des plaques
orthotropes rectangulaires. Les contraintes et les dformations en chaque noeud de la plaque
orthotrope ont t dtermines pour diffrents types de chargement (alatoires, harmoniques
et transitoire) avec et sans amortissement comparativement avec celles dune plaque isotrope.
Ltude des vibrations ou lanalyse des plaques mince orthotropes et isotrope soumise
a des effort laides de la mthode M.E.F
Pour atteindre ce but on va suivre les tapes suivantes :
- prsenter llasticit linaire et lorthotropie de la plaque.
- Prsenter les quations de base dune plaque orthotrope
- Raliser le traitement numrique correspondant (New Mark)
- Prsenter le code de calcul des plaques orthotropes et isotropes [27].
Le mmoire de magistre comprend essentiellement cinq chapitres en plus dune introduction
et conclusion et des rfrences bibliographiques. Le premier chapitre est consacr la thorie
dlasticit linaire des plaques orthotropes ou on a prsenter la loi de Hooke gnralis et les
diffrents types des matriaux et plaques orthotropes, on a dvelopp au second chapitre
lanalyse des plaques orthotropes ou on peut voir lquation dquilibre et les diffrents types
de forces appliques et aprs lquation diffrentielle de la plaque orthotrope. Le troisime
chapitre aborde lanalyse des plaques orthotropes par la mthode des lments finis ou on
peut montrer la formulation de la matrice de rigidit de la plaque laide de plusieurs
mthodes. Le quatrime chapitre abord ltude dynamique des plaques orthotropes par la
mthode de New Mark ou on peut voir quation de mouvement des diffrents types de charge,
-
Introduction
11
le problme damortissement et la rsolution numrique de New Mark. Dans le dernier
chapitre on informatis les diffrentes tapes de calcules des plaques orthotropes pour
effectuer une tude comparative de leurs comportement mcaniques en utilisant plusieurs
types de programmation fortran, ANSYS, et SAP200 . En fin lanalyse des diffrents
rsultats obtenus va nous permettre dtablir une conclusion qui met au point la fiabilit et
lefficacit des plaques orthotropes.
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
12
I Chapitre I : Thorie
dlasticit linaire des plaque
orthotropes
Chapitre I : Thorie dlasticit des plaques orthotropes
1.1 Introduction:
Les matriaux anisotropes selon leur modle de fabrication et leurs structures internes
ltat macroscopique dpendent essentiellement de l'orientation de leurs fibres et des efforts
internes existant durant leur fabrication.
Dans ce chapitre on va montrer la thorie des plaques ainsi les matriaux orthotropes
et isotropes, les constantes mcaniques qui les caractrisent et les diffrents types des plaques
orthotropes.
1.1.1 Thorie des Plaques
La thorie des plaques est une thorie permettant de calculer les dformations et les
contraintes dans une plaque soumise des charges. Elle s'inspire de la thorie des poutres.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
13
1.1.1.1. Historique
En 1888, Love utilise les hypothses de Gustav Kirchhoff, elles-mmes inspires des
hypothses d'Euler Bernoulli pour les poutres, pour fonder une thorie des plaques minces1.
La thorie des plaques paisses a t consolide par Mindlin2 partir des travaux de Rayleigh
(1877), Timoshenko (1921), Reissner (1945) et Uflyand (1948) [25-26-22-15-37].
1.1.1.2. Dmarche
Comme pour l'tude des poutres, on met en relation
la forme finale de la plaque, c'est--dire le champ des dplacements, avec le champ de
tenseur des dformations ;
les efforts de cohsion avec les efforts extrieurs ;
les efforts de cohsion avec le tenseur des contraintes, grce au principe
d'quivalence ;
et le tenseur des contraintes avec le tenseur des dformations, grce la loi de Hooke
gnralise.
1.1.1.3. Dmarche pour l'tude des plaques :
Efforts
Extrieur
Champ de
Tenseur Des Contraintes
Principe
Dquivalence
Champ De Tenseur
Des Dformations
Loi de Hooke
Gnralis ij
Champ de Dplacement ui(xi)
Drivation/
Intgration
Figure 1.1 Organigramme de dmarche de ltude de la plaque [30].
[15].
http://fr.wikipedia.org/wiki/1888http://fr.wikipedia.org/wiki/Augustus_Edward_Hough_Lovehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoffhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_plaques#cite_note-0#cite_note-0http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raymond_David_Mindlin&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raymond_David_Mindlin&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raymond_David_Mindlin&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/wiki/John_William_Strutt_Rayleighhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Stephen_Timoshenkohttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Reissner&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Uflyand&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_vectorielhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_d%C3%A9formationshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Efforts_de_coh%C3%A9sionhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contrainteshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Hooke
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
14
1.1.4. Dfinitions et Hypothses
Une plaque est un solide dlimite par deux plans parallles, les faces, et un cylindre au sens
large (de section quelconque et pas ncessairement circulaire) dont l'axe est perpendiculaire
aux faces. On dfinit :
le plan moyen, ou plan mdian : plan situ quidistance entre les faces (c'est
l'quivalent de la courbe moyenne des poutres) ;
le feuillet neutre : lment de matire d'paisseur infinitsimale situ autour du plan
moyen (c'est l'quivalent de la fibre neutre des poutres) ; c'est le plan (O, x, y),
d'quation z = 0 ;
une fibre normale : ensemble des points situs sur une normale au plan mdian, un
endroit (x, y) donn ; elle a pour direction z.
On appelle h l'paisseur de la plaque ; le plan infrieur est donc le plan z = -h/2 et le plan
suprieur est le plan z = h/2.
On se place dans le cas d'un matriau continu, lastique, homogne et isotrope.
Si les faces ne sont pas planes, on parle de coque.
On spare l'tude en deux parties : pour l'tude de la flexion, on considre que les charges
sont perpendiculaires aux faces, donc que les forces sont de la forme
Et que les couples sont de la forme
.
Pour les charges situes dans le plan des faces, on parle de voile ou de membrane.
1.2. Les Milieux Continue:
1.2.1 Dfinition:
C'est un domaine qui ne prsente aucune rupture dans le temps et dans l'espace
occup par un solide dont la rpartition de la matire elle se caractrise par des fonctions
continues et drivables sur les trois coordonnes [37].
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cylindre_(solide)http://fr.wikipedia.org/wiki/Coquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Voilehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
15
2.1
12
31
23
33
22
11
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
12
31
23
33
22
11
C
CCsym
CCC
CCCC
CCCCC
CCCCCC
1.2.2. Milieu homogne:
Est un corps o un milieu dont la composition uniforme
1.3. Loi de Hooke Gnralise :
Est une loi de dpendance entre les contrainte et les dformation donc cest une
proportionnalit entre les dplacements lastique dun corps et les efforts aux quels il est
soumis.
1.4. Les diffrents Types des matriaux
1.4.1. Les matriaux anisotropes:
Sont des matriaux dont ses proprits varient selon une direction considre mais ils
ne prsentent pas de plans de symtrie. La loi de Hooke peut tre exprime par:
ij = Cijkl kl i,j,k,l = 1,2,3
ij = Sijklkl i,j,k,l = 1,2,3
Cijkl = Tenseur d'lasticit (ou de rigidit)
Sijkl = Tenseur de souplesse
ij = Tenseur de dformation
ij = tenseur de contrainte
Le tenseur de rigidit en a 81 coefficients de mme pour le tenseur de souplesse, pour raison
de la symtrie des contraintes ij et de dformation, il y a une rduction des cfficients a 36
parmi ces derniers, 21 sont indpendants. Les distorsions angulaires sont exprimes en
fonction des dplacements :
23= 223
13= 213
12= 212
On crit (1.2) sous la forme matricielle
(1.1)
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
16
3.1
12
31
23
33
22
11
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
12
31
23
33
22
11
S
SSsym
SSS
SSSS
SSSSS
SSSSSS
)4.1(
00
0000
0000
00
00
00
12
31
23
33
22
11
66362616
5545
4544
36332313
26232212
16131211
12
31
23
33
22
11
CCCC
CC
CC
CCCC
CCCC
CCCC
En inversant (1.2), on obtient :
1.4.2. Matriaux monocliniques:
Si le matriau a un plan de symtrie, monoclinique, quelques constantes sont zro et le
comportement peut tre dcrit avec 13 constants:
1.4.3. Matriaux orthotropes:
Sont des matriaux qui possdent 3 plans de symtrie orthogonaux, ces derniers ont les
mmes proprits ou caractristiques mcanique.
Ce qui rduit le nombre des coefficients indpendants 9 (Fig.1.2)
Donc :
Y
X Z
Figure 1.2 : matriau orthotrope
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
17
6.1
0
00
000
000
000
12
31
23
33
22
11
66
55
44
33
2322
131211
12
31
23
33
22
11
S
Ssym
S
S
SS
SSS
)5.1(
0
00
000
000
000
12
31
23
33
22
11
66
55
44
33
2322
131211
12
31
23
33
22
11
C
Csym
C
C
CC
CCC
En inversant le systme (1.5) on obtient
Le coefficients de souplesse sont dfinis par:
1
11
1
ES ;
2
22
1
ES ;
3
33
1
ES ;
4
44
1
ES
13
55
1
GS ;
2
2112
ES
;
3
32
23E
S
; 3
31
13E
S
; 12
66
1
GS
Avec :
ijE et ijG sont le module dYoung et Coulomb respectivement.
ij est le coefficient de Poisson
A cause de la symtrie:
11
12
22
21
EE
11
13
33
31
EE
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
18
33
32
22
23
EE
1.4.4. Matriaux transversalement isotropes:
Figure 1.3 : Matriau transversalement isotrope
Un matriau isotrope transverse est un matriau orthotrope qui comporte un axe ou un plan
d'isotropie.
Les proprits suivant les axes 2 et 3 sont identiques, donc:
3322 CC
1312 CC
6655 CC
Le nombre de coefficients indpendants se rduit 5 coefficients.
La loi de comportement s'crit:
12
31
23
33
22
11
66
66
2322
22
2322
121211
12
31
23
33
22
11
0
002
000
000
000
C
Csym
CC
C
CC
CCC
(I)
1.4.5. Matriaux quasi isotropes transverses:
Le nombre de coefficients indpendants se rduit 6 coefficients.
Et la loi de comportement s'crit:
3
1
2
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
19
12
31
23
33
22
11
66
44
44
33
1311
131211
12
31
23
33
22
11
0
00
000
000
000
C
Csym
C
C
CC
CCC
(1.8)
1.4.6. Matriaux quasi isotropes:
Le nombre de coefficients indpendants se rduit 3 coefficients.
La loi de comportement s'crit:
)9.1(
0
00
000
000
000
12
31
23
33
22
11
44
44
44
11
1211
121211
12
31
23
33
22
11
C
Csym
C
C
CC
CCC
1.4.7. Matriaux isotropes:
Matriaux dont les proprits physiques ou mcaniques sont identiques dans toutes les
directions : El =E2=E3=E
12 = 13 = 23 = (1.10)
G12=G13=G23 =G
Ce qui rduit le nombre des coefficients lastiques indpendants 2 (C11, C12).
)11.1(
2
02
002
000
000
000
12
31
23
33
22
11
1211
1211
1211
11
1211
121211
12
31
23
33
22
11
CC
CCsym
CC
C
CC
CCC
En termes de constantes techniques:
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
20
12
31
23
3
2
1
12
31
23
3
2
1
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
G
G
G
EEE
EEE
EEE
(1.12)
Avec:
12
EG
Thorie des plaques minces
La thorie des plaques minces, ou thorie de Love Kirchhoff, suppose que
le plan moyen (quivalent de la courbe moyenne des poutres) est initialement plan ;
le feuillet moyen (quivalent de la fibre neutre des poutres) ne subit pas de
dformation dans son plan ; on ne considre que le dplacement transversal w des
points du feuillet moyen ;
modle de Kirchhoff : les sections normales au feuillet moyen restent normales lors de
la dformation ; en consquence, on peut ngliger le cisaillement ;
l'paisseur est faible ; en consquence, les contraintes dans le sens de l'paisseur sont
supposes nulles ;
elle reste une petite dformation [25].
Dplacement
Figure 1.3 : Dformation d'une plaque mince avec mise en vidence du dplacement
d'un lment de matire, de son feuillet moyen (rouge) et de sa fibre normale (bleue) [30].
Figure 1.4 : Dplacement du feuillet moyen (gauche) et d'une fibre normale (droite) [30].
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
21
Soit un point M(x, y, z) de la plaque au repos. l'instant t, sa position est M, et l'on dfinit le
vecteur dplacement
.
Pour une plaque un instant donn, les dplacements sur les axes u, v et w sont en fonction
du point M, donc de ses coordonnes (x, y, z), et de l'instant t.
Par hypothse, les dplacements verticaux sont les mmes pour tous les points d'une mme
fibre normale, on a donc : w(x, y, z, t) = w(x, y, t) [30].
La fibre normale en (x, y) tourne d'un angle x autour de l'axe x et d'un angle y autour de l'axe
y. Comme on est en petite dformation, l'arc de cercle dcrit par un point lors de la rotation de
la fibre normale est assimilable un segment de droite, et l'on a :
u(x, y, z, t) zy(x, y, t) ; v(x, y, z, t) -zx(x, y, t) ;
Ou encore
Les angles x et y reprsentant aussi la pente que prend le feuillet moyen, on a donc
galement :
Dformation
D'aprs la dfinition du tenseur des dformations, on a :
(1.13)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_d%C3%A9formations
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
22
15.10
66
2212
1211
xy
yy
xx
xy
yy
xx
S
SS
SS
xES
111
y
yx
x
xy
EES
12
yES
122
16.10
66
2212
1211
xy
yy
xx
xy
yy
xx
C
CC
CC
xyGS
166
.
1.5 Cas des Plaques Orthotropes:
Une plaque orthotrope possde des paramtres de rigidit diffrents selon deux axes
perpendiculaires, ces axes tant dans notre problme parallle aux bords de la plaque. Il existe
plusieurs types dorthotropie :
- une orthotropie de gomtrie o la gomtrie de la plaque entrane lorthotropie
module dYoung constant, - une orthotropie de matriau o la plaque possde deux modules
dYoung diffrents selon les deux directions. Les plaques orthotropes en flexion prsentent
une concidence entre les axes d'orthotropie et les directions principales x , y.
Pour un tat de contrainte plane
zz =yz =xz= 0
La relation entre le tenseur de dformation et le tenseur de contrainte sous forme matricielle
est la suivante :
Avec :
Pour obtenir la relation des contraintes en fonction des dformations on peut inverser
la relation prcdente qui donne
(1.14)[33].
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
23
yxxy
xEC
1
11
yxxy
xyx
yxxy
yxy EEC
1112
yxxy
yEC
122 xy
GC 66
17.10
00
000
000
12
31
23
22
11
66
55
44
22
1211
12
31
23
22
11
C
Csym
C
C
CC
Avec :
Si on prend en considration qu'il y a un cisaillement transversal La relation devienne
Avec:
C44=Gyz , C55= Gxz
1.5.1. Diffrentes formes des plaques orthotropes
Selon leurs formes il existe plusieurs types des plaques orthotropes :
Plaque ondule
Plaque, orthotrope constitue d'une plaque isotrope renforce par des raidisseurs
Plaque composite
Les 5 coefficients qui caractrisent la matrice de rigidit des plaques orthotropes en flexion
sont :
Nous avons donc :
Avec i, j = 1,2,6
211122123
11 D112
DDDhE
D yxxyyxxy
x
.hG D ,.h G D ,.h GD
112126613552344
3
22
yxxy
yhED
ijij Qh
D12
3
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
24
Dij= Qij.h Avec i=j=4,5
La forme de la matrice de rigidit a la flexion des plaques orthotrope sans 1ffet de
cisaillement transversal :
Ou
Si on tient compte du cisaillement transversal on a:
Les expressions de rigidit prcdentes sont sujettes de lgres modifications suivent la
nature de la matire employe sen particulier tout les valeurs de la rigidit la torsion Dxy
fonde sur des considrations purement thoriques doivent tre considres comme une
premire approximation et il est recommand d'tablir un essai direct pour obtenir les valeurs
convenables du module G en donc ci-dessous des valeurs habituelles des rigidits dans
certains cas pratiques
1.5.1.1. Plaque ondule:
Soit E et constant lastique de la plaque, h son paisseur, la surface est sous forme
d'onde sinusodale, s l'allure de l'ondulation et l la longueur de l'arc d'une demi onde (Fig.1.5).
Dy= EI D10 ;
66
2212
1211
00
0
0
D
DD
DD
D 18.100
0
0
1
1
xy
y
x
D
DD
DD
D
23
112
Eh
s
lDx
112
22
3h
l
sDH xy
2
22
4
.1
l
flS
2
2
25,21
81,01
2
l
f
hfI
15
0000
0000
0000
000
000
66
55
44
2212
1211
II
D
D
D
DD
DD
D (1.19)
Z
X
X
Y
O
l
f
Figure1.5 : plaque ondule
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
25
1.5.2. Plaque renforce:
Plaque consolide par des pices de renfort quidistantes, dans une direction pour une plaque
renforce symtriquement par rapport son plan moyen (Fig.1.6).
Ou E, et sont les constantes lastiques de la plaque
E' : Le module de Young et I moment d'inertie du renfort pris par rapport a l'axe moyen de la
section transversale de la plaque
On considre maintenant que la plaque est renforce en croix par deux sries quidistantes de
renforts, Si le renforcement et encore symtrique autour de la plaque nous avons:
Il : Etant le moment d'inertie d'une pice de renfort, bi l'espacement des renforts dans la
direction y. Plaque renforce par une srie de nervures quidistantes dans la (Figure1.7) les
thories prcdentes de la flexion de plaque ne donnent quune ide souccinte de l'tat de
contrainte et de dformation de la plaque. Soit E c'est le module de la matire I le moment
112
3
hED xx
20.1'
112 1
3
a
IEhED xy
21.1
'
112
'
112 1
1
2
3
1
3
a
IEEhD
b
IEhED yx
Figure 1.6 : plaque renforce par deux sries quidistantes de renforts
Z X
X
Y
O
l
h a1
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
26
d'inertie d'une section en T de largeur a1et = h/H. On suppose alors;
L'influence de la contraction transversal est nglige dans les formules ci-dessus on calcule
finalement la rigidit a la torsion, par l'expression:
Dxy= D'xy + C/2a1 (1.23)
Ou Dxy' est la rigidit la torsion de la plaque, sens des nervures et C la rigidit la torsion
d'une nervure (raidisseurs). C=GJ
J: moment d'inertie la torsion de la nervure
G : coef de coulomb ; Dxy : La rigidit la torsion de la plaque avec nervure.
1.5.3. Plaque Composite:
C'est une plaque constitue des renforts et une matrice. Les renforts sont des fibres dont leur
rle est dassurer la fonction mcanique. La matrice pour rle la liaison entre les renforts,
assurer leur protection, et de repartir les sollicitations (Fig.1.8).
;
.12 31
3
1
tta
hEaDx
)22.1(0; 1
1
Da
EIDy
Renfort
Matrice E11
E22
Figure 1.8 : plaque composite
2112
3
2222
2112
3
1111
112112
hED
hED
)24.1(.
111266
2112
1121
2112
22122112
hGD
EEDD
Z
X
X
Y
O
l
h a1
Figure 1.7 : plaque renforce par une
srie de nervures quidistantes
H
-
Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes
27
E11 module de Young dans le sens des fibres (renfort)
E22 : module de Young transverse
12 , 21 : coefficient de poisson principal (contraction transversale pour une charge dans le
sens des fibres)
G12 : Module de cisaillement
1.5.3. Plaque Stratifie:
C'est une plaque constitue d'un empilement de couches orthotropes dont les axes
d'orthotropie sont L,T,Z avec isotropie d'axe L (dans le plan TZ) (Figure 1.9)
- Chaque couche i est dfinie par les plans
Z=Zi , Z=Zi-1 et Zi
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
28
II Chapitre II : Analyse Des
plaques orthotropes
Chapitre II : Analyse des plaques orthotropes
2.1. Introduction:
L'utilisation de la mthode des lments finis pour l'analyse des problmes statiques et
dynamiques ncessite la connaissance, des quations de base de la thorie de l'lasticit
linaire.
Dans ce chapitre une analyse de ces quations de base prsente les relations entre contraintes
et dformations sera prsent ainsi que les quations diffrentielles de mouvement
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
29
2.2. Equations d'quilibres:
2.2.1. Equilibre des contraintes:
On tudie l'quilibre d'une plaque lmentaire plane Les contraintes sont uniformes suivant
les directions qui leurs sont normales c'est dire que la contrainte x varie en fonction de x
mais peut tre considre comme uniforme sur toute la largeur dy
Avec: x, y , xy, et yx et ont supposes indpendantes de z Le mode le d'quilibre de
l'lment sera (Figure 2.1)
Avec : Fx, Fy, Fz : les composantes de la force volumique suivant les directions x y , z
respectivement. Vu que 1lment est en quilibre la somme des forces projetes sur l'axe x est
nulle.
D'o: Fx=0
Aprs simplification on obtiendra:
(dx, dy) est diffrent de Zro, ainsi on aura
0.....
yxxyxx
yx
yxyxyx
x
xyx dddy
dddx
dXd
0.
yx
yxx ddXyx
aXyx
yxx .1.20
X
Y
X
Y
x
xy
yx y
dyy
yx
yx
dyy
y
y
dyx
yx
yx
dxy
x
x
Figure 2.1 : modle dquilibre dun lment
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
30
De mme lquilibre: des forces dans la direction y donne
Dans le cas tridimensionnel les quations d'quilibre s'crivent [6]:
2.2.2. Equilibre des forces
Prennent un lment dx, dy de la plaque et on suppose que la charge est perpendiculaire a la
surface de la plaque, les relations aux extrmits seront normales la plaque on tient compte
de la charge repartie sur la face suprieur de la plaque.
Les moments flchissant Mx et My, les moments de torsion Mxy et Myx ainsi que les efforts
tranchants Qx et Qy sont exprims par unit. [4]
En projetant les forces sur l'axe Z on obtient:
Aprs simplification on obtient
Moment des forces par rapport l'axe nglige le moment dcharge q et celui d la variation
de Qy.
Aprs simplification:
Donc les quations d'quilibre
bYxy
xyy.1.20
0
X
zyx
xzxyx
2.20
Y
zxy
xzxyy
0
Z
yxz
yzxzz
0.
xyyxxx
Y
YY
x
x dQdQdqddxy
QQd
x
QQ
0
q
y
Q
x
Q yx
0.
yxyxyyxyxy
Y
YYx
xy
xy ddQdMdMddy
MMdd
x
MM
0
x
xyx Qx
M
y
M
aqy
Q
x
Q yx .3.20
bQy
M
x
Mx
yxx .3.20
cQx
M
y
My
xyy.3.20
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
31
2.3. Types de forces appliques sur la plaque :
2.3.1. Forces extrieures:
On peut les Diviser en deux catgories forces volumiques et forces surfaciques
2.3.1.1 Forces volumiques:
Sont des forces distance surtout le volume du corps Elles s'expriment en force par unit de
volume [N/m31 par exemple on peut citer les forces de gravitation, les forces magntiques et
les forces d'inertie
2.3.1.2. Forces surfaciques:
Sont des forces de contact reparties sur toute la surface d'inertie Elles s'expriment en force Par
unit de surface [N/m]
2.3.2. Contraintes:
En appliquant sur un corps un systme de forces extrieurs ce qui entrane une rpartition des
particules lmentaires chaque force lmentaire correspond une contrainte ce qui va crer
un systme de force interne [6].
2.4. Forces et Moments Rsultants:
Efforts de cohsion et principe d'quivalence
Dans le cas des poutres, on peut dfinir les efforts de cohsion pour une section complte.
Dans le cas des plaques, il faut considrer deux sections perpendiculaires d'un petit lment
de matire ; les efforts intrieurs sont donc dfinis par mtre . On peut tablir une relation
entre le tenseur des contraintes et les efforts de cohsion (principe d'quivalence).
2.4.1. Moments flchissant
http://fr.wikipedia.org/wiki/Effort_de_coh%C3%A9sionhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
32
On peut dfinir deux moments flchissant :
le moment flchissant autour de l'axe y, qui s'exerce donc sur la face normale x ; il se
traduit par une rpartition linaire de la contrainte normale xx [33]:
;
le moment flchissant autour de l'axe x, qui s'exerce donc sur la face normale y ; il se
traduit par une rpartition linaire de la contrainte normale yy :
.
Ils s'expriment en N (Nm/m).
2.4.2. Moments de torsion
On peut dfinir deux moments de torsion :
Figure 2.3 : Moments de torsion et scission [30].
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
33
le moment de torsion autour de l'axe y, qui s'exerce donc sur la face normale y ; il se
traduit par une rpartition linaire de la contrainte de cisaillement yx [33]:
le moment de torsion autour de l'axe x, qui s'exerce donc sur la face normale x ; il se
traduit par une rpartition linaire de la contrainte de cisaillement xy :
.
Ils s'expriment galement en N (Nm/m).
2.4.3. Efforts tranchants
On peut dfinir deux efforts tranchants :
l'effort tranchant sur la face normale y ; il se traduit par une rpartition linaire de la
contrainte de cisaillement yz [33]:
;
l'effort tranchant sur la face normale x ; il se traduit par une rpartition linaire de la
contrainte de cisaillement xz :
.
Ils s'expriment N/m, et sont ngligs dans le cas des plaques minces.
Forces et moments rsultants:
2/
2/
.
h
h
zxzx dQ
2/
2/
.
h
h
zyzy dQ
4.2..2/
2/
h
h
zxx dZM
2/
2/
..
h
h
zyy dZM
2/
2/
..
h
h
zxyxy dZM
Figure 2.4 : Efforts tranchants et scission [30].
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
34
2.4.4. Particularits des plaques orthotropes.
Lexpression de lnergie potentielle fait intervenir les dformations et les contraintes
de ces parois. La loi de Hooke relie les contraintes aux dformations par lintermdiaire dune
matrice de rigidit dans le cadre des dformations lastiques. Nous tudions ici une plaque
mince, pour laquelle les composantes des contraintes et des dformations suivant la direction
Z sont prises comme nulles.
Dans le cas dune plaque isotrope, la matrice de rigidit scrit
Dans le cas dune plaque orthotrope, la matrice de rigidit scrit
2.5. Equation diffrentielles de dplacements:
(2.5)
(2.6)
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
35
La thorie des plaques est associe au nom de rassure/ Mindlin (plaques paisse) et de
love Kirchhoff (plaque mince). La thorie de Mindlin est base sur l'hypothse cinmatique
des sections droites o planes, L'influence des dformations de cisaillement transversal est
prise en compte, C' Elle de Kirchhoff est base sur l'hypothse de conservation des normales
(ngligeant l'influence des dformations de cisaillement transversal. La thorie de Kirchhoff
peut tre interprter comme un cas particulier de la thorie de Raissner / Mindlin. Si I'
influence de cisaillement transversal est faible un bon modle d'lment fini bas sur la
thorie de Mindlin devra donner des rsultats en accord avec la thorie de Kirchhoff.
2.5.1. Validit des thories de la plaque:
La validit de la thorie des plaques isotropes dpend des caractristiques gomtriques Les
hypothses de Mindlin seront appliques Si 4 < L/h < 20 et celles de Kirchhoff Si L/h > 20 o
L est une dimension caractristique dans le plan XY. Le rle des dformations de cisaillement
transversal dans les plaques orthotropes dpend non seulement des caractristiques
gomtrique (L/h), mais galement des caractristique mcaniques reprsentes par le rapport
E/KG (ou E est un module caractristique intervenant dans la flexion, G un module de
cisaillement transversal et K un facteur de correction de cisaillement transversal.
Pour valuer l'influence de cisaillement transversal on peut utiliser le coefficient
=(h/l)2 (E/KG) [7]
2.5.2. Plaque mince:
Les plaques sont des milieux continus plus compliqus que les poutres. La plus grande
complexit vient du fait que la description des vibrations des plaques introduites des fonctions
deux variables d'espace. On a donc affaire un milieu bidimensionnel (2D).
Nous montrerons en particulier que l'quation gnralement utilise est le rsultat
d'hypothses simplificatrices trs fortes, et qu'on emploie souvent cette quation en dehors (le
son domaine de validit.
La plaque tant bidimensionnelle, on a quelques fois intrt utiliser les coordonnes polaires
plutt que les coordonnes cartsiennes, nous dcrivons le passage entre les deux descriptions
et aboutirons ainsi aux quations de plaque de Love Kirchhoff en coordonnes polaires.
Si les dplacements sont trs petits par rapport l'paisseur de la plaque on peut faire les
suppositions suivantes
1) les plans perpendiculaires au plan moyen avant dformation restent
perpendiculaires ce plan aprs dformation
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
36
2) La contrainte normale z est petite par rapport aux antres composantes de
contrainte est peut tre nglige
3) Le plan moyen ne subit pas de dformation aprs la flexion
Considrons une section de la plaque parallle au plan xz (Figure 2.5) aprs dformation de la
plaque le point A se dplacera en A' d'une quantit x.
D' aprs premire supposition, le point qui se trouve sur une normale au plan moyen distante
de z de ce dernier avant dformation conservera, sa position par4apport au plan moyen aprs
dformation, la nouvelle position de b sera b'.
Le dplacement de b dans la direction x est:
U =-z.tg
Le dplacement tant petit alors
tg = =x
w
ainsi U=-z
x
w
(2.6)
De mme le dplacement du point B dans la direction Y sera:
V=
Il est a' remarquer que la premire supposition implique que les dformations angulaires sont
nulles. Les relations dplacements dformation seront:
x= 2
2
x
wz
b
A
z
U
A
b
X
Z X Z
w
Figure 2.5 : dformation de la plaque du point A au point A
6
III
y
wz (2.7)
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
37
y= 722
II
y
wz
yx
wzxy
2
2
En tenant compte de la deuxime supposition les relations dformations -contraintes seront :
En rsolvant le systme d'quation (2.8-2) les contraintes seront :
yyxxxyyx
xx
E
1
9.21
xxyyxyyx
y
y
E
xyxy G .
Les quations (2.8-2) peuvent tre sous la forme matricielle suivante:
Avec :
En substituant les quations (2.8-1) dans (2.9) on obtiendra :
2
2
2
2
1
.
y
w
x
wzEyx
xyyx
xx
11.21
.2
2
2
2
x
w
y
wzExy
xyyx
y
y
yx
wGzxy
2
..2
yxyx
x
xE
1
2.8.21 xyxyy
xE
xyxyG
1
xy
y
x
xy
y
x
Q
QQ
QQ
66
2212
1211
00
0
0
xy
wz
y
wz
x
wz
xy
y
x
2
2
2
2
2
(2.10)
(2.8.1)
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
38
- Dterminons les moments :
2/
2/
..
h
h
zxx dzM
2/
2/
2
2
2
2
.1
..
h
h
z
x
yx
xyyx
xx d
y
w
x
wzEzM
ay
wD
x
wDM xx .12.22
2
12
2
Avec :121
3hED
xyyx
x
x
121
3
1
hED
xyyx
xxy
La mme chose pour My et Mxy
2/
2/
2
2
2
22/
2/
.1
...
h
h
zxy
xyyx
yh
h
zxY dzx
w
y
wzEdzM
bx
wD
y
wDM yy .12.22
2
12
2
Avec : 121
3hED
xyyx
y
y
2/
2/
22
2/
2/
....
h
h
z
h
h
zxyxy dyx
wGzdzM
cyx
wDM xyxy .12.2.2
2
Avec 12
3
.12
Gh
Dxy
En remplaant (2.12.a) dans (2.12.b) et (2.12.c)
2
3
13
3
2yx
wDD
x
wDQ xyxx
13.222
3
13
3
xy
wDD
y
wDQ xyyy
On met : D2= D1+2Dxy
2
3
23
3
.yx
wD
x
wDQ xx
14.2.2
3
23
3
xy
wD
y
wDQ yy
Pour trouver lquation diffrentielle de dplacement on substitue (2.14) dans (2.3-a).
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
39
15.2.,..2.4
4
22
4
24
4
yxq
y
wD
xy
wD
x
wD yx
Dans le cas isotrope
Et l'quation (2.15) devient
16.224
4
22
4
4
4
D
q
y
w
yx
w
x
w
2.5.3. Thorie des Plaque paisse
Dformation de membrane ; Dans la thorie des plaques paisses, ou thorie de Reissner et
Mindlin, la fibre normale reste toujours rectiligne, mais n'est plus ncessairement
perpendiculaire au plan moyen. Si x et y dsignent les angles que fait la fibre normale avec
l'axe z, ils ne correspondent plus l'inclinaison du plan moyen, on a donc [11] :
Concernant le champ de dformation, les termes gardent leur forme gnrale
Et par ailleurs, 13 et 23 ne sont plus nuls :
,
On ne peut donc plus ngliger le cisaillement.
D'aprs la thorie de Mindlin on tient compte de leffet du cisaillement transversal xz et YZ
0 [12].
- Relations dformation dplacements
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
40
On sait que
U= z.Sx (x,y)
V= z.Sy (x,y) (2.17)
W=W (x,y)
La matrice de dformation s'crit comme suit:
En substituant (2.18) dans (1.12) on obtient
y
S
x
SzE yyx
x
xyyx
xxx
1
.
x
S
y
SzEx
xy
y
xyyx
y
yy
1
.
19.2
x
wSG yyzyz
y
wSG xxzxz
y
S
y
SG
yxxyxy
En substituant (2.17) dans (2.4) on obtient
y
SD
x
SDM
yx
x
1211.
y
SD
x
SDM
yx
y
2221.
18.2
2
2
2
x
wS
y
wS
x
S
y
Sz
y
Sz
x
Sz
y
v
x
u
x
y
yx
y
x
xz
yz
xy
xz
yz
xy
yy
xx
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
41
t
SA
t
SC
y
wSD
x
S
y
S
xD
y
SD
x
SD
y
yy
y
yxyx
22
2
255662212 .
22.2. 222
244661211 t
SA
t
SC
x
wSD
x
S
y
S
yD
y
SD
x
SD
x
xxx
yxyx
t
wA
t
wCyxq
y
wS
yD
x
wS
xD yx
12
2
15544 .,
0,5544
yxq
y
wS
yD
x
wS
xD yx
21.2044661211
x
wSD
x
S
y
S
yD
y
SD
x
SD
xx
yxyx
055662212
y
wSD
x
S
y
S
xD
y
SD
x
SD
yy
yxyx
20.2.44
x
wSDQ xx
y
wSDQ yy .55
y
S
x
SDM
yxxy .66
Ou :
121
3
11
hED
xyyx
x
;
121
3
22
hED
xyyx
y
12;.;.
3
665544
hGDGhDGhD xyxzyz ;
121
3
12
hED
xyyx
xyx
En remplacent (2.20) dans (2.3) on obtient les quations diffrentielles de dplacement :
Dans le cas dynamique les quations (2.21) peuvent scrire sous la forme suivante :
-
Chapitre II Analyse des plaques orthotropes
42
C1=h ; A1=h
C2=h3/12 ; A2=h
3/12
: La densit ; : cest la viscosit.
-
Chapitre III Analyse des plaques orthotropes par la mthode des lments finis
53
III Chapitre III: Analyse des
plaques orthotropes par La
mthode Des lments finis
Chapitre III : Analyse des plaques orthotropes par la
mthode des lments finis
3.1 Introduction:
Le traitement unique des problmes discrets standards va nous conduit la premire
dfinition des lments finis en tant que mthode d'approximation des problmes continus
a) Le milieu continu est divis en un nombre fini de parties (lments) dont le
comportement est continu partir d'un nombre fini de paramtres.
b) La solution du systme complet constitue de l'assemblage de ses lments suit
prcisment les mmes rgles que celles aux problmes discrets standards
La mthode lment finis constitue souvent le moyen le plus pratique pour calculer les
caractristiques lastiques d'une structure est modlise par un systme d'lments spars,
attachs qu'avec un nombre fini de nuds.
De ce fait lingnieur doit connatre la rpartition des contraintes et dformation dans les
milieux continus lastiques. Les caractristiques de la structure entire sont dtermines par
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