plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · makalah pemodelan matematika mengenai masalah konduksi...
Post on 16-Nov-2020
20 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI MASALAH KONDUKSI
PANAS
Makalah
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program studi matematika
Oleh
Erlika Priyati
093114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
MAKALAH
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI
MASALAH KONDUKSI PANAS
Oleh:
Erlika Priyati
NIM: 093114009
Telah disetujui oleh:
Pembimbing
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si.,M.Si. Tanggal 21 Juli 2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
MAKALAH
PEMODELAN MATEMATIKA MENGENAI
MASALAH KONDUKSI PANAS
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Erlika Priyati
NIM: 093114009
Telah dipertahankan didepan Panitia Penguji
pada tanggal 24 Juli 2014
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua Hartono,Ph.D. ………………
Sekretaris Sudi Mungkasi,Ph.D. ………………
Anggota Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si., M.Si. ………………
Yogyakarta, 24 Juli 2014
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
(P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dalam hidupku.
“Sebab Engkau bukit batuku dan pertahananku, dan oleh karena-Mu
Engkau akan menuntun dan membimbing aku.”
(Mazmur 31:4)
“Engkaulah persembunyianku dan perisaiku;
aku berharap kepada firman-Mu.”
(Mazmur 119:114)
Karya ini aku persembahkan untuk:
Orang-orang terkasih: keluarga besar mbah Margono,
simbah, bapak, mami, Septi, dan denok
Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 21 Juli 2014
Penulis
Erlika Priyati
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah pemodelan matematika
mengenai masalah konduksi panas. Masalah panas sering ditemukan pada
berbagai peristiwa, dan seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah
yang memuat pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan
konduksi panas. Konduksi panas merupakan proses perpindahan panas dari daerah
yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media
tersebut dapat berupa zat padat, zat cair dan zat gas.
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan
suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses
perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir
tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media dikenai panas
maka suhu media menjadi naik. Demikian juga sebaliknya, suatu media menjadi
dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya.
Pada model pendinginan air, suhu akan turun mendekati suhu di
sekitarnya. Model ini dikatakan baik karena jika dibandingkan dalam keadaan
real, hasil dari model sudah mendekati keadaan real. Untuk model pemanas air,
jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama maka suhunya akan menjadi
sangat tinggi. Model ini dikatakan kurang baik karena jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan. Untuk
masalah konduksi panas melalui dinding, model ini membahas tentang distribusi
suhu terhadap ketebalan dinding dan merupakan fungsi linear. Model konduksi
panas melalui dinding dikatakan baik hanya untuk ketebalan dinding tertentu.
Model konduksi panas radial merupakan fungsi logaritma. Model ini berlaku
untuk kondisi suhu setimbang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
Topics covered in this paper is the mathematical modeling of heat
conduction problems. Heat problems often found in a variety of events, and is
often associated with temperature. Some of the problems of heating and cooling
load are often associated with heat conduction. Heat conduction is the process of
heat transfer from the high temperature to the low temperature in a media. The
media can be a solid, liquid and gas substances.
Heat and temperature have a very close relationship. Temperature is a
quantity to measure the heat. Heat transfer is the process of energy transfer that
flows at different temperatures, the flow of energy is also called thermal energy or
heat. When a media receive heat then the temperature of media will be rise.
Conversely, a media will be cool down due to temperature because heat is lost to
the surrounding.
In the model of cooling water, the temperature will decrease closer to the
surrounding temperature. This model is said to be good because if it is compared
to the real situation, the result of model will approach the real situation. For model
of the water heater, if the water is heated in a very long time, the temperature will
be very high. This model is said to be less good because if the water is heated in a
very long time, if will be depleted due to evaporation. For the problem of heat
conduction through the wall, it is model about the temperature distribution of the
wall thickness, which is a linear function. Model of heat conduction through the
walls said to be good only for a certain wall thickness. Radial heat conduction
model is a logarithmic function. This model applies to the condition of
equilibrium temperature.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN
AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama: Erlika Priyati
NIM: 093114009
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pemodelan Matematika Mengenai Masalah Konduksi Panas
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan,
mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalan bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau
media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 21 Juli 2014
Yang menyatakan
(Erlika Priyati)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
memberikan hikmat dan menyertai penulis sehingga penulis mampu
menyelesaikan makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan
untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1)
dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak
pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika dan dosen pembimbing, yang senantiasa sabar dalam
membimbing dalam menyelesaikan makalah ini.
2. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberi pengetahuan
kepada penulis selama proses kuliah ini.
3. Keluarga besar mbah Margana, terutama untuk Alm. St. Darmawidjaja Pr.
(pakdhe sus), Br. Michael Pudyartana (pakdhe pud), Ig. Budi Lingana
(pakdhe luluk), dan G. Budi Prijatmo (pakdhe momok), yang telah sudi
untuk membantu biaya kuliah penulis dan selalu memberikan motivasi
untuk menyelesaikan kuliah.
4. Simbah, kedua orang tuaku, dan adik-adikku yang senantiasa memberikan
doa, motivasi dan dukungannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
5. Teman-teman Matematika 2009: Nana, Faida, Ochie, Etik, Jojo, Sekar,
Kuthull, dan Dimas, terima kasih untuk kebersamaan dalam suka maupun
duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis.
6. Widiantoro yang selalu memberikanku semangat dan sebagai salah satu
motivasiku untuk menyelesaikan makalah ini.
7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat
dalam proses penulisan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah
ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan
makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat
bagi para pembaca.
Yogyakarta, 21 Juli 2014
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... v
ABSTRAK ....................................................................................................... vi
ABSTRACT .................................................................................................... vii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............. viii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix
DAFTAR ISI ................................................................................................... xi
DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................ 3
C. Batasan Masalah .................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 3
E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 3
F. Metode Penulisan ................................................................................ 3
G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 4
BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ..... 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
A. Model Matematika ................................................................................ 6
B. Limit Fungsi Dan Turunan .................................................................... 8
C. Persamaan Diferensial ........................................................................... 23
BAB III MODEL KONDUKSI PANAS ......................................................... 28
A. Panas Dan Suhu .................................................................................. 28
B. Konduksi Panas Pada Proses Pendinginan Air ................................... 30
C. Konduksi Panas Pada Pemanas Air .................................................... 38
D. Konduksi Panas Melalui Dinding ....................................................... 57
E. Konduksi Panas Radial ....................................................................... 67
BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 77
A. Kesimpulan ........................................................................................... 77
B. Saran ...................................................................................................... 78
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 79
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan ..................................................... 29
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton .............................................. 34
Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa bahan ............................................... 60
Tabel 4. Daya konduksi ntuk beberapa macam bahan bangunan .................... 61
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses
pendinginan air ....................................................................... 37
Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air ........................................... 39
Gambar 3.3. Skema perpindahan panas ...................................................... 40
Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan ................................................................ 48
Gambar 3.5. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan ................................................................ 51
Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan ................................................................ 54
Gambar 3.7. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan dan ........................... 55
Gambar 3.8. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan
air dengan dan untuk waktu
yang lama dan suhu yang sangat tinggi .................................. 56
Gambar 3.9. Konduksi panas pada dinding ................................................ 62
Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding ................................ 63
Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding ..................... 67
Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial ............................................ 69
Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur ........................................................... 74
Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur ................ 76
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Masalah panas sering ditemukan pada berbagai peristiwa, dan
seringkali dihubungkan dengan suhu. Beberapa masalah yang memuat
pemanasan dan pendinginan seringkali dihubungkan dengan konduksi
panas. Misalnya, ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum
sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu
untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C? Untuk
menjawab pertanyaan tersebut akan dikenalkan beberapa konsep dasar
fisika, yakni mengenai suhu dan panas. Pada masalah ini terlihat
perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk
menyelesaikan masalah tersebut.
Pertama, tentang suhu yang menggambarkan bagaimana panas
pada kopi tersebut. Jika diasumsikan suhu dari kopi seluruhnya adalah
seragam (homogen) maka suhu hanya merupakan fungsi terhadap waktu.
Suhu diukur dengan satuan derajad celcius (0C) atau dalam kelvin (K),
dimana suhu pada derajad celcius (0C) memiliki selisih 273 lebih rendah
daripada suhu pada kelvin. Jadi, 0C + 273 = K.
Kedua, tentang panas. Suhu dari kopi turun karena energi panas
dipindahkan ke udara sekitarnya. Hal ini terjadi karena udara sekitarnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
bersuhu rendah, dan panas selalu dipindahkan dari daerah bersuhu tinggi
ke daerah bersuhu rendah. Panas adalah sebuah bentuk energi yang diukur
dengan satuan Joule, satuan dari sistem SI.
Kemudian untuk menjawab pertanyaan tentang secangkir kopi
yang disebutkan di atas, dibutuhkan persamaan yang sesuai untuk suhu.
Tetapi untuk itu harus menentukan peristiwa panas terlebih dahulu dan
dibutuhkan persamaan untuk mendiskripsikan kecepatan perpindahan
panas ke sekitar.
Masalah lain yang sama adalah bagaimana menentukan waktu
yang dibutuhkan air pada sebuah pemanas air menjadi panas dengan suhu
tertentu, dengan asumsi suhunya homogen dan merupakan fungsi terhadap
waktu. Air pada pemanas air menjadi panas dipengaruhi oleh elemen
pemanas.
Aplikasi lain dari masalah tentang konduksi panas adalah
perpindahan panas pada dinding. Pertimbangkan kecepatan perpindahan
panas pada dinding. Kecepatan perpindahan panas pada dinding sangat
penting untuk menentukan bahan penyekat dinding, agar energi yang
digunakan lebih efisien. Suhu pada sisi luar dinding akan berbeda dari sisi
dalam, dimana panas akan mengalir dari sisi luar dinding yang bersuhu
tinggi ke sisi dalam dinding yang bersuhu rendah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan proses perpindahan panas?
2. Bagaimana pemodelan matematika mengenai konduksi panas?
C. BATASAN MASALAH
Masalah perpindahan panas yang dibahas dalam tulisan ini adalah
masalah konduksi panas pada proses pendinginan air, pemanas air,
konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini yaitu untuk memodelkan masalah konduksi
panas.
E. MANFAAT PENULISAN
Memperoleh pengetahuan tentang pemodelan matematika
mengenai masalah konduksi panas.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan masalah perpindahan
panas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II MODEL MATEMATIKA dan PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Model matematika
B. Limit fungsi dan Turunan
C. Persamaan diferensial
BAB III MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan suhu
B. Konduksi panas pada proses pendinginan air
C. Konduksi panas pada pemanas air
D. Konduksi panas melalui dinding
E. Konduksi panas radial
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. MODEL MATEMATIKA
Model merupakan gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang
disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu
sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Sebagai contoh
dari model adalah sebuah maket. Biro arsitektur yang merencanakan
pembangunan suatu kompleks akan membuat gambar-gambar sketsa,
menyusun perhitungan-perhitungan konstruksi kemudian membuat maket
yang merupakan tiruan dari calon kompleks. Jika ada segi-segi yang
kurang disetujui oleh pemilik, maka rencana masih dapat diubah dengan
mudah.
Sistem merupakan suatu himpunan beserta relasi antar unsur-
unsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Sebagai contoh dari sebuah
sistem adalah suatu rumah sakit. Suatu rumah sakit adalah suatu sistem
yang bertujuan merawat orang sakit. Semua bagian rumah sakit harus
berfungsi mendukung tujuan di atas.
Model hanya menirukan sebagian dari obyek sesuai dengan tujuan
penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
dan dimanipulasi lebih lanjut. Dengan demikian dapat dipahami bahwa
model pasti lebih sederhana dari aslinya.
Model dapat dibedakan berdasarkan tujuan penyusunan model. Model
yang berguna mengendalikan keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan
cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya disebut model keterkaitan.
Model yang bertujuan untuk mengadakan pendugaan (prediksi) untuk
memperbaiki keadaan obyek disebut model pendugaan. Sedangkan model
yang berguna mengadakan optimasi bagi obyek disebut model optimasi.
Model menurut jenisnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu model
fisis dan model simbolik (model matematika). Model fisis merupakan
model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya
bentuknya atau polanya. Model simbolik (model matematika) merupakan
model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika/logika
untuk menyajikan perilaku obyek.
Model matematika dapat dianggap sebagai usaha abstraksi
terhadap obyek lewat cara analitis atau numeris dalam benuk persamaan-
persamaan matematika. Model ini juga dapat berupa persamaan
diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
B. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN
Definisi 2.1.
Niai mutlak biangan real didefinisikan sebagai berikut
{
}
Contoh 2.2.
1.
2.
3. ( )
Teorema 2.3.
Misalkan , maka
1.
2. |
|
.
Bukti:
1. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang maka .
Untuk dan maka , sehingga berlaku .
Untuk dan maka , sehingga berlaku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Untuk dan maka , sehingga berlaku
( ) .
Untuk dan maka , sehingga berlaku
( ) .
Untuk dan maka , sehingga berlaku
( )( ) .
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang maka .
2. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang maka |
|
.
Untuk dan maka
, sehingga berlaku |
|
.
Untuk dan maka
, sehingga berlaku |
|
.
Untuk dan maka
, sehingga berlaku |
| .
/
.
Untuk dan maka
, sehingga berlaku |
| .
/
.
Untuk dan maka
, sehingga berlaku |
|
.
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang maka |
|
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Contoh 2.4.
1. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Akan dibuktikan bahwa
.
(kalikan dengan 5)
( )
( ) ( )
.
Jadi, terbukti bahwa
.
2. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Tentukan bilangan positif
sedemikian rupa sehingga
Penyelesaian:
( )
( )
(dikalikan dengan
)
Jadi, bilangan positif yang memenuhi
adalah
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Definisi 2.5.
( ) berarti bahwa untuk tiap yang diberikan
(betapapun kecilnya), terdapat yang berpadanan sedemikian
sehingga ( ) asalkan bahwa ,yakni,
( )
Contoh 2.6.
Buktikan bahwa ( )
Penyelesaian:
Misalkan bilangan positif sebarang. Akan dibuktikan terdapat suatu
sedemikian sehingga
( )
Perhatikan ketaksamaan pada ruas kanan
( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Dengan demikian, jika dipilih
maka untuk
menghasilkan
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) .
Teorema 2.7.
Jika dan suatu konstanta, maka
( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
( ) ( )
Untuk , maka ( ) ( ) , ditentukan
suatu untuk setiap sehingga
Karena , maka menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Untuk , maka ( ) ( ) untuk setiap nilai .
Ambil sebarang bilangan positif sehingga berlaku
( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) .
Contoh 2.8.
( )
Teorema 2.9.
Jika suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan ,
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
Ambil sebarang bilangan positif , maka .
Jadi, terbukti bahwa .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.10.
Teorema 2.11.
Jika ( ) dan ( ) , maka
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
( )
( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
, ( ) ( )- ( )
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh
bahwa untuk
terdapat suatu sehingga
( )
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh
bahwa untuk
terdapat suatu sehingga
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan . Jadi
dan . Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika , maka
, ( ) ( )- ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- .
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
, ( ) ( )- ( )
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh
bahwa untuk terdapat suatu sehingga
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh
bahwa untuk terdapat suatu sehingga
( )
Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan . Jadi
dan . Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika , maka
, ( ) ( )- ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- .
Jadi, terbukti bahwa
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Contoh 2.12.
( )
Teorema 2.13.
Jika ( ) dan fungsi kontinu di , maka
( )( ) ( )
(( ( )) (
( ))
Bukti:
Karena kontinu di maka untuk setiap terdapat suatu
sehingga
( ) ( ) (1)
Karena ( ) , untuk setiap terdapat suatu
sehingga
( ) (2)
Jika dan disubstitusikan ke dalam (1) oleh ( ) maka
diperoleh untuk setiap terdapat suatu sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
( ) | ( ( )) ( )| (3)
dari pernyataan (2) dan (3) diperoleh bahwa untuk setiap terdapat
suatu sehingga
| ( ( )) ( )|
Jadi, terbukti bahwa
( )( ) ( ) (( ( )) ( ( ))
Teorema 2.14.
Jika ( ) dan ( ) maka
( )
( )
jika
Bukti:
Misalkan fungsi yang didefinisikan oleh ( )
. Maka fungsi
komposisi didefinisikan oleh ( ( )) ( )⁄ . Fungsi kontinu
dimana-mana kecuali di 0. Karena itu
( )
( ( ))
(
( ))
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Sehingga diperoleh
( )
( )
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa ( )
( )
jika
Contoh 2.15.
Definisi 2.16.
Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan pada
selang ( ). Limit ( ) adalah , dituliskan
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
apabila untuk setiap , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
sehingga ( ) jika .
Contoh 2.17.
Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi yang muncul
pada penyebut yaitu .
.
Jadi, terbukti bahwa
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Definisi 2.18.
Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang ( ). Limit
( ) adalah , dituliskan
( )
apabila untuk setiap , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
sehingga ( ) jika .
Contoh 2.19.
Tentukan
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan .
.
Jadi,
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Definisi 2.20.
Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca “ aksen”) yang nilainya
pada sebarang bilangan adalah
( )
( ) ( )
asalkan limit ini ada.
Contoh 2.21.
Andaikan ( ) . Cari ( )
Penyelesaian:
( )
( ) ( )
[( ) ( )] , -
( )
Jadi, jika diketahui ( ) , maka ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
C. PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan
satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Sebagai contoh dari
persamaan diferensial sebagai berikut
(4)
(5)
( )( ) (6)
(7)
Bila peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu
fungsi satu peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan
diferensial biasa. Sedangkan, jika peubah yang terikat dalam suatu
persamaan diferensial adalah suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas
maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial. Dalam
contoh di atas persamaan (4)-(6) merupakan contoh persamaan diferensial
biasa dan persamaan (7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.22.
Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial
yang memuat fungsi satu peubah bebas. Sedangkan, persamaan diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
parsial merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi dua
atau lebih peubah bebas.
Contoh 2.23.
Pada contoh persamaan diferensial di atas yang merupakan persamaan
diferensial biasa adalah persamaan (1)-(3). Sedangkan, contoh persamaan
diferensial parsial adalah persamaan (4).
Definisi 2.24.
Suatu persamaan diferensial biasa tingkat merupakan suatu
persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk ( ) ( ( ))
dimana ( ) semua ditentukan nilainya oleh .
Contoh 2.25.
Persamaan (1) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 1.
Sedangkan, persamaan (2) dan (3) merupakan contoh persamaan
diferensial biasa tingkat 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Definisi 2.26.
Suatu penyelesaian persamaan diferensial biasa
( ) ( ( )) merupakan suatu fungsi ( ) yang
ditentukan pada suatu selang bagian yang secara identik memenuhi
persamaan ( ) ( ( )) pada seluruh selang .
Contoh 2.27.
Suatu fungsi , yang ditulis sebagai merupakan
penyelesaian dari
Bukti:
Hasil substitusi ke dalam persamaan
menghasilkan
( )
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Hasil substitusi tersebut merupakan suatu kesamaan dalam untuk semua
Jadi, merupakan penyelesaian dari
Definisi 2.28.
Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial tingkat adalah
suatu penyelesaian yang mengandung konstanta sebarang yang bebas.
Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian
sebarang yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada
konstanta sebarang dalam penyelesaian umum untuk persamaan tersebut.
Contoh 2.29.
Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu
atau dapat ditulis
Bila kedua ruas diintegralkan akan diperoleh
∫ ∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
dengan suatu konstanta sebarang.
Jadi, merupakan penyelesaian umum dari
Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu
kepada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
BAB III
MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan Suhu
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu
merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas
merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang
berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau
panas. Bila sebuah media atau obyek dikenai energi panas maka suhu
media tersebut menjadi naik. Demikian juga, suatu obyek menjadi dingin
akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Suatu
media dengan massa yang lebih banyak akan lebih banyak memerlukan
panas untuk menaikkan suhu, sedangkan jika suhu dari sebuah media
turun, maka energi panas dari media tersebut lebih banyak yang hilang.
Asumsikan perubahan pada panas adalah berbanding langsung
dengan perubahan suhu dan juga massa dari suatu obyek, yakni dapat
ditulis sebagai
{
} * + * +
(3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
dengan adalah konstanta positif pembanding sebagai panas jenis dari
bahan, diasumsikan tidak bergantung pada massa sebuah obyek dan
perubahan suhu.
Misalkan didefinisikan sebagai laju perubahan panas terhadap
waktu (diukur dalam watt), adalahmassa dari bahan yang akan
dipanaskan atau didinginkan (diukur dalam kg), dan merupakan suhu,
maka diperoleh
(3.2)
Setiap bahan memiliki panas jenis yang berbeda-beda. Di bawah
ini diberikan data nilai panas jenis dari berbagai bahan.
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan (Barnes, Gleeen, 2009)
Bahan Bahan
Aluminium 896 Asbes 841
Tembaga 383 Batu bata 840
Stainlis steel 461 Gelas 800
Kayu 2385 Mentega 2300
Beton 878 Daging domba 3430
Air (pada 200C 4187 Kentang 3520
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
B. Konduksi Panas pada Proses Pendinginan Air
Panas dari sebuah obyek menjadi hilang karena adanya penukaran
energi panas dengan sekitarnya. Jika perbedaan suhu antara permukaan
dari suatu obyek dan sekitarnya menjadi bertambah, maka diharapkan
panas menjadi cepat hilang.
Diasumsikan bahwa laju dari aliran panas adalah berbanding
langsung dengan perbedaan suhu diantara permukaan dan sekitarnya. Dari
asumsi tersebut dirumuskan Hukum Newton pada keadaaan pendinginan,
yang akan berlaku juga pada masalah pemanasan.
Perubahan suhu akibat pertukaran panas menurut Newton adalah
berbanding lurus dengan waktu. Bila suhu obyek lebih tinggi dari pada
suhu sekitarnya maka akan terjadi pendinginan pada obyek atau penurunan
suhu dan demikian pula sebaliknya. Perbandingan ini dapat dijadikan
persamaan dengan melibatkan suatu faktor konstanta, sehingga
( )
dengan dan masing-masing merupakan suhu obyek dan suhu
sekitarnya. Tanda negatif menunjukkan terjadinya penurunan suhu bila
.
Perbedaan suhu ditentukan dari panas pada permukaan yang dapat
menghilang ataupun bertambah. Jika adalah luas permukaan dari sebuah
obyek, suhu dari sebuah obyek lebih tinggi dari suhu di sekitarnya,
maka dapat ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
{
}
{
}
{
}
2
3
( )
(3.3)
Ketika suhu pada sekitar lebih tinggi daripada suhu pada obyek
( ), maka laju penukaran panas sebagai berikut,
{
} ( )
(3.4)
Jadi, hukum Newton pada masalah pendinginan maupun
pemanasan dirumuskan sebagai berikut,
{
} (3.5)
dengan
= perbedaan suhu
= luas permukaan yang panasnya hilang ataupun bertambah (diukur
dalam m2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
= koefisien pendinginan Newton (diukur dalam watt/m2/0C) .
Konduksi merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu
tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut
dapat berupa zat padat, zat cair maupun gas. Perpindahan terjadi karena
molekul bersinggungan secara langsung tanpa adanya perpindahan
molekul yang cukup besar. Suhu elemen suatu zat sebanding dengan
energi kinetik (energi yang diakibatkan karena suatu gerak) rata-rata dari
molekul-molekul yang membentuk zat tersebut. Energi yang dimiliki suatu
elemen zat yang diakibatkan adanya kecepatan dan posisi relatif molekul-
molekulnya merupakan energi dalam.
Misalnya ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum
sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu
untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C?Pada masalah
ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat
penting untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Pada masalah secangkir kopi di atas terdapat hubungan antara laju
perubahan panas dan laju perubahan suhu. Untuk mendeskripsikan panas
yang terkandung dalam secangkir kopi, ditunjukkan sebagai berikut
{
} {
} (3.6)
Jadi, persamaan konduksi panas pada masalah pendinginan air
sebagai berikut
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
( )
( )
( )
( )
(3.7)
Nilai dapat ditentukan dari suhu awal. Jika suhu pada saat
awal ( ) bernilai maka
( )
Jadi, penyelesaian persamaan (3.7) adalah sebagai berikut
( )
(3.8)
Tanda negatif menunjukkan adanya panas yang hilang ke sekitar atau
terjadinya pendinginan.
Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.8) akan menjadi
sebagai berikut
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Koefisien pendinginan Newton ( ) memiliki nilai yang berbeda-
beda. Di bawah ini diberikan nilai pendinginan Newton pada suatu
lempengan dengan ketebalan 0,5 m. Nilai koefisien pendinginan Newton
semakin besar pada saat laju aliran udara semakin besar. Akibatnya, nilai
koefisien pendinginan Newton sangat berpengaruh terhadap aplikasi
model yang telah diperoleh.
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton
Lempengan pada udara terbuka 4.5
Lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s 12
Lempengan dengan laju aliran udara 35 m/s 75
Koefisien pendinginan Newton pada udara terbuka digunakan pada
keadaan normal, yakni keadaan dimana tidak ada hembusan udara.
Koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju aliran udara 2
m/s digunakan ketika ada tiupan atau angin sepoi-sepoi. Sedangkan
koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju udara 35 m/s
digunakan pada saat terjadi angin kencang seperti angin topan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Contoh 3.1
Dari data secangkir kopi yang memiliki diameter 7cm dan tinggi
8cm, massa dari kopi tersebut adalah 0,2 kg. Diketahui bahwa suhu sekitar
dari kopi tersebut adalah 260C dan suhu awal dari kopi 78
0C. Misalkan
cangkir tersebut terbuat dari gelas sehingga panas jenisnya adalah 800 dan
koefisien pendinginan Newton 4,5. Berapa lama waktu yang dibutuhkan
untuk menunggu saat kopi siap diminum pada susu 550C?
Penyelesaian:
Dari masalah tersebut diketahui bahwa koefisien pendinginan Newton ( )
adalah4,5, panas jenis ( ) adalah 800 watt/kg 0
C. Massa dari bahan yang
akan di dinginkan ( ) adalah 0.2 kg. Suhu awal ( ) dari bahan adalah 78
0C dan suhu sekitarnya ( ) adalah 26
0C. Cangkir tersebut memiliki
diameter 7 cm dan tinggi 8 cm, sehingga jari-jari cangkir adalah 3.5 cm.
Dari data di atas, maka luas permukaan gelas dapat didekati sebagai luas
permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
= Luas cangkir
= Luas tabung dengan tutup
= Luas alas + luas selimut tabung + luas tutup
= , dengan = jari-jari cangkir dan tinggi cangkir
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
=( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) cm2
= cm2
= m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu agar suhu kopi turun dari 78 0C
menjadi 55 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.7) adalah
sebagai berikut
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
s
menit
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi
menjadi 550C adalah sekitar 822 s atau 14 menit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Dari data di atas dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik sebagai
berikut
Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air.
Jika air didinginkan dalam waktu yang lama maka suhunya akan
menjadi sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Jadi, jika air didinginkan dalam waktu yang sangat lama maka suhu dari
air tersebut akan mendekati suhu sekitarnya. Dari grafik pada Gambar 3.1.
dapat dilihat bahwa untuk maka ( ) . Pada Gambar 3.1.
tampak bahwa grafik turun sesuai dengan fungsi eksponensial. Setelah
dilakukan praktek secara nyata dengan diukur menggunakan termometer
ternyata waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi turun
menjadi 55 0C adalah sekitar 17 menit. Pada masalah secangkir kopi ini
diasumsikan bahwa cangkir atau gelas seakan-akan tidak ada, sehingga
waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi dingin pada suhu
55 0C menjadi lebih cepat daripada dalam keadaan real. Jadi hasil dari
model sudah mendekati nilai yang sesungguhnya. Model ini sudah
dikatakan baik karena ketika menunggu air sampai berapa lamapun suhu
hanya akan mendekati suhu sekitar.
C. Konduksi Panas pada Pemanas Air
Pada contoh pemanas air, persamaan diferensial untuk suhu
diperoleh dari air yang dipanaskan dengan elemen pemanas elektrik.
Masalah pemanas air ini pada dasarnya mempunyai prinsip yang sama
dengan masalah secangkir kopi, bedanya bahwa pada masalah pemanas
air, panas ditambahkan melalui elemen pemanas.
Beberapa contoh alat pemanas air adalah ceret dan ketel. Masalah
pemanas air menggunakan elemen elektrik yang biasa digunakan di tiap-
tiap rumah, biasanya berisi 2 liter air, dengan tinggi pemanas air 20 cm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
dan diameter 15 cm. Awalnya diasumsikan air menjadi bersuhu 150C.
Elemen pemanas yang digunakan untuk memanaskan memiliki laju
konstan (per jam) 3,6 Kw (yang lain biasanya menggunakan 4,8 kW/jam).
Pada gambar di bawah ini menunjukkan ilustrasi dari panas yang keluar
dan masuk dari sistem. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk
mengambil air tersebut saat bersuhu 600C?
Elemen pemanas
Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air.
Dalam menyelesaikan masalah pemanas air dikenalkan beberapa
notasi. Misalkan ( ) sebagai suhu air pada waktu , merupakan suhu
awal air, merupakan suhu akhir air, sebagai massa dari air yang akan
dipanaskan dan sebagai laju persediaan energi panas. (dalam m2)
menunjukkan luas permukaan dari pemanas air atau tangki yang panasnya
keluar.
Pertama, asumsikan air pada tangki seluruhnya bersuhu homogen.
Tanpa asumsi tersebut masalah akan menjadi lebih komplek, karena suhu
akan menjadi fungsi dari waktu dan posisi. Dengan asumsi tersebut yang
air
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
dipertimbangkan hanya suhu dari air sebagai fungsi terhadap waktu.
Kedua, asumsikan bahwa panas yang hilang dari permukaan tangki
menurut hukum Newton pada pendinginan. Akhirnya, asumsikan bahwa
panas konstan, sebagai panas jenis dan koefisien pendinginan Newton.
Untuk mendeskripsikan masalah pemanasan air pertimbangkan
sistem yang mengaplikasikan hukum keseimbangan seperti ditunjukkan
pada gambar berikut ini.
Panas dari panas yang hilang
elemen pemanas ke sekitar
Gambar 3.3. Skema perpindahan panas.
Panas pada tangki yang berasal dari elemen pemanas akan sama besarnya
dengan panas yang hilang ke sekitar.
Keseimbangan panas untuk sistem dideskripsikan dengan
persamaan berikut ini,
{
} {
} {
} (3.9)
Panas pada
tangki
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Perubahan suhu digunakan untuk memperoleh persamaan
matematika. Persamaan dasar yang digunakan untuk merelasikan panas
dengan suhu adalah sebagai berikut,
{
}
(3.10)
dengan adalah panas tertentu dari air, sebagai massa dari air dan ( )
menunjukkan suhu pada waktu .
Asumsikan bahwa elemen pemanas memproduksi panas dengan
laju konstan per unit waktu, yang dinyatakan dengan . Jadi,
{
} (3.11)
Laju panas yang hilang ke sekitar dirumuskan dengan
menggunakan hukum Newton pada pendinginan, yaitu
{
} * +
( ( ) ) (3.12)
dengan adalah luas permukaan dari pemanas dan adalah koefisien
pendinginan Newton. Perbedaan suhu merupakan perbedaan antara suhu
arus air ( ( )) dan suhu sekitar ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12) ke
dalam persamaan (3.9) diperoleh persamaan diferensial yang
mendeskripsikan variasi suhu terhadap waktu sebagai berikut,
( ( ) ) (3.13)
Atau dapat ditulis
( ( ) )
( )
( )
(3.14)
Misalkan,
( )
maka
atau
Dengan demikian, ruas kanan persamaan (3.14) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Jika persamaan tersebut diintegralkan akan diperoleh
∫
∫
Di substitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.14) menjadi sebagai
berikut,
∫
( ( ))
( ( ))
(3.15)
( ( ))
( ( ))
(
) ( ( ))
.
/ ( )
( ) .
/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
( )
.
/
(3.16)
Nilai dapat diperoleh dari persamaan (3.15) sebagai berikut
( ( ))
( ( ))
( ( ))
Jadi, penyelesaian dari persamaan (3.16) adalah
.
/
dengan
( ) (3.17)
Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.17) akan menjadi
sebagai berikut
.
( )/
.
( )/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Contoh 3.2
Sebagai contoh dari masalah pemanas ini adalah memanaskan air
dengan menggunakan pemanas. Diketahui pemanas tersebut memiliki
diameter 10 cmdan tinggi 20 cm, massa dari air yang akan dipanaskan 1,5
kg, suhu awal air dan suhu sekitar sama yaitu 26 0C, karena pemanas
terbuat dari stainlis steel maka panas jenisnya adalah 461, diberikan
koefisien pendinginan atau pemanasan Newton 4,5 dan misalkan laju
panas yang digunakan adalah 100 watt. Berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk menunggu air tersebut sampai mendidih 100 0C ?
Penyelesaian :
Dari data tersebut diketahui bahwa suhu awal ( ) dari bahan adalah 26 0C
dan suhu sekitar ( ) adalah 26 0C. Diberikan koefisien pemanasan
Newton ( ) adalah 4,5 dan panas jenis ( ) 461 watt/kg 0C. Massa dari
bahan yang dipanaskan ( ) adalah 1,5 kg. Laju panas ( ) yang digunakan
100 watt. Diketahui pemanas memiliki diameter 10 cm dan tinggi 20 cm,
sehingga jari-jari dari pemanas adalah 5 cm.
Dari data di atas, maka luas permukaan pemanas dapat didekati sebagai
luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
= Luas pemanas
= Luas alas
= , dengan = jari-jari cangkir dan tinggi cangkir
=( )
= ( ) cm2
= m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu sampai air mendidih pada suhu
100 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah sebagai
berikut
.
/
dengan
( )
=
( ( ) (
))
=
( )
=
( )
=
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
100= ( )
.
/
100 =
.
/
.
/
.
/
.
/
.
/
.
/
(
) ( )
(
)
s
menit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada
suhu 100 0C adalah sekitar 531 s atau 9 menit.
Dari data di atas dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut
Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
0C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati
suhu 2857 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai
mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
.
/
dengan
( )
=
( ( ) (
))
=
( )
=
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
=
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
/
100= ( )
.
/
100 =
.
/
.
/
.
/
.
/
.
/
.
/
(
) ( )
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
s
menit.
Jadi, jika ingin menunggu air sampai mendidih 1000C maka dibutuhkan
waktu sekitar 163 s atau sekitar 3 menit. dengan diketahui bahwa daya
yang digunakan adalah 350 watt.
Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai
berikut
Gambar 3.5. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
0C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati
suhu 9934 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk , maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai
mendidih pada suhu 100 0
C adalah sebagai berikut
.
/
dengan
( )
=
( ( ) (
))
=
( )
=
( )
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
.
/
100= ( )
.
/
100 =
.
/
.
/
.
/
.
/
.
/
.
/
(
) ( )
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
s
menit.
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih dalam
suhu 1000C adalah sekitar 131 s atau sekitar 2 menit. Dengan diketahui
bahwa daya yang digunakan adalah 450 watt.
Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai
berikut
Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi
sebagai berikut
0C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama dengan
menggunakan daya sebesar 450 watt maka suhu akan mendekati 12765 0C.
Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat
lama akan habis karena adanya penguapan.
Jika grafik kenaikan suhu dengan dan
dijadikan satu maka akan menjadi sebagai berikut
Gambar 3.7. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air
dengan dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 3.8. grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
dan untuk waktu yang lama dan suhu yang sangat tinggi.
Dari Gambar (3.7) tampak bahwa waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C semakin cepat ketika
yang digunakan semakin besar nilainya. Dari Gambar (3.8.) tampak bahwa
nilai sangat berpengaruh terhadap waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air sampai mendidih. Perbandingan suhu antara penggunaan
dan sangat jauh berbeda. Semakin besar nilai yang
digunakan maka semakin tinggi pula suhu yang dihasilkan. Tetapi, model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
ini dikatakan kurang baik karena ketika maka suhu akan menjadi
sangat tinggi. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam
waktu yang sangat lama akan menjadi habis karena adanya penguapan.
D. Konduksi Panas melalui Dinding
Masalah pemanasan pada suatu bahan yang didinginkan maupun
dipanaskan mengakibatkan suhu menjadi berubah-ubah. Jika suhu pada
setiap titik dari bahan tidak sama, maka panas akan dihantarkan dari bahan
yang bersuhu tinggi ke yang bersuhu rendah. Suhu menjaga
kesetimbangan dari panas pada saat dihantarkan. Pada keadaan
kesetimbangan, panas tidak digunakan untuk menaikkan suhu maupun
mengurangi suhu. Jadi kesetimbangan panas menjadi
{
} (3.17)
atau
∫
∫
(3.18)
Dengan kata lain, pada keadaan setimbang suhunya adalah
,
dengan suatu konstan. Karena adalah konstan maka dalam
keadaan setimbang adalah konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Konduksi panas dapat terjadi pada zat padat, cair, maupun gas, dan
meliputi perpindahan dari energi panas akibat getaran dari molekul. Laju
panas yang di hantarkan oleh bahan adalah berbanding langsung dengan
luas area yang terdapat aliran panas. Fluks panas ( ( )) merupakan laju
aliran panas per unit waktu per unit area, yang dapat ditulis sebagai
( ) {
} (3.19)
Fluks panas diukur dalam watt/m2 dengan watt sebagai Joule/detik.
Aliran panas lebih mudah mengalir pada logam daripada bahan
yang terbuat dari batu atau batu bata. Aliran panas mengalir pada suhu
yang berbeda dan akan menjadi berkurang kuantitasnya pada piringan
yang tebal. Fluks panas berbanding lurus dengan gradien suhu (laju
perubahaan suhu terhadap jarak yang dialiri panas).
Menurut Kreith (1973) fluks panas merupakan hasil kali tiga buah
besaran, yaitu:
1. , konduktivitas panas bahan (daya konduksi)
2. , luas area yang dialiri panas dengan cara konduksi, yang
harus diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas
3. ( )
, gradien suhu pada area yang dialiri panas, yaitu laju
perubahan suhu terhadap jarak dalam arah aliran panas
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Jika ( ) merupakan fluks panas pada , dan ( ) merupakan
suhu pada , maka hukum Fourier sebagai berikut
* +
* + {
}
* +
( ) ( )
(3.20)
Karena fluks panas diukur dalam per unit area maka hukum
Fourier menjadi sebagai berikut
( ) ( )
(3.21)
Konstanta positif sebagai daya konduksi, akan menjadi berbeda pada
bahan yang berbeda.
Tanda negatif pada persamaan (3.21) digunakan untuk menjamin
laju tetap positif. Artinya, suhu berkurang (ketika gradien suhu negatif)
pada aliran panas maka tandanya positif, sedangkan ketika suhu bertambah
(ketika gradien suhu positif) pada aliran panas maka tandanya negatif.
Aliran panas mengalir dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang
bersuhu rendah, dan tidak dapat terjadi untuk keadaan sebaliknya (artinya
aliran panas tidak dapat mengalir dari daerah yang bersuhu rendah ke
daerah yang bersuhu tinggi).
Logam memiliki daya konduksi yang lebih tinggi daripada bahan-
bahan yang lainnya, berarti bahwa pengaliran panas lebih mudah terjadi
pada bahan yang terbuat dari logam. Bahan yang memiliki daya konduksi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
rendah baik untuk digunakan sebagai penyekat, dan bahan yang memiliki
daya konduksi tinggi baik digunakan sebagai elemen pemanas.
Tabel 3. Daya konduksi untuk beberapa macam bahan (Barnes &
Gleen, 2009)
Bahan Bahan
Tembaga 386 Beton 0,128
Besi 73 Gelas 0,81
Stainlis steel 14 Kayu 0,15
Air (pada suhu 00C) 0,57 Batu 0,04
Daging domba
(pada suhu 50C)
0,42 Polistirin 0,157
Mentega (pada
suhu 50C)
0,20
Data lain yang menunjukkan daya konduksi dari bahan bangunan
adalah sebagai berikut. Data ini dikeluarkan oleh ASHRAE. ASHRAE
merupakan singkatan dari American Society of Heating, Refrigerating and
Air Conditioning Engineers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Tabel 4. Daya konduksi beberapa bahan bangunan (Koestoer,
2002)
Bahan
daya konduksi
ASRAE Pengukuran(koestoer)
kaca ray-ban medium shading 1,000 0,992
kaca ray-ban high shading 1,000 1,038
kaca biasa 1,000 0,982
batu bata 0,720 0,886
adukan semen 0,720 0,743
kayu jati 0,180 0,204
Gipsum 0,430 0,406
Plywood 0,180 0,193
Asbestos 0,170 0,308
Styrofoam 0,040 0,049
Alumunium 100,0 96,571
Panas mengalir dari bahan yang bersuhu tinggi ke bahan yang
bersuhu rendah, begitu pula pada masalah konduksi panas pada dinding.
Sisi dalam dan sisi luar dari dinding memiliki suhu yang berbeda.
Perhatikan gambar bagian dinding dengan ketebalan yang terdiri
dari beberapa bahan. Salah satu sisi dinding tersebut panas dan sisi yang
lain relatif dingin, jadi panas mengalir kearah sisi yang dingin. Kondisi ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
merupakan salah satu kasus dimana sisi luar dan sisi dalam mempunyai
suhu yang berbeda. Sisi luar dari dinding memiliki suhu yang lebih tinggi
daripada suhu pada sisi dalam dinding.
+ = 0
+
=
Gambar 3.9. Konduksi panas pada dinding.
Tujuan dari subbab ini adalah merumuskan sebuah persamaan
diferensial yang menggambarkan kesetimbangan suhu sisi dalam dari
bahan pada sebarang titik . Pertama, pertimbangkan kembali mengenai
persamaan yang mendeskripsikan laju panas yang keluar masuk dari
bagian kecil bahan. Diasumsikan tidak ada panas yang digunakan untuk
menaikkan suhu dan bagian kecil ketebalan dari bagian mendekati nol.
Pertimbangkan bagian yang tipis dari bahan atau berupa irisan, dari
ke yang ditunjukkan pada gambar di atas. Misalkan luas irisan
tersebut adalah . Laju perubahan panas dipengaruhi oleh panas yang
keluar dan masuk dari bagian tersebut. Sebagai contoh, akan ditentukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
persamaan laju panas yang masuk-keluar dari sembarang bagian dengan
tebal . Panas yang masuk hanya disebabkan oleh konduksi panas ke
dalam bagian , dan panas yang keluar hanya disebabkan oleh konduksi
panas yang yang keluar dari bagian pada . Pada masalah irisan ini
dapat digambarkan menggunakan diagram berikut.
panas dihantarkan panas dihantarkan
ke dalam bagian keluar bagian
Gambar 3.10. Skema perpindahan panas pada dinding.
Jadi, persamaan untuk masalah irisan tersebut sebagai berikut
{
} {
} –
{
}
(3.22)
Misalkan, ( ) menunjukkan kesetimbangan suhu pada titik dan
( ) sebagai fluks panas pada , laju panas yang dihantarkan ke dalam
pada sisi diperoleh dari mengalikan fluks panas dengan luas permukaan
irisan . Maka,
{
} * + 2
3
Panas dari bagian 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
( ) (3.23)
Fluks panas pada bagian yang lain dinotasikan dengan ( )
Maka, laju panas yang dihantarkan keluar dari bagian yang lain dapat
ditulis sebagai berikut
{
} * + 2
3
( ) (3.24)
Karena pada saat setimbang laju perubahan panas adalah nol, maka
persamaan untuk masalah irisan tersebut menjadi sebagai berikut
( ) ( ) (3.25)
Selanjutnya, akan ditentukan persamaan diferensial untuk suhu
dengan mengambil limit pada persamaan (3.25) dan
mengaplikasikan hukum Fourier
. Bila persamaan (3.25) dibagi
dengan , diperoleh
( ) ( )
Dari definisi turunan terhadap , persamaan di atas menjadi
(3.26)
Karena fluks panas dari bahan menghantarkan panas, maka hukum Fourier
dapat diaplikasikan untuk menggambarkan persamaan diferensial. Dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
mensubstitusiikan persamaan (3.20) ke dalam persamaan (3.26), maka
persamaan (3.26) menjadi
.
/ (3.27)
Karena daya konduksi diasumsikan konstan, maka persamaannya
menjadi
(3.28)
Jika persamaan (3.28) diintegralkan akan diperoleh
∫
∫
∫
∫
(3.29)
Fungsi merupakan fungsi linear dengan sebagai konstanta.
Contoh 3.3.
Perhatikan suatu bagian dari dinding yang suhu pada posisi awal( )
100C. Diketahui bahwa daya konduksi bernilai 1. Akan diamati distribusi
suhu di sepanjang dinding tersebut!
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Penyelesaian:
Diketahui bahwa suhu pada posisi awal benda tersebut adalah 10 0C. Ini
berarti dari persamaan (3.29) maka
sehingga
Misalkan
maka
Karena diketahui maka
persamaan (3.29) dapat ditulis sebagai berikut
Nilai dari dimisalkan negatif agar menjaga kesetimbangan suhu, karena
suhu sisi luar lebih tinggi daripada suhu di sisi dalam. Jadi semakin ke
dalam maka suhu akan menjadi turun.
Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.11.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 3.11. Grafik fungsi suhu terhadap ketebalan dinding.
Dari grafik pada Gambar 3.11. tampak adanya penurun suhu pada
dinding. Suhu pada sisi luar yang terkena panas lebih tinggi dari pada suhu
di sisi dalam. Perbedaan suhu antara sisi luar dan sisi dalam pada dinding
tidak jauh berbeda.
E. Konduksi panas radial
Konduksi panas radial hampir sama dengan konduksi panas
melalui dinding, bedanya kulit yang diamati berbentuk radial sedangkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
pada konduksi panas melalui dinding berbentuk balok. Sebagai contoh,
perpindahan panas yang terjadi pada dinding sumur.
Masalah aliran panas radial terjadi pada silinder dan bola dimana
suhu sama pada sebarang jarak dari pusat silinder dan bola. Pada aliran
panas radial terjadi penjalaran panas keluar, yaitu panas yang dipindahkan
keluar dari pusat kulit luar dari silinder dan bola.
Jika menunjukkan jarak radial dari sebuah titik pusat silinder dan
bola, maka fluks panas pada dinotasikan sebagai ( ). Secara
keseluruhan laju aliran panas sebagai berikut
{
} ( ) ( ) (3.30)
dimana ( ) merupakan luas terjadinya aliran panas. Untuk permukaan
silinder dengan radius dan panjang , ( ) , sedangkan untuk
permukaan bola dari radius , .
Seperti pada bagian sebelumnya, hukum Fourier untuk konduksi panas
radial didefinisikan sebagai berikut
( ) ( )
(3.31)
dimana ( ) sebagai fluks panas pada kulit silinder/bola dengan jarak
radial , ( ) sebagai suhu pada jarak radial dan sebagai daya
konduksi. Hukum Fourier menunjukkan bahwa fluks panas berbanding
langsung dengan gradien suhu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Misal diberikan bahan berbentuk silinder dengan permukaan
bagian dalam yang panas dan dingin dibagian permukaan luar.
Didefinisikan radius bagian luar dari silinder adalah dan radius bagian
dalam adalah , dan akan mendekati nol pada silinder padat, sedangkan
untuk mendekati maka model silinder akan berupa sebuah pipa.
Misalkan panjang silinder adalah dan sebagai jarak radial dari pusat
garis. Diasumsikan aliran panas pada silinder berlangsung dan suhu dalam
silinder hanya bergantung pada dan waktu . Jika diasumsikan juga
panas setimbang maka suhu akan menjadi fungsi dari jarak radial .
Perhatikan sebuah potongan kecil kulit dari sebuah silinder dari
ke . Dengan menerapkan hukum kesetimbangan maka akan
dipertimbangkan sebarang panas yang masuk dan keluar dari kulit.
Diasumsikan tidak ada panas yang dihasilkan dalam kulit. Panas yang
masuk hanya dihantarkan sebagai panas yang keluar. Diagram hukum
kesetimbangan sebagai berikut:
panas dihantarkan panas dihantarkan
ke dalam kulit ke luar dari kulit
Gambar 3.12. Skema perpindahan panas radial.
𝑟
Panas pada kulit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Pada bagian berikut akan ditentukan persamaan untuk kulit dalam
yang dipotong yang mana tidak ada panas yang mengalir. Untuk masalah
ini tidak ada panas dalam kulit. Persamaan yang mendeskripsikan
kesetimbangan dari panas yang masuk dan keluar dari kulit silinder
adalah sebagai berikut
{
} {
}
{
}
(3.32)
Dimisalkan ( ) sebagai suhu kesetimbangan pada jarak dari
pusat garis dan ( ) sebagai fluks panas pada jarak dari sumber. Sebagai
contoh akan ditentukan persamaan diferensial untuk kesetimbangan suhu
dalam potongan kulit. Aliran panas masuk dalam kulit silinder pada luas
( ) . Aliran panas meninggalkan sisi potongan pada luas (
) ( ) . Bentuk dari fluks panas ( ) sebagai berikut
2
3 ( ) ( ) (3.33)
{
} ( ) ( ) (3.34)
Untuk suhu kesetimbangan bernilai nol maka persamaannya menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) (3.35)
Atau dapat ditulis sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
, ( ) ( ) ( ) ( )-
(3.36)
Bila dibagi dengan menjadi
0 ( ) ( ) ( ) ( )
1 (3.37)
kemudian dengan diberikan limit , maka dari definisi turunan
diperoleh
, ( ) ( )-
(3.38)
Tanpa memperhatikan radius, persamaan (3.38) menjadi
Hal ini menunjukkan bahwa sebarang titik pada silinder merupakan
kombinasi fluks panas yang dikalikan dengan luas.
Dengan mensubstitusikan luas ( ) dan menggunakan
hukum Fourier
, maka persamaan (3.38) menjadi
.
/ (3.39)
Karena adalah konstan, maka suhu kesetimbangan ( ) menjadi
.
/ (3.40)
Jika persamaan di atas diintegralkan akan diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
∫ (
) ∫
∫ ∫
∫
( ) (3.41)
Untuk mendapatkan nilai dan maka diperlukan dua batas
suhu yaitu
pada (3.42)
dan
pada (3.43)
Dengan menggunakan persamaan (3.41) maka persamaan (3.42) dan
(3.43) menjadi sebagai berikut
( ) (3.44)
( ) (3.45)
dan, jika dieliminasi maka diperoleh
( )⁄ (3.46)
Selanjutnya, jika persamaan (3.44) dikurangi dengan persamaan (3.41)
maka diperoleh
( ( ) ) ( ( ) )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
(3.47)
dan jika persamaan (3.46) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.47)
maka diperoleh
(
( )⁄)
( )⁄
⁄
( )
⁄ (3.48)
Contoh 3.4.
Perhatikan suatu bagian dari dinding sumur yang berbentuk silinder pada
( ) memiliki suhu 25 0C. Diketahui bahwa bagian dari dinding
sumur tersebut terbuat dari batubata sehingga menurut Tabel 4 maka daya
konduksinya bernilai 0,886. Dinding pada posisi ( ) memiliki suhu
23 0C. Hitung suhu pada dan amati distribusi suhu pada dinding
sumur tersebut!
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Panas
Gambar 3.13. Ilustrasi dinding sumur.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa suhu pada posisi ( ) adalah 25 0C dan suhu pada
posisi ( ) adalah 23 0C.
Sehingga nilai menjadi sebagai berikut
( )⁄
( )⁄
Jadi, nilai untuk masing-masing posisi adalah sebagai berikut
( )
( )
( )
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
( )
( )
( )
Jadi, nilai untuk posisi awal ( ) dan posisi ( ) tidak jauh
berbeda.
Suhu pada posisi dapat dicari dengan menggunakan nilai dan
yang telah diperoleh sebagai berikut
( )
( )
Jadi, suhu pada posisi adalah sekitar 24 0C.
Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Gambar 3.14. Grafik distribusi suhu terhadap radius pada sumur.
Dari grafik pada Gambar 3.14. tampak bahwa suhu naik menurut
fungsi logaritma. Semakin besar radiusnya maka suhu juga semakin tinggi,
radius yang semakin tinggi menunjukkan bahwa posisinya mendekati
posisi yang paling luar. Jadi, suhu pada posisi luar lebih tinggi
dibandingkan suhu pada posisi dalam. Perbedaan suhu antara posisi luar
dan dalam tidak jauh berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
A. KESIMPULAN
Konduksi panas merupakan perpindahan panas dari daerah yang
bersuhu tinggi ke daearah yang bersuhu rendah. Media tersebut dapat
berupa zat padat, zat cair, dan zat gas. Pada makalah ini konduksi panas
yang dibahas dibatasi untuk konduksi panas pada masalah pendinginan air,
pemanas air, konduksi panas melalui dinding, dan konduksi panas radial.
Sebagai contoh untuk masalah pendinginan air adalah berapa
waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi untuk siap diminum. Dari
hasil model didapat bahwa waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi
menjadi siap diminum sekitar 16 menit. Jika kopi tersebut didinginkan
untuk waktu yang sangat lama maka suhu kopi tersebut akan mendekati
suhu sekitar.
Konduksi panas pada pemanas air, panas timbul karena adanya
elemen pemanas. Suhu air yang dipanaskan dalam waktu yang sangat lama
maka suhunya akan menjadi sangat tinggi. Waktu yang dibutuhkan untuk
menunggu air mencapai suhu tertentu sangat dipengaruhi oleh laju panas
yang digunakan. Semakin besar laju yang digunakan maka waktu yang
dibutuhkan juga semakin cepat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Konduksi panas melalui dinding, suhu dinding bagian luar lebih
tinggi daripada dinding bagian dalam, sehingga antar dinding bagian luar
dan dinding bagian dalam terjadi penurunan. Perbedaan suhu antara
dinding bagian luar tidak begitu jauh berbeda. Pada masalah konduksi
panas radial, suhu yang digunakan adalah suhu pada posisi setimbang atau
suhu kesetimbangan, sehingga tidak diamati bagaimana distribusi suhu
antara bagian luar dan bagian dalam.
B. SARAN
Berdasarkan pembahasan dalam proses penulisan makalah ini, ada
saran yang dapat dikemukakan yaitu
1. Masalah konduksi panas radial tidak hanya yang dibahas dalam
makalah ini, masih ada banyak masalah konduksi panas radial pada
bola peejal.
2. Masalah konduksi panas selain yang dibahas dalam makalah ini
misalnya masalah konduksi panas untuk waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
DAFTAR PUSTAKA
Barnes, B. & Gleen, R. F. (2009). Mathematical Modelling with Case Studies
(2th
Ed). New York: CRC Press.
Bejan, A. (1993). Heat Transfer. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Cengel,Y. A. & Afshin, J. G. (2011). Heat and Mass Transfer Fundamentals and
Applications (4th
Ed). New York: Mc Graw Hill.
Hutahean, E. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik . Edisi ke-5. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Incropera, F. P. & David, P. D. (1996). Fundamentals of Heat and Mass Transfer
(4th
Ed). New York: John Wiley & Sons.
Kreith, F. (1986). Prinsip-prinsip Perpindahan Panas. Edisi ke-3. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
Purcell, E. J., Varberg, D. & Rigdon, S. E. (2004). Kalkulus. Edisi ke-8. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related