predavanje 7 afine transformacijeelearning.rcub.bg.ac.rs/moodle/pluginfile.php/33233/mod...prof. dr...
Post on 19-Jan-2020
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE
Kada su u pitanju geometrijske transformacije, mora se biti veoma pažljiv u odnosu na objekat koji se transformiše. Imamo dve alternative: transformacija objekta, transformacija koordinatnog sistema. U ovom delu govorimo o geometrijskim transformacijama objekata u fiksiranom globalnom koordinatnom sistemu.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
EUKLIDSKE GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE
EUKLIDSKE GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE : Translacija Rotacija Refleksija
Математика у архитектури 1 Проф. др Љиљана Петрушевски
транслација
у правцу x-осе
за h
у правцу y-осе
за k
(x x+h)
(y y+k)
),( yxM
),( yxM
),( yhxM
),( kyxM
00
kh
05.0
kh
00
kh
5.00
kh
x
y
x
y
x
y
x
y
TRANSLACIJA U RAVNI
Математика у архитектури 1 Проф. др Љиљана Петрушевски
Свака транслација је композиција
транслације у правцу x-осе и
транслације у правцу y-осе
),( yxM
),( kyhxM
),( yxM ),( kyhxM
),( yhxM p
00
kh
0.15.0
kh
транслација
x
y
x
y
Move
TRANSLACIJA U RAVNI
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
x
Move
y
),( yxM ),( kyhxM
0f0e
x
y
),( kht
t
kyyhxx
),( yxM ),( yxM
TRANSLACIJA U RAVNI
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
kyyhxx
),( yxM ),( yxM
Homogene koordinate
11yx
Tyx
11
kyyhxx
11
1 yx
Tyx
TRANSLACIJA U RAVNI
1yx
1yx
),( yxM
),( yxM
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Homogene koordinate
Homogene koordinate
11
kyyhxx
T1T
TRANSLACIJA U RAVNI
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
primer
Napisati matricu translacije za vektor 5,3t
100510301
T
TRANSLACIJA U RAVNI
100510
3011T
Математика у архитектури 1 Проф. др Љиљана Петрушевски
ротација
0 Rotate 0
sincos yxx
cossin yxy
11
ROTACIJA U RAVNI
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
cossin yxy
sincos yxx
11
R1R
ROTACIJA U RAVNI
TRR 1
1000)cos()sin(0)sin()cos(
1
R
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije za ugao 3
100
021
23
023
21
R21
3cos
23
3sin
ROTACIJA U RAVNI - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije za ugao i matricu inverzne transformacije
0454
100
022
22
022
22
R
ROTACIJA U RAVNI - primer
100
022
22
022
22
1R
045Rotacija za 045Rotacija za
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSLACIJA U PROSTORU
Translacija u prostoru je slična translaciji u ravni. Koordinatama tačke dodaju se koordinate vektora translacije . rqpt ,,
11
rzzqyypxx
11
rzzqyypxxT 1T
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSLACIJA U PROSTORU - primer
1000210030105001
T
Napisati matricu translacije za vektor
)2,3,5(t
100021003010
5001
1T
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
ROTACIJA U PROSTORU
Rotacija u prostoru je složenija zato što imamo rotaciju oko x-ose, y-ose i z-ose.
x
y
z
0902
Rotacija oko x-ose, y-ose i z-ose za ugao .
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
ROTACIJA U PROSTORU
x
y
z
0902
Rotacija oko x-ose, y-ose i z-ose za ugao .
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
0603
Rotacija oko x-ose, y-ose i z-ose za ugao .
ROTACIJA U PROSTORU
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
ROTACIJA U PROSTORU
Rotacijom oko z-ose menjaju se samo x i y koordinate, z-koordinata se ne menja. Preciznije, z se ne menja, a x i y koordinate se ponašaju kao u rotaciji u xy-ravni.
R1R
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
ROTACIJA U PROSTORU
Rotacija oko z-ose
11
cossinsincos
zzyxyyxx
11
cossinsincos
'
zzyxy
yxx
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije oko z-ose za ugao 0306
23
6cos
21
6sin
0306
10000100
0023
21
0021
23
R
ROTACIJA U PROSTORU - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije oko z-ose za ugao 6
1
10000100
0023
21
0021
23
RR
ROTACIJA U PROSTORU - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije oko z-ose za ugao 0902
1000010000010010
R
ROTACIJA U PROSTORU - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
ROTACIJA U PROSTORU
Rotacija oko x-ose
11cossinsincos
zyzzyy
xx
11cossin
sincos
zyzzyy
xxR 1R
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije oko x-ose za ugao 0454
ROTACIJA U PROSTORU - primer
1000
022
220
022
220
0001
R
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
ROTACIJA U PROSTORU
Rotacija oko y-ose
11cossin
sincos
zxzyy
zxx
11cossin
sincos
zxzyy
zxx
Objasniti razliku U odnosu na ostale ose
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu rotacije oko y-ose za ugao 0454
ROTACIJA U PROSTORU - primer
1000
0220
22
0010
0220
22
R
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
1000010000100001
RREFLEKSIJA
11000010000100001
1zyx
zyx
11
zzyyxx
11000010000100001
1zyx
zyx
11
zzyyxx
U odnosu na xy-ravan
R 1R
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
1000010000100001
RREFLEKSIJA
11000010000100001
1zyx
zyx
11
zzyy
xx
11000010000100001
1zyx
zyx
11
zzyy
xx
U odnosu na xz-ravan
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
1000010000100001
RREFLEKSIJA
11000010000100001
1zyx
zyx
11
zzyyxx
11000010000100001
1zyx
zyx
11
zzyyxx
U odnosu na yz-ravan
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE
Translacija Rotacija Refleksija Skaliranje Smicanje
Kompozicija navedenih osnovnih afinih transformacija, u proizvoljnom poretku ili kompozicija nekih od njih je afina transformacija.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
SKALIRANJE
11
rzzqyypxx
11
1
1
1
xr
z
yq
y
xp
xrqp ,,
- faktori skaliranja
p - u pravcu x-ose
q - u pravcu y-ose
r - u pravcu z-ose
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
SKALIRANJE
25.025.025.0
rqp
rqp Uniformno skaliranje Homotetija
11
rzzqyypxx
Sličnost
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
5.05.05.0
rqp
SKALIRANJE
11
rzzqyypxx
Uniformno skaliranje
Homotetija
Sličnost
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
x
y
z
SKALIRANJE Ukoliko faktori skaliranja po svim osama nisu svi medjusobno jednaki, skaliranje je neuniformno.
rqp ,,
7.03.05.0
rqp
11
rzzqyypxx
Neuniformno skaliranje
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
7.03.05.0
rqp
SKALIRANJE
x
y
z
11
rzzqyypxx
Neuniformno skaliranje
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu uniformnog skaliranja sa faktorom skaliranja 0.7 .
SKALIRANJE
100007.000007.000007.0
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu skaliranja u pravcu x-ose sa faktorom skaliranja 0.5.
SKALIRANJE
1000010000100005.0
S
1000010000100002
1S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu skaliranja u pravcu x-ose i pravcu y-ose sa faktorima skaliranja 0.6 i 0.8 rspektivno.
SKALIRANJE
10000100008.000006.0
S
100001000025.1000067.1
1S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu neuniformnog skaliranja sa faktorom skaliranja u odnosu na x-osu 0.7, u odnosu na y-osu 0.9, u odnosu na z-osu 0.6.
SKALIRANJE
100006.000009.000007.0
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
11
zzbzyy
azxx
11
zzbzyyazxx
SMICANJE - Shear
U pravcu x- i y-ose z-koordinata se ne menja
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
SMICANJE - Shear
11
zzyy
azxx
0,0 ba
x
yz
0 0
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
11
zzbzyy
xx
SMICANJE - Shear
x
y
z
0,0 ba0 0
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
z
11
zzbzyy
azxx
0,0 baSMICANJE - Shear
x
y
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
z
11
zzbzyy
azxx
0,0 baSMICANJE - Shear
x
y
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu smicanja u x- i y- pravcu sa faktorom smicanja 3 i 4 respektivno.
SMICANJE - primer
1000010004100301
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
SMICANJE - Shear
U pravcu x- i z-ose y-koordinata se ne menja
11
cyzzyy
ayxx
11
cyzzyy
ayxx
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu smicanja u x- i z- pravcu sa faktorom smicanja 3 i 4 respektivno.
SMICANJE - primer
1000014000100031
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
SMICANJE - Shear
U pravcu y- i z-ose x-koordinata se ne menja
11
cxzzbxyy
xx
11
cxzzbxyy
xx
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu smicanja u y- i z- pravcu sa faktorom smicanja 3 i 4 respektivno.
SMICANJE - primer
1000010400130001
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
11
yyayxx
SMICANJE – u ravni
11
yyayxx
x
y
U pravcu x-ose
y-koordinata se ne menja
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu smicanja u ravni u pravcu x-ose sa faktorom smicanja 2.
SMICANJE - primer
100010021
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
x
y
SMICANJE – u ravni
11
bxyyxx
11
bxyy
xx
U pravcu y-ose
x-koordinata se ne menja
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu smicanja u ravni u pravcu y-ose sa faktorom smicanja 2.
SMICANJE - primer
100012001
S
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE
Kompozicija geometrijskih transformacija je njihovo uzastopno izvođenje, svaka od transformacija dejstvuje na rezultat prethodne.
1A 2A nA...
121... AAAAA nn
Ako su zadate matrice transformacija
matrica kompozicije, izvodjenja transformacija u tom poretku je
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE
U opštem slučaju, afine transformacije se mogu prikazati u obliku:
Opšti oblik matrice afine transformacije
Inverzna matrica – Matrica inverzne transformacije
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE
Afine transformacije u ravni održavaju kolinearnost i odnose rastojanja izmedju tačaka.
Afine transformacije u prostoru održavaju komplanarnost, kolinearnost i odnose rastojanja izmedju tačaka.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Primenjene su sledeće transformacija na neki objekat:
1. Skaliranje u pravcu x-ose koristeći faktor skaliranja 5 2. Potom, rotacija oko z-ose za . 3. Zatim, smicanje u x- i y- pravcu sa faktorom smicanja 2 i 3 respektivno. 4. Na kraju, translacija za vektor (2,1,2). Ukoliko su matrice skaliranja, rotacije, smicanja i translacije A, B, C i D respektivno, matrica njihove kompozicije je H=DCBA.
030
DCBAH 111111 DCBADCBAH
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Rotacija za ugao
2. Potom, translacija za vektor
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
4
3,2t
1) Napisati matrice rotacije i translacije
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije rotacije i translacije).
3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su rotacija i translacija izvedene u obrnutom poretku.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
100
022
22
022
22
R
100310201
T RTK
100
322
22
222
22
100
022
22
022
22
100310201
TRK
1) 2)
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
100
022
22
022
22
R
100310201
T TRL
100
223
222
22
22
223
222
22
22
100310201
100
022
22
022
22
L
3)
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
223
222
22
22
223
222
22
22
100310201
100
022
22
022
22
RTL
100
225
22
22
22
22
22
RTL
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
322
22
222
22
100
022
22
022
22
100310201
TRK
100
225
22
22
22
22
22
100310201
100
022
22
022
22
RTL
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Kompozicija rotacije i translacije nije komutativna. Bitan je redosled izvodjenja tih transformacija.
TRRT
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.8
2. Potom, translacije za vektor
1) Napisati matrice skaliranja i translacije.
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i translacije).
3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su transformacije izvedene u obrnutom poretku.
3,2t
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100310201
T
100
08.00008.0
S
10038.00208.0
10008.00008.0
100310201
ST
1004.28.006.108.0
10038.08.0028.008.0
100310201
10008.00008.0
TS
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
10038.00208.0
ST
1004.28.006.108.0
TS
TSST
Kompozicija skaliranja i translacije nije komutativna. Bitan je redosled izvodjenja tih transformacija.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.8
2. Potom, rotacija za ugao
4
1) Napisati matrice skaliranja i rotacije.
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i rotacije).
3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su transformacije izvedene u obrnutom poretku.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.8
2. Potom, rotacija za ugao
4
1) Napisati matrice skaliranja i rotacije.
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i rotacije).
3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su transformacije izvedene u obrnutom poretku.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.8
2. Potom, rotacija za ugao
4
1) Napisati matrice skaliranja i rotacije.
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i rotacije).
3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su transformacije izvedene u obrnutom poretku.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
022
22
022
22
R
100
08.00008.0
S
100
0228.0
228.0
0228.0
228.0
100
08.00008.0
100
022
22
022
22
SR
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
0228.0
228.0
0228.0
228.0
100
022
22
022
22
100
08.00008.0
RS
RSSR
Medjutim, iz pojedinačnog primera, ne može se izvesti zaključak.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
0cossin0sincos
R
100
0000
qp
S
100
0cossin0sincos
100
0000
100
0cossin0sincos
qpqp
qp
SR
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
0cossin0sincos
100
0000
100
0cossin0sincos
qpqp
qp
SR
100
0cossin0sincos
100
0cossin0sincos
100
0000
qqpp
qp
RS
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
U slučaju uniformnog skaliranja
RSSR
pq
100
0cossin0sincos
pppp
RSSR
U slučaju uniformnog skaliranja kompozicija skaliranja i rotacije je komutativna. Nije bitan redosled izvodjenja transformacija.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Napisati matricu složene afine transformacije u prostoru u kojoj rotaciji oko x-ose za ugao prethodi rotacija oko z-ose za isti taj ugao.
xRzR
zx RRR
1000010000cossin00sincos
zR
10000cossin00sincos00001
xR
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
1000010000cossin00sincos
10000cossin00sincos00001
zx RRR
10000coscossinsin0sincossincos00sincos
2
2
R
2sin21
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Primenjene su sledeće transformacija na neki objekat:
1. Uniformno skaliranje sa faktorom skaliranja 0.5 2. Potom, translacija za vektor (2,1,2).
1) Izračunati matricu afine transformacije, ukoliko se skaliranje i translacija izvode u tom poretku.
2) Izračunati matricu afine transformacije, ukoliko se skaliranje i translacija izvode u suprotnom poretku.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100005.000005.000005.0
S
1000210010102001
T
100025.000105.002005.0
100005.000005.000005.0
1000210010102001
TSA
1)
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100005.000005.000005.0
S
1000210010102001
T
100015.0005.005.00
1005.0
1000210010102001
100005.000005.000005.0
STB
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
2)
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
AFINE TRANSFORMACIJE - primer
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni:
1. Skaliranje u pravcu y-ose koristeći faktor skaliranja 0.2 2. Potom, translacija za vektor (2,3) 3. Na kraju, smicanje u pravcu x-ose sa faktorom smicanja 2 .
1) Izračunati matricu afine transformacije, ukoliko se skaliranje , translacija i smicanje izvode u tom poretku.
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100
02.00001
A
100
310201
B
100
012001
C
CBAH AFINE TRANSFORMACIJE - primer
100
02.00001
100
712201
100
02.00001
100
310201
100
012001
CBAH
100
72.02201
CBAH
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.5
2. Potom, translacije za vektor
1) Napisati matrice skaliranja i translacije.
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i translacije u tom poretku).
3) Izračunati matricu inverzne afine transformacije
3,2t
***
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100310201
T
100
05.00005.0
S
10035.00205.0
10005.00005.0
100310201
STA
100620402
100310201
100020002
1111 TSSTA
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.2
2. Potom, rotacija za ugao
2
1) Napisati matrice skaliranja i rotacije.
2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i rotacije).
3) Izračunati inverznu matricu.
***
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
100001010
R
10002.00002.0
S
100002.002.00
10002.00002.0
100001010
SRA
100005050
100001010
100050005
1111 RSSRA
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
Opšti oblik afine transformacije:
Matrica afine transformacije.
TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
1000000
zzz
yyy
xxx
wvuwvuwvu
M
1001
1000000
1zzz
yyy
xxx
z
y
x
wvuwvuwvu
uuu
1010
1000000
1zzz
yyy
xxx
z
y
x
wvuwvuwvu
vvv
1100
1000000
1zzz
yyy
xxx
z
y
x
wvuwvuwvu
www
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
1000000
zzz
yyy
xxx
wvuwvuwvu
M
11000000
1zyx
wvuwvuwvu
zyx
zzz
yyy
xxx
1zyx
1zyx
1zyx
P P
Koordinate tačke u xzy-koordinatnom sistemu
Koordinate tačke u xyz-koordinatnom sistemu
PP Koordinate tačke u uvw-koordinatnom sistemu
P
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
Globalni koordinatni sistem
Lokalni koordinatni sistem
P P
1zyx
1zyx
1zyx
Koordinate tačke u globalnom koordinatnom sistemu
Koordinate tačke u globalnom koordinatnom sistemu
P
P
Koordinate tačke u lokalnom koordinatnom sistemu
P
Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2
TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
top related