probabilità 03 - 1 / 41 lezione 4 probabilità. probabilità 03 - 2 / 41 nella prima parte... la...

Probabilità 03 - 1 / 41

Lezione 4Probabilità

Probabilità 03 - 2 / 41

Nella prima parte ...

La definizione classica della probabilità:

n

sE P

La definizione frequentista della

probabilità: N

nE E

N limP

La definizione assiomatica della

probabilità:

assiomi diKolmogoroff

11 i

i

i

i EE PP

1

0

S

EEPP

A

Probabilità 03 - 3 / 41

Nella seconda parte…

Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff

11 i

i

i

i EE PP

1

0

S

EEPP

A•

•

• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi

dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:

Probabilità 03 - 4 / 41

Variabile casuale

definizione:

La variabile casuale X è una funzione avente come dominio

lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato

che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.

requisito:

l’insieme di tutti gli elementi

s S tali che la loro

immagine X(s) sia minore

di un determinato x R deve essere un evento.

x2 E = { s1, s3 }

Probabilità 03 - 5 / 41

Variabile casuale

“Mappatura” di S

(C,C) 0

(T,C) 1

(C,C) 2

Probabilità 03 - 6 / 41

Popolazione oggetto

• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.

• Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …)

• Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come “grandezze misurabili” (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).

Probabilità 03 - 7 / 41

Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale

Caratteristica comune dellapopolazione

oggetto

Misure della caratteristicacomune della

popolazione oggetto

con dimensione fisica

con unità di misura

adimensionaleValori della

variabile casuale X

Probabilità 03 - 8 / 41

Dallo spazio campione alla retta reale

tramite la variabile casuale

definizione:

La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo

spazio campione S e come codominio la retta reale,

fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.

convenzione:

Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con

x i valori che

essa assume

Probabilità 03 - 9 / 41

Sommario

• I modelli della popolazione oggetto– grandezza caratteristica – introduzione ai modelli della popolazione oggetto

• funzione “di probabilità cumulativa”• funzione “densità di probabilità”

– variabili casuali discrete– variabili casuali continue

• I parametri dei modelli– i valori attesi– i quantili

• La distribuzione normale– la distribuzione di Gauss– la distribuzione normale “standardizzata”

Probabilità 03 - 10 / 41

parte 3 (segue)Le funzioni di

probabilità

Probabilità 03 - 11 / 41

Modelli della popolazione oggetto

Le funzioni di probabilità, cioè la

– densità di probabilità fX ( x ) e la

– distribuzione cumulativa di probabilità FX ( x ),

sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione

oggetto per quanto è attinente al

valore (della misura) della caratteristica comune.

Probabilità 03 - 12 / 41

Variabili casualicontinue

Probabilità 03 - 13 / 41

Funzione di distribuzione cumulativa

La “funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )” può essere concepita sia con riferimento a variabili casuali discrete, sia con riferimento a variabili casuali continue.

In entrambi i casi la FX ( x ):

• ha per dominio l’asse reale,• per codominio l’intervallo chiuso [ 0 , 1 ],• ed è definita come:

FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]

Probabilità 03 - 14 / 41

Funzione di distribuzione cumulativa

• La funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ), nel caso di una

variabile casuale X di tipo continuo, presenta un andamento

diverso da quello già visto nel caso discreto:

Probabilità 03 - 15 / 41

Funzione di densità di probabilitàdefinizione:

Data una variabile casuale continua X si dice

“ funzione di densità di probabilità di X ” o “ funzione di densità ” quella funzione fx ( x ) per cui:

duufx

X

FX (x)

ricordiamo che se X è discreta:

la funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) è legata alla funzione

di densità discreta fX dalla relazione:

xxj

jX

j

xf:

FX (x)

Probabilità 03 - 16 / 41

Funzione di densità di probabilità

• La funzione di densità di probabilità fX ( x ) è

una funzione da R nell’intervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà:

•

•

R xxf X ,0

1

dxxf X

Probabilità 03 - 17 / 41

I parametri dei modelli della

popolazione oggetto

Probabilità 03 - 18 / 41

Modello della popolazione

• Le funzioni di densità di probabilità fX ( x ) e distribuzione

cumulativa FX ( x ) sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione per quanto è attinente alla caratteristica comune.

Probabilità 03 - 19 / 41

Parametri della distribuzione

• Questi parametri, di regola legati a quelli che si definiscono “valori attesi”, rivestono grande importanza nella caratterizzazione della forma della distribuzione.

• I principali parametri di una distribuzione sono:– la media– la varianza

• Le funzioni di densità di probabilità fX ( x ) e distribuzione

cumulativa FX ( x ), oltre ad essere funzione della variabile X,

dipendono anche da altri parametri.

Probabilità 03 - 20 / 41

Media

definizione:

Si definisce “media” (o “valore atteso”) della variabile casuale X la funzione:

N

j

jX

j

jXjX

XX

N

x

xfx

dxxfx

1

1

• X variabile casuale continua

con funzione di densità fX ( x )

• X variabile casuale discreta con punti massa x1 , x2 , … , xn , …

e con funzione di densità discreta fX

• X variabile casuale discreta con punti massa x1 , x2 , … , xn , … equiprobabili

Probabilità 03 - 21 / 41

Varianza

definizione:

Data una variabile casuale X con media X si definisce “varianza” la funzione:

N

j

Xj

j

jXXj

XX

N

xX

xfxX

dxxfxX

1

2

1

2

2

var

var

var • X variabile casuale continua con

funzione di densità fX ( x )

• X variabile casuale discreta con

punti massa x1 , x2 , … , xn , …e funzione di densità discreta fX

• X variabile casuale discreta con

punti massa x1 , x2 , … , xn , …

equiprobabili

Probabilità 03 - 22 / 41

Scarto quadratico medio

definizione:

si definisce “scarto quadratico medio” o “deviazione standard”

la radice quadrata (positiva) della varianza:

XX var

Probabilità 03 - 23 / 41

Quantili

definizione:

il quantile q-esimo xq di una variabile casuale continua X

è il più piccolo valore x R tale che F X (xq) = q

Probabilità 03 - 24 / 41

Quantili

il quantile q-esimo xq di una variabile casuale continua X

è il più piccolo valore x R tale che F X (xq) = q

la definizione specifica che il quantile è “il più piccolo …”

e non “il valore …” per poter avere validità

sia con le variabili casuali continue sia con quelle discrete.

Probabilità 03 - 25 / 41

Quartili, percentili

tra i quantili più comunemente usati vi sono i tre quartili Q1, Q2 e Q3 che

hanno la caratteristica di suddividere l’area sottesa dalla funzione di densità

in quattro parti uguali, di modo che ciascuna di queste parti rappresenta il

25% del totale.

i percentili (o, più semplicemente, “centili”) sono quei quantili che

suddividono l’area in cento parti uguali.

Probabilità 03 - 26 / 41

Distribuzione normale o “di Gauss” ( o “di Laplace” o di “De Moivre” )

Probabilità 03 - 27 / 41

Distribuzione normale o “di Gauss”

definizione “classica”:

una popolazione con media e varianza 2 ha

distribuzione normale se la sua densità fX ( x )

può essere espressa nella forma:

2

2

1exp

2

1 xxf X

Probabilità 03 - 28 / 41

Distribuzione normale o “di Gauss”

definizione “semantica”:

una popolazione con media e varianza 2 ha

distribuzione gaussiana se la sua densità fX ( x )

può essere espressa nella forma:

2

2

1exp

2

1 xxf X

Probabilità 03 - 29 / 41

Distribuzione normale

una popolazione distribuita in modo normale

su cui viene definita una variabile casuale continua X

con media e varianza 2 può essere modellata mediante una

funzione di densità di probabilità fX ( x ) espressa nella forma:

2

2

1exp

2

1 xxf X

Probabilità 03 - 30 / 41

Distribuzione normale

al variare del valore della media la fX ( x ) trasla indeformata

la media e varianza 2 ( o la sua radice quadratache viene

indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto

l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori

di tali parametri:

Probabilità 03 - 31 / 41

Distribuzione normale

al variare del valore della varianza 2 la fX ( x ) si deforma

la media e varianza 2 ( o la sua radice quadratache viene

indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto

l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori

di tali parametri:

Probabilità 03 - 32 / 41

Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• teorema 2.x:

se X è una variabile casuale con distribuzione normale,

media e varianza 2 , allora la variabile casuale Z

ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.

La densità della Z è pertanto espressa dalla:

2exp

2

1 2zzfZ

X

Z

Probabilità 03 - 33 / 41

Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• teorema 2.x:

se X è una variabile casuale con distribuzione normale,

media e varianza 2 , allora la variabile casuale Z

ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.

X

Z

Probabilità 03 - 34 / 41

Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0,

dxxfdxxfx

dxxfdxxfxdxxfx

XX

XXXZ

1

xx

z

Probabilità 03 - 35 / 41

Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0,

xx

z

0

1

dxxfdxxfx

dxxf

dxxfx XX

Z

X

X

Probabilità 03 - 36 / 41

Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,

xx

z

2

2

2

2

22 0var

dxxfx

dxxfx

dxxfx

dxxfzZ

X

X

XXz

Probabilità 03 - 37 / 41

Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,

xx

z

1var

var

var

2

2

22

Zdxxfx

Z

Xdxxfx

X

X

Probabilità 03 - 38 / 41

Glistimatori

Probabilità 03 - 39 / 41

Popolazione oggetto

• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.

• Una popolazione può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …)

• La caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto viene, nella maggior parte dei casi, espressa da un numero che ne rappresenta il valore. Studieremo quindi popolazioni costituite da insiemi di numeri che rappresentano i valori ottenuti mediante la misurazione della caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto, valori che risultano

distribuiti con una densita f [ ·].

Probabilità 03 - 40 / 41

Misurazione della caratteristica comune

• Il valore della caratteristica che accomuna gli elementi della popolazione campione può essere determinato con le più diverse procedure di misurazione: quando le misure non sono tali da procurare danni agli elementi misurati si può ipotizzare una prova “a tappeto”, ma quando le prove possono danneggiare i dispositivi la prova deve essere condotta “su di un campione”.

Probabilità 03 - 41 / 41

Gli “stimatori”

• Quando non è possibile individuare il valore di un parametro atteso dall’esame della distribuzione o dall’esame dell’intera popolazione retta da quella distribuzione si ricorre ad una sua stima esaminando un campione di numerositàlimitata con l’ausilio di una funzione matematica detta “stimatore”.