probabilità. un percorso didattico probabilità di eventi non “elementari”

Probabilità. Un percorso didatticoprobabilità di eventi non “elementari”legge della moltiplicazione

L. Cappello, C. Bonmassara cura di L. Cappello

5 giugno 2014

1Didattica probabilità e statistica PAS 2014

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Probabilità di eventi non elementari - Unione

Se alla roulette (europea) punto su un numero pari o nero,qual è la probabilità che io vinca?

Contiamo i casi favorevoli … 𝟐𝟔𝟑𝟕 la probabilità è

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spazio agli interventi degli studenti

Probabilità di eventi non elementari - Unione

controlliamo … 2637 ≠ 𝟏𝟖𝟑𝟕+ 𝟏𝟖𝟑𝟕

Invece possiamo ricorrere all’uguaglianza seguente? E’ vera?p("pari" ∪ "nero") = p("pari")+ p("nero") (*)

effettuiamo anche prove materiali (test di ipotesi)

Per quale motivo è falsa?

Vale # (P U N ) = # P + # N - # (P ∩ N )

P N11 13 15

17 29

31 33 35

14 16 1812

30 3234 36

24 6 8 10

20 22 24 2628

Con (*) si contano due volte gli elementi di P ∩ N Didattica probabilità e statistica PAS 2014

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Probabilità di eventi non elementari – Unione …

Tali quesiti stimolano l’uso di più forme di rappresentazione:

- il linguaggio degli insiemisimboli e termini, operazioni

- la schematizzazione grafica mediante diagrammi di Venn

- il linguaggio logico … i connettivi “o”, “e”, “non” significato logico e uso nel linguaggio naturale

Addirittura diventano un’occasione per introdurre contenuti: G. Prodi, libro di testo “Matematica come scoperta”

E sviluppano la capacità di passare da una all’altrain particolare: “e” - intersezione, “o” - unione

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Probabilità di eventi non elementari – Unione …

Ma è importante scegliere oculatamente quali- formule - termini

proporre agli studenti

Proporreste l’enunciato del Teorema delle probabilità totali?

E le definizioni di eventi compatibili, incompatibili?

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Probabilità di eventi non elementari – Unione …

In una scuola la probabilità che uno studente, scelto a caso, sappia pattinare è del 31%. Quella che uno studente sappia arrampicare è del 24%.Tali informazioni sono sufficienti per determinare la probabilità che uno studente della scuola sappia pattinare e arrampicare?

le informazioni fornite non sono sufficienti!

Fornisci un esempio di informazione aggiuntiva, mediante la quale si possa determinare la probabilità richiesta.

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Piuttosto … una questione significativa

P A

?

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Probabilità di eventi non elementari - Complementare

Lanciamo tre dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6.Qual è la probabilità che il punteggio (somma dei tre numeri usciti) sia almeno “5”?

gli studenti esplorano il pb … si devono considerare molti casi

il docente suggerisce una strategia

• consideriamo l’evento complementare (contrario)

C = “il punteggio è minore di 5” ossia

C = “il punteggio è 3 oppure è 4”

• numero casi favorevoli a C: 1+3 = 4

• p(“almeno 5”) =

numero casi favorevoli ad “almeno 5”: 216 – 4 = 212

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Probabilità di eventi non elementari - Complementare

𝑝ሺ"≥ 5"ሻ= 212216 𝑝ሺ"< 5"ሻ= 4216 quindi

𝒑ሺ"≥ 5"ሻ+ 𝒑ሺ"< 5"ሻ= 212216 + 4216 = 𝟏

Osservazione

𝑝ሺ𝐸ሻ+ 𝑝(𝐸𝑐) = 1 dato che 𝑝(𝐸∪𝐸𝑐) = 1

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E

Ec

Infatti

In generale, per ogni evento E vale𝒑(𝑬) = 𝟏 − 𝒑(𝑬𝒄)

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Probabilità di eventi non elementari – Alcuni esercizi

Alcuni esempi

modellizzazione anche mediante circuiti elettrici

Esercizi dai testi in adozione

ma con attenzione

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Legge della moltiplicazione – Problemi motivanti

sviluppiamo gli strumenti matematici per affrontarli

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Il test “Elisa” relativo all’HIV ha una sensibilità del 99,9% e una specificità del 99,9%. Se la malattia ha una prevalenza dello 0,3%, qual è la probabilità che il test dia indicazioni errate su un individuo scelto a caso nella popolazione?

Test clinici

Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Scommetteresti che vi sono almeno due tra esse che compiono gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)?

Compleanni

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Legge della moltiplicazione – Una giustificazione

Giochiamo a battaglia navale.Qual è la probabilità di colpire la portaerei in figura? Con un colpo.

prodotto cartesiano

𝟔𝟑𝟓 La probabilità è

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• numero casi favorevoli = 2∙3 numero casi possibili = 5∙7

• “colpire la portaerei” = A e B

Un approccio per componenti

Legge della moltiplicazione – Una giustificazione

• un colpo:1) si indica un numero2) si indica una lettera

Possiamo generalizzare il risultato?

B

A

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𝑝ሺ𝑨 𝑒 𝑩ሻ= 𝟐∙𝟑5∙7

Qual è il significato della formula?

= 𝟐5 ∙𝟑7 = 𝒑(𝑨) ∙𝒑(𝑩)

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Legge della moltiplicazione – Urna

In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e la si reinserisce nell’urna prima dell’estrazione successiva.Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?

gli studenti esplorano il problema:effettuano prove dell’esperimento …poi magari elencano i casi possibili: R1R1, R1R2, … R1B1, …

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Legge della moltiplicazione – Urna

seconda estrazione

B2

B1

R3

R2

R1

R1 R2 R3 B1 B2

prima estrazione

Un modello: la tabella

𝟔𝟐𝟓 la probabilità dell’evento “R e B” è

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Legge della moltiplicazione – Urna

Un altro modello: il grafo ad albero

3/5

3/5 3/5

2/5

2/5 2/5

estrazione 1

estrazione 2

• la probabilità di ogni estrazione …

• il cammino “favorevole” …

𝟑𝟓∙𝟐𝟓 p(R e B) = 𝑝(𝑹) ∙𝑝(𝑩) ossia p(R e B) =

Cerchiamo relazioni tra p(R e B)=6/25 e le prob. sul grafo: lettura sul grafo:prodotto probabilità dei rami

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estrazione 1

estrazione 2

Legge della moltiplicazione – Urna

I due modelli a confronto

Ad ogni cammino sull’albero corrisponde una cella della tabella contratta

seco

nda

estr

azio

ne

prima estrazione

RR

BB RB

BR

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Legge della moltiplicazione – Urna

Una giustificazione mediante un’analogia

R

3/5

3/5 2/5

• immaginiamo che il grafo rappresenti un condotto per l’acqua

• se il tubo verde in alto porta a litri, allora nel tubo verde sotto scorrono i 2/5 di a litri, • se il tubo in alto porta 3/5 di litro, allora …

Analogamente nel pb in esamesi percorre il ramo in alto con probabilità 3/5,allora si percorre quello verde in basso con probabilità globale 2/5 3/5∙

ma è solo un’analogia

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ossia 2/5 ∙ a litri

richiama le percentuali iterate

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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e non la si reinserisce nell’urna.Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?

gli studenti esplorano il problema, effettuano prove

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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

seconda estrazione

B2 xB1 x

R3 x

R2 x

R1 x

R1 R2 R3 B1 B2

prima estrazione

La tabella

𝟔𝟐𝟓− 𝟓 = 310 la probabilità dell’evento “R e B” è:

alcune celle non intervengono!

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estrazione 1

estrazione 2

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

Il grafo ad albero3/5

1/2 3/4

2/5

1/2 1/4

𝟑𝟓∙𝟏𝟐 p(R e B) =

cambiano le probabilità della seconda estrazione!

Gli studenti notano che vale

ancora il prodotto delle probabilità “elementari”, ma con attenzione …

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3/5

3/5 3/5

2/5

2/5 2/5

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

estrazione 1

estrazione 2

3/5

1/2 3/4

2/5

1/2 1/4

𝟑𝟓∙𝟏𝟐 p(R e B) = 𝟑𝟓∙𝟐𝟓 p(R e B) =

senza reimmissionecon reimmissione

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Legge della moltiplicazione – Le scelte del docente

- la stessa definizione di eventi indipendenti?

- la stessa notazione per la probabilità che dipende da altre?

- lo stesso enunciato della legge della moltiplicazione?

Considerate quanto riporta il libro di testoM. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità Blu, Zanichelli

Seguireste l’ordine in cui sono presentati nel testo?

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In un percorso per il primo biennio, proporreste

Quali sono le vostre definizioni, notazioni e i vostri enunciati?

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Legge della moltiplicazione – Facciamo il punto

Modelli:urna con reimmissione indipendenzaurna senza reimmissione dipendenza

Legge della moltiplicazioneDati due eventi A, B, la probabilità dell’evento A ∩ B è ugualeal prodotto della probabilità dell’evento A per la probabilità di Bvalutata nell’ipotesi che A si sia verificato.

sia per eventi indipendenti che dipendenti

Due eventi si dicono indipendenti se la conoscenza del fatto che uno di essi si è verificato non modifica la probabilità dell’altro.

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Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?

Più importante: disporre di modelli di riferimento … l’urna

𝑝ሺ𝐴∩𝐵ሻ= 𝑝(𝐴) ∙𝑝(𝐵)

Una definizione equivalente di indipendenza:

ma non insistere

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Indipendenza. Non sempre è intuitiva

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?

Esperimento del lancio di un dado a 6 facce

A = “esce un numero pari”B = “esce il numero 1 o il numero 2“

• Verifichiamo:p(A) p(B) = 1/6 = p(A∩B)∙

• Sono indipendenti!

… attenzione

• Intuitivamente i due eventi A, B vi sembrano indipendenti?

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Inghilterra, dopo seconda guerra mondiale, analisi statistica su N case.Per ogni casa si rileva se c’è un nuovo nato, un nuovo nido di cicogna:

A = “almeno un nuovo nido di cicogna sul tetto di una casa fissata”B = “almeno un nuovo nato in una casa fissata”

Dai dati: 𝑝ሺ𝐵 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝐴ሻ> 𝑝(𝐵) ossia A,B sono dipendenti

A influenza B?

No! A, B hanno una causa comune: la fine della guerra.

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?

Dipendenza. Non sempre è influenza tra eventi

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dove c’è un nido di cicogna è maggiore la probabilità di una nascita

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Introdurne una quando serve univocità e coincisionevantaggi della formalizzazione

Piuttosto oppure

All’inizio è meglio non utilizzare notazioni specifiche per la probabilità che dipende da altre

E’ più importante evitare ambiguità nel linguaggio “probabile” = “possibile”

“non probabile” = “non possibile”

Legge della moltiplicazione – La notazione p(A|B)

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- un’unica formulazioneper eventi indipendenti o dipendenti

Legge della moltiplicazione – Come applicarla?

- non serve chiedersi a priori se A, B sono dipendentia meno che la richiesta non sia di verificarlo - attenzione a valutare la “nuova” probabilità di Bnell’ipotesi che A si sia verificato … ma essa potrebbe non cambiare

è responsabilità dell’insegnante

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All’inizio è meglio non usarlain una prima fase serve quasi solo per calcolare p(A∩B)

Però ha un ruolo fondamentale:- è la definizione di probabilità condizionata-

- da essa deriva

la definizione di dipendenza ed indipendenza di eventi la legge della moltiplicazione il significato di probabilità condizionata nei tre approcci

Legge della moltiplicazione – Come applicarla?

𝒑ሺ𝑨 |𝑩ሻ= 𝒑ሺ𝑨∩𝑩ሻ𝒑(𝑩) La formula

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Legge della moltiplicazione – Consolidamento

Alcuni esempi

Esercizi dai testi in adozione (tra poco)

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Per quale motivo di fondo le 2 prob. sono uguali?

Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete?

TTTTTTTTTT TCTCCTCTTC

Regolarità

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

൬𝟏𝟐൰𝟏𝟎

p(TTTTTTTTTT) = p(T) ∙ p(T) ∙ … ∙ p(T) =

I lanci sono indipendenti.

C’è una sequenza di 10 lanci sulla quale scommettete?

p(TCTCCTCTTC) = p(T) ∙ p(C) ∙ … ∙ p(C) = ൬𝟏𝟐൰𝟏𝟎

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Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. L’esito dei primi 9 lanci è TTTTTTTTT.Al decimo lancio è più probabile ottenere C?

Compensazione (riformulata)

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

I lanci sono indipendenti ovvero “la moneta non ha memoria”.Quindi al decimo lancio, come al primo, vale p(T) = p(C) = 1/2.

- L’evento “i primi nove lanci hanno tutti esito testa” è poco probabile: p(TTTTTTTTT) < 1/500

Ma ormai è accaduto. E’ un evento certo.Solo gli esiti del decimo lancio sono eventi aleatori.

- Fraintendimenti: considerare globalmente i 10 esiti interpretare in modo errato la Legge dei grandi numeri

Approfondiamo

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Compensazione

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

… tutto questo in teoria, ma nella pratica cosa succede?

Proviamo!

Idea e traccia di lavoro

File predisposto per studenti

Il quesito “Marta e i bambini” (slide 10 del primo incontro)

gli studenti possono rispondere in modo autonomo servono alcune ipotesi, utile la lettura “Genetica e determinazione del sesso”

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meglio però effettuare anche esperimenti materiali

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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

Qual è la probabilità che il “53” non esca per 182 estrazioni consecutive?

Numeri ritardatariIl “53” non è uscito per 182 estrazioni consecutive sulla ruota di Venezia. Qual è la probabilità che esca su tale ruota alla 183-esima estrazione?

• La probabilità di uscita alla 183- esima estrazione è ancora p: le estrazioni sono indipendenti (per il meccanismo fisico di estrazione)

(1− 𝑝)182 ≈ 0,000030

𝑝= 590 = 118

• La probabilità che esca il “53” ad una data estrazione su tale ruota è

poco probabile ma ormai è passato

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Approfondiamo

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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

… il “53” è uscito su Venezia il 9 febbraio 2005, alla 183 – esima estrazione

Attività. Scommessa con gli studenti. Il docente punta un numero “a caso”.

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Numeri ritardatari

Ecco i “numeri spia” dal sito della Lottomatica. E’ uscito il “15” sulla ruota di Bari. E’ vero che allora aumenta la probabilità di uscita dell’ “84”? Giustifica.

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Test clinici

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

- Test di gravidanza: una situazione semplice

Una popolazione di 10.000 individui è stata sottoposta ad un test per diagnosticare una certa malattia.Sono risultate positive al test 1.726 persone e si assume che il test sia risultato positivo per il 99,0% dei malati. Inoltre si assume che il 2,0% della popolazione avesse la malattia.Qual è la probabilità che il test abbia fornito indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione?

- Un problema significativo

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il video del problema e della risoluzione realizzato dal Laboratorio:http://youtu.be/N_sdkLtECps

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Test clinici

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

Una popolazione è sottoposta al test “Elisa” per la diagnosi dell’HIV.La probabilità che il test sia positivo sull’individuo che ha il virus è del 99,9% (sensibilità del test). Quella che il test sia negativo sull’individuo “sano” è del 99,9% (specificità).Inoltre si assume che lo 0,3% della popolazione abbia la malattia (prevalenza). Qual è la probabilità che il test fornisca indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione?

si risolve analogamente ai due pb precedenti, con un grafo ad alberop(“esito errato”) = 0,997 0,001 + 0,003 0,001 = ∙ ∙ 0,001

- Uno dei problemi motivanti, ora precisato.

esploriamo: come cambia la risposta al variare dei valori numerici in ipotesi?… cerchiamo anche una giustificazione algebrica

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- Proporreste agli studenti l’esercizio n. 60? Quando nel percorso?

Cosa indica la normativa? – Secondaria Superiore Legge della moltiplicazione – Esercizi dai libri di testo

Considerate il testo per il primo biennio

M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità.Blu, Zanichelli

Esaminate le sezioni dedicate agli esercizi sulla legge della moltiplicazione

- Quali esercizi dal n. 69 all’84 proporreste agli studenti?

- Risolvereste il n. 61 nel modo in cui è svolto sul testo?

- Considerate l’esercizio svolto n. 77 (legge della moltiplicazione). Vorreste che gli studenti producano una risoluzione analoga?

esaminate notazioni, formalizzazione, giustificazioni, approccio

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