sot3-neparametarski testovi[1]

Predavač: docent Mirko SavićPredavač: docent Mirko Savićsavicmirko@hotmail.com

Str. 644;221;148

Uvod uUvod uneparametarskeneparametarske

testovetestove

Hi-kvadrat testovi

Najčešće se koriste četiri vrste 2 testa:•test značajnosti proporcije,•test prilagođenosti (aproksimacije) empirijskog rasporeda teorijskom rasporedu,•test nezavisnosti obeležja,•test homogenosti skupa.

Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija.

Str. 646;221;149

Izračunava se vrednost: 2

0

2

;r

2

0 ≤ 2

;r . Nulta hipoteza H0 se prihvata. Ne postoje statistički značajne razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija.

2

0 > 2

;r . Nulta hipoteza H0 se odbacuje. Postoje statistički značajne razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija.

Tablična vrednost:

0

Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze H0

2f

Odbacivanje H0Prihvatanje H0

2

;r

20

2; r

20

2; r

Grafički prikaz:

Test značajnosti proporcije

Ocena značajnosti razlike originalnih frekvencija i teorijskih frekvencija

f t

i

Broj grupa u empirijskom rasporedu mora biti m>2.

Primer 242 (strana 648)Hi kvadrat test – Test značajnosti proporcije

Primer 243 (strana 649)Hi kvadrat test – Test značajnosti proporcije

fi

Str. 648;222;150

SOT-022 K:4-15Hi kvadrat test značajnosti proporcije

5f ti

Sve teorijske frekvencije moraju biti veće od 5! Ako nisu, spajaju se sa susednom!

Test prilagođenosti (aproksimacije) empirijskog

rasporeda teorijskom rasporedu

Broj stepeni slobode:•za normalni raspored r=m−3•za binomni i Puasonov raspored r=m−2.

Primer 244 (strana 651) – Hi kvadrat test – Test prilagođenosti normalnom rasporedu

Testiranje prilagođenosti nekom teorijskom rasporedu.

Str. 651;224;152

Test nezavisnosti obeležja

Testiranje modaliteta dva obeležja jednog osnovnog skupa iz kojeg se formira slučajan uzorak.

Formulišu se sledeće hipoteze:H0: Modaliteti obeležja su nezavisni.H1: Modaliteti obeležja su zavisni.

Broj stepeni slobode: r=(m−1) (k−1)m – broj redova; k – broj kolona u tabeli kontingencije

Str. 652;225;156

m

i

k

jijf

C

1

2

01

2

0

Vrednost koeficijenta u interalu 0≤C≤1

Primer 245 (strana 654)Hi kvadrat test – Test nezavisnosti obeležja

Koeficijent kontingencije:

SOT-079 K:4-18Hi kvadrat test nezavisnosti obeležja

Test homogenosti skupa

Proverava se razlika između više različitih skupova.

Formulišu se sledeće hipoteze:H0: Svi uzorci pripadaju istom osnovnom skupu.H1: Bar jedan uzorak ne pripada osnovnom skupu.

Primer 246 (strana 656)Hi kvadrat test – Test homogenosti skupa

Str. 656;228;153

SOT-028 K:4-17Hi kvadrat test homogenosti skupa

Test na osnovu homogenog niza

Ispituje da li dva nezavisna uzorka pripadaju istom osnovnom skupu.

Str. 658;230;

(Run-test, Wald-Wolfowitz, redosledni test)

Izračunava se

Tablična vrednost:

K0

K nn 21;;

Ako n1≤20 ili n2≤20:

Tablica: Granične vrednosti broja nizova za test homogenog niza K.

H0 se prihvata ako je:

H0 se odbacuje ako je:

(uzorci ne pripadaju istom osnovnom skupu)

(uzorci pripadaju istom osnovnom skupu)

KK nn 21;;0

KK nn 21;;0

Izračunava se vrednost:

Ako n1>20 i n2>20:

uu nn 21;H0 se prihvata ako je:

uu nn 21;

u nn 21;

H0 se odbacuje ako je:

(uzorci ne pripadaju istom osnovnom skupu)

(uzorci pripadaju istom osnovnom skupu)

SOT-089Test na osnovu homogenog niza, mali uzorci

SOT-Test na osnovu homogenog niza, veliki uzorci

Test na osnovu medijane

Kada se podaci iz dva uzorka ne mogu grupisati po parovima i kada uzorci nemaju isti broj jedinica (n1≠n2).

Primer 249 (strana 665)Test na osnovu medijane

Izračunava se vrednost: 2

0

2

;rTablična vrednost:

Str. 662;232;158

SOT-081 K:4-19Test na osnovu medijane

Prošireni test na osnovu medijane

Tri ili više nezavisnih promenljivih.

Primer 260 (strana 699)Prošireni test na osnovu medijane

Izračunava se vrednost: 2

0

2

;rTablična vrednost:

Str. 698;245;161

SOT-084 K:4-20Prošireni test na osnovu medijane

Test na osnovu sume rangova(Wilcoxon-ov T-test ili Mann-Whitney U-test)

Provera da li dva nezavisna uzorka pripadaju istom osnovnom skupu na osnovu toga što imaju istu medijanu.

Str. 667;235;164

Hipoteze se formulišu na jedan od sledećih načina:

1. Dvosmerni test: H0: Me1 = Me2, H1: Me1 ≠ Me 2.

WD≤WA≤WG.

2. Jednosmerni test: H0: Me1 ≤ Me 2, H1: Me1 > Me2.

WA≤WG.

3. Jednosmerni test: H0: Me1 ≥ Me 2, H1: Me1< Me2.

WD≤WA.

Za n1≤10 i n2≤10:

Uvek se uzima suma rangova manjeg uzorkaWA ili WB

Tablične vrednosti WD; WG

Normalizovana slučajna promenljiva u0.

Za n1>10 i n2>10:

Upoređuje se sa uα.

Napomena: U-test se ne radi!

Prvi način izrade:

Primer 251 (strana 676) – Test na osnovu sume rangova

Uz pomoć broja inverzija MW0

MW0 se upoređuje sa tabličnom vrednošću MW.

Drugi način izrade:

Siegel-Tukey-ev testStr. 679;238;

Kada se posmatraju dva nezavisna uzorka formirana iz dva osnovna skupa.

Testiranje značajnosti razlika u varijabilitetu obeležja.

Za dvosmerni test (H0:Me1=Me2) :

WD≤WA≤WG H0 se prihvata

WA≤WD ili WA>WGH0 se odbacuje

Ako je n1<10 ili n2<10:

Izračunava se WA i upoređuje sa WD i WG

(tablica: Donja i gornja kritična vrednost W testa sume rangova)

Za jednosmerni test:

H0:Me1≥Me2 (rizik greške α ide na levu stranu):

WA≥WD

WA<WD

H0 se prihvata

H0 se odbacuje

H0:Me1≤Me2 (rizik greške α ide na desnu stranu):

WA≤WG

WA>WG

H0 se prihvata

H0 se odbacuje

SOT-018 Siegel-Tukey-ev test

Ako je n1>10 i n2>10:

12

12

1

21

1

0

Nnn

NnW

uA

Izračunava se u0 i upoređuje sa tabličnom vrednošću uα (za jednosmerni ili dvosmerni test)

Ako ima zajedničkih rangova za elemente iz oba uzorka:

14

31

212

212121

10

NNSSnnNnn

NnWu

A

S1-zbir kvadrata rangova koji su stvorili zajedničke rangove

S2-zbir kvadrata zajedničkih rangova

SOT- Siegel-Tukey-ev test

Test na osnovu predznaka(Sign-test)

Analiza promena vrednosti obeležja na istim uzorcima u ponovljenim posmatranjima.

Nulta hipoteza može da se formuliše na jedan od sledećih načina: H0: S(+) = S(−)=0,5, 1. Dvosmerni test: H1: S(+) ≠ S(−), 2. Jednosmerni test: H1: S(+) ≤ S(−), 3. Jednosmerni test: H1: S(+) ≥ S(−),

Str. 683;240;165

Primer 254 (strana 686) – Test na osnovu predznaka

Primer 255 (strana 688) – Test na osnovu predznaka

Postoji više načina izračunavanja! Koristićemo sledeće:

S 2

Wilcoxon-ov test ranga sa znakom

1.Provera nulte hipoteze H0 o nepoznatoj vrednosti parametra osnovnog skupa na osnovu jednog uzorka.

Moguće je formulisanje hipoteza na sledeće načine:

1. Dvosmerni test: H0: Me = M e

0 , H1: Me ≠ M e

0 .

2. Jednosmerni test: H0: Me ≥ M e

0 , H1: Me< M e

0 .

3. Jednosmerni test: H0: Me ≤ M e

0 , H1: Me > M e

0 .

2.Testiranje razlike između dva osnovna skupa, gde je ta razlika jednaka određenoj vrednosti medijane.

Str. 692;243;166

Dvosmerni test:

M e0

M e0

H0 se prihvata pod uslovom:WD<W+<WG,

Jednosmerni test:

Ako je H0: Me≥

H0 se prihvata pod uslovom: WD<W+.

Ako je H0: Me ≤

H0 se prihvata pod uslovom: W+<WG.

Za n≥30:

Primer 257 (strana 695) – Wilcoxon-ov test ranga sa znakom

Primer 259 (strana 697) – Wilcoxon-ov test ranga sa znakom

Može se koristiti i standardizovana promenljiva u0.

Kruskal-Wallis-ov testStr. 701;248;

Neparametarska zamena za analizu varijanse jednog faktora varijabiliteta

Testira se sledeća hipoteza:

H0: Me1=Me2=...=Mek, k>2

H1: Bar dve medijane se razlikuju

Izračunava se statistika testa:

131

12

1

2

N

n

TNN

Hk

i i

ik

k – broj uzorakani – broj jedinica u i-tom uzorkuN – ukupan broj jedinica u svim uzorcimaTi – zbir rangova u i-tom uzorku

11

21

NN

Td

i

Ukoliko postoje zajednički rangovi:

12 ddT

d – broj podataka koji čine zajednički rang

Korektivni faktor:

Hk se deli sa korektivnim faktorom!

HH nnnk ;;; 321

Ako se testiraju samo tri uzorka i ni≤5, i=1,2,3:

Tablica: Kritične vrednosti H Kruskal-Wallis-ovog testa u slučaju 3 nezavisna uzorka

HH nnnk ;;; 321

H0 se prihvata

H0 se odbacuje

U ostalim slučajevima se koristi tablica χ2 rasporeda:

2

;rkH H0 se prihvata

H0 se odbacuje 2

;rkH

r=k−1

Obavezno nacrtati grafikon!

SOT-096 Kruskal-Wallis-ov test

Friedman-ov test

Više zavisnih uzoraka u cilju ispitivanja da li svi uzorci pripadaju istom osnovnom skupu.

Neparametarska varijanta analize varijanse sa dva faktora varijabiliteta.

Str. 705;250;168

Postavljanje hipoteza:

H0: Ne postoje statistički značajne razlike između redova (blokova, posmatranja);

H1: Postoje statistički značajne razlike između redova (blokova, posmatranja).

Rangiranje se vrši posebno za svaki red.

QF<Q(k;n;α), 2

;rFQ

.

Primer 263 (strana 706) – Friedman-ov test

H0 se prihvata pod uslovom:

ili

Fergusonov test monotonije trenda

Str. 709;251;

Postupak za testiranje postojanja trenda.

Koristi se ako su u pitanju zavisni uzroci.

Uvek je jednosmerni test.

SOT-101 Fergusonov test monotonije trenda

Kohranov test

Za više od dva zavisna uzorka, gde svaka jedinica u uzorku ima ili nema određenu karakteristiku.

Rk r2

;

Primer 266 (strana 714) – Kohranov test

H0 se prihvata pod uslovom:

Str. 713;254;169

Kolmogorov-Smirnov testStr. 715;256;

Koristi se za dve vrste problema:

1.za upoređivanje neprekidnog empirijskog sa neprekidnim teorijskim rasporedom,

2.za testiranje da li dva uzorka čiji je raspored nepoznat pripadaju istom osnovnom skupu

SOT-019 Kolmogorov-Smirnov test, empirijski i teorijski raspored

SOT- Kolmogorov-Smirnov test, dva uzorka