statistische methoden ii ss 2008 vorlesung:prof. dr. michael schürmann zeit:freitag 10.00 - 12.30...
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Statistische Methoden II SS 2008
Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Makarenkostraße (Kiste)
ÜbungenGruppe 2: Henrike Berg Di 8.00 - 10.00 SR
222Gruppe 1: Hermann Haase Di 10.00 - 12.00 SR
222Gruppe 5: Svenja Schützhold Di 12.00 - 14.00 SR
222Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14:00 - 16:00 SR
4 ??Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16:00 - 18:00 SR 5Gruppe 4: Sabine Storandt Mi 8.00 - 10.00 SR
222Gruppe 3: Hermann Haase Mi 10.00 - 12.00 SR
222Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi 12.00 - 14.00 SR 3
SR 222 : Fleischmannstraße 6SR 3, 4 + 5: Loefflerstraße 70
http://www.math-inf.uni-greifswald.de/algebra/
Statistische Methoden IWS 2007/2008
Literatur
1) G. Bamberg, F. Baur: Statistik. Oldenbourg 2) G. Bamberg, F. Baur: Statistik-Arbeitsbuch. Oldenbourg 3) L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Springer 4) J. Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Pearson Education 5) H. Haase: Stochastik für Betriebswirte. Shaker 6) J. Hartung: Statistik. Oldenbourg 7) R. Schlittgen: Einführung in die Statistik. Oldenbourg 8) A. Quatember: Statistik ohne Angst vor Formeln. Pearson Studium 9) H.-D. Radke: Statistik mit Excel. Markt + Technik
Statistische Methoden I + II 2007/2008
Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See?Zur Geschichte der Statistik
I. Beschreibende Statistik
1. Grundlegende Begriffe
2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)
3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung
II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume
1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-
lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte
Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen
3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz
3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz
4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen
III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung
2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle
3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse
Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial
Vorstufe zur
Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen
1. Semester
2. Semester
Statistische Struktur diskret stetig
Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
Der Parameter
ist die beste Erklärung für die Beobachtung
Beispiel Poisson-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich-Probenvariablen (Intensität: )
M-L-Schätzer für
oder
Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)
M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:
Maximum-Likelihood-Schätzer(stetiger Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
Der Parameter
ist die beste Erklärung für die Beobachtung
Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Erwartungswert
Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Varianz bekannt
Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Varianz unbekannt
Übersicht
Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll:
Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt:
Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.
Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Erwartungswert bekannt
Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Erwartungswert unbekannt
Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für den Erwarungswert
Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
ist erwartungstreuerwartungstreu
Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für die Varianz
bekannt
ist erwartungstreuerwartungstreu
Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für die Varianz
unbekannt
ist erwartungstreuerwartungstreu
Kein M-L-Schätzer!!
Übersicht
erwartungstreuerwartungstreu
erwartungstreuerwartungstreu
erwartungstreuerwartungstreu
nichtnichterwartungstreuerwartungstreu
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen
Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev
Niveau
Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)
Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:
Niveaukleiner
Intervallbreiter
Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Schätzer von
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y
hat man
Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt
Annahme:
Konfidenzintervalle:
wobei
In unserem Beispiel:
Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:
und
Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung
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