sulla via delle competenze paestum 29 -30 sett. 1 ott.2011

Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

Collana Quaderni

dell’interculturaE.M.I.

Bologna - 2000

logica g iuda ad un contro llo

della correttezza e della coerenza dei d iscorsi

probabilitàg ioco ed apprend im ento

analisi deg li eventi possib ili verifica ed e laborazione dati in uscita

statisticaovvero

il m ondodei g rand i num eri

aritm etica com e arte dei num eri :

sim boli num ericisistem i num erici

m isuraponte tra geom etria ed

artim eticae tra le scienze tu tte

geom etria ed inform atica :logo

geom etria e log ica :il m ondo deg li a lgoritm i

geom etrialo spazio e la sua organ izzazione

le figure geom etriche e le loro org .le geom . : euclidea cartesiana in form atica non euclidea

M atem atica ovvero "ciò che si im para" (P itagora) per un apprend im ento sign ificativo

in un am bien te r icco d i potenzia lità cogn itive

Aritmetica arte dei numeri

n u m e ro N A TU R A L E

O R D IN A L E(su ccess ivo )

re go led i

su ccess ion e

ide ad i

su ccess ion ereg o la re

n u m eroN A TU R A L E

C A R D IN A L E(u n o d i p iù ..)

con servaz ion ed e lla

q u an tità

le ttu raq u an tita tiva

d e lrea le

Breve storia della matematica:la nascita dei sistemi numerici

Osso di Ishango,

antichissima testimonianza di

conteggio

pezzi di argilla con cui venivano sigillati i recipienti

Verso il 3.000 a.C., proprio per contenere la documentazione contabile tridimensionale, vengono utilizzati dei contenitori in argilla di forma tondeggiante le “ bullae” ; esse vengono sigillate e sulla superficie recano informazioni circa il mittente e la tipologia della merce, anche in termini quantitativi.

Base 2 o sistema binario

• Usato in Cina dal 3.000 a.C.

• è usato ancora da varie tribù dell’Australia.

• Gli stessi processori dei Personal Computer l’utilizzano.

0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 1010 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 110 - 111 - 1000 - 1001 - 6 - 7 - 8 - 9 -1010 - 1011 -1100 - 1101 - - 10 - 11 - 12 - 13- 1110 -1111 - 10000 ….- 14 - 15 - 16…..Legenda : numeri in blu Numerazione Binarianumeri in rosso Numerazione Decimale

Base 4

Usata dai Nabatei e dai Kharosthi (India Nord Occidentale) dal V° sec. a.C. al III° sec. d.C.

Probabilmente tale tipo di numerazione è stata favorita dall’usanza di toccare le quattro dita della mano con il pollice.

Base 12

Utilizzata dalla tribù Apho (Nigeria), è un’evoluzione della base 4 in quanto considera le tre falangi delle quattro dita.

Base 5

Fu usata dal 30.000 a.C. (ex Cecoslovacchia) molte numerazioni non posizionali recano tracce evidenti della base cinque

Base 5 - Base 10 - Base 20

Furono di gran lunga le più usate. La stessa numerazione romana in base 10 reca tracce della base 5 come pure le numerazioni dei Maya (in base 20) e degli Aztechi (in base 10).

I Cumana (Etiopia) usano l’espressione “un uomo intero” per indicare venti, “due uomini interi” per indicare quaranta.

Per lo stesso motivo gli abitanti dell’isola Indonesiana di Enggano (Sumatra) dicono “cinque uomini” per indicare cento.

I Baschi utilizzano ancora la base 20 per cui dicono “venti e dieci” per indicare trenta ..... .

Base 10

Secondo Aristotele, tale base si impone proprio perché l’uomo utilizza le dita delle mani come abaco naturale sempre a sua disposizione.

in Cina l’abaco è chiamato “ Suan phan “

in Giappone “ Soroban “

1 5 3 2 7 8 6

CIVILTA’ DEL MESOAMERICA

e le loro matematiche

La numerazione Maya

Gli antichi abitanti della penisola dello Yucatan, nell’attuale Messico, usavano un sistema di numerazione in base 20. La notazione era posizionale: utilizzavano un puntino per l’unità, una barretta orizzontale per le cinquine,

e… il simbolo

Come simbolo distanziatore

Maya (dal 500 a.C. al 300 d.C.)

La scrittura e l’organizzazione della misura del tempo sono indicatori del livello culturale veramente significativo raggiunto dai Maya.

Essi si servivano della matematica per determinare i giorni fausti e infausti.

I loro sacerdoti erano al contempo astronomi, astrologi, matematici.

Pur non conoscendo né frazioni, né numeri decimali, avevano una matematica di notevole interesse per quanto riguarda l’originalità del loro sistema numerico, vigesimale, con alcune “compromissioni “ in base 5. Era infatti una struttura posizionale, l’originalità sta proprio nella scrittura verticale dei numeri.

L’uso di soli 3 simboli per la composizione dei numeri, richiede a supporto una qualche sopravvivenza di regole additive :

Sorprendenti sono le analogie tra i sistemi numerici babilonesi e maya.

Babilonesi Maya

additivo fino a 59 additivo fino a 19

posizionale da 60 posizionale da 20

potenze di 60 potenze di 20

notazione posizionale

Orizzontale notazione posizionale verticale

201 ( X 18)

SISTEMA POSIZIONALE VERTICALE VIGESIMALE

Simbolo distanziatore

per l’unità,

per le cinquine

Alcuni numeri ammettevano anche delle notazioni alternative, come lo zero

ed anche il 20:

I numeri da 1 a 13, inoltre, erano divinizzati, e talvolta i Maya li raffiguravano sotto forma di volti. Ecco diverse rappresentazioni della cifra 1 nel 10, nel 19 e come unità.

L’anno dei Maya, come quello dei Babilonesi, durava 360 giorni a cui si aggiungevano 5 giorni “infausti”.

La terza cifra dal basso indicava allora 360 = 18 20 anziché 400 = 20 20.

Un sistema leggermente diverso veniva usato per scrivere le date.

Un frammento del codice di Dresda

Seconda colonna a sinistra,dall’alto in basso 9X20X 20X18X20 9X 20X18X20 16X18X20 0X20 0 = 1.296.000+64.800+5760+0+0= 1.366.560

Notazioni numeriche azteche

L’aritmetica degli INCAS

ovvero un sistema numerico (posizionale, decimale, …

verticale)

….senza scrivere un numero

63.103 +5.102 + 7.101 + 6.100 = = 3576

GLI INCAS

Registrazioni di numeri attraverso i nodi, sono in realtà abachi o libri contabili strutturati in maniera così originale da sorprendere dal popolo incaico.

Quipu in lingua quechua significa “ nodo“.

Nato per registrare dati di natura amministrativa-politica, aveva dimensioni varianti tra i trenta centimetri e i tre metri e mezzo.

Alla corda principale venivano legate funicelle più sottili a distanze prestabilite, a gruppi di numero variabile secondo regole codificate.

Di materiale diverso (lana o cotone) potevano essere colorate : colore, tipo di nodo, intreccio dei fili per costruire la corda stessa, costituivano messaggi utili per contestualizzare informazioni deducibili, comunque, solo da adepti.

Infatti i quipu una volta annodati, venivano “ fissati “ bagnando i nodi, tingendo le funicelle, fissando definitivamente con resine il tutto in modo da impedire ogni tentativo di alterare i messaggi.

Dall’osservazione delle funicelle e dei nodi su di esse fissati, si desume che anche la numerazione incaica era organizzata in base 10 ed era posizionale, verticale.

I nodi su una sola funicella rappresentano le unità, mentre quelli su due funicelle riunite, le decine, su tre funicelle riunite le centinaia, su quattro funicelle riunite le migliaia.

Le addizioni erano possibili utilizzando le sole funicelle.

I capi di bestiame o i raccolti agricoli venivano registrati in termini quantitativi in modo sistematico e convenzionale : per gli ovini ad esempio prima venivano contati i montoni, poi gli agnelli e per ultimo le pecore.

A questo punto nel quipu veniva aggiunta un’altra funicella sulla quale attraverso i nodi veniva data la somma dei capi di bestiame.

RETI MOLTIPLICATIVE ED INDIANI D’AMERICA

Alcune tribù indiane erano solite tracciare sulla sabbia delle regioni desertiche che attraversavano dei grafi a forma di ramo.

Osservate da noi ora le potremmo interpretare come reti moltiplicative. Sono piaciute molto e, con l’aggiunta dei colori dei regoli, divengono ancora più attraenti ed efficaci nella comunicazione.

2 + 5 = 75 + 2 = 7

2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 =

Con i regoli si possono preparare “cornicette, tappetini, bordi…” saranno i bambini stessi a trovare i nomi più vicini ai loro vissuti, ma questi disegni sono trasformabili in strutture di calcolo come quella proposta qui sotto.

Raggruppare in basi diverse dalla base dieci

la regola del tre (ogni tre si cambia)come vediamo nell’immagine tre unità

permettono di realizzare il cambio con una terzina.

Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine (un quadrato da tre per tre)

Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine

(un quadrato da tre per tre)

Sistemi numerici nella storia

Ricostruzione : dell’albero genealogico dei nostri

numeri delle regole del nostro sistema

numerico posizionale e in base dieci dei sistemi dei popoli con cui veniamo

in contatto

Sistemi numerici non posizionali

S.N. del popolo Sumero S.N. del popolo Egizio S.N. del popolo Cinese S.N. del popolo Azteco S.N. del popolo Babilonese (entro il 59) S.N. del popolo Maya (entro il 19)

Costruzione di un sistema numerico

Simboli numerici Regole

Non posizionali decimali

non decimali

posizionali decimali

non decimali

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base due

Le cifre che avete a disposizione sono :

Le potrete usare

secondo le regole posizionali.

Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri

fino alla composizione di numeri a quattro cifre.

Provare con l’abaco situazioni di cambio.

Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando.

Scrivere le regole tipiche di

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base tre

Le potrete usare secondo le regole posizionali.

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base dieci

………………………………

Provare operare (quattro operazioni, a piacere ) secondo le regole della base in cui si sta operando.

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale

in base quattro

0 1 2 3

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale

in base cinque

0 1 2 3 4

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sei

0 ° 3 1 ° 4 2 ° 5

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sette

Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Le potrete usare secondo le

regole posizionali.

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base otto

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

questa base.

Costruzione di un sistema numerico posizionale in base nove

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

questa base.

Aritm etica arte dei num eri

algoritmidi

operazione

Sistem idi

N um erazione

sistemidi

conteggio

numeriinteri

relativiZ

numerinaturali

ordinale(successivo)

regoledi

successione

idea disuccessione

regolare

costruzionedi

moduli

numeriraz ionali

funzioni moltiplic.(uno ogni tanti)frazioni comeoperatori su N

numerinaturali

cardinale(uno di più)

conservazionedella

quantità

ideadi

quantità

logica

app licazion i a lle

stru ttu re

negazioned isg iunzionecong iunzioneequ iva lenze

proprietàpartico lar izzate

operazion ilog iche

proprietà

rag ionam ento d iverse p rem essed iverse conclusion i

com p lem entoun ione

in tersezione d iff erenza. . .

operazion iinsiem istiche

tabelled i verità

e form alizzazionedel rag ionam ento

rag ionam ento su

enunciati

re lazion i fra

enunciatiquan tificati

quan tificatori

insiem i

scelta dell'un iverso

strutture

num erirazionalire lativi

num eriin teri

num erirazionalire lativi

num erirazionali

sin tesi card ina le/

ord ina le

isom etrie

num erirea li

m isu ra

sin tesispazio /tem po

* ca lco lo deg lienunciati

* regole d irag ionam ento

* quantificatori

* p red icati

ca lco lo deg liattr ibu ti

operazion iinsiem istiche

in tu izione dell'ord ine

d i unattr ibu to

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