tema1 solido rígido

Curso 2006-2007

Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/44JJ J N I II 1/44

Tema 1Dinámica del sólido rígido

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 2/44JJ J N I II 2/44

Preliminares

ei · ej = e ′i · e ′j = δijCij ≡ ei · e ′j: matriz de paso de S ′ a S.

Fila i: componentes de ei respecto a S ′:ei = Cije

′j

Columna i: componentes de e ′i respecto a S:e ′i = Cjiej

Ejemplo: Rotación en torno al eje Z

C =

cos θ sen θ 0− sen θ cos θ 0

0 0 1

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 3/44JJ J N I II 3/44

Propiedades de C

Ortogonalidad

δij = ei · ej = CikCjl e′k · e ′l︸ ︷︷ ︸δkl

= CikCtkj −→ CC t = C tC = I3

Velocidad angular

d

dt(CC t) = 0 =

˙CC t + C

˙C t =

˙CC t + (

˙CC t)t = 0

La matriz Ω ≡ ˙CC t es antisimétrica. Podemos escribir

Ω =

0 ω3 −ω2

−ω3 0 ω1

ω2 −ω1 0

[11]=⇒ Ωjk = εijkωi

~ω: velocidad angular de S respecto a S ′.

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Ejemplo: Rotación en torno al eje Z

˙C = θ

− sen θ cos θ 0− cos θ − sen θ 0

0 0 0

=⇒

Ω =

0 θ 0

−θ 0 00 0 0

La velocidad angular de S respecto a S ′ es ~ω = θ e3.

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Teorema de Coriolis

Gaspard CORIOLIS, 1792–1843

La velocidad de un punto en ~r respecto a S ′ es(d~r

dt

)S ′

= x ′i e′i

donde e ′i = Ckiek = C tikek y x ′i = ~r · e ′i = Cji~r · ej = Cjixj =⇒ x ′i =

Cjixj + Cjixj.(d~r

dt

)S ′

= CjiCtik︸ ︷︷ ︸

δjk

xjek + CjiCtik︸ ︷︷ ︸

Ωjk

xjek = xjej + εijkωixjek[12]

=⇒

(d~rdt

)S ′

=(d~rdt

)S

+ ~ω × ~r

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DefiniciónSólido rígido: Sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cam-bian en el tiempo. (|ri − rj| = cte ,∀ i, j).

Máximo número de grados de libertad: 6

3 puntos fijan la posición del sólido rígido.9 coordenadas para r1, r2 y r3.3 ligaduras: |r1 − r2|, |r2 − r3|, |r1 − r3| ctes.

9− 3 = 6

Punto fijoSus coordenadas no cambian en el tiempo respecto a algún sistema dereferencia inercial (e.g. punto de sujección de un péndulo).

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Teorema de Euler

Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido que tiene un puntofijo O, siempre se puede pasar de la una a la otra mediante una rotaciónalrededor de un eje que pasa por O.

Leonhard EULER, 1707–1783

Teorema de Chasles

Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido, siempre se puede pasarde la una a la otra aplicando una traslación seguida de un giro de infinitasformas posibles. Entre ellas, hay una en la que el eje de rotación es paraleloa la recta de traslación.

Michel CHASLES, 1793–1880

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Cinemática general

Teorema de Coriolis

~vI =d~rIdt

=d~rOIO

dt+d~r

dt= ~V0 + ~v + ~ω × ~r

Gaspard CORIOLIS, 1792–1843

Para un sistema no inercial solidario con el sólido rígido (~v = 0) tenemos

~vI = ~V0 + ~ω × ~r

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Movimiento en presencia de un punto fijo

Tomando como origen O el punto fijo: ~V0 = 0 y ~a0 = 0. El eje instantáneode rotación es la recta que pasa por O y es paralela a ~ω. Para eso puntos~vI = 0 en ese instante pues ~ω y ~r son paralelos.

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Movimiento general

a) O se traslada con velocidad ~V0 y el sólido gira en torno a un eje quepasa por O con velocidad angular ~ω.

~vI = ~V0︸︷︷︸Traslación

+ ~ω × ~r︸ ︷︷ ︸Rotación

~V0 ∦ ~ω

b) El sólido rígido gira en torno a un eje móvil y además se traslada pa-ralelamente a ese eje (eje instantáneo de rotación). Esto se denominamovimiento helicoidal instantáneo.

~vI = λ~ω + ~ω × ~r ′

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DemostraciónPuntos del sólido con velocidad ~vI paralela a ~ω

~vI = λ~ω = ~V0 + ~ω × ~r =⇒ ~r =1

ω2~ω × ~V0 + µ ~ω (µ arbitrario)

Para comprobarlo sustituimos la solución en la ecuación

λ~ω = ~V0 +1

ω2~ω ×

(~ω × ~V0

)+ µ ~ω × ~ω︸ ︷︷ ︸

=0

[13b]=⇒ λ =

1

ω2~ω · ~V0

Recta paralela a ~ω que pasa por el punto P , con ~rP ≡ ~ω × ~V0/ω2

~r = ~rP + µ ~ω

Los puntos que están sobre esta recta tienen velocidad ~vI = λ~ω. La veloci-dad de cualquier punto del sólido rígido es

~vI = ~V0 + ~ω × (~r − ~rP ) + ~ω × ~rP[13b]= λ~ω + ~ω × ~r ′ con ~r ′ ≡ ~r − ~rP .

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a) ~vI = ~V0 + ~ω × ~r b) ~vI = λ~ω + ~ω × ~r ′

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Momento lineal del sólido rígido

dm = ρ(~r) d3~r

~P =

∫~vI dm =

∫(~V0 + ~ω × ~r) dm

= m~V0 + m~ω ×

∫

~r dm∫dm

= m(~V0 + ~ω × ~rc) = m~Vc

~P = m~Vc

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Momento angular del sólido rígido

Momento angular respecto a O:

d~L = ~r × ~vI dm =[~r × ~VO + ~r × (~ω × ~r)

]dm =⇒

~L = m

∫

~r dm∫dm

×~VO+

∫~r×(~ω×~r) dm = m~rc×~VO+

∫~r×(~ω×~r) dm

Si O coincide con un punto fijo: ~VO = 0

Si O coincide con el centro de masas: ~rc = 0

~L =

∫~r × (~ω × ~r) dm

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Movimiento plano de un sólido rígido

1. Todos los puntos del sólido rígido se mueven en planos paralelos a unode referencia: ~ω = ωk.

2. La distribución de masa es simétrica (zcm = 0):ρ(x, y, z) = ρ(x, y,−z).

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Componentes de ~L en el movimiento plano

Lx = −ω∫xzρ(~r)d3~r = −ω

∫x dx

∫dy

∫zρ(x, y, z)︸ ︷︷ ︸Impar × Par

dz = 0

Ly = −ω∫yzρ(~r)d3~r = −ω

∫dx

∫y dy

∫zρ(x, y, z)︸ ︷︷ ︸Impar × Par

dz = 0

Lz = ω

∫ (x2 + y2

)ρ(~r)d3~r︸ ︷︷ ︸

I,momento de inercia

= Iω

~L = I~ω

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Eje y centro instantáneo de rotación

Movimiento plano, existe un eje —móvil en general— respecto al cual elcampo de velocidades es ~vI = ~ω × ~r ′ en cada instante.

~LCIR = I~ω

Demostración

Como queremos ver si ~vI = 0 para el CIR, entonces ~V0 = −~ω × ~rP

~V0 = −ωk ×(xE ı + yE + zE k

)=⇒

xE = −V0y/ωyE = +V0x/ω

Cualquier otro punto del sólido en movimiento plano:

~vI = ~V0 + ~ω × ~rP︸ ︷︷ ︸=0

+~ω × (~r − ~rP )︸ ︷︷ ︸≡~r ′

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Ejemplo: Rueda que se mueve sin deslizar sobre un plano horizontal.

La condición de rodar sin deslizar implica que V0x = ωR y V0y = 0, donde lavelocidad angular se escribe como ~ω = ωk, por lo que xE = 0 e yE = R. Eleje instantáneo de rotación es la línea negra de la fotografía, perpendicularal plano de movimiento.

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Movimiento general de un sólido rígido

Usando ~r × (~ω × ~r) [A13b]= r2~ω − (~r · ~ω)~r y ωi =

∑3j=1 ωjδij

Li =3∑j=1

[∫ (r2δij − xixj

)dm

]ωj i = 1, 2, 3 .

Se define el tensor de inercia I , cuyas componentes se expresan como

Iij ≡∫ (

r2δij − xixj)dm =⇒ ~L = I · ~ω con I =

∫ (r2I3 − ~r ~r

)dm

siendo I3 el tensor unidad. Como el producto diádico ~r ~r es un tensor desegundo orden [A8], entonces I también lo es. Además el tensor de inerciaes simétrico.

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En general, el momento angular y lavelocidad angular NO son paralelos.

Momentos y productos de inercia

I11 =

∫(y2 + z2) dm I22 =

∫(x2 + z2) dm I33 =

∫(x2 + y2) dm

I12 = I21 = −∫xy dm I13 = I31 = −

∫xz dm I23 = I32 = −

∫yz dm

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Energía cinética del sólido rígido

Energía cinética de dm: (1/2)(~VO + ~ω × ~r

)2

dm. Por tanto,

T =1

2mV 2

0 + m~VO · (~ω × ~rc) +1

2

∫(~ω × ~r)2

dm

Si O coincide con un punto fijo: T =1

2

∫(~ω × ~r)2

dm

Si O coincide con cm: T =1

2mV 2

c +1

2

∫(~ω × ~r)2

dm

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Movimiento plano

Como (~ω × ~r)2 = ω2 (x2 + y2):

Si O coincide con un punto fijo: T =1

2IOω

2

Si O coincide con el centro de masas: T =1

2mV 2

c +1

2Icω

2

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Ejemplo

xc = b− L

2cosϕ yc =

L

2senϕ

Utilizando el centro de masas

Sabiendo que Ic = (1/12)mL2 resulta

T =1

2m(x2c + y2

c

)+

1

2Ic ϕ

2 =1

6mL2ϕ2

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Utilizando el centro instantáneo de rotación

Como xE = −yc/ϕ = −(L/2) cosϕe yE = xc/ϕ = (L/2) senϕ⇒

~rE =L

2(− cosϕ ı + senϕ )

~rc =

(b− L

2cosϕ ı

)+L

2senϕ

~RE = ~rE + ~rc = (b− L cosϕ) ı + L senϕ

T = (1/2) IE ϕ2 con IE = Ic + m

(L

2

)2

=1

3mL2︸ ︷︷ ︸

Steiner

⇒ T =1

6mL2ϕ2

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Movimiento general

(~ω × ~r)2 = (~ω × ~r)k(~ω × ~r)k[A12]= εijkωixjεklmωlxm

εijkεklm[A11]= δilδjm − δimδjl ⇒ (~ω × ~r)2 = ω2r2 − ωiωjxixj

ω2 = ωiωjδij ⇒ (~ω × ~r)2 = ωi(r2δij − xixj

)ωj

1

2

∫(~ω × ~r)2

dm =1

2ωiIijωj =

1

2~ωt · I · ~ω

Si O coincide con un punto fijo: T =1

2~ωt · I · ~ω

Si O coincide con el centro de masas: T =1

2mV 2

c +1

2~ωt · I · ~ω

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Momento de inercia respecto a un eje arbitrario

nt · I · n =∑ij

niIijnj

=

∫ (r2∑ij

δijninj −∑i

xini∑j

xjnj

)dm

=

∫ [r2 − (n · ~r)2

]dm ≡ In

In = nt · I · n

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Eje principales de inercia

Transformación de semejanza

I ′[A6]= C t · I · C t

C t = C−1

=⇒ I ′ = C−1 · I · C

Tras la transformación I = diag(I1, I2, I3), donde Ik son los momentosprincipales de inercia y los nuevos ejes son los ejes principales deinercia. En dichos ejes, la contribución de la rotación a la energía cinéticadel sólido rígido es

TR =1

2

∑k

Ikω2k

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Algunos teoremas útiles

Todo plano de simetría es perpendicular a un eje principal de inercia.

Todo eje de simetría es eje principal de inercia.

Ejemplo: cilindro homogéneo

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Teorema de los ejes perpendiculares

Cuando un sólido rígido presenta un espesor despreciable en alguna direcciónespacial, entonces I3 = I1 + I2, siendo el eje Z perpendicular al plano quecontiene a dicho sólido.

Ejemplo: Placa rectangular de masa m y demensiones a× b.

I1 =1

12mb2

I2 =1

12ma2

I3 =1

12m(a2 + b2

)

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Teorema de los ejes paralelos

Sean dos sistemas de referencia, uno deellos con origen en el centro de masas deun sólido rígido, con los ejes paralelos dosa dos:

Iij = Icij + m(a2δij − aiaj)

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Demostración:

Basta sustituir la relación ~r ′ = ~r − ~a en la definición

Iij =

∫ (~r ′ · ~r ′δij − x′ix′j

)dm =

∫ (r2δij − xixj

)dm + m

(a2δij − aiaj

)+ 2~a

∫~r dm︸ ︷︷ ︸= 0

+2aj

∫xi dm︸ ︷︷ ︸= 0

+2ai

∫xj dm︸ ︷︷ ︸= 0

Teorema de Steiner

Considerando los elementos diagonales:

Iii = Icii + m(a2 − a2i )

siendo a2 − a2i el cuadrado de la distancia entre los ejes Xi y X ′i

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Elipsoide de inercia

∑ij

Iijxixj = 1Ejes propios−→

∑i

Iix2i = 1

Propiedades

a) El momento de inercia del sólido rígido respecto aun cierto eje es el inverso del módulo del vector deposición de la intersección de elipsoide con dichoeje.

Demostración

n =~r

r⇒ In =

∑ij

niIijnj =∑ij

Iijxir

xjr

=1

r2

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b) Si ~ω es paralela a ~r, entonces la normal al elip-soide de inercia en el punto de intersección conel eje de giro es paralela a ~L.

Demostración

Sea f (x1, x2, x3) ≡∑

ij Iijxixj. La ecuación del elip-soide de inercia es f (x1, x2, x3) = 1. Las componen-tes del vector normal al elipsoide son

∂f

∂xi=∑j

Iijxj~r ‖ ~ω∝∑j

Iijωj = Li

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Ecuaciones del movimiento

Movimiento plano

L =1

2m(x2c + y2

c

)+

1

2Ic φ

2 − U(xc, yc, φ)

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Ecuaciones del movimiento

mxc +∂U

∂xc= Q′x

myc +∂U

∂yc= Q′y

Icφ +∂U

∂φ= Q′φ ⇒M = L = Q′φ −

∂U

∂φQ′ → Fuerzas no conservativas

Energía potencial gravitatoria

Ug =

∫gh(xc, yc, φ)dm = mg

∫h(xc, yc, φ)dm∫

dm= mghc

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Movimiento general

~F =d~P

dt

~M =d~Lcdt

~Lc = Ic · ~ω

Las ecuaciones del movimiento son igualmente válidas si el origen del sistemade referencia no inercial coincide con un punto fijo, pues se cumple que~LO = IO · ~ω.

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Ecuaciones de Euler

Como ωi = d∗ωi/dt y ~L =∑

i Iiωiei =⇒ ~M = d∗~Ldt

+~ω×~L =∑

i Iiωiei+

~ω × ~L obtenemos:

M1 = I1ω1 + (I3 − I2)ω2ω3

M2 = I2ω2 + (I1 − I3)ω1ω3

M3 = I3ω3 + (I2 − I1)ω1ω2

Casos útiles

a) Si ~M = 0 las ecuaciones son integrables.

b) Si conocemos ~ω podemos determinar ~M (reacciones, etc).

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Ejemplo

Un sólido rígido no sometido a momentos externos cuyos tres momentosprincipales de inercia son distintos sólo puede girar con velocidad angularconstante en torno a un eje principal de inercia.

ωi = 0 y Mi = 0 =⇒ ω1ω2 = ω1ω3 = ω2ω3 = 0

Por tanto, sólo una componente de ~ω puede ser no nula.

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Trompo simétrico sin momentos aplicados

Por definición I1 = I2 ≡ A y I3 ≡ C.

0 = Aω1 + (C − A)ω2ω3

0 = Aω2 + (A− C)ω1ω3

0 = Cω3 =⇒ ω3 = cte

Sea la constante Ω ≡ C−AAω3. Entonces

ω1 + Ωω2 = 0ω2 − Ωω1 = 0

=⇒

ω1(t) = ω⊥ cos(Ωt + δ)ω2(t) = ω⊥ sen(Ωt + δ)

La proyección de ~ω sobre el plano XY describe un movimiento circularuniforme con velocidad angular Ω. Como ω2

1 + ω22 = ω2

⊥ es constante,entonces ω =

√ω2

1 + ω22 + ω2

3 = cte.

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Momento angular: L3 = Cω3 y ~L⊥ = A~ω⊥. Eje Z, ~L y ~ω coplanarios.

Cono sólido descrito por ~ω en su rotación en torno a Z. El ángulo desemiabertura es tanα = ω⊥/ω3.

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 41/44JJ J N I II 41/44

Sistema de referencia inercial

~L = cte, por lo que el eje Z y ~ω se mueven rígidamente, rotando en tornoal momento angular.

Cono espacial descrito por ~ω en su rotación en torno a ~L. El ángulo desemiabertura es |α− β| con tan β = Aω⊥/(Cω3).

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Ángulos de Euler

Rotación en el plano X ′1 −X ′2

Rφ =

cosφ senφ 0− senφ cosφ 0

0 0 1

φ es el ángulo de precesión.

Rotación en el plano X ′′2 −X ′′3

Rθ =

1 0 00 cos θ sen θ0 − sen θ cos θ

θ recibe el nombre de ángulo de nutación.

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Universidad ComplutenseJJ J N I II 43/44JJ J N I II 43/44

Rotación en el plano X ′′′1 −X ′′′2

RΨ =

cos Ψ sen Ψ 0− sen Ψ cos Ψ 0

0 0 1

Ψ recibe el nombre de ángulo de espín.

Cambio de ejes

RΨRθRφ =

c φ cΨ− s φ c θ sΨ s φ cΨ + c φ c θ sΨ s θ sΨ−c φ sΨ− s φ c θ cΨ −s φ sΨ + c φ c θ cΨ s θ cΨ

s φ s θ −c φ s θ c θ

donde s ≡ sen y c ≡ cos.

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Componentes de la velocidad angular

ωφ = φ (precesión) dirigida a lo largo de X ′3.

ωθ = θ (nutación) dirigida a lo largo de la línea de nodos.

ωΨ = Ψ (espín) dirigida a lo largo de X3.

y en el sistema de referencia no inercial

ω1 = φ sen θ sen Ψ + θ cos Ψ

ω2 = φ sen θ cos Ψ− θ sen Ψ

ω3 = φ cos θ + Ψ