teorie her a ekonomické rozhodováníjana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4ek421-pr07.pdf ·...
Post on 07-Jul-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Teorie her a ekonomické
rozhodování
7. Hry s neúplnou informací
7.1 Informace
• Dosud
– hráči měli úplnou informaci o hře, např.
znali svou výplatní funkci, ale i výplatní
funkce ostatních hráčů
– často to tak není• neznáme užitky protihráčů při aukcích, nákladové
funkce konkurenčních firem apod.
• většinou úplnou informaci nemáme
2Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
7.1 Informace
• Hry s úplnou informací
– známe výplatní matice (i soupeřovy), prostory
strategií, pravidla hry
– postupy lze využít, pokud neúplnost informace
dramaticky neovlivní výsledky
• Hry s neúplnou informací (Bayesovské hry)
– nemáme úplnou informaci o hře
– pokud je neúplnost zásadní vlastností
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 3
7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad: Šachy, NIM, mariáš, prší, …
– všechna pravidla znám před hrou,
– vím, jaké tahy hráč může hrát,
– vím, kolik dostane vítěz a jak vítěze poznám
– Hry s úplnou informací („otevřená hra“)
• Šachy, NIM
– Hry s neúplnou informací („utajená hra“)
• karetní hry, např. mariáš, prší, poker apod.
• neznám soupeřovy karty
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 4
7.1 Informace• Nezaměňovat neúplnou a nedokonalou info!
– Hry s (ne)úplnou informací (info před hrou)
– Hry s (ne)dokonalou informací (info během
hry)
• Hry s dokonalou informací
– každý hráč zná všechny předchozí tahy
– zná tedy i aktuální pozici (uzel) ve stromě hry
– šachy, NIM … hry s dokonalou informací
– mariáš, poker … hry s nedokonalou informací
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 5
7.1 Informace
• Soukromá informace
– informace, která není k dispozici ostatním
hráčům (např. karty, které držím v ruce při
pokeru, mariáši apod.)
– počáteční soukromá informace se označuje jako
typ hráče
• Všeobecně známá informace
– informace dostupné všem hráčům
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 6
7.2 Statická Bayesovská hra
• John C. Harsanyi
(Maďarsko, Austrálie, USA)
• 1994 – Nobelova cena
• 1967 – 1968 články v Management Science
– konfliktní situace s neúplnou informací
– navrhl doplnění neúplné informace
– apriorní tah fiktivního hráče „Příroda“, který
určí typ každého hráče
7Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
7.2 Statická Bayesovská hra
• Pouze hráč sám zná svůj skutečný typ
• Všichni hráči ale znají ex ante
– všechny možné typy ostatních hráčů a
– pravděpodobnostní rozdělení, ze kterého jsou
vybrány typy ostatních hráčů
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 8
7.2 Statická Bayesovská hra
• Původní hra se v tu chvíli stává
– hrou s úplnou informací, neboť všichni hráči
znají všechny možné výplatní hodnoty všech
typů všech hráčů (informace před začátkem
hry)
– hrou s nedokonalou informací, neboť ne všichni
zjistí apriorní tah fiktivního hráče „Příroda“
(informace v průběhu hry)
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 9
7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad
– karetní hra, např. mariáš, prší, poker apod.
– jsou rozdány karty a já znám ty své, ne však
soupeřovy – hra s neúplnou informací (na
začátku neznají všichni všechno)
– „Příroda“ doplní neúplnou informaci:
• vím, jaké karty mohou dostat soupeři, a
• vím, s jakou pravděpodobností je dostanou
• navíc vím, jaké jsou hodnoty výplatních funkcí
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 10
7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad
– stejné informace mají také ostatní hráči – jedná
se tedy o hru s úplnou informací
– zároveň se jedná o hru s nedokonalou
informací, protože ne všichni hráči se dozví, jak
byly karty rozdány
• znám ty své – vím, jaké karty mi dala „Příroda“,
• ale nevím, jaké karty dala příroda soupeřům
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 11
7.2 Statická Bayesovská hra
• Předpoklad: všichni hráči mají stejné
apriorní názory na pravděpodobnostní
rozdělení tahu „Přírody“
• Což ale v praxi nemusí platit
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 12
7.2 Statická Bayesovská hra• Příklad:
– hraje se mariáš, každý dostává 8 karet, jedna
barva jsou trumfy
– všichni se shodnou na tom, že
pravděpodobnost, že trumfové eso má jeden
konkrétní soupeř je
𝑝 =1131−87
32−88
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 13
7.2 Statická Bayesovská hra
• Pokud uvedený předpoklad platí, dostáváme
hru
– s úplnou informací (všichni před hrou vědí vše)
– ale s nedokonalou informací (neznám karty)
• Na takovou hru lze použít koncepci
Nashovy rovnováhy
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 14
7.2 Statická Bayesovská hra• Bayesovská hra (hra s neúplnou informací)
je určena
– Množinou hráčů {1, 2, …, N}
– Množinou prostorů strategií {X1, X2, …, XN}
• Xi označuje prostor strategií i-tého hráče
• konkrétní strategie pak označíme (x1, x2, …, xN)
– Množinou prostorů typů hráčů {T1, T2, …, TN}
• i-tý hráč zná svůj typ 𝑡𝑖 ∈ 𝑇𝑖, ale nezná typy
ostatních hráčů
• typ 𝑡𝑖 ∈ 𝑇𝑖 odpovídá určité výplatní funkci hráče iMgr. Jana Sekničková, Ph.D. 15
7.2 Statická Bayesovská hra• Bayesovská hra (hra s neúplnou informací)
je určena
– Množinou hráčů, Množinou prostorů strategií,
Množinou prostorů typů hráčů
– Množinou názorů hráčů {p1, p2, …, pN}
• pi je názor hráče i, který má o typech ostatních hráčů
• subjektivní pravděpodobnostní funkce
– Množinou výplatních funkcí
{f1(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN), …, fN(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN)}
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 16
7.2 Statická Bayesovská hra• V Bayesovské hře budeme považovat každý
typ každého hráče za samostatného hráče
• Příklad: každá možná kombinace rozdaných
8 karet představuje jednoho hráče
• „Příroda“ náhodně vybere ty hráče, kteří
budou hru skutečně hrát
– na základě pravděpodobnostního rozdělení, které
znají všichni hráči
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 17
7.2 Statická Bayesovská hra• Každý typ každého hráče vybere svoji
strategii dříve, než „Příroda“ rozhodne, kdo
bude hrát
• Tím k původní hře H s neúplnou informací
dostáváme hru H* s nedokonalou informací
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 18
7.2 Statická Bayesovská hra• Původní hra H (s neúplnou informací)
– N hráčů, i = 1, 2, …, N
– hráč i má mi typů
– množina prostorů strategií {X1, X2, …, XN}
– množina výplatních funkcí
{f1(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN), …, fN(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN)}
• Odvozená hra H* (s nedokonalou informací)
– M hráčů, j = 1, 2, …, M
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 19
Kolik je M?𝑀 =
𝑖=1
𝑁
𝑚𝑖
7.2 Statická Bayesovská hra• Odvozená hra H* (s nedokonalou informací)
– M hráčů, j = 1, 2, …, M, kde𝑀 = 𝑖=1𝑁 𝑚𝑖
• j = (i, ti) … každý typ každého hráče
– množina prostorů akcí {Y1, Y2, …, YM}
• akce = volba hráče, který už zná svůj typ
• strategie = akce hráče, který ještě svůj typ nezná a
musí tak naplánovat optimální akci pro každý svůj
možný typ
– množina výplatních funkcí
{g1(y1, y2, …, yM), …, gN(y1, y2, …, yM)}Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 20
7.2 Statická Bayesovská hra
• Hodnoty výplatních funkcí jsou počítány
jako očekávané hodnoty
𝑔𝑖 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑀 =
𝑡𝑖
𝑝 𝑡𝑖 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)
(chybný index ve skriptech)
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 21
7.2 Statická Bayesovská hra
• Bayesova-Nashova rovnováha ve hře s
neúplnou informací H (Bayesovská hra)
=
• Nashova rovnováha ve hře s nedokonalou
informací H*
V každé konečné hře s neúplnou informací
existuje alespoň jedna Bayesova-Nashova
rovnováha
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 22
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Manželé jdou večer na koncert – rozhodují
se mezi Bachem a Stravinským
• Muž preferuje Bacha, žena Stravinského
• Každý chce jít na koncert a nejraději půjdou
spolu
• Pokud spolu nepůjdou, nebudou mít žádný
užitek
23
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
24
muž/žena 𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟.𝐵𝑎𝑐ℎ𝑆𝑡𝑟𝑎𝑣𝑖𝑛𝑠𝑘𝑖
2,1 0,00,0 1,2
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Předpokládejme nyní, že
– ráno došlo k hádce
– muž, který je nyní v práci, si není jistý, jestli je
žena naštvaná či už ji to přešlo
– pokud je žena stále naštvaná, nechce manžela
večer vidět
– pokud žena naštvaná není, manžela vidět chce
25
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Muž odhaduje pravděpodobnost, že je žena
naštvaná na 50 %
• Pokud žena naštvaná není: původní matice
• Pokud žena naštvaná je: jiné preference
26
muž/žena 𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟.𝐵𝑎𝑐ℎ𝑆𝑡𝑟𝑎𝑣𝑖𝑛𝑠𝑘𝑖
2,0 0,20,1 1,0
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Jedná se o hru s neúplnou informací
– muž totiž neví, zda ho manželka chce či nechce
vidět
– žena tuto soukromou informaci samozřejmě má
(ví, zda muže chce nebo nechce vidět)
– muž má tedy jeden typ, zatímco žena má 2
možné typy (nenaštvaná a naštvaná)
27
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Převedeme tedy na hru s 3 hráči – muž,
nenaštvaná žena a naštvaná žena
• Pravděpodobnostní rozdělení typů ženy je
(0.5, 0.5)
– oba ho znají před tahem „Přírody“
– na začátku hry se pouze žena dozví výsledek
tahu „Přírody“, který určí její skutečný typ
28
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Manžel nezná dnešní náladu manželky (typ
ženy)
• Musí tedy odhadnout optimální akce pro
oba typy
• Abychom mohli zapsat výsledky do jedné
matice, vytvoříme pro ženu všechny možné
kombinace
29
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Uspořádaná dvojice (a,b) označuje
– nenaštvaná manželka volí akci a a zároveň
– naštvaná manželka volí akci b
• Pro ženu mohou tedy nastat 4 možnosti:
– (B, B), (B, S), (S, B) a (S, S)
– B … Bach, S … Stravinski
30
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Výplatní matice pak uvádí tři hodnoty
– výplatu muže
– výplatu nenaštvané ženy
– výplatu naštvané ženy
31
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
32
m/ž1 𝐵 𝑆𝐵𝑆
2,1 0,00,0 1,2
m/ž2 𝐵 𝑆𝐵𝑆
2,0 0,20,1 1,0
m/(ž1, ž2) (𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆)
𝐵𝑆
2,1,0 𝟏, 𝟏, 𝟐 1,0,0 0,0,20,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0
= 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟐 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟎 = 𝟏
7.2 Statická Bayesovská hra
Příklad 2 – Manželský spor (BoS)
• V této hře hledáme Nashovu rovnováhu
– Muž – sloupcová maxima z prvních hodnot
– Nenaštvaná žena 1 – řádková z druhých hodnot
– Naštvaná žena 2 – řádková z třetích hodnot
33
m/(ž1, ž2) (𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆)
𝐵𝑆
2,1,0 1,1,2 1,0,0 0,0,20,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0
Bayesova-Nashova rovnováha
v ryzích strategiích (akcích)
7.2 Statická Bayesovská hraPříklad 2 – Manželský spor (BoS)
• Rovnováha v ryzích strategiích
– {B, (B,S)}
– Muž volí Bacha, nenaštvaná žena také Bacha a
naštvaná žena Stravinského
– Muž tedy jde na Bacha a čeká, zda přijde i žena34
m/(ž1, ž2) (𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆)
𝐵𝑆
2,1,0 1,1,2 1,0,0 0,0,20,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0
7.2 Statická Bayesovská hra• Statická Bayesovská hra – hra s neúplnou
informací v normálním tvaru
– pro úplnou info Nashova rovnováha
– pro neúplnou info Bayesova-Nashova rovnováha
• Dynamická Bayesovská hra – hra s neúplnou
informací v rozvinutém tvaru
– pro úplnou info dokonalá rovnováha podhry
– pro neúplnou info dokonalá Bayesova rovnováha
(kombinace B-N rovnováhy a dokonalé rovnováhy
podhry) 35
7.2 Statická Bayesovská hra
Typ hry Normální tvar Rozvinutý tvar
Úplná informace Nashova rovnováhaDokonalá rovnováha
podhry
Neúplná informaceBayesova-Nashova
rovnováha
Dokonalá Bayesova
rovnováha
36
KONEC37Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
top related