transenden-stt-3hal
Post on 19-Oct-2015
31 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
1MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN
MA1114 KALKULUS I 2
8.1 Fungsi Invers
Misalkan denganff RDf :)(xfyx =a
vu )()( vfuf Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = vatau jika maka
xy =
fungsi y=x satu-satu
xy =
fungsi y=-x satu-satu
2xy =
u v
fungsi tidak satu-satu2xy =
MA1114 KALKULUS I 3
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengansumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai inversnotasi 1f
ff DRf :1 ( )yfxy 1=aBerlaku hubungan
xxff = ))((1yyff = ))(( 1
ffff DRRD == 11 ,
Df Rff
x y=f(x)
R R
1f)(1 yfx =
-
2MA1114 KALKULUS I 4
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) makaf mempunyai invers
xxf =)(xxf =)(
2)( xxf =
u v
f(x)=x
Rxxf >= ,01)('f selalu naik
f(x)=-xRxxf 0turun untuk x
-
3MA1114 KALKULUS I 7
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletakpada grafik f
Titik (y,x) terletakpada grafik 1f
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
Grafik f dan semetri terhadap garis y=x1ff
1f
MA1114 KALKULUS I 8
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunanpada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x)dan
Ixxf ,0)(1 1f
)('1)()'( 1xf
yf =
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dxdydydx
/1=
Contoh Diketahui tentukan12)( 5 ++= xxxf )4()'( 1f
25)(' 4 += xxf ,y=4 jika hanya jika x=1
71
)1('1)4()'( 1 ==
ff
Jawab :
MA1114 KALKULUS I 9
Soal Latihan
f x xx
x( ) ,= + >1 0
f x x( ) = 2 13
f x x( ) = +4 25
f xx
x( ) ,= + 5
102
f xxx
( ) = +11
232)( +
=xxxf
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari
1.
2.
3.
4.
5.
6.
-
4MA1114 KALKULUS I 10
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = u(x) maka
ln ,xtdt x
x= > 1 0
1
[ ]x
dtt
DxDx
xx11ln
1
=
=
[ ]dxdu
udt
tDuD
xu
xx11ln
)(
1
=
=
.
MA1114 KALKULUS I 11
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :1. ln 1 = 02. ln(ab) = ln a + ln b3. ln(a/b)=ln(a) ln(b)
))24ln(sin()( += xxf))24(sin(
)24sin(1)(' ++= xDxxf x )24cot(4 += x
0,||ln = xxy
=
0,)ln(0,ln
xxxx
xyxy 1'ln ==
xxyxy 11')ln( =
==.0,1|)|(ln = x
xx
dxd
+= C|x|lndxx1
ara r lnln.4 =
MA1114 KALKULUS I 12
dxx
x +4
03
2
2
dxxduxu 23 32 =+=
Contoh: Hitung
jawab
Misal
31
232 du
udx
xx =+ cuduu +== ||ln31131
cx ++= |2|ln31 3
]04
|2|ln31
23
4
03
2
+=+ xdxx x .33ln31)2ln66(ln31 ==sehingga
dxxdu 231 =
-
5MA1114 KALKULUS I 13
Grafik fungsi logaritma asli
0,ln)(1
>== xtdtxxfx
fDxxxf >= 01)('
f selalu monoton naik pada Df
fDxxxf >= xx
xDx
yxxy ln)exp( ==
( )( ) ( ) ( )reree rr explnexplnexp === xex =)(exp
MA1114 KALKULUS I 15
xeydydxdx
dy ===/1
xxx eeD =)(,Jadi
yxey x ln==
Turunan dan integral fungsi eksponen asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers
Dari hubungan
ydydx 1=
'.)( )( ueeD uxux =Secara umumSehingga
+= Cedxe xx
-
6MA1114 KALKULUS I 16
1
y=ln xy=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma aslimaka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkangrafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1
Contoh
)ln3(.)( ln3ln3 xxDeeD xxxxx
x = ).3ln3(ln3 += xe xx
MA1114 KALKULUS I 17
.31
31
31 /3
2
/3
ceceduedxxe xuux +=+==
Contoh Hitung
dxxe x 2/3
Jawab :
dudxx
dxx
dux
u31133
22 ===MisalkanSehingga
MA1114 KALKULUS I 18
Soal latihan
'y
xx eey sec22sec +=xexy ln35 =
xey tan=
A.Tentukan dari
)3ln( 3 yxe y +=1322 =+ xyey x
( )65ln 2 += xxy( )( )xy 3cosln=
yx
x= ln2
( )y x= ln sin))12sin(ln( += xy
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
-
7MA1114 KALKULUS I 19
B. Selesaikan integral tak tentu berikut
42 1x
dx+4 2
52x
x xdx
++ +
( )2
2x xdx
ln
dxx x3ln2
dxx x)tan(ln
x
xdx
3
2 1+
( )x e dxx x+ + 3 2 6
( )e e dxx x sec2 2(cos ) sinx e dxxe dxx2 ln
dxex x322
+ dxeexx
3
2
dxee xx
23
3
)21(
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
MA1114 KALKULUS I 20
C. Selesaikan integral tentu berikut3
1 21
4
x dx
( )1114
x xdx+
e
edx
x
x +
43
3
ln
ln
( )e e dxx x3 40
5
ln
e dxx2 3
0
1 +
dxe x 2ln0
3
e
xdx
x3
21
2
2
0
4 2 dxxe x
2
2)(ln
e
e xxdx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MA1114 KALKULUS I 21
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi , a > 0, a1 disebut fungsi eksponen umumUntuk a > 0, a1 dan x R, didefinisikanTurunan dan integral
Jika u = u(x), maka
Dari sini diperoleh :
:
xaxf =)(a ex x a= ln
aaaeeDaD xaxaxxx
x lnln)()(lnln ===
auauaeeDaD uauauxu
x ln''.ln)()(lnln ===
1,ln1 += aCaadxa xx
-
8MA1114 KALKULUS I 22
Sifatsifat fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku
yxyx aaa +=yx
y
x
aaa =
xyyx aa =)(
x
xx
ba
ba =
1.
2.
3.
4. xxx baab =)(
5.
MA1114 KALKULUS I 23
xdxx .4 2
CCduxu
u +=+= 4ln244ln421242
xxxf 2sin12 23)( += +
2.2cos.2ln23ln3.2)(' 2sin12 xxf xx += +
Contoh1. Hitung turunan pertama dari
Jawab :
2. Hitung
Jawab :
duxdxxdxduxu 212 2 ===Misal
= xdxx .4 2
MA1114 KALKULUS I 24
Grafik fungsi eksponen umum
0,)( >= aaxf x),( =Df
a.
b. aaxf x ln)(' =
>>= aaxf x
10,)(
-
9MA1114 KALKULUS I 25
8.6 Fungsi Logaritma UmumKarena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Inversdari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :
Dari hubungan ini, didapat
Sehingga
Jika u=u(x), maka
xa log1dan ,0, >= aaax yxy a log=
axx
axyayax ay
lnlnlog
lnlnlnlnln ====
axaxDxD x
ax ln
1)lnln()log( ==
auu
auDuD x
ax ln
')lnln()log( ==
MA1114 KALKULUS I 26
Contoh Tentukan turunan pertama dari
)1log()( 23 += xxf)
11log()( 4
+=xxxf
1.
2.
Jawab :
1. 3ln
)1ln()1log()(2
23 +=+= xxxf3ln
11
2)(' 2 += xxxf
2.4ln
)ln()
11log()( 1
14
+=
+= xx
xxxf ( ) )1
1(14ln
1)('11
+=+ x
xDxxfxx
2)1()1(1
11
4ln1
+
+=
xxx
xx
)1)(1(2
4ln1
+=
xx
MA1114 KALKULUS I 27
Grafik fungsi logaritma umum
Untuk a > 1
1,)( >= aaxf x
Untuk 0 < a < 1
10,)(
-
10
MA1114 KALKULUS I 28
y x x= 32 44
( )9log 210 += xy
x dxx22
105 1x dx
Soal Latihan
A. Tentukan dari'y
1.
2.
2)log(3 =+ yxyx3.B. Hitung
1.
2.
MA1114 KALKULUS I 29
)())(()( xhxgxf =
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
Diketahui
))(ln()())(ln( xgxhxf =)))(ln()(()))((ln( xgxhDxfD xx =
)(')()())(ln()('
)()(' xg
xgxhxgxh
xfxf +=
)()(')()())(ln()(')(' xfxgxgxhxgxhxf
+=
?)(', =xf
MA1114 KALKULUS I 30
Contoh
Tentukan turunan fungsi xxxf 4)(sin)( =
))ln(sin(4)ln(sin)(ln 4 xxxxf x ==
Jawab
)))ln(sin(4())((ln xxDxfD xx =
xxxxxxx
xfxf cot4))ln(sin(4cos
sin4))ln(sin(4
)()(' +=+=
xxxxxxf 4))(sincot4))ln(sin(4()(' +=
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi denganmenggunakan fungsi logaritma asli
Turunkan kedua ruas
-
11
MA1114 KALKULUS I 31
?)(lim )( =
xg
axxf
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
Untuk kasus
(i) 0)(lim,0)(lim ==
xgxfaxax
(ii) 0)(lim,)(lim == xgxf axax(iii) == )(lim,1)(lim xgxf axax
Penyelesaian :
Tulis )])(ln([explim))((lim )()( xgax
xg
axxfxf = [ ])(ln)(explim xfxgax=
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
[ ] [ ])(ln)(limexp)((ln)(explim xfxgxfxgaxax
=
MA1114 KALKULUS I 32
Contoh Hitung
limx
xx +0 ( ) xx x ln/13 1lim +( )xx x 10 1lim +
( )xxxx
x
xlnlimexp)(lim
00 ++ =
Jawab
(bentuk ).0Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil Lhopital /
10
lnlimexp += xx
x1)0exp(
1
1
limexp
2
0==
= +
x
xx
a. b. c.
a.
+=+ )1ln(1explim))1((lim
0
/1
0x
xx
x
x
x
+= xx
x
)1(lnlimexp0
b.
MA1114 KALKULUS I 33
exx
==+= 1exp11limexp
0
( ) ex xx
=+1
01lim
Gunakan dalil Lhopital
sehingga
c. ( ) +=+ )1ln(ln1limexp1lim 3ln/13 xxx xxx
+= xx
x ln)1ln(limexp
3
./1
13
limexp3
2
+= x
xx
x
Gunakan dalil Lhopital
+= 13limexp 3
3
xx
x
+= )1()3(limexp
313
3
xx x
x
+= )1()3(limexp
31x
x( ) .3exp 3e==
-
12
MA1114 KALKULUS I 34
xx
x 1
1
1lim
( )xx
x1
02sin1lim +
lim cosx
x
x
22
( ) xxx
e ln1
2
01lim +
( ) xx
x ln1
21lim +
( )xx
x1
lnlim
( )xxxx
1
53lim +
limx
xxx++
12
D. Hitung limit berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
MA1114 KALKULUS I 35
8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu,jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , 22 x
Karena pada f(x)=sinxmonoton murni maka inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcussinus, notasi arcsin(x),atau )(sin 1 x
22 x
Sehingga berlaku
xyyx sinsin 1 ==
2
2
MA1114 KALKULUS I 36
TurunanDari hubungan yxxy sinsin 1 ==
ydydxdxdy
cos1
/1 ==
22,11 yxdan rumus turunan fungsi invers diperoleh
1||,1
1
sin1
122
= xxxxxf
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnyaDefinisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx
atau x1sec
Sehingga
yxxy secsec 1 ==
-
16
MA1114 KALKULUS I 46
Turunan
Dari yxxy secsec 1 ==
xy 1cos = ( )xy 11cos =
( )xx 111 cossec =
Sehingga
( )xxx DxD 111 (cos)(sec = 221 1)(11
xx
=
1||
22 = xxx
1||1
2 = xx
Jika u = u(x)1||
')(sec2
1
=
uuuuDx
+= cxdxxx ||sec11 12
MA1114 KALKULUS I 47
e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x 0,, 22 xx 0,,0cotcsc)(' 22
-
17
MA1114 KALKULUS I 49
Contoh
A. Hitung turunan pertama dari
)(sec)( 21 xxf =
12)(
1)(||1)('
42
2
222 =
=
xxxxDx
xxxf
124 = xx
a.
b.
Jawab
a.
)(tansec)( 1 xxf =
1tan|tan|
sec)(tan1)(tan|tan|
1)('22
2
22 =
=
xxxxDx
xxxfb.
MA1114 KALKULUS I 50
B. Hitung
dxxx 412
=
dxxx
dxxx )1
4(4
14
122
= dx
xx 12
121
2
Jawab
Misal dudxdxduxu 22 2
1 ===
== duuuduuudxxx 11
212
121
21
41
222
CxCu +=+= |2
|sec21||sec
21 11
MA1114 KALKULUS I 51
Soal Latihan
21 )(sin xy =)(tan 1 xey =xxy lntan 1=tetf
1sec)(=
)3(cot 12 xxy =)1(tan 21 xxy +=
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin
1.
2.
3.
4.
5.
6.
-
18
MA1114 KALKULUS I 52
B. Hitung
+169 2x dx
164 2xxdx
252 xdx
2/1
02
1
1sin dx
xx
+ dxe exx
12
dxee
x
x
4
2
1
+ ])(ln4[ 2xx dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
MA1114 KALKULUS I 53
8.8 Fungsi HiperbolikDefinisi
a. Fungsi kosinus hiperbolik : 2cosh)(
xx eexxf+==
b. Fungsi sinus hiperbolik : 2
sinh)(xx eexxf
==
c. Fungsi tangen hiperbolik : xxxx
eeee
xxxxf
+===
coshsinhtanh)(
xx
xx
eeee
xxxxf
+===
sinhcoshcoth)(
xx eexxhxf +===
2cosh
1sec)(
xx eexxhxf ===
2sinh
1csc)(
d. Fungsi cotangen hiperbolik :
e. Fungsi secan hiperbolik :
f. Fungsi cosecan hiperbolik :
MA1114 KALKULUS I 54
1sinhcosh 22 = xxxhx 22 sectanh1 =xhx 22 csc1coth =
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
xexx =+ sinhcosh1.2. xexx = sinhcosh 3.4.
5.
Turunan
xeeeeDxDxxxx
xx cosh22)(sinh =+=
=
xeeeeDxDxxxx
xx sinh22)(cosh ==
+=
+= Cxdxx coshsinh
+= Cxdxx sinhcosh
-
19
MA1114 KALKULUS I 55
)coshsinh()(tanh
xxDxD xx = xh
xxxx 2
22
22
seccosh
1cosh
sinhcosh ===
)sinhcosh()(coth
xxDxD xx =
xxx
xxx
2
22
2
22
sinh)sinh(cosh
sinhcoshsinh ==
xhx
22 cscsinh1 ==
)cosh
1()(secx
DhxD xx = xhxxx tanhsec
coshsinh
2 ==
)sinh
1()(cscx
DhxD xx = xhxxx cothcsc
sinhcosh
2 ==
MA1114 KALKULUS I 56
Rxeexxfxx
+==
,2
cosh)(
f(0)=1
Grafik f(x) = coshx
>>+=xx eexf
(i)
(ii)
f selalu monoton naik
(iii)
>==
0,00,0
2)(''
xxeexf
xx
Grafik f cekung keatas pada x>0cekung kebawah pada x
-
20
MA1114 KALKULUS I 58
Contoh
Tentukan dari'y
)1tanh( 2 += xy
)1(hsec2)1()1(hsec' 22222 +=++= xxxDxxy
1.
Jawab
1.
8sinh 22 =+ yxx2.
2. )8()sinh( 22 DxyxxDx =+0'2coshsinh2 2 =++ yyxxxx
yxxxxy
2coshsinh2'
2+=
MA1114 KALKULUS I 59
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari
xxf 4tanh)( =xxg 2sinh)( =
xxxg
cosh1cosh1)( +
=21coth)( tth +=))ln(sinh)( ttg =2cosh)( xxxf =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MA1114 KALKULUS I 60
B. Hitung integral berikut
+ dxxSinh )41( dxxx 2coshsinh dxxtanh + dxxxtanh2 hsec
2
1.
2.
3.
4.
top related